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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系



05 限时规范特训
A级 基础达标 1.[2014· 枣庄期末考试]直线 tx+y-t+1=0(t∈R)与圆 x2+y2- 2x+4y-4=0 的位置关系为( A.相交 C.相离 ) B.相切 D.以上都有可能

解析:∵圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9, |t-2-t+1| ∴圆心为(1, -2), 半径 r=3, 圆心到直线的距离 d

= t2+1 = 1 ≤1<r,即直线与圆相交. 1+t2 答案:A 2.若点 P(3,-1)为圆(x-2)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( ) B.2x-y-7=0 D.x-y-4=0

A.x+y-2=0 C.2x+y-5=0

0+1 解析: 由题意可知圆心 C(2,0), 则 kPC= =-1, 那么 kAB=1, 2-3 且直线过点 P(3,-1),则直线 AB 的方程为 y+1=1×(x-3),即 x -y-4=0. 答案:D 3.[2014· 哈师大附中月考]已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( A. (-2 2,2 2) B. (- 2, 2) )

2 2 C. (- 4 , 4 )

1 1 D. (-8,8)

解析:易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是 1,直线 l 的方程是 y =k(x+2),即 kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得 1 2 2 即 k2<8,解得- 4 <k< 4 . 答案:C 4. 若圆 C: x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称, 则由点 M(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( A.2 C.4 B.3 D.6 ) |k+2k| <1, k2+1

解析:由题意,圆 C 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,直线 2ax +by+6=0 过圆心 C(-1,2),故 a-b-3=0.当点 M(a,b)到圆心的 距 离 |MC| 最 小 时 , 切 线 长 最 短 , |MC| = ?a+1?2+?b-2?2 =

2a2-8a+26 ,当 a = 2 时, |MC| 最小,此时 b =- 1 ,切线长为 |MC|2-2=4. 答案:C 5. [2014· 微山一中月考]直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且仅有 一个公共点,则 b 的取值范围是( A.{b|b=± 2} B.{b|-1<b≤1 或 b=- 2} C.{b|-1≤b≤ 2} D.{b|- 2<b<1} )

解析:y=x+b 是斜率为 1 的直线,曲线 x= 1-y2是以原点为 圆心、1 为半径圆的右半圆,画出它们的图象如图所示,由图可以看 出,直线与曲线有且仅有一个公共点有两种情况:当 b=- 2时,直 线与曲线相切;当-1<b≤1 时,直线与曲线相交且有唯一公共点. 答案:B 6.已知圆 C:x2+(y-3)2=4,过 A(-1,0)的直线 l 与圆 C 相交 于 P,Q 两点,若|PQ|=2 3,则直线 l 的方程为( A.x=-1 或 4x+3y-4=0 B.x=-1 或 4x-3y+4=0 C.x=1 或 4x-3y+4=0 D.x=1 或 4x+3y-4=0 解析:当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意;当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 过圆 C 作 CM⊥PQ, 垂足为 M,由于|PQ|=2 3,可求得|CM|=1.由|CM|= |-k+3| =1,解 k2+1 )

4 4 得 k=3,此时直线 l 的方程为 y=3(x+1).故所求直线 l 的方程为 x =-1 或 4x-3y+4=0.故选 B. 答案:B 7.[2013· 南京二模]在平面直角坐标系 xOy 中,设过原点的直线 l 与圆 C:(x-3)2+(y-1)2=4 交于 M、N 两点,若|MN|≥2 3,则直

线 l 的斜率 k 的取值范围为________. 解析: 设圆心(3,1)到直线 y=kx 的距离是 d, 则 d= ≤1,所以 |3k-1| 3 ≤1,解得 0≤k≤4. 2 k +1 |MN| r2-? 2 ?2

3 答案:[0,4] 8.已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆 C 上各点到 l 距离的最小值为________,最大值为________. 解析:由圆的标准方程得圆的圆心 C(1,1),半径长 r= 2,则圆 心 C(1,1)到直线 l 的距离 d= C 相离, 则圆 C 上各点到 l 距离的最小值为 d-r=2 2- 2= 2,最大 值为 d+r=2 2+ 2=3 2. 答案: 2 3 2 |1-1+4| =2 2> 2=r, 所以直线 l 与圆 2

9.[2014· 金华模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取 值范围是________. 解析:圆上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 该圆半径为 2,即圆心 O(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离 d<1,即 |c| 0<13<1,∴-13<c<13. 答案:(-13,13) 10.[2014· 江门调研]已知圆 C:x2+(y-2)2=5,直线 l:mx-y +1=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点;

(2)若圆 C 与直线 l 相交于 A,B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹 方程. 解:(1)解法一:直线 mx-y+1=0 恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆 C:x2+(y-2)2=5 的内部, 所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点.
2 2 ? ?x +?y-2? =5 解法二:联立方程? ,消去 y 并整理,得 ? ?mx-y+1=0

(m2+1)x2-2mx-4=0. 因为 Δ=4m2+16(m2+1)>0,所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交 点. |0-2+1| 解法三:圆心 C(0,2)到直线 mx-y+1=0 的距离 d= = m2+1 1 ≤1< 5, m2+1 所以直线 l 与圆 C 总有两个不同交点. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),联立直线与圆的方程得(m2 +1)x2-2mx-4=0, 由根与系数的关系,得 x= x1+x2 m = , 2 2 m +1

y-1 由点 M(x,y)在直线 mx-y+1=0 上,当 x≠0 时,得 m= x , y-1 y-1 m 代入 x= 2 ,得 x[( x )2+1]= x , m +1 3 1 化简得(y-1)2+x2=y-1,即 x2+(y-2)2=4. 3 当 x=0,y=1 时,满足上式,故 M 的轨迹方程为 x2+(y-2)2=

