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2.3.1双曲线及其标准方程 教学设计


高二数学 选修 2-1 第二章 2.3 双曲线 《2.3.1 双曲线及其标准方程》教学设计 ——zxf 一、教学目标 1.知识与技能 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题;了解 双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法. 2.过程与方法 通过定义及标准方程的挖掘与探究,使学生进一步体验类比、数形结合等思 想方法的运用,提高学生的观察与探究能力. 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生用联 系的观点认识问题.

二、重点难点 重点:理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 难点:双曲线标准方程的推导.

三、教学方法 探究法,自主练习

四、教学过程 (一)探究双曲线的轨迹形成 1.我们知道,与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点 的轨迹是椭圆, (利用几何画板,演示椭圆的形成)那么与两定点距离的差(小 于两定点的距离之差)为非零常数的点的轨迹是什么? 如图,固定的两个点 F1,F2,动点 M 到点 F1,F2 的距离 MF1 与 MF2 之差为非零 常数,动点 M 形成的轨迹是什么?(几何画板演示,这样的动点 M 形成的轨迹, 是双曲线。 )

1

2.若定义中的常数大于或等于|F1F2|时,轨迹是什么? 【提示】 当常数等于|F1F2|时,轨迹为以 F1,F2 为端点,在直线 F1F2 上反

向的两条射线 F1A,F2B(包括端点),如图所示.

当常数大于|F1F2|时,轨迹不存在.

双曲线的定义: 把平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距 离叫做双曲线的焦距. 这里主要是和椭圆进行类比教学,通过椭圆向双曲线过度,也就是类比椭圆 的形成,学生自由探究双曲线的形成。

(二)探究双曲线的标准方程(推导) 类比椭圆标准方程的建立过程,你能说说怎样选择坐标系,建立双曲线的 标准方程吗? 【提示】 轴建坐标系. 焦点在 x 轴上 标准 方程 焦点 焦距 焦点在 y 轴上 以经过两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(-c,0),F2(c,0)

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c,c2=a2+b2

这里主要也是和椭圆进行类比教学,回忆椭圆的标准方程是怎样推导的,自 己尝试推导出双曲线的标准方程。这里也涉及了很重要的数学方法,通过繁琐的 计算过程,最后推导公式,培养学生的严谨思维和分类讨论的思想。

(三)双曲线的标准方程应用 例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程.

2

(1)a=4,且经过点 A(1,

4 10 ); 3

(2)经过点 P1(-2,

3 4 5)和 P2( 7,4)两点. 2 3

【思路探究】 (1)所求曲线的焦点位置确定吗?(2)如何求出 a2、b2 的值?

x2 y2 【解答】 (1)①若所求双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b y2 4 10 则将 a=4 代入,得 - 2=1. 又∵点 A(1, )在双曲线上, 16 b 3
∴ 1 160 - =1.由此得 b2<0, 16 9b2 ∴不合题意,舍去.

x2

y2 x2 y2 x2 ②若所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0, b>0), 则将 a=4 代入得 - 2=1, a b 16 b
4 10 代入点 A(1, ),得 b2=9, 3 (2)法一 >0). ∵P1、P2 在双曲线上, ∴双曲线的标准方程为

y2
16

- =1. 9

x2

当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b

x2 y2 a b

?? ? ∴? ?? ?

-2?

2

? -
2

3 5? 2

2

a

2

b
42

2

=1

4 7? 3

a2

- 2=1

1 1 ? ?a =-16 , 解得? 1 1 =- ? 9 ?b
2 2

(不合, 舍去).

b

当双曲线的焦点在 y 轴上时,

y2 x2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0).又∵P1、P2 在双曲线上, a b

3

? ? a ∴? ?4 -? ?a
?
2 2

3 5? 2
2

2

4 - 2=1

b

4 7? 3

2

b2

=1

1 1 ? ?a =9 ,解得? 1 1 ? ?b =16
2 2

,即 a2=9,b2=16.

故所求双曲线方程为 - =1. 9 16 法二 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<

y2

x2

0),因为 P1、P2 在双曲线上, 45 ? 4m+ n=1 ? 4 所以有? 16 ? ? 9 ×7m+16n=1 1 ? m =- ? 16 解得? 1 n= ? ? 9



.

所求双曲线方程为- 【总结】

x2
16

+ =1,即 - =1. 9 9 16

y2

y2

x2

1.求双曲线标准方程的两个关注点: (1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点 位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式. (2)定量:是指确定 a2、b2 的数值,常由条件列方程求解. 2. 若焦点的位置不明确, 应注意分类讨论, 也可以设双曲线方程为 mx2+ny2 =1 的形式,为简单起见,常标明条件 mn<0.

