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佛山市2014年高三教学质量检测(一)文科数学试题



2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内; 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式:① 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ② 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知函数 y ? ln x 的定义域 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B ? A. ? 0, ?? ? B. ? 0,1? C. ? 0,1? D. ? 0,1?

?

?

2i ,则实数 a ? b ? 1? i A. 2 B. 3 C. 4 3.设函数 y ? 2sin 2 x ? 1 的最小正周期为 T ,最大值为 A ,则 A. T ? ? , A ? 1 B. T ? 2? , A ? 1 C. T ? ? , A ? 2 4.已知 a ? 1 , b ? (0, 2) ,且 a? b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的大小为
2.已知 a, b ? R , i 为虚数单位,若 a ? 1 ? bi ? A.

D. 5 D. T ? 2? , A ? 2

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

5.给定命题 p :若 x ? R ,则 x ?

1 ? 2 ; 命题 q :若 x ? 0 ,则 x2 ? 0 . x

则下列各命题中,假命题的是 A. p ? q B. C. ? ?p ? ? q

? ?p ? ? q D. ? ?p ? ? ? ?q ?
C. ? D. 2?
图1

6.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1 所示,其中俯视图是中心角为 60? 的扇形,则该几何体的体积为 A.

? 3

B.

2? 3

7. 若函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 其 参考数据如下: f (1) = -2 f (1.375) = -0.260 f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162 f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054 D. 1.5

那么方程 x3 ? x2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个最接近的近似根为 A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4

第 1 页 共 9 页

8.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值为 A. 22 B. 16 C. 15 D. 11 9.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的 四个顶点,则该椭圆的离心率为

2 2 2 2 10.将 n 个正整数 1 、 2 、 3 、…、 n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表. 对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的比
A. B. C.

1 3

1 2

3 3

D.

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的 b 所有可能的“特征值”最大值为
值 A.

3 2

B.

4 3

C. 2

D. 3

图2

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(9~13 题) 11.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知乙层中每个个体

1 ,则总体中的个体数为 . 9 ? x 2 ? 2 x, x ? 0 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 .若 f ? a ? ? 3 ,则 a 的取值范围是 ? ? x ? 2 x, x ? 0
被抽到的概率都为

.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.如果实数 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若直线 y ? k ( x ? 1) 将可行域分成面积相等的两部分,则实数 k 的 ?x ? 1 ?
值为______. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? cos ? ? 1与 C2 : ? ? 4cos ? 的 交点分别为 A 、 B ,则 AB ? .
B A C

15.(几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC , 已知 AD ? 3 , AC ? 3 3 ,圆 O 的半径为 5 ,则圆心 O 到 AC 的距离 为 .

O

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (Ⅰ) 求 cos B 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? B ? ,求 f ?

3 b,B?C. 2

?? ? ? 的值. ?6?

第 2 页 共 9 页

17.(本题满分 12 分) 佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有 10 名同学,现测得排球队 10 人的身高(单位: cm )分别 是: 162 、 170 、 171 、 182 、 163 、 158 、 179 、 168 、 183 、 168 ,篮球队 10 人的身高(单位: cm )分别 是: 170 、 159 、 162 、 173 、 181 、 165 、 176 、 168 、 178 、 179 . (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图 4 所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计 算); (Ⅱ) 现从两队所有身高超过 178 cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮 球队的概率是多少? 排球队 篮球队

图4

18.(本题满分 14 分) 如图 5 ,矩形 ABCD 中, AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F 分别为 CD 、 AB 边上的点,且 DE ? 3 , BF ? 4 , 将 ?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、 PF ,其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ) 求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ) 在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ // 平面 PBE ?若存在,求出点 Q 的位置;若不存在,请说明理 由. (Ⅲ) 求点 A 到平面 PBE 的距离. D E

. .F

C D A
图6

P C F B

E

A
图5

B

第 3 页 共 9 页

19.(本题满分 14 分) 如图 7 ,椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ? 、 F2 ?1, 0 ? ,且 F2 到直线 x ? 3 y ? 9 ? 0 的距离等于椭圆 的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 若圆 P 的圆心为 P ? 0, t ? ( t ? 0 ),且经过 F1 、 F2 , Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外,过 Q 作圆 P

的切线,切点为 M ,当 QM 的最大值为

3 2 时,求 t 的值. 2

y

F1 O

.

F2

.

x

图7

20.(本题满分 14 分) 数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等 比数列, n ? 1,2,3,... . (Ⅰ)求 a2 、 b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)记

1 1 1 1 3 1 1 1 ? . ,证明:对一切正整数 n ,有 ? ? ? ? ? ? ? cn an an ?1 c1 c2 c3 cn 8

第 4 页 共 9 页

21.(本题满分 14 分)

1 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x . 2 (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程;
(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的极值点.

