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3[1].1.1《变化率问题》3.1.2《导数的概念》



3.1.1 变化率问题

微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函 数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大(小)值等 问题最一般、最有效的工具。
?<

br />
问题1 气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
V(r ) ? 4 3

这句话涉及几个变量?变 量间的关系是?

? r .
3
3

若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) ?
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了

3V 4?

.

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm), 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm/L ), 1? 0

当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm), 气球的平均膨胀率为
r ( 2) ? r (1) 2 ?1 ? 0.16(dm/L ),

随着 气球体积 逐渐变大, 它的平均 膨胀率逐 渐变小

思考?
?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?

r (V 2 ) ? r (V 1 ) V 2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) ? h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v ? ? 4.05(m/s ); 在1≤ t ≤2这段时间里,
0.5 ? 0 h(2) ? h(1) v ? ? ?8.2(m/s ); 2 ?1

探 65 究: 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题:
49

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

平均速度不能反映他在这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述运动状态。

探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况, 我们把这一思路延伸到函数上,归纳一下得 出函数的平均变化率
r (V 2 ) ? r (V 1 ) V 2 ? V1 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

定义:
平均变化率:式子
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

称为函数 y=f (x)从x1到

x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δy==f(x2)-f(x1)

?

? y ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

?

? y ?x

理解: 1,式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但的 △x值不能为0, △ y 的值可以为0 2,若函数y=f (x)为常函数时, △ y =0 3,平均变化率可能与△x 有关 4, 变式
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 ? f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ?x

精讲点拨

例 1 已知函数 f(x)=2x2+3x-5. Δy (1)求当 x1=4,且Δx=1 时,函数增量Δy 和平均变化率 ; Δx Δy (2)求当 x1=4, 且Δx=0.1 时, 函数增量Δy 和平均变化率 ; Δx (3)若设 x2=x1+Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意 义.

精讲点拨
Δy f?x2?-f?x1? f?5?-f?4? (3)在(1)题中 = = , Δx x2-x1 5-4 它表示抛物线上 P0(4,39)与点 P1(5,60)连线的斜率. Δy f?x2?-f?x1? f?4.1?-f?4? 在(2)题中, = = , Δx x2-x1 4.1-4

它表示抛物线上点 P0(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率.

思考?
?

观察函数f(x)的图象
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1
y f(x2) f(x2)-f(x1) f(x1) O x1 A x x2 x2-x1 Y=f(x)

平均变化率

B

表示什么?请在函数 图像中画出来?
直线AB的斜 率

做两个题吧!
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( D) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx
2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率。 2x0+Δx

1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万 元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率. (1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .

练习:
?

过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时 割线的斜率.

K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31

小结:
?

1.函数的平均变化率 及几何意义;

?y ?x

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

?

2.求函数的平均变化率的步骤:
?y ?x f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?

回顾
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为: ?y f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? Y=f(x) x 2 ? x1 ?x ②割线的斜率
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y B

k ?

?y ?x

?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

3.1.2 导数的概念
?

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他 在这段时间里运动状态,需要用瞬时速度 描述运动状态。我们把物体在某一时刻的 速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?

如何求(比如, t=2时的)瞬时速度?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势. ?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v ? ? ?h ?t h( 2 ? ?t ) ? h( 2) ?t ? ?13.1 ? 4.9?t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049
△t = – 0.00001, v ? ?13.099951

△t = 0.00001, v ? ?13.100049

△t = – 0.000001, v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049

……

……

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v ? ?h ?t ? ?13.1 ? 4.9?t

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于 2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的

瞬时速度是 –13.1.
lim h( 2 ? ?t ) ? h(2) ?t ? ?13.1

?t ?0

表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– v 13.1”.

探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
lim h(t 0 ? ?t ) ? h(t 0 ) ?t ? 4.9( ?t ) ? (9.8t 0 ? 6.5) ?t
2

?t ? 0

? lim

?t ? 0

?t

? lim ( ?4.9?t ? 9.8t 0 ? 6.5)
?t ? 0

? ?9.8t 0 ? 6.5

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
?x ?0

lim

?y ?x

? lim

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?x
f ?( x0 )

?x ?0

称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 y? | x ? x , 即
0

f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?x

?x ?0

.

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
?x ?0

lim

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?x

? lim

?f ?x
f ?( x0 )

?x ?0

称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 y? | x ? x , 即
0

f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?x

?x ?0

.

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );

2. 求平均变化率
3. 求值 f ?( x0 ) ?

?y ?x

?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

;

?x ?0

lim

?y ?x

.

一差、二化、三极限

题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 y=f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ?( 2)和 f ?(6). 根据导数的定义,
f ( 2 ? ?x ) ? f ( 2) ?x f ?(2) ? lim
? 4?x ? (?x) ? 7?x
2

所以,

?f ?x

?x
?x ?0

? ?x ? 3

?x ?0

? lim (?x ? 3) ? ?3.

同理可得 f ?(6) ? 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它 们的意义.

f ?( 2 ) ? ? 3

说明在第2h附近,原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降;

f '(6)=5

说明在第6h附近,原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升;

? x 2 x求求( x( x),' (?(?1),' (2) 2) 1:设f (fx( x) ? , 2 , f ' f ' ), f f ' 1), f f ' ( 例例1:设 )

? x 2 , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2) 例1:设f ( x)
解:由导数的定义有 f ' ( x)= lim ? lim f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ? 2x ? lim ( x ? ?x) ? x
2 2

?x?0

?x?0

?x

?x( 2 x ? ?x) ?x

?x ?0

? f ' ( ?1)=f ' ( x) f ' ( 2) ? f ' ( x)
x ?2

x ? ?1

? 2 ? ( ?1) ? ?2

? 2? 2 ? 4

练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛
1 2 运动的物体,t秒时的高度为h(t)=v0t--gt , 2

求物体在时刻t0时的瞬时速度。
? ? h ? v 0 (t0 ? ? t ) ? 1 2 g (t0 ? ? t ) ? v 0t0 ?
2

1 2

gt 0

2

? ( v 0 ? gt 0 ) ? t ?

1 2

g?t

2

?

?h ?t

? v 0 ? gt 0 ?
?h ?t

1 2

g?t

当 ? t ? 0时 ,

? v 0 ? gt 0

所以

物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在

点x0处的导数的方法是:
(1)求函数的增量
? y ? f ?x0 ? ? x ? ? f ?x0
?y ?x ? f ?x0 ? ? x ? ? f ?x0 ?x

?

(2)求平均变化率 (3)取极限,得导数

?

f ?? x 0

?

? lim

?y ?x

?x? 0

练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动
(位移单位:m , 时间单位:s).若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。 a=2

小结:
?

1求物体运动的瞬时速度:
__

(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)

(2)求平均速度 (3)求极限 v ?

v ?
lim

?s ?t
__

?t? 0

v ? lim

?s ?t

?t? 0

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般步骤: 1. 求函数的改变量 ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 2. 求平均变化率 3. 求值
?f ?x
?x ?0

?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

;

f ?( x0 ) ? lim

?f ?x

.

什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f ?( x) ? y? ? lim ?y ?x
?x ?0

? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

?x ?0

在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
函数y ? f ( x )在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x )的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.



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