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2011年江苏四星级高中高三数学一轮复习资料06 第六章 数列



..

第六章 数 列
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? ?有穷数列 ?分类? ?无穷数列 ? ? ?列表法 ? ? ?通项公式法 ? ?表示方法?解析法? ? ?递推公式法 ? ? ? ?图像法 ? ?性质?单调性 ? ? ?周期性 ? ?定义 ? ?通项公式 — 性质 — 应用 ? ? ? 数列? ?等差中项 ?等差数列? ?定义

? ? ? ? ? ? ?等比数列的前n项和?公式推导? — 性质 — 应用 ? ? ?基本运算? ? ? ? ? ? ?定义 ? ?通项公式 — 性质 — 应用 ? ? ? ?等比中项 ?等比数列? ?定义 ? ? ? ? ? ? ?等比数列的前n项和?公式推导? — 性质 — 应用 ? ? ?基本运算? ? ? ? ? ?
第 1 讲 数列的概念 ★ 知 识 梳理 ★ 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式,即 an ? f (n) . 3.递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第一项 (或前几项) , 且任何一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an ? f (an?1 ) 或 an ? f (an?1 , an?2 ) ,那么 这个式子叫做数列 ?an ? 的递推公式. 如数列 ?an ? 中, 其中 an ? 2an ? 1 a1 ? 1, an ? 2an ? 1, 是数列 ?an ? 的递推公式.

..

4.数列的前 n 项和与通项的公式 ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ?

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有 界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 an?1 ? an . ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数 M 使 an ? M , n ? N ? . ⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 an 使得 an ? M .

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:理解数列的概念和几种简单表示方法;掌握数列的通项公式的求法. 2.难点:用函数的观点理解数列. 3.重难点:正确理解数列的概念,掌握数列通项公式的一般求法. 求数列的通项、 判断单调性、 求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质. 问题 1:已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? Sn?1 ? an?1 (n ? N ? ) ,则此数列是( A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 分析:将已知条件转化为数列项之间的关系,根据数列单调性作出判定. 解析:? Sn ? Sn?1 ? an?1 ,? Sn?1 ? Sn ? an (n ? 2) 两式相减,得 an ? an?1 ? an?1 ? an ,? an ? 0(n ? 2) 当 n ? 1 时, a1 ? (a1 ? a2 ) ? a2 ? a1 ? 0 ,? an ? 0(n ? N ? ) ,选 C. 问题 2:数列 ?an ? 中, an ? ( ) A. a1 , a50 B. a1 , a44 C. a 45 , a44 D. a45 , a50 )

n ? 2006 ,则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别是 n ? 2007

分析:由已知条件判定数列单调性,注意 n 的取值范围. 解析:? an ?

n ? 2006 2007 ? 2006 , ? 1? n ? 2007 n ? 2007

..

?

n ? ?1,44? 时, an 递减; n ? ?45,??? 时, an 递减.结合图象,选 C.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 1 数列的通项公式 题型 1 已知数列的前几项,求通项公式 【例 1】求下列数列的一个通项公式: ⑴ 3,5,9,17,33, ?,

1 ,0, ? , 7 2 4 6 8 10 , , , ?, ⑶ , , 3 15 35 63 99 ⑷ 1,3,6,10,15,21, ?,
⑵ 1,0,? ,0, ,0,? 【解题思路】写出数列的通项公式,应注意观察数列中 an 和 n 的联系与变化情况,应特 别注意:自然数列、正奇数列、正偶数列, ( ?1) n 和相关数列,等差、等比数列,以及由它们 组成的数列,从中找出规律性,并分别写出通项公式. 【解析】⑴联想数列 2,4,8,16,32,?, 即数列 2 n ,可得数列的通项公式 an ? 2n ? 1 ; ⑵将原数列改写为 ,

1 3

1 5

? ?

1 0 1 0 1 0 1 0 ,? , , , ,? , , ? , 分母分别为 1,2,3,4,5, ? , 分子分别为 1 2 3 4 5 6 7 8

1,0,1,0,1,?, 呈周期性变化,可以用 sin

( ?1) n ?1 ? 1 n? ( n ? 1)? ,或 cos ,或 表示. 2 2 2

an ?

sin

n? n ?1 cos ? ( ?1) n ?1 ? 1 2 (或 a ? 2 a ? ,或 ) n n 2n n n
2n ( 2n ? 1)(2n ? 1)

⑶分子为正偶数列,分母为 1 ? 3,3 ? 5,5 ? 7,7 ? 9,9 ? 11, ?, 得 a n ?