1 4. 11.已知圆 A:x2+y2-2x-2y-2=0. (1)若直线 l:ax+by-4=0 平分圆 A 的周长,求原点 O 到直线 l 的距离的最大值; (2)若圆 B 平分圆 A 的周长,圆心 B 在直线 y=2x 上,求符合条 件且半径最小的圆 B 的方程. 解:(1)圆 A 的方程即(x-1)2+(y-1)2=4,其圆心为 A(1,1),半 径为 r=2. 由题意知直线 l 经过圆心 A(1,1),所以 a+b-4=0,得 b=4-a. 原点 O 到直线 l 的距离 d= 4 . a2+b2

因为 a2+b2=a2+(4-a)2=2(a-2)2+8,所以当 a=2 时,a2+b2 取得最小值 8. 故 d 的最大值为 4 = 2. 8

(2)由题意知圆 B 与圆 A 的相交弦为圆 A 的一条直径,它经过圆 心 A. 设圆 B 的圆心为 B(a,2a),半径为 R.如图所示,在圆 B 中, 由垂径定理并结合图形可得:R2=22+|AB|2=4+(a-1)2+(2a- 3 21 1)2=5(a-5)2+ 5 .

3 21 所以当 a=5时,R2 取得最小值 5 . 3 6 21 故符合条件且半径最小的圆 B 的方程为(x-5)2+(y-5)2= 5 . 12.[2014· 金华十校联考]已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx -y+1-m=0,且直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点. (1)若|AB|= 17,求直线 l 的倾斜角; → =PB → ,求此时直线 l 的方程. (2)若点 P(1,1)满足 2AP 解:(1)由圆 C:x2+(y-1)2=5,得圆的半径 r= 5, 又|AB|= 17,故弦心距 d= |AB| 3 r2-? 2 ?2= 2 .

|0-1+1-m| 再由点到直线的距离公式可得 d= , m2+1 3 |0-1+1-m| ∴2= ,解得 m=± 3. m2+1 π 2π 即直线 l 的斜率等于± 3,故直线 l 的倾斜角等于3或 3 . → =PB →可 (2)设 A(x1,mx1-m+1),B(x2,mx2-m+1),由题意 2AP 得 2(1-x1,-mx1+m)=(x2-1,mx2-m), ∴2-2x1=x2-1,即 2x1+x2=3.① 再把直线方程 y-1=m(x-1)代入圆 C:x2+(y-1)2=5,化简可 得 (1 + m2)x2 - 2m2x + m2 - 5 = 0 ,由根与系数的关系可得 x1 + x2 = 2m2 .② 1+m2 3+m2 3+m2 1+2m+m2 由①②解得 x1= ,故点 A 的坐标为( , ). 1+m2 1+m2 1+m2 把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m2=1,即 m=± 1,故直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0.

B级

知能提升 1.[2014· 河南质检]直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=9 相交于两

→· → (O 为坐标原点)等于( 点 M、N,若 c2=a2+b2,则OM ON A.-7 C.7 B.-14 D.14

)

→ 、ON → 的夹角为 2θ.依题意得,圆心 O(0,0)到直线 ax 解析:记OM +by+c=0 的距离等于 |c| 1 2 2 2= 1 , cosθ= 3 ,cos2θ= 2cos θ- 1 = a +b

1 7 → → 2×(3)2-1=-9,OM · ON=3×3cos2θ=-7,选 A. 答案:A 2.已知两点 A(0,-3),B(4,0),若点 P 是圆 x2+y2-2y=0 上的 动点,则△ABP 面积的最小值为( A.6 C.8 ) 11 B. 2 21 D. 2

解析:如图,过圆心 C 向直线 AB 做垂线交圆于点 P,

这时△ABP 的面积最小.

x y 直线 AB 的方程为4+ =1,即 3x-4y-12=0, -3 圆心 C 到直线 AB 的距离为 d= |3×0-4×1-12| 16 =5, 32+?-4?2

1 16 11 ∴△ABP 的面积的最小值为2×5×( 5 -1)= 2 . 答案:B 3.设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A, 与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐 标原点,则△AOB 面积的最小值为________. 解析:∵l 与圆相交所得弦的长为 2, 1 = 4-1, m2+n2

1 1 1 ∴m2+n2=3≥2|mn|,∴|mn|≤6.l 与 x 轴交点 A(m,0),与 y 轴交 1 1 1 1 1 1 1 点 B(0,n),∴S△AOB=2· |m||n|=2· ≥ |mn| 2×6=3. 答案:3 4.[2014· 新乡市一中练习]已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x +2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; →· → 的最小值; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ MQ (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是 否平行?请说明理由.

2 b-2 ?a- 2 + 2 +2=0 解:(1)设圆心 C(a,b),则? b+2 ?a+2=1
?a=0 ? 解得? . ?b=0 ?



则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2, 故圆 C 的方程为 x2+y2=2. →· → =(x-1,y-1)· (2)设 Q(x,y),则 x2+y2=2,且PQ MQ (x+2,y +2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2, ∵(x+y)min=-2, →· → 的最小值为-4. 所以PQ MQ (3)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设 PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),
?y-1=k?x-1? ? 由? 2 2 , ? ?x +y =2

得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0. 因为点 P 的横坐标 x= 1 一定是该方程的解,所以可得 xA= k2-2k-1 . 1+k2 k2+2k-1 同理,xB= . 1+k2 则 kAB= = yB-yA xB-xA

-k?xB-1?-k?xA-1? xB-xA



2k-k?xB+xA? =1=kOP. xB-xA

所以,直线 AB 和 OP 一定平行.



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