9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

《分段数列专题》



高三冲刺讲义----分段数列
与分段函数类似,当一个数列的 an 或 sn 可以用关于 n 的分段的关系式表示时,我们 这个数列为分段数列。在近几年的高考中对分段函数的考查成为热点,同样,在对数列内容 的考查时,分段数列也成为命题的热点,这里一方面,因为数列的考查只能局限于等差、等 比数列的通项与求和,过分挖掘由递推公式求通项公式,有超纲之嫌;另一方面,分段数列 恰好为

考查综合运用等差、 等比数列相关知识的能力提供了适当的平台, 同时还兼顾了对分 类讨论思想的考查。 下面我们来介绍几种高考考纲范畴类的几种分段数列 类型一:基于通项与前 n 项和的关系 an ? ?

? S1 , n ? 1 的分段数列; ?Sn ? Sn?1n ? 2
1 Sn , n ? N ? 。 3

例 1:数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, an ?1 ? (1)求 a2 , a3 , a4 得值,及数列 ?an ?的通项公式; (2)求 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 得值。

分析:本题求数列的通项公式需要求出 a2 ,易出现的典型错误: 在运用: an ? Sn ? Sn?1 时,忽略了该式成立的条件: n ? 2 。 解: (1)因为 a2 ?

1 1 1 1 1 S1 ? a1 ? ,又当 n ? 2 时, an ?1 ? an ? ?S n ? S n ?1 ? ? an ,所以 3 3 3 3 3

n ?1 ? 1, 4 16 ? n?2 数列 ?an ?的通项为 an ? ? 1 ? 4 ? ,进而求得 a3 ? , a4 ? ; 9 27 ? ,n ? 2 ?3 ? ? ?3?
1 ?4? (2)由(1)知 a2 , a4 ,?, a2n 是以 为首项, ? ? 为公比、项数为 n 的等比数列。 3 ?3?
2

?4? 1? ? ? 1 ?3? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n ? ? 2 3 ?4? 1? ? ? ?3?

2n 2 ? 3 ?? 4 ? ? ?? ? ? 1? 7? ?? 3 ? ? ?

例 2: 已知有穷数列 ?an ?共有 2 k 项 (整数 k ? 2 ) , 首项 a1 ? 2 , 设该数列的前 n 项和为 Sn , 且 an?1 ? (a ?1)Sn ? 2(n ? 1,2,?,2k ?1) ,其中常数 a ? 1 。 (1)求证:数列 ?an ?是等比数列;

2

(2)若 a ? 2 2 k ?1 ,数列 bn ?

1 log 2 (a1a2 ? an )( n ? 1,2,? ,2k ), 求数列 ?bn ?的通项公式; n

分析:本题所涉及的数列都不是分段数列,但在解答第(1)小题时仍需要考虑分段证明, 解题中很多考生都出现了证明不完整的情况。 典型错误:因为 an?1 ? (a ?1)Sn ? 2,a n ? (a ?1)Sn?1 ? 2 ,两式相减得:

an?1 ? an ? ?a ?1?an ,即

an ?1 ? a ,所以数列 ?an ?是等比数列; an

这里错误之处有 2 个,一是和上题一样忽略了 an?1 ? an ? ?a ?1?an 成立的条件是 n ? 2 ,另 一个是 an?1 ? a ? an 并不等价于

an ?1 ?a。 an


解: (1)证明:由已知得, a2 ? (a ?1)S1 ? 2 ? (a ?1)a1 ? 2 ? 2a ? a ? a1 当 2 ? n ? 2k ? 1 时, an?1 ? (a ?1)Sn ? 2, an ? (a ?1)Sn?1 ? 2 ,两式相减得:

an?1 ? a ? an



由①②得, 对于一切正整数 n 都有 an?1 ? a ? an , 又因为 a ? 0 , 所以 是等比数列; (2)由(1)得 an ? 2 ? a
n?1

an ?1 所以数列 ?an ? ?a, an
n ( n ?1) 2 n ( n ?1) 2 k ?1

, a1 ? a2 ??an ? 2 ? a
n

1? 2????n ?1?

? 2 ?a
n

?2

n?

bn ?