⑷观察数列可知: a1 ? 1, a2 ? 1 ? 2, a3 ? 1 ? 2 ? 3, a4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, ?,

a 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, a5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5,? a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
本题也可以利用关系式 an ? an?1 ? n 求解.

n( n ? 1) 2

【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法. ⑵求数列的通项公式,应运用观察、分析、归纳、验证的方法 .易错之处在于每个数列 由前几项找规律不准确,以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多,应注意对每 一数列认真找出规律和验证. 题型 2 已知数列的前 n 项和,求通项公式 【例 2】已知下列数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,分别求它们的通项公式 an .

..

⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1. 【解题思路】利用 a n ? ?

( ?S 1 n ? 1) ,这是求数列通项的一个重要公式. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

【解析】⑴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 5 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n 2 ? 3n) ? 2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 4n ? 1 . 当 n ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,?an ? 4n ? 1 . ⑵当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 1 ? 4 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 . 当 n ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? a1 ,? an ? ?

?

?

?4(n ? 1) . n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

【名师指引】任何一个数列,它的前

n 项 和 Sn 与 通 项 an 都 存 在 关 系 :

?S (n ? 1) an ? ? 1 ?S n ? S n?1 (n ? 2)
若 a1 适合 an ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示. 题型 3 已知数列的递推式,求通项公式 【例 3】数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?

2an ?1 (n ? 2) ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an . 2 ? an ?1

【解题思路】已知 ?an ? 的递推公式 an ? f (an?1 ) 求前几项,可逐步计算. 【解析】? a1 ? 1, an ?

2an ?1 (n ? 2) , 2 ? an ?1

? a2 ?


2a 3 2a 2 2a 4 2a1 2 2 2 2 ? , a3 ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 2 ? a2 4 2 ? a3 5 2 ? a4 6 2 ? a1 3

2 2 2 2 2 2 , , , , , ? ,可以归纳出 a n ? . 2 3 4 5 6 n ?1

【名师指引】由递推公式求通项,可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法,也可以构造新 数列. 【新题导练】 1.已知有穷数列: 5,7,11, ? ,2n ? 7 ,其中后一项比前一项大 2. ⑴求此数列的通项公式;

..

⑵ 4n ? 9 是否为此数列的项? 【解析】⑴设数列的第 k 项为 ak ,则 ak ? 5 ? 2(k ? 2) ? 2k ? 3 令 2n ? 3 ? 2k ? 3 ? k ? n ? 2 ,故该数列的通项公式 ak ? 2k ? 3(k ? 1,2,3, ?, n ? 2) ⑵令 4n ? 9 ? 2k ? 3 ,解得 k ? 2n ? 3 , ? 2n ? 3 ? n ? 2 , ? 4n ? 9 不是有穷数列的项. 2.数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ?an ? n 2 (n ? N ? ) ,求 a3 ? a5 的值. 【解析】由 a1 ? a2 ? a3 ?an ? n 2 (n ? N ? ) ,得 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ;当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ?an?1 ? (n ? 1) 2 两式相除,得 an ?

n2 9 25 61 ,? a 3 ? a 5 ? . ( n ? 2) . ? a 3 ? , a 5 ? 2 4 16 16 (n ? 1)

3.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an . 【解析】? a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1

? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 , a4 ? 2a3 ? 1 ? 15, a5 ? 2a4 ? 1 ? 31
由 1 ? 2 ? 1,3 ? 2 ? 1,7 ? 2 ? 1,15 ? 2 ? 1,31 ? 2 ? 1, ?,可以归纳出 a n ?
1 2 3 4 5

2 n ?1

考点 2 与数列的通项公式有关的综合问题 题型 1 已知数列通项公式,求项数及最大(最小)项 【例 4】数列 ?an ? 中, an ? n 2 ? 5n ? 4 . ⑴ 18 是数列中的第几项? ⑵ n 为何值时, an 有最小值?并求最小值. 【解题思路】数列的通项 an 与 n 之间构成二次函数,可结合二次函数知识去探求.
2 2 【解析】⑴由 n ? 5n ? 4 ? 18 ? n ? 5n ? 14 ? 0 ,解得 n ? 7 ,

? 18 是数列中的第 7 项. 5 2 9 2 ⑵? a n ? n ? 5n ? 4 ? ( n ? ) ? , n ? N ? 2 4 ? n ? 2 或 n ? 3 时, (an ) min ? 22 ? 4 ? 2 ? 5 ? ?2 .
【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时,必须注意其定义域 n 为正整数. 题型 2 已知数列通项公式,判断数列单调性及有界性 【例 5】数列 ?an ? 中, a n ?

n2 . n2 ? 1

..