第 5 页 共 9 页

2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案

1
C

2
B

3
A

4
C

5
D

6
D

7
C

8
B

9
D

10
A

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 180 12. (??,1] 13. ? 3 14. 2 3 15. 2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 【解析】解法 1:(Ⅰ) 因为 B ? C ,所以 c ? b ,……………………………………………………………2 分 又a ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 , ………………………3 分 b ,所以 cos B ? 2 2ac
……………………………………………………………………4 分 ……………………………………………………………5 分

3 2 b ? 4 2 3b
? 3 4

3 3 b ,∴ sin A ? sin B ……………………………………………………2 分 2 2 3 sin B ………………………………………3 分 ∵ B ? C ,且 A ? B ? C ? ? ,所以 sin 2 B ? 2 3 sin B 又 2sin B cos B ? ……………………………………4 分 2 3 ∵ sin B ? 0 , ∴ cos B ? .…………………………………………………5 分 4 13 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin B ? 1 ? cos B ? ,…………………………………………………7 分 4 13 (注:直接得到 sin B ? 不扣分) 4 ?? ? ?? ? 所以 f ? ? ? sin ? ? B ? ……………………………………………………8 分 ?6? ?3 ?
解法 2:∵ a ?

? sin

sin B 3 3 3 3 1 13 ? ? ? ? 2 4 2 4 3 ? 13 ? . 8

?

cos B ? cos

?

………………………………………………10 分 ……………………………………………………11 分 ………………………………………………………12 分

17.(本题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ………………………………………………5 分 (注:写对茎叶图 3 分,方差结论正确 2 分) (Ⅱ) 两队所有身高超过 178 cm 的同学恰有 5 人,其中 3 人来自 排球队,记为 a, b, c , ……………………………6 分

第 6 页 共 9 页

2 人来自篮球队,记为 A, B ,……………………………7 分 则从 5 人中抽取 3 名同学的基本事件为: abc , abA , abB , acA , acB , aAB , bcA , bcB , bAB , cAB 共 10 个;……………………………9 分
其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA , abB , acA , acB , bcA , bcB 共 6 个, ………………11 分 所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是 P ?

排球队

篮球队

3 2 18 8 8 3 2 16 8 15

1
2 5 8 9

9 1 0 17 0 3 6 8 9

6 3 ? .…………………………………12 分 10 5
P Q D E C

18.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)连结 EF ,由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 , 在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB , 所以 PF ? BF ………………………………2 分
2 2 2

在图 1 中,易得 EF ? 62 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,……3 分
2

A 2 2 2 B 4 在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE ,所以 PF ? EF ……………………………………… F 分 又 BF ? EF ? F , BF ? 平面 ABED , EF ? 平面 ABED ,所以 PF ? 平面 ABED .……………6 分 (注:学生不写 BF ? EF ? F 扣 1 分) (Ⅱ) 当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P )时, FQ // 平面 PBE . ……………………………………7 分 (注:只讲存在 Q 满足条件 1 分) 证明如下:

2 2 AP , AF ? AB ,所以 FQ // BP ………………………………………………………8 分 3 3 又 FQ ? 平面 PBE , PB ? 平面 PBE ,所以 FQ // 平面 PBE .………………………………………10 分 (注:学生不写 FQ ? 平面 PBE ,扣 1 分) (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,所以 PF 为三棱锥 P ? ABE 的高. ……………………………11 分 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 VA? PBE ? VP ? ABE , …………………………………12 分 1 1 1 1 即 ? S?PBE h ? ? S?ABE ? PF ,又 S?PBE ? ? 6 ? 9 ? 27 , S?ABE ? ?12 ? 6 ? 36 , 3 3 2 2 S ? PF 36 ? 2 5 8 5 8 5 ? ? 所以 h ? ?ABE ,即点 A 到平面 PBE 的距离为 .……………………14 分 S ?PBE 27 3 3
因为 AQ ? (注:指出 VA? PBE ? VP ? ABE 给 1 分,若能最终得到结果 19.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 依题意, 2b ? 所以 b ? 2 又 c ? 1,
2 2

8 5 给 4 分) 3

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ), a 2 b2
…………………………………………………………………1 分 ………………………………………………………2 分 …………………………………………………………3

1? 9 2

? 4,

分所以 a ? b ? c ? 5 ,
2
2 2

…………………………………………………………4

分所以椭圆 C 的方程为

x y ? ? 1. ……………………………………………………………………5 分 5 4 x2 y 2 ? ? 1 ), …………………………………………………………………6 分 (Ⅱ) 设 Q ? x, y ? (其中 5 4 2 2 2 圆 P 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 , ………………………………………………………………7 分

第 7 页 共 9 页

因为 PM ? QM , 所以 QM ?