1 1 ? n(n ? 1) ? n ? 1 log2 (a1a2 ? an ) ? ?n ? ? ? 1(n ? 1,2,?,2k ) ; n n? 2k ? 1 ? ? 2k ? 1

类型二:递推关系分段给出的分段数列

?an ? c, an ? 3, ? 例 3:已知 a1 为首项的数列 {an } 满足: an ?1 ? ? a . n , an ? 3, ? ?d
(1)当 a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,求数列 {an } 的通项公式; (2)当 0 ? a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,试用 a1 表示数列 {an } 前 100 项的和 S100 ; (3)当 0 ? a1 ?

1 1 1 , ( m 是正整数) , c ? ,正整数 d ? 3m 时,求证:数列 a2 ? , m m m 1 1 1 a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 成等比数列当且仅当 d ? 3m 。 m m m

分析:本题所给的递推关系式既含等差又含等比,立意新颖,难度适中。但由于 an 做限制 条件,很难对 c 和 d 讨论一般情况。 解: (1)

由题意 a n ?1

?a n ? 1, a n ? 3 ? ;由 a1 ? 1 ? 3 得 a2 ? a1 ? 1 ? 2 ? 3 ? a3 ? a2 ? 1 ? 3 ; ? ? an an ? 3 ? ?3

由 a3 ? 3 得 a 4 ?

a3 ? 1 ;由 a4 ? 3 得 a5 ? a4 ? 1 ? 2 ,由此 a6 ? 3, a7 ? 1,? 3
?

?1 , n ? 3k ? 2 , ? ∴得 a n ? ?2 , n ? 3k ? 1 , ?3 , n ? 3k , ?
(2)当 0 ? a1 ? 1 时,

(k ?Z ) .

a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3 , a5 ?
a8 ?

a1 a a ? 1 , a6 ? 1 ? 2 , a7 ? 1 ? 3 , 3 3 3

a7 a1 a a a ? 2 ? 1 ?, a3k ?1 ? k 1 ? 1 , a3k ? k 1 ? 2 , a3k ?1 ? k 1 ? 3 ,? ?1 ?1 3 3 3 3 3 ?1

∴ S100 ? a1 ? (a2 ? a3 ? a4 ) ? (a5 ? a6 ? a7 ) ? ? ? (a98 ? a99 ? a100 )

?a ? ? a1 ? ? a1 ? (3a1 ? 6) ? (a1 ? 6) ? ? 1 ? 6 ? ? ? ? ? 31 ? 6? ?3 ? ?3 ?
1 1 ? 1? 1 ? ? ? a1 ? a1 ? 3 ? 1 ? ? ? ? 31 ? ? 6 ? 33 ? ?11? 31 ?a1 ? 198. 2? 3 3 ? 3 ? ?
[证明](3)当 d ? 3m 时, a 2 ? a1 ? ∵ a3m ? a1 ?

1 ; m

a 1 3m ? 1 1 ? a1 ? ? 3 ? 3 ? a1 ? 3 ? a3m ?1 ,∴ a 3m ? 2 ? 1 ? ; m m 3m m
∴ a6m? 2 ?

∵ a6 m ?

a1 1 a ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? a6 m?1 , 3m m 3m

a1 1 ? ; 2 m 9m

∵ a9 m ?

a a1 a 1 1 ? ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 ? a9 m?1 , ∴ a9 m ? 2 ? 1 3 ? . 2 m m 27m 9m 9m

∴ a2 ?

a a a1 1 1 1 1 ? a1 , a 3m ? 2 ? ? 1 , a 6 m ? 2 ? ? 1 2 , a9 m ? 2 ? ? . m m 3m m 9m m 27m 3

综上所述,当 d ? 3m 时,数列 a 2 ? 为

1 1 1 1 , a 3 m ? 2 ? , a 6 m ? 2 ? , a 9 m ? 2 ? 是公比 m m m m

1 的等比数列. 3m
当 d ? 3m ? 1 时, a3m? 2 ?

a1 ? 3 ? 1 ? ? ? 0, ? , d ? m?
a1 ? 3 ?3 ? 1? d ? ? 0, ? , d ? m?

a6 m? 2

a ?3 1? ? ? 1 ? 3 ? ? 3, 3 ? ? , a 6 m ?3 ? d m? ?

a9 m ? 2

a1 ? 3 ?3 3m ? 1 ? 1 ? d ? ? ? ? 3 ? ,3 ? . d m m ? ?