⑴求数列 ?an ? 的最小项; ⑵判断数列 ?an ? 是否有界,并说明理由. 【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性,即证 an ? an ?1 ,或 an ? an ?1 ;⑵从“数列的 有界性”定义入手.

(n ? 1) 2 n2 【解析】⑴? an ?1 ? an ? ? (n ? 1) 2 ? 1 n 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 (n 2 ? 1) ? n 2 (n ?) 2 ? 1 2n ? 1 ? ?0 2 2 (n ? 1) ? 1 (n ? 1) (n ? 1) 2 ? 1

?

?

?

?

?

?

? an ? an?1 ,?数列 ?an ? 是递增数列,数列 ?an ? 的最小项为 a1 ?

1 . 2

n2 1 ? 1 ? 2 ? 1 ,?数列 ?an ? 有界. ⑵? a n ? 2 n ?1 n ?
【名师指引】数列是特殊的函数,判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列. 【新题导练】 4.数列 ?an ? 中, an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ,求 an 取最小值时 n 的值. 【解析】 an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ? 3? n ? 5.数列 ?an ? 中, a n ? n ? 【解析】? 又? a n ? n ?

? ?

14 ? 193 ,? n ? 5 时, an 取最小值. ? ? 3? 3

2

n 2 ? 2 ,求数列 ?an ? 的最大项和最小项.

an ?1 n ? 1 ? (n ? ) 2 ? 2 n ? n2 ? 2 ? ? ? 1, an n ? n2 ? 2 n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2

n 2 ? 2 ? 0 ,? an ? an?1 ,数列 ?an ? 是递增数列

?数列 ?an ? 的最小项为 a1 ? 1 ? 3 ,没有最大项.
★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.设数列 2 , 5,2 2 , 11, 14, ? ,则 4 2 是这个数列的( A.第 9 项 B.第 10 项 C.第 11 项 ) D.第 12 项

【解析】C. 4 2 ? 32 ? 2 ? 3(11? 1) ,? 选 C.
2 2.(2008 年华师附中)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? 2Sn?1 ? an 则数列 ?an ? 的 , a2 ? ?1 ,

..

首项为( ) A. 1 或 ? 2

B. ? 1

C. ? 2

D. ? 1 或 2

2 2 【解析】D. Sn ? 2Sn?1 ? an , a1 ? ? 1 或 2 , a2 ? ?1 中令 n ? 1 ,得 a1 ? 2(a1 ? 1) ? a1

3.(2009 恩城中学)已知定义在正整数集上的函数 f ( x) 满足条件: f (1) ? 2 , f (2) ? ?2 ,

f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) ,则 f (2009) 的值为(
A.-2 B. 2 C.4

) D.-4

【解析】B.利用数列的周期性,周期为 4, f (2009 ) ? f (505? 4 ? 1) ? f (1) ? 2. 4.数列 ? 2n 2 ? 13n ? 1 中数值最大的项是第 【解析】3 5.(2009 恩城中学文)观察下式:1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,?,则 可得出一般结论 .
2 2 2 2

?

?

项.

【解析】 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 . 6.数列 ?an ? 中, an?2 ? an?1 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a2009 的值是( A. ? 2 B. 2 C. ? 5 D. 5 )

【解析】C.利用数列的周期性,除前 4 项后,周期为 6,? a2009 ? a4?338?6?1 ? a5 ? ?5. 综合拔高训练 7.(2009 恩城中学 ? 节选)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 列 ?an ? 的通项公式. 【解析】由 a1 ?

1 2 ,其前 n 项和 Sn ? n an ? n ? 1? .求数 2

1 , Sn ? n2an ,① 2

∴ Sn?1 ? (n ?1)2 an?1 ,②

①-②得: an ? Sn ? Sn?1 ? n2an ? (n ?1)2 an?1 ,即,

an n ?1 ? ? n ? 2? , an?1 n ? 1



n ?1 n ? 2 2 1 2 1 an a a a a ? ? ? ? ,∴ an ? . ? n ? n ?1 ? 3 ? 2 ? 4 3 n(n ? 1) n(n ? 1) a1 an?1 an?2 a2 a1 n ? 1 n

8.设数列 ?an ? 的第 n 项 an 是二次函数, a1 ? 5, a2 ? 15, a3 ? 35,求 a4 .

