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第42课时 平面向量的数量积



江苏省宿迁中学 2016 届高三数学第一轮复习导学案

编写:王贵杰

审校:王海平

时间:2015. 11.26

第 42 课时
一、考纲要求

平面向量的数量积
要求
A
B

内容 平面向量的数量积

、知识梳理 1.向量的数量积

C



⑴ 向量 a 与 b 的夹角:_________________________________________________________________. ⑵ 向量 a 与 b 的数量积: 2.向量的数量积的性质 设 a, b 都为非零向量,它们的夹角为 ? .

? ?

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? ?

⑴ 当 a 与 b 同向时 a ? b =___________;当 a 与 b 反向时 a ? b =___________.

?

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?

? ?

? ? ? ? ⑶ a ? a ? _______=

⑵ a ? b ? _______________.

或 | a | =________= . .

?



⑷ cos ? = ? ? ⑸ | a ? b |? 3.向量数量积的运算律

⑴ a ? b =________;⑵ (? a) ? b =________=________=________;⑶ (a ? b) ? c =_____________. 思考:向量的数量积满足结合律吗? 三、自主研习 ??? ? ??? ? 1.在正 ?ABC 中,AB=1,则 AB ? BC ? ______. (必修 4 P84 第 2 题改编) ? ? ? ? ? ? 2.已知 a ? 5 , b ? 2 , a ? b ? 5 ,则 a 与 b 的夹角 ? =_______. (必修 4 P84 第 3 题) ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 a ? 1 , b ? 2 ,若 a 与 b 的夹角 ? ? 600 ,则 ( a ? b)2 ? ______; a ? b ? _____. ? ? ? ? ? ? 4.已知 a ? b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? _______. (必修 4 P89 第 3 题) 5.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2, 则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是_
AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是_ 四、合作探究

? ?

?

?

? ?

?

. . (2014 江苏高考第 12 题)

D

P

C

6.在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8 , AD ? 5 , CP ? 3PD , A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 例 1.在 ?ABC 中,若 AB ? AC ? BA ? BC ? 1. ⑴求证: A ? B ; ⑵求边长 AB 的值; ??? ? ???? ⑶若 AB ? AC ? 6 ,求 ?ABC 的面积.

(第 6 题)

B

江苏省宿迁中学 2016 届高三数学第一轮复习导学案

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 例 2.已知向量 m, n 的夹角为 45 ? ,则 | m |? 1,| n |? 2 ,又 a ? 2m ? n, b ? ?3m ? n . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? (1)求 a 与 b 的夹角; (2) 求 a 在 b 方向上的投影; ⑶设 c ? ta ? b, d ? 2m ? n ,若 c / / d ,求实数 t 的值.

编写:王贵杰

审校:王海平

时间:2015. 11.26

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3.⑴向量 a, b 都是非零向量,且 a ? 3b ? 7a ? 5b , a ? 4b ? 7a ? 2b ,求 a 与 b 的夹角.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵设两个向量 a, b 满足 | a |? 2, | b |? 1, a, b 的夹角为 60 ,若向量 2ta ? 7b 与向量 a ? tb 的
夹角为钝角 ,求实数 t 的取值范围.(第⑴题来源于必修 4 P89 第 16 题) ..

?

? ?

? ?

? ?

?

例 4.已知⊙O: x2 ? y 2 ? 4 ,⊙M: ? x ? 5cos? ? ? ? y ? 5sin? ? ? 1?? ? R? ,过圆 M 上任一点 P 作圆 O 的 ??? ? ??? ? 两条切线 PE,PF,切点分别为 E,F,求 PE ? PF 的最小值.
2 2

五、成功体验

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1.若 ?ABC 为直角三角形,且 AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值为

.

? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知向量 a 与 b 的夹角为 60 , b ? 4, a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 , ? 则a ? .

?

? ?

?

3.如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1 , ???? ??? ? D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD ,则 AD ? BC ? . 4.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD, AD=DC=1,AB=3,动点 P 在△BCD 内运动(含边界) , 设 AP ? ? AB ? ? AD(? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的取值范围是 ▲ .

江苏省宿迁中学 2016 届高三数学第一轮复习导学案

编写:王贵杰

审校:王海平

时间:2015. 11.26

第 42 课时
一、填空题

平面向量的数量积
? ?

同步训练题
1.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? 3b |?
0

? ?



? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知| a |=4,| b |=5,| a ? b |= 21 ,则 2a ? b ? a ? 3b =_______.

?

? ?

?

3.若 | a |? 1, | b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为________.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 4.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b, d ? 3b ? a ,则 c 与 d 夹角余弦值为

?

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?

? ?

?

?

?

?



5.在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,有下列结论: ???? 2 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ⑴ AC ? AC ? AB ; ⑵ BC ? BA ? BC ; ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ( AC ? AB ) ? ( BA ? BC ) ??? ? 2 ???? ??? ? ⑶ AB ? AC ? CD ; ⑷ CD ? ,则其中不成立的是 ??? ?2 AB 6.在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC = 1,则 BC ?



??? ? ??? ?

? ? ? ? ? ? 7.若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ,则 a ? b 的最小值是 _____ .(2012 年高考(安徽理) )
??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.设 ?ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b ,且 a ? b ? b ? c ? c ? a ,则 ?ABC 的形状为





二、解答题 ? ? ? ? 9.已知 a ? 1, b ? 3 , a ? b ? (1, 1) . ? ? ? ? ? ? 求:(1) a ? b ;(2) a ? b 与 a ? b 的夹角的余弦值.

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? 10.已知向量 OA , OB , OC 满足条件 OA ? OB ? OC ? 0 ,且 OA ? OB ? OC ? 1 ,

求证: ?ABC 是正三角形. (必修 4 P93 习题 7)

江苏省宿迁中学 2016 届高三数学第一轮复习导学案

??? ? ??? ? 变式:给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120o .点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB ??? ? ??? ? ??? ? 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是 . (2009 安徽卷)

编写:王贵杰

审校:王海平

时间:2015. 11.26

11.已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB , AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R , 若 BQ ? CP = ?

??? ?

??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ?

3 ,求 ? 的值. (2012 年高考(天津理) ) 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12.若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , a ? c ? b ? c ? 0 ,求 a ? b ? c 的最大值.

?

? ?

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