1 1 1 ? 0 , a6 m? 2 ? ? 0 , a9 m? 2 ? ? 0 , m m m 1 1 1 1 故数列 a 2 ? , a 3 m ? 2 ? , a 6 m ? 2 ? , a 9 m ? 2 ? 不是等比数列. m m m m 1 1 1 1 所以数列 a 2 ? ,a 3 m ? 2 ? ,a 6 m ? 2 ? ,a 9 m ? 2 ? 成等比数列当且仅当 d ? 3m . m m m m
由于 a 3m ? 2 ? 易错提醒:易误认为是 a n ?1

?a n ? 1, n ? 3 ? 从而误认为是当小于 3 时是等差数列,大于或 ? ? an n ? 3 ? ?3

等于 3 时是等比数列.事实上,在尝试续写数列各项时,每一步都要将该项与 3 进行比较, 然后判断续写下一项应该用哪一个递推关系,这恰恰是本题的难度。第(3)问解题要点是 分别在 d ? 3m 和 d ? 3m 前提下得到 a2 , a3m?2 , a6m?2 , a9m?2 的值。 例 4:在数列 ?an 其公差为 dk 。 (Ⅰ)若 dk =2k,证明 a2k ?1 , a2 k , a2 k ?2 成等比数列( k ? N * ) ; (Ⅱ)若对任意 k ? N * , a2k ?1 , a2 k , a2 k ?2 成等比数列,其公比为 qk . (i)设 q1 ? 1.证明 ?

? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * k ? N , a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差数列,

? 1 ? ? 是等差数列; ? qk ? 1?
2k ? 1 ?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1

【解析】 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

2k ? 1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 ? 2k (k ? 1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 于是 2k ? 1 ? a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列,公比为 k ? 1 。 2k ? 1 2k ? 2

考生在解答此题时,不知为什么要得到式子 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k 。事实上,在将 an 差分展开 后就会发现,求 an 的通项需要分奇偶。 (2) 证明: 证法一: (i) 证明: 由a

2k ? 1

, a2 k , a ,a 成等差数列, 及a ,a 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

成等比数列,得 2a

a a ?a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2 k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 从而

1 q k ?1

? 2?

1 1 q k ?1 ?1

?

1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1? ? ? k ?

证法二: (i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ? 2 ? dk ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k qk a2k qk q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1可知 qk ? 1, k ? N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1 ? k ?

类型三:通项公式可分段为等差或等比数列的分段数列

例 5:数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

(1) 求 S n ;

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n ? 2 n ?1 . 故 Tn ? ? 2 n ?3 3 3? 2 2 n? 2 n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 例 6: 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2 2
(Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

a2 n?1 1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, Sn ? 2 ? . a2 n n
2

.解:(Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
* 一般地,当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos
2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

= a2 k ?1 ? 1 ,即 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2 k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k.
* 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2

2 k? 2 k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2
k

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k ? 2 .

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? n * 2 ?2 , n ? 2k (k ? N ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

a2 n ?1 n 1 2 3 n ? 2 , Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 a2 n 2



1 1 2 3 n S n ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) 2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n(n ? 2) 要证明当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, ? 1 成立. n 2n
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k (k ? 2) (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 ? 1. 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)( k ? 3) k( k ? 2) ( k ?1)( k ?3) ( k ?1)( k ?3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k

由(1)、(2)所述,当 n≥6 时, 证法二 令 cn ?

n(n ? 1) 1 ? 1.即当 n≥6 时, Sn ? 2 ? . 2 2 n

(n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 n(n ? 2) c ? c ? ? ? n?1 ? 0. ,则 ( n ? 6) n ?1 n 2n?1 22 2 22

6?8 3 ? ? 1. 64 4 n(n ? 2) 1 于是当 n ? 6 时, ? 1. 综上所述,当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? . 2 2 n
所以当 n ? 6 时, cn ?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 总之,对于分段数列问题,除第一类需要注意起始项外,其余各类都是力争化为最基本的等 差、等比数列问题,在划归时注意恰当地选择分类标准。 所以分段函数无外乎就这 2 种情况常见:1、奇偶分段;2、前后分段; 类似题练习
?1 , 1 ≤ n ≤ 1000, ? ? n2 1、数列 ? an ?中, an ? ? 则数列 ? an ?的极限值( 2 ? n , n ≥ 1001, ? n 2 ? 2n ?