?a ? b ? c ? 5 ? 【解析】设 an ? an ? bn ? c ,由 ?4a ? 2b ? c ? 15 ? a ? 5, b ? ?5, c ? 5 ?9a ? 3b ? c ? 35 ?
2

? an ? 5n 2 ? 5n ? 5 , a4 ? 5 ? 42 ? 5 ? 4 ? 5 ? 65 .

..

9.数列 ?an ? 中, an ?

9 n 2 ? 9n ? 2 . 9n 2 ? 1

⑴求这个数列的第 10 项; ⑵

99 是否为该数列的项,为什么? 100

⑶求证: an ? (0,1) ; ⑷在区间 ? ,

?1 2? ? 内有无数列的项,若有,有几项?若无,说明理由. ?3 3?

【解析】⑴? a n ? ⑵令 an ? ?2 ?

9n 2 ? 9n ? 2 3n ? 2 28 ? ,? a10 ? ; 2 31 9n ? 1 3n ? 1

3n ? 2 99 99 ? ? 3n ? 299 ,无整数解,? 不是该数列的项. 3n ? 1 100 100 3n ? 2 3 3 ?1? ? 1 , an ? (0,1) ⑶? a n ? , n ? N ? ,? 0 ? 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 1 2 1 3n ? 2 2 ? ⑷由 ? a n ? ,得 ? 3 3 3 3n ? 1 3

?3n ? 1 ? 9n ? 6 7 8 ?1 2? ? ? n ? ,?当且仅当 n ? 2 时,在区间 ? , ? 内有数列的项. ?? 6 3 ?3 3? ?9n ? 6 ? 6n ? 2
第2讲 等差数列

★ 知 识 梳理 ★ 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等差 数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差. ⑵前 n 项和公式 S n ? 3.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即: A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差数列;

n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n ( n ? 1)d . 2 2

? a , A , b 成等差数列.

..

⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ? ( p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列 ?an ? 中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即 an , an?k , an?2k , an?3k , ? 为等差数列,公差为 kd . ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是常数 ) ; Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数,

a ? 0)
⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 ?

? Sn ? ? 是等差数列; ?n?

⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S偶 ? S奇 ? nd,

S偶 an?1 ; ? S奇 an S偶 n ? 1 . ? S奇 n

当项数为 2n ? 1(n ? N ? ) ,则 S奇 ? S偶 ? an ,

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前 n 项和公式并能解决实际问 题;理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质. 2.难点:利用等差数列的性质解决实际问题. 3.重难点:正确理解等差数列的概念,灵活运用等差数列的性质解题. ⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求 Sn 最值等通常运用等差数列的有关公式及 其性质. 问题 1:已知 m ? n ,且 m, a1 , a2 , a3 , n 和 m, b1 , b2 , b3 , b4 , n 都是等差数列,则

a3 ? a1 ? b3 ? b2

分析:问题转化为:在 m, n 插入若干个数,使其成等差,利用等差数列公差的求法公式 解答. 解析:设等差数列 m, a1 , a2 , a3 , n 和 m, b1 , b2 , b3 , b4 , n 的公差分别是 d1 , d 2 则 a3 ? a1 ? 2d1 , n ? m ? 4d1 ,? a 3 ? a1 ? 同理,得 b3 ? b2 ? d 2 ?

n?m , 2

n?m a ? a1 5 ,? 3 ? . 5 b3 ? b2 2

..

⑵求“首末项和为常数”的数列的和,一般用倒序相加法. 问题 2:已知函数 f ( x ) ? ② f(

4x 1 2 .则 ① f ( )? f ( ) ? x 3 3 2?4
.



1 2 2008 )? f( ) ??? f ( )? 2009 2009 2009

分析:①可以直接代入计算,也可以整体处理;②寻找规律,整体处理. 解析:? f ( x ) ?

4x ,经计算,得 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1, 2 ? 4x

? f(

1 2 2008 )? f( ) ??? f ( ) ? 1004 ? 1 ? 1004 . 2009 2009 2009
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 1 等差数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等差数列的某些项,求某项 【例 1】已知 ?an ? 为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ? 【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等差数列的性质 【解析】方法 1:? ?