PQ ? t 2 ? 1 ? x2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 ………………………………………………8 分
2 2

1 2 ………………………………………………9 分 ? y ? 4t ? ? 4 ? 4t 2 4 1 当 ?4t ? ?2 即 t ? 时,当 y ? ?2 时, QM 取得最大值, …………………………………………10 分 2 3 2 3 1 且 QM max ? 4t ? 3 ? ,解得 t ? ? (舍去). ……………………………………………11 分 2 8 2 1 当 ?4t ? ?2 即 0 ? t ? 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, ………………………………………12 分 2 3 2 2 1 1 2 且 QM max ? 4 ? 4t ? ,解得 t 2 ? ,又 0 ? t ? ,所以 t ? .……………………………13 分 2 4 2 8 2 3 2 综上,当 t ? 时, QM 的最大值为 . …………………………………………………………14 分 4 2 ? ?
20.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ)由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 . ……………………………………………………1 分
2 a2 ……………………………………………………………………2 分 ? 36 . b1 (Ⅱ)因为 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …①. ……………………………………3 分

2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bnbn ?1 …②. 于是当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn …③. 因此数列

………………………………4 分

………………………………………………………5 分

将②、③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,………………………………………………………6 分

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,
n 2

………………………………………………7 分
2

所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . ………………………………………………8 分 则 an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? . …………………………………………………………9 分 当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .………………………10 分 (Ⅲ)方法一: 于是

1 1 1?1 1 ? 1 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? .…………………12 分 an 4n ? 4n 4 ? n n ? 1 ? cn an an ?1 4 ? n n ? 2 ?

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? L ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ? c1 c2 c3 cn 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? n ? 1 n ? 1 n n ? 2 ?? ? ? ? ? 1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? . ………………………………………………………………14 分 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8 1 1 1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二: ? ? .…………………12 分 cn an an ?1 4n ? n ? 1? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ?

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? L ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ? c1 c2 c3 cn 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? n ? 1 n ? 1 n n ? 2 ?? ? ? ? ? 1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ……………………………………………………………14 分 ?? . 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8 21.(本题满分 14 分) 【解析】 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .……………………………………………………………………………1 分
于是

第 8 页 共 9 页

1 (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? ln x ,此时 f ?1? ? 2 . 2 1 5 因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ? ,所以 f ? ?1? ? , ………………………………………………………………2 分 2x 2 5 所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 5x ? 2 y ?1 ?0 .……………………………………………………3 分 2 (注:有求导思想,虽然运算不对,给 1 分) 1 (Ⅱ)由于 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , x ? ? 0, ?? ? . 2 1 1 4 x 2 ? 2ax ? 1 ⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ? , ? 2x 2x 2
?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ,……………………………5 分 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) 4 4 且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为 x ?

?a ? a 2 ? 4 .…6 分 4

1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ?a ? ? 2 ⑵ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? . ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ?a ? 2 ? 2 4 x ? 2ax ? 1 ① 当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ? ,令 f ? ? x ? ? 0 , 2x
得 x1 ? 若 若

………………………………7 分

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? ? ?a (舍去). 4 4

…………………………8 分

?a ? a 2 ? 4 2 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ? a, ?? ? 上单调递增; ? ?a ,即 a ? ? 4 2

?a ? a 2 ? 4 2 即? 当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , ? ?a , ? a ? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 4 2 所以 f ? x ? 在区间 ? ? a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增. ……………………………………9 分

1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 . ? 2x 2x 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a2 ? 16 ,
② 当 0 ? x ? ?a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ?

…………………………………10 分

若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减;

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x4 ? 且 0 ? x3 ? x4 ? ?a , 4 4 当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x4 , ?a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
若 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ? 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ? a ? 上单调递减. ……………12 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? 当 ?2 ? a ? ? 当a ? ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 x ? ; 4 4
…………………………………………………13 分

2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 2

?a ? a 2 ? 4 2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? .…………………………………………………14 分 4 2 注:第二问:3 大类,每类全正确给 3 分; (1)若步骤清晰(即求导,解方程,比较两根大小,明确 单调区间,得到极值) ,但计算不全对,给 2 分; (2)有这个思路,但步骤不清晰,给 1 分;
第 9 页 共 9 页



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