A.等于 0 【答案】B 【解析】 lim an ? lim
n ??

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

n2 1 ? lim ? 1 ,选 B。 2 n ?? n ? 2n n ?? 2 1? n

a2, a3, ?, am( m 为正整数) 2、 如果有穷数列 a1, 满足条件 a1 ? am ,a2 ? am?1 , ?,am ? a1 , 2 ?, m) 即 ai ? am?i ?1 ( i ? 1,, ,我们称其为“对称数列” . 2 5 2 1 与数列 8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列” 例如,数列 1,,,, . b2, b3, b4 是等差数列,且 b1 ? 2 , b4 ? 11.依 (1)设 ?bn ?是 7 项的“对称数列” ,其中 b1,

次写出 ?bn ?的每一项;
c26, ?, c49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列, (2)设 ? cn ?是 49 项的“对称数列” ,其中 c25,

求 ? cn ?各项的和 S ;
d52, ?, d100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数 (3)设 ? d n ? 是 100 项的“对称数列” ,其中 d51,

2 ?, 100 ) . 列.求 ? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,,

【解析】 (1)设数列 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,

?

5 8 11,,, 8 5 2. 数列 ?bn ?为 2,,,

(2) S ? c1 ? c2 ? ? ? c49 ? 2(c25 ? c26 ? ? ? c49 ) ? c25

? 2 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 24 ? 1 ? 2 2 25 ? 1 ? 1 ? 2 26 ? 3 ? 67108861.
(3) d51 ? 2, d100 ? 2 ? 3 ? (50 ? 1) ? 149 .
d 2, ?, d50 是首项为 149 ,公差为 ? 3 的等差数列. 由题意得 d1,

?

?

?

?

当 n ≤ 50 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n ? 149 n ?

n(n ? 1) 3 301 (?3) ? ? n 2 ? n. 2 2 2

当 51 ≤ n ≤ 100 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n ? S50 ? ?d 51 ? d 52 ? ? ? d n ?

? 3775 ? 2? (n ? 50) ?

3 2 299 (n ? 50)(n ? 51) n ? 7500 ?3 ? n ? 2 2 2

? 3 2 301 ? n ? n, 1 ≤ n ≤ 50, ? ? 2 2 综上所述, Sn ? ? ? 3 n 2 ? 299 n ? 7500, 51 ≤ n ≤ 100. ? ?2 2

看了这么多类型和例题,下面我们对分段数列里的特例----奇偶数列问题再归纳整理:

【数列中分奇偶数项求和问题】
类型一、相邻两项符号相异; 例 1:求和 Sn ? 1 ? 5 ? 9 ?13? ?? (?1)
n?1

(4n ? 3), (n ? N ? )
n ? ?4 ? ? ??n 2

解:当 n 为偶数时: Sn ? ?1 ? 5 ? ? ? 9 ? 13? ??? ???n ? ???????n ? ??? ? ?

(4n-3) ? 当 n 为奇数时: Sn ? ?1 ? 5 ? ? ? 9 ? 13? ??? ???n ?????????n ? ??? ? ?
类型二、相邻两项之和为常数;

n -1 ? ?4 ? ?(4n-3)? ?n ?? 2

例 2:已知数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ?前 n 项和,求 Sn ;

解:①当 n 为偶数时:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? … ? an ?1 ? an
? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? … ? (an ?1 ? an ) ? n n ?1 ? 2 2

②当 n 为奇数时:

Sn ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? … ? (an ?1 ? an )
? 2? n ?1 n ? 3 ? 2 2

类型三、相间两项之差为常数; 例 3:已知数列 ?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 4, an ? an?2 ? 2(n ? 3), Sn 为 ?an ?前 n 项和,求 Sn ;

答案:①n 为奇数时:

S n ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ?

n ?1 n(n ? 1) ?2 ? ? n ?1 2 2

n n(n ? 1) Sn ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ? ? 2 ? ?n 2 2 ②n 为偶数时:
类型四、相间两项之比为常数;