?a15 ? a1 ? 14d ? 8 64 4 ? a1 ? , d ? 15 15 ?a60 ? a1 ? 59d ? 20

64 4 ? 74 ? ? 24 15 15 a ? a15 20 ? 8 4 ? ? , 方法 2:? d ? 60 60 ? 15 45 15 4 ? a75 ? a60 ? (75 ? 60 )d ? 20 ? 15 ? ? 24 15

? a75 ? a1 ? 74 d ?

方法 3:令 an ? an ? b ,则 ?

?15a ? b ? 8 16 8 ? a ? ,b ? 45 3 ?60a ? b ? 20

? a75 ? 75a ? b ? 75 ?

16 8 ? ? 24 45 3

方法 4:? ?an ? 为等差数列,

? a15 , a30 , a45 , a60 , a75 也成等差数列,设其公差为 d1 ,则 a15 为首项, a60 为第 4 项. ? a60 ? a15 ? 3d1 ? 20 ? 8 ? 3d ? d1 ? 4 ? a75 ? a60 ? d1 ? 20 ? 4 ? 24
方法 5:? ?an ? 为等差数列,? (15, a15 ), (60, a60 ), (75, a75 ) 三点共线

..

?

a60 ? a15 a75 ? a60 20 ? 8 a75 ? 20 ? ? ? ? a75 ? 24 60 ? 15 75 ? 60 45 15
【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质,再考虑基本量法. 题型 2 已知前 n 项和 Sn 及其某项,求项数. 【例 2】⑴已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ;

⑵若一个等差数列的前 4 项和为 36,后 4 项和为 124,且所有项的和为 780,求这个数列 的项数 n . 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 a1 及 d ,代入 Sn 可求项 数n; ⑵利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 a1 ? an ,代入 Sn 可求项数 n . 【解析】⑴设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,则 ?

?a1 ? 3d ? 9 ? a1 ? 18, d ? ?3 ?a1 ? 8d ? ?6

? S n ? 18n ?

3 n( n ? 1) ? 63 ? n1 ? 6, n2 ? 7 2

⑵? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 36, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 124

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? a4 ? an?3
? 4(a1 ? an ) ? 160 ? a1 ? an ? 40 ? Sn ?
n(a1 ? a n ) ? 780 ? 20n ? 780 ? n ? 39 2

【名师指引】解决等差数列的问题时,通常考虑两种方法:⑴基本量法;⑵利用等差数列 的性质. 题型 3 求等差数列的前 n 项和 【例 3】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? 12n ? n 2 . ⑴求 a1 ? a2 ? a3 ; ⑵求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ; ⑶求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an . 【解题思路】利用 Sn 求出 an ,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】4.? Sn ? 12n ? n 2 ,

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 12 ? 1 ? 11,

..

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (12n ? n 2 ) ? 12(n ? 1) ? (n ? 1) 2 ? 13 ? 2n , 当 n ? 1 时, 13 ? 2 ? 1 ? 11 ? a1 , ? an ? 13 ? 2n . 由 an ? 13 ? 2n ? 0 ,得 n ?

13 ,? 当 1 ? n ? 6 时, an ? 0 ;当 n ? 7 时, an ? 0 . 2
2

⑴ a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 12 ? 3 ? 3 ? 27 ; ⑵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ? (a7 ? a8 ? a9 ? a10 )

? 2S6 ? S10 ? 2(12 ? 6 ? 62 ) ? (12 ? 10 ? 102 ) ? 52 ;
2 ⑶当 1 ? n ? 6 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 12n ? n ,

当 n ? 7 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an )

? 2S6 ? Sn ? 2(12 ? 6 ? 62 ) ? (12n ? n2 ) ? n2 ? 12n ? 72.
【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论. 【新题导练】 1.已知 ?an ? 为等差数列, am ? p, an ? q ( m, n, k 互不相等) ,求 ak . 【解析】

am ? an ak ? an p ? q ak ? q p ( k ? n ) ? q( m ? k ) ? ? ? ? ak ? m?n k ?n m?n k ?n m?n
.

2.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1, a4 ? 7, Sn ? 100,则 n ? 【解析】设等差数列的公差为 d ,则 d ?

a 4 ? a1 7 ? 1 ? ?2 4 ?1 3

1 n( n ? 1) ? 2 ? 100 ? n ? 10 . 2 3.已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和为 165 ,求这 5 个数. 【解析】设这 5 个数分别为 a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d . 则 Sn ? n ?