【练习】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点是(0,-6),经过点 A(-5,6); (2)a=5,c=7. 【解】 (1)由已知 c=6,且焦点在 y 轴上,另一焦点为(0,6).

由双曲线定义 2a=| ? -5-0?
2

+?

6+6?

2

- ?
4

-5-0?

2

+?

6-6?

2

|=8.

∴a=4,∴b2=c2-a2=20. ∴所求双曲线的标准方程为

y2
16



x2
20

=1.

(2)由已知 a=5,c=7,∴b2=c2-a2=24,焦点不确定 ∴所求双曲线的标准方程为

x2
25



y2
24

=1 或

y2
25



x2
24

=1.

(四)课堂小结: 1. 理解双曲线定义应注意以下三点:①定义中的动点与定点在同一平面内; ②距离的差要加绝对值, 否则只表示双曲线的一支;③距离差的绝对值必须小于 焦距,否则不是双曲线,而是两条射线或无轨迹. 2.利用待定系数法可以求双曲线的标准方程,求解步骤包括“定位”与“定 量 ”两步.

(五)课堂练习 1.动点 P 到点 M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为 2,则点 P 的轨迹 是( ) A.双曲线 C.两条射线 【解析】 【答案】 B.双曲线的一支 D.一条射线

∵||PM|-|PN||=2=|MN|,∴点 P 的轨迹是两条射线. C

2.(2013·徐州高二检测)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( ) A.( 2 ,0) 2 6 ,0) 2 B.( 5 ,0) 2

C.(

D.( 3,0)

5

【解析】

将双曲线方程化为标准形式 x2- =1, 1 2

y2

1 6 所以 a2=1,b2= ,∴c= a2+b2= , 2 2 ∴右焦点坐标为( 【答案】 C ) 6 ,0). 2

3.满足条件 a=2,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( A. - =1 4 12 C. - =1 4 16 【解析】

x2

y2

B.

- =1 12 4

x2

y2

x2

y2

D.

x2
16

- =1 4

y2

由 a=2,c=4,得 b2=c2-a2=12,又一焦点(4,0)在 x 轴上,

∴双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 【答案】 A

x2

y2

4.已知双曲线

x2
16

- =1 的左支上一点 M 到其左焦点 F1 的距离为 10,求点 9

y2

M 到该曲线左焦点 F2 的距离.
【解】 由

x2
16

- =1 得 a=4,∵点 M 在双曲线的左支上 9

y2

∴|MF2|>|MF1|,∴|MF2|-|MF1|=2a=8, 又∵|MF1|=10,∴|MF2|=18.

(六)教学反思 这节课的主要目的是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程,难点是完成 双曲线标准方程的推导。整个流程是,先类比椭圆的形成,探究出双曲线的形成 轨迹以及标准方程,这是重点。其次,是对双曲线的标准方程进行简单应用。 本节课较好的地方体现在:1、恰当的教学方法,突出教学内容中主要的、
6

本质的东西; 将课堂的具体任务与整个教学任务合理地结合起来;选择最合理的 教学方法和手段。结合本节课的具体内容,确立启发探究式教学、互动式教学法 进行教学这两种教学方法,体现了认知心理学的基本理论。2. 课堂上以学生为 学习的主体, 课堂以学生的自主探究为主,课堂上为学生的主动参与提供充分的 时间和空间,让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点(无论对错) ,凡是学 生能够自己学习的、观察的、讲的(口头表达) 、思考探究的、合作交流的、动 手操作的,尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成。3、鼓励性评价,对学 生每个过程中的表现给予几时的、鼓励性的评价。对出现问题的学生,教师指出 其可取之处并耐心引导, 这样有助于培养他们勇于面对挫折,持之以恒地科学探 索精神;当学生做得精彩有创新,教师给予学生充分的鼓励,使得本节课学生在 学习过程中兴趣浓厚,学得积极主动,课堂气氛比较活跃。 本次课的不足之处: 1.本节课的知识量比较大,而且大部分是对双曲线的轨迹形成和标准方程 的建立,这内容除了培养学生的推导和计算能力外,实际应用并不大。而且在接 下来的课堂上发现一部分学生由于课前预习的工作不够落实, 导致课堂上简单的 复习效果不好, 从而影响到学生在第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的 缓慢及无法进行有效的思考的问题。 2.从课堂的效果来看,这节课,前面的大部分时间,学生都用于熟悉双曲 线的由来,对双曲线的实际应用偏少。练习过程中,发现学生对运算的熟练还不 够,他们总是担心会出问题,特别是解方程题缺乏化简的能力。 3. 教学方法上还可以改进,本节课的一个重要数学思想方法是类比,虽然 有提到, 但仍应强调并提出更多问题让学生思考,或者让学生自主提出问题并解 决问题。

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