1 n 2 +, a ? 2, S ? c ? c ? ? ? c n 1 2 n 例 4:已知 an , an ?1 为为方程 x ? Cn x ? ( ) ? 0 的两根 n∈N 1 3
求 an 及 S 2 n 。 例 4:已知 an,an+1 为方程 x ? Cn x ? ( ) ? 0 的两根 n∈N ,a1=2,Sn=C1+C2+?+Cn,求 an 及
2 n
+

1 3

S2n。
?1 1 n2 2( ) 3 答案:则有: an ? { 1 1 n ( )2 2 3

n ? 2k ? 1(k ? N ? ) n ? 2k ( k ? N ? )

S2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ... ? c2 n ?1 ? c2 n 1 1 (1 ? n ) (1 ? n ) 13 5 3 ? . 3 ? 9 (1 ? 1 ) ? . 6 1? 1 6 1? 1 2 3n 3 3
【当堂练习】
练习 1 :已知复数 z n ? an ? bn ? i ,其中 a n ? R , bn ? R , n ? N , i 是虚数单位,且
?

z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式;

(2)求和:① a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ;② b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 .由 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i 得: an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,? ?

?an?1 ? 3an ?bn?1 ? bn ? 2

? 数列 ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数
列,? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1 . (2)①由(1)知 an ? 3n?1 ,?

ak a k ?1 ? 32 ,? 数列 ?an an?1 ?是以 3 为首项,公比为 32 的 a k ?1a k
3(1 ? 32 n ) 32 n?1 3 ? ? . 1? 9 8 8

等比数列.? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ?
? ②当 n ? 2k , k ? N 时,

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 )
? ?4b2 ? 4b4 ? ? ? 4b2 k ? ?4(b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? ?4 ? k (b2 ? b2 k ) ? ?8k 2 ? 4k ? ?2n 2 ? 2n 2

? 当 n ? 2k ? 1 , k ? N 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ?? (?1)n?1bnbn?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 ) ? b2k ?1b2k ? 2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ? 1)(4k ? 3) ? 2n 2 ? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
?2n 2 ? 2n ? 1 当n为奇数时 ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2n ? 2n 当n为偶数时

练习 2:已知数列 ?an ? 是首项为 2 的等比数列,且满足 an?1 ? pan ? 2 (n ? N ) .
n
*

(1) 求常数 p 的值和数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若抽去数列 ?an ? 中的第一项、第四项、第七项、……、第 3n ? 2 项、……,余下的 项按原来的顺序组成一个新的数列 ?bn ?,试写出数列 ?bn ?的通项公式;

(3) 在 (2) 的条件下, 设数列 ?bn ?的前 n 项和为 T n .是否存在正整数 n , 使得 若存在,试求所有满足条件的正整数 n 的值;若不存在,请说明理由.

Tn ?1 11 ? ? Tn 3

? 3n2?1 ?2 , n ? 2k ? 1 (1) an ? 2 ; (2) bn ? ? , k (? N ? ) 3n 2 ? ? 2 , n ? 2k
n

(3)存在, n ? 2

【课后作业】 1、2012 年浦东区二模 4 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知向量 a ? ? cos ( n ? N )和 b ? ? an ,cos
*

?

? ?

n? n? ? ? sin ,1? 3 3 ?

?

? ?

n? n? ? sin 3 3

? ? ? * ? ( n ? N )满足 a / / b . ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 S3n ; (3)设 bn ? 2n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn . 【解答】 (1)∵ a / / b

?

?

n? n? ? ? n? n? ? ? sin ? sin ? ? cos ? 3 3 ?? 3 3 ? n? 2 n? ? sin 2 = cos 3 3 2n? = cos 3 2n? ∴ an ? cos ; 3 1 1 1 1 ( 2 ) 数 列 ?an ? : ? , ? ,1, ? , ? ,1,? 为 周 期 为 3 的 周 期 数 列 且 2 2 2 2
∴ an = ? cos

? ?

a3k ? 2 ? a3k ?1 ? a3k ? 0 ? k ? N? ? .

S3n ? a 1? a 2? ?? a n 3
? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? a6 ? ??? ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ?
? 1 1 ? ? n ? ? ? ? 1? ? 0. ? 2 2 ? 2n? n n . (3) bn ? 2 an ? 2 cos 3

? 当 n ? 3k k ? N 时,

?