?(a ? 2d ) ? (a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? (a ? 2d ) ? 5 ?a ? 1 ?? 2 ? 2 2 2 2 2 2 ?(a ? 2d ) ? (a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? (a ? 2d ) ? 165 ?5a ? 10d ? 165
解得 a ? 1, d ? ?4 当 a ? 1, d ? 4 时,这 5 个数分别为: ? 7,?3,1,5,9 ; 当 a ? 1, d ? ?4 时,这 5 个数分别为: 9,5,1,?3,?7. 4.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S10 ? 100 , S100 ? 10 ,求 S110 .

11 ? ?a1 ? ? 50 ?10a1 ? 45d ? 100 【解析】方法 1:设等差数列的公差为 d ,则 ? ?? d ? 10 ?d ? 1099 ?100a1 ? 4950 100 ?

..

1 ? 110 ? 109 d ? ?110 ; 2 90( a11 ? a100 ) ? ?90 ? a11 ? a100 ? ?2 方法 2:? S100 ? S10 ? 2 110 ( a1 ? a110 ) 110 ( a11 ? a100 ) ? ? ?110 . ? S110 ? 2 2

? S110 ? 110 a1 ?

考点 2 证明数列是等差数列 【例 4】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? 求证:数列 ?bn ?是等差数列. 【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法;⑵中项法. 【解析】方法 1:设等差数列 ?an ? 的公差为 d , S n ? na1 ?

Sn (n ? N ? ) . n

1 n ( n ? 1)d , 2

Sn 1 ? a1 ? ( n ? 1)d n 2 1 1 d ? bn ?1 ? bn ? a1 ? nd ? a1 ? ( n ? 1)d ? (常数) 2 2 2

? bn ?

?数列 ?bn ?是等差数列.
Sn 1 ? a1 ? ( n ? 1)d , n 2 1 1 ? bn ?1 ? a1 ? nd , bn ? 2 ? a1 ? ( n ? 1)d 2 2 1 1 ? bn ? 2 ? bn ? a1 ? ( n ? 1)d ? a1 ? ( n ? 1)d ? 2a1 ? nd ? 2bn ?1 , 2 2
方法 2:? bn ?

?数列 ?bn ?是等差数列.
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有: ⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差数列; ⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列; ⑶通项公式法: an ? kn ? b ( k , b 是常数) ? ?an ? 是等差数列; ⑷前 n 项和公式法: Sn ? An2 ? Bn ( A, B 是常数, A ? 0 ) ? ?an ? 是等差数列. 【新题导练】 5.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? pnan (n ? N ? ) , a1 ? a2 . ⑴求常数 p 的值; ⑵求证:数列 ?an ?是等差数列. 【解析】⑴? Sn ? pnan , a1 ? a 2 ,? a1 ? pa1 ? p ? 1

..

⑵由⑴知: S n ? nan , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? nan ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 0 ,

? an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,?数列 ?an ?是等差数列.
考点 3 等差数列的性质 【例 5】⑴已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a6 ? 100,则 S11 ? ⑵已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则 S m?n ? 【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【解析】⑴ S11 ? ; .

11( a1 ? a11 ) 11 ? 2a6 ? ? 11a6 ? 1100 ; 2 2

⑵方法 1:令 Sn ? An2 ? Bn ,则

? An2 ? Bn ? m ? A(n 2 ? m 2 ) ? B(n ? m) ? m ? n . ? 2 ? Am ? Bm ? n
? n ? m ,? A(n ? m) ? B ? ?1 , ? Sm?n ? A(m ? n) 2 ? B(m ? n) ? ?(m ? n) ;
方法 2:不妨设 m ? n

S m ? S n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ?3 ? ? ? a m?1 ? a m ?

( m ? n )( a n ?1 ? a m ) ? n?m. 2

? a1 ? am?n ? an?1 ? am ? ?2 , ? S m?n ?
( m ? n )( a1 ? a m?n ) ? ?( m ? n ) ; 2

方法 3:? ?an ? 是等差数列,? ?

? Sn ? ? 为等差数列 ?n?

S ? S ?? S ?? ? ? ? n, n ?, ? m, m ?, ? m ? n, m?n ? 三点共线. m?n? ? n ?? m??