?

∵ b3k ?2 ? b3k ?1 ? b3k ? 23k ?2 ? ?

? 1 ? 3k ?1 ? 1 ? 3k 3 k ?3 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?1 ? 5 ? 2 . ? 2? ? 2? 5 3k 5 n 3 3 k ?3 ∴ Tn ? T3k ? 5 ?1 ? 2 ? ? ? 2 ?? 7 ? 2 ? 1? ? 7 ? 2 ? 1? .

? 当 n ? 3k ? 1 k ? N 时,

?

?

Tn ? T3k ?1 ? T3k ? b3k ?

? 当 n ? 3k ? 2 k ? N 时,

?

?

5 3k 23k ?1 ? 5 2n ? 2 ? 5 3k 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ? . ? ? 7 7 7

Tn ? T3k ?2 ? T3k ?1 ? b3k ?1 ? ?
?5 n ? 7 ? 2 ? 1? , ? n?2 ? 2 ?5 故 Tn ? ?? , 7 ? ? 2n ? 5 , ?? 7 ?

23k ?1 ? 5 3k ?1 ? 1 ? 23k ?2 ? 5 2n ? 5 ? 2 ??? ? ? ? ?? . 7 7 7 ? 2?

? n ? 3k ? , ? n ? 3k ? 1? , ? k ? N ? ? . ? n ? 3k ? 2 ? ,
1 2 1 an ? an (n ? N ? ) ; 4 2

2、各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S n ?

? an , n为奇数 ? ? (1)求 an ; (2)令 bn ? ?b , n为偶数 , cn ? b2n ?4 (n ? N ) ;求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。 n ? ? 2
(3)令 bn ? ?q n ? ? ( ?、q 为常数, q ? 0 且 q ? 1 ) , cn ? 3 ? n ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ,
a

是否存在实数对 (?、q) ,使得数列 ?cn ? 成等比数列?若存在,求出实数对 (?、q) 及数列

?cn ? 的通项公式,若不存在,请说明理由。
1 2 1 1 1 a1 ? a1 ? a12 ? a1 ? 0 ,∵ a1 ? 0 ,∴ a1 ? 2 ; 4 2 4 2 1 2 1 1 2 1 当 n ? 2 时,an ? S n ? S n ?1 ? an ? an ? an ?1 ? an ?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 4 2 4 2
解: (1) a1 ? S1 ? ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,∴ ?an ? 为等差数列,∴ an ? 2n (n ? N ) 。
?

(2) c1 ? b6 ? b3 ? a3 ? 6 , c2 ? b8 ? b4 ? b2 ? b1 ? a1 ? 2 ,

n ? 3 时, cn ? b2n ?4 ? b2n?1 ?2 ? b2n?2 ?1 ? a2n?2 ?1 ? 2n?1 ? 2 ,

此时, Tn ? 8 ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?(2n?1 ? 2) ? 2n ? 2n ;

6, n ? 1 ? ? 8, n ? 2 ∴ Tn ? ? 。 ? 2n ? 2n, n ? 3且n ? N ? ?
(3) cn ? 3 ? n ?

? q 2 (1 ? q 2n )
1 ? q2

? ?n ? 3 ?

?q2
1 ? q2

?

? q 2n?2
1 ? q2

? (? ? 1)n ,

? ?q2 ? ? ? ?1 ?0 ? 3 n ?1 3 ?3 ? 2 ?? 令? 1? q 3 ,∴存在 (? , q) ? (?1, ? ) , cn ? 4 ? ( 4 ) 2 ? ? ?1 ? 0 ?q ? ? ? 2 ?
3、将边长分别为 1、2、3、?、n、n+1、?( n ? N )的正方形叠放在一起,形成如图所
*

示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、??、第 n 个阴影 部 分 图 形 . 设 前 n 个 阴 影 部 分 图 形 的 面 积 的 平 均 值 为 f ( n) . 记 数 列 ?an ? 满 足

a1 ? 1 , an +1 ? ?

? ? f (n),当n为奇数 ? ? f ? an ? ,当n为偶数

(1)求 f ( n) 的表达式; (2)写出 a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式;

1 0 0 bn bn ? 2 ? 0 有解,求 s 的取值范围. (3)记 bn ? an ? s ? s ? R ? ,若不等式 0 bn ?1 bn ?1 bn ?1

解: (1)由题意,第 1 个阴影部分图形的面积为 2 ? 1 ,第 2 个阴影部分图形的面积为
2 2

42 ? 32 ,??,第 n 个阴影部分图形的面积为 ? 2n ? ? (2n ? 1) 2 .
2

? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ?? 2n ? ? (2n ? 1) 2 ? ? ? 故 f ( n) ? n 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? ? 2n ? 1 n
2 2

?2

(2) a1 ? 1 , a2 ? f (1) ? 3 , a3 ? f (a2 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 , 当 n 为偶数时, an ? f (n ? 1) ? 2n ? 1 ,

当 n 为大于 1 的奇数时, an ? f (an?1) ? 2an?1 ? 1 ? 2?2(n ?1) ?1? ? 1 ? 4n ? 5 ,

?1,当n ? 1 ? 故 an ? ? 2n ? 1,当n为偶数 . ?4n ? 5,当n为大于1的奇数 ?
?1 ? s, 当n ? 1 ? (3)由(2)知 bn ? ? 2n ? 1 ? s, 当n为偶数 . ?4n ? 5 ? s, 当n为大于1的奇数 ? 1 0 0 bn bn ? 2 ? 0 ? bn?1bn ? bn?1bn?2 ? bn?1 (bn ? bn?2 ) ? 0 . 又 0 bn ?1 bn ?1 bn ?1
(ⅰ)当 n=1 时,即 b2 (b1 ? b3 ) ? (3 ? s)(?6) ? 0 ,于是 3 ? s ? 0 ? s ? ?3 (ⅱ)当 n 为偶数时, 即 ? 4(n ? 1) ? 5 ? s ??? ?(2n ? 1 ? s) ? ? 2( n ? 2) ? 1 ? s ? ? ? ? ? 4n ? 1 ? s ? (?4) ? 0 于是 4n ? 1 ? s ? 0 , s ? ? ?4n ? 2?max ? ?6 . (ⅲ)当 n 为大于 1 的奇数时, 即 ? 2(n ? 1) ? 1 ? s ? ? ? ?? 4n ? 5 ? s ? ? ? 4(n ? 2) ? 5 ? s ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? s ? ? ? ?8 ? ? 0 于是 2n ? 1 ? s ? 0 , s ? (?2n ?1)max ? ?7 . 综上所述: s ? ?3 . 3、设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,?, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈.

, a1005 (Ⅰ)若 m ? 2009 ,且 a1 ,a2 , ?

是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008 ,?, a1006 是

公比为 q ? d 的等比数列;数列 a1 , a2 ,?, am 的前 n 项和 Sn (n ? m) 满足:

S3 ? 15, S2009 ? S2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
解:因 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列,从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d
2



S2009 ? S2008 ? 12a1 得a2008 ? a2009 ? 12a 1 ,故
解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) 。因此 d ? 3 又

S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?( n?1) ? a1d 2010?n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

4、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 32n ? n2 ,求数列 an 的前 n 项和. 解:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?2n ? 33 , 又 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 31 ,? an ? ?2n ? 33 , n ? N
?
?

? ?

当 n ? 16时,n ? N 时, an ? 0 , 当n ? 17 , n ? N 时, an ? 0 ;

?

? n ? 16 时, n ? N ? , a1 ? a2 ??? an ? ? a1 ? a2 ??? an ? 32n ? n2 ; n ? 17 时, n ? N ? 时, a1 ? a2 ??? an ? a1 ? a2 ? ?a16 ?? ? an

? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? a16 ? ? ? ? 32n ? n 2 ? ? 2 ?
? n ? 32n ? 512 ,
2

16 ? ? 31 ? 1? 2


2 ? ?32n ? n Sn ? ? 2 ? ?n ? 32n ? 512

n ? 17 n ? 17

?1, n ? 1, ? 5、若 a n ? ?3n ? 1,2 ? n ? 5 , 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . ?3 ? 2 n , n ? 6 ?
解:当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 1; 当 2 ? n ? 5, n ? Z 时,
?

S n ? a1 ? (a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a n ) ? 1 ?
当 n ? 6, n ? Z 时,
?

7 ? (3n ? 1) 3n 2 ? 5n ? 6 ? (n ? 1) ? , 2 2

S n ? S 5 ? a6 ? a7 ? ? ? ?a n ? 47 ?

3 ? 2 6 (1 ? 2 n?5 ) ? 3 ? 2 n?1 ? 145. 1? 2

?1, n ? 1 ? 3n 2 ? 5n ? 6 ? 2 ,1 ? n ? 5 ? 3n ? 5n ? 6 ? Sn ? ? ,2 ? n ? 5 ,即 S n ? ? 2 2 ? ?3 ? 2 n ?1 ? 145, n ? 6 n ?1 ? ? 3 ? 2 ? 145 , n ? 6 ?
?1, n ? 1 ? ? 6、若 a n ? ?3n ? 1, n ? 2k ? 1 , k ? Z ,求数列 ?an ? 的前 n 项和. ?3 ? 2 n , n ? 2k ?
解:当 n ? 1 时, S1 ? a ? 1, 当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,
n ?1

12(1 ? 4 2 ) 10 ? (3n ? 1) n ? 1 S n ? a1 ? (a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a n ?1 ) ? (a3 ? a5 ? ? ? ? ? a n ) ? 1 ? ? ? 1? 4 2 2 3 n?3 3n ? 8n ? 23 ? 2 ? 4 当 n 为偶数时, n ? 1 为奇数

S n ? S n?1 ? a n?1

3(n ? 1) 2 ? 8(n ? 1) ? 23 ? 2 n? 4 3n 2 ? 2n ? 28 ? 2 n? 4 ? ? ?3(n ? 1) ? 1? ? 4 4

综上所述

? ?1, n ? 1, ? 3n 2 ? 8n ? 23 ? 2 n ?3 ? 2 , n ? 2k ? 1, n ?3 ? ? 3n ? 8n ? 23 ? 2 ? 4 Sn ? ? , n ? 2k ? 1, ? ? 2 k ?Z? n?4 4 ? ? 3n ? 2n ? 28 ? 2 , n ? 2k , 2 n?4 ? ? 3n ? 2n ? 28 ? 2 4 ? , n ? 2k , ? 4 ?



更多相关文章:
数列专题整理
数列专题整理_数学_高中教育_教育专区。数列专题整理一、基础知识 1、数列的定义 (1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列, 说列中的每一个数叫做这 个数列的项。...
23个典型的数列专题2^0
23个典型的数列专题2^0_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 89份文档 爆笑...2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园教师资格考... 2014教师资格中学教育知...
数列专题
数列专题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。大理博奥教育精品资料系列 数列专题...2) 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种...
数列专题
数列专题_数学_高中教育_教育专区。数列苏州分公司昆山校区 陈婵,毕业于盐城师范学院数学与应用数学专 业,数学学科骨干教师。 性格活泼开朗,对人热情大方。在教学...
5-数列专题
数列专题 命题人:方华 数列专题一、基本概念: 1、数列类型: 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数数列 摆动数列 差比数列 ★★★方法总结:借助通向公式将...
2006-2015全国高考数列专题
2006-2015全国高考数列专题_数学_高中教育_教育专区。2006-2015 全国高考新课标1卷理科—数列专题一、基础题 1. (2006,全国卷 1)设 {an } 是公差为正数的...
《分段函数图像》专题
《分段函数图像》专题_数学_高中教育_教育专区。鸡西市第十九中学高一数学组 《分段函数图像》专题 2014 年( )月( )日 班级 姓名 考试十分钟,平时十年功。 【...
2015-2016高考真题数列专题汇总
2015-2016高考真题数列专题汇总_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 年高考数学...《2015年高考真题分类汇... 25页 2下载券 数列专题2015高考真题及... 10页...
数列专题(裂项法)
数列专题(裂项法)_数学_高中教育_教育专区。【数列专题】第四课时 1. 等差数列...2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园教师资格考... 2014教师资格中学教育知...
高中数学数列专题
高中数学数列专题_数学_高中教育_教育专区。高中数学数列专题 1.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,...
更多相关标签:
分段数列    分段数列求和    分段数列问题    高中数学数列专题    高考数列专题    高中数列专题    高考数学数列专题    数列求和专题    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图