S m?n n m n ? ? ? m n ? m ? n m ? Sm?n ? ?(m ? n) . m?n n
【名师指引】利用等差数列的有关性质解题,可以简化运算. 【新题导练】 6.含 2n ? 1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为(



A.

2n ? 1 n

B.

n ?1 n

C.

n ?1 n

D.

n ?1 2n

..

【解析】 (本两小题有多种解法)? S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a 2 n ?1 ?

( n ? 1)( a1 ? a 2 n ?1 ) 2

S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n ?

S n(a2 ? a2 n ) n ?1 , a1 ? a2n?1 ? a2 ? a2n ? 奇 ? .? 选 B. 2 S偶 n
S n 7n ? 2 a ,则 5 ? ? Tn n?3 b5
.

7.设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 ?an ? 、 ?an ? 的前 n 项和,

【解析】

an S 2 n ?1 7(2n ? 1) ? 2 14n ? 5 a 65 14 ? 5 ? 5 65 ? ? ? ? 5 ? ? ?填 . 12 bn T2 n ?1 (2n ? 1) ? 3 2n ? 2 b5 2 ? 5 ? 2 12
1 2 11 n ? n ;数列 ?bn ?满足: b3 ? 11, 2 2

考点 4 等差数列与其它知识的综合 【例 6】已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ?

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ,其前 9 项和为 153 .
⑴求数列 ?an ? 、 ?bn ?的通项公式; ⑵设 Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和, cn ?

k 6 ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

?n ? N ? 都成立的最大正整数 k 的值.
【解题思路】 ⑴利用 an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求; ⑵求出 Tn 后, 判断 Tn 的单调性. 【解析】⑴? S n ?

1 2 11 n ? n, 2 2

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

1 2 11 1 11 n ? n ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) ? n ? 5 2 2 2 2

当 n ? 1 时, 1 ? 5 ? 6 ? a1 ,? an ? n ? 5 ;

? bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? bn ?1 ?
则?

bn ? bn ? 2 ,? ?bn ?是等差数列,设其公差为 d . 2

?b1 ? 2d ? 11 ? b1 ? 5, d ? 3 , ?9b1 ? 36d ? 153

? bn ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 .
⑵ ? cn ?

6 6 ? (2an ? 11)(2bn ? 1) ?2(n ? 5) ? 11??2(3n ? 2) ? 1?

..

?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

? n ? N ? ,? Tn 是单调递增数列. ?当 n ? 1 时, ?Tn ?min ? T1 ? 1 ? ? Tn ?
1 2 ? 3 3

k k 2 k ? ? ? k ? 38 对 ?n ? N ? 都成立 ? ?Tn ?min ? 57 57 3 57 ?所求最大正整数 k 的值为 37 .
【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识,利用了函 数、方程思想,这是历年高考的重点内容. 【新题导练】 8.已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵数列 ?an ? 中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak ? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立?若 存在,求最小的正整数 k ,若不存在,说明理由. 【解析】⑴当 n ? 2 时, Sn Sn?1 ? 2an ? Sn Sn?1 ? 2( Sn ? Sn?1 )

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,且 ? ,? ?an ? 是以 ? 为公差的等差数列,其首项为 . 3 2 S n S n ?1 2 S1 3

?

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? ? Sn ? S n S1 2 6 5 ? 3n

?当 n ? 2 时, an ?

1 18 S n S n ?1 ? 2 (3n ? 8)(3n ? 5)

?3( n ? 1) 18 18 ? 18 ? ? a1 ,? ? 当 n ? 1 时, ( n ? 2) ; (3 ? 8)(3 ? 5) 10 ? ? (3n ? 8)(3n ? 5)
⑵ ak ? ak ?1 ?

18 2 5 8 ? 0 ,得 ? k ? 或 k ? , 3 3 3 (3k ? 8)(3k ? 5)(3k ? 2)

?当 k ? 3 时, ak ? ak ?1 恒成立,所求最小的正整数 k ? 3.
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..

基础巩固训练 1.(2009 广雅中学)设数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?8 , a15 ? 5 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项 和,则 A. S10 ? S11 【解析】C. S 9 ? B. S10 ? S11 C. S9 ? S10 D. S9 ? S10

a 2 ? a16 a 2 ? a15 ? d ( a ? d ) ? a15 ? , S10 ? 2 ? S 9 ? S10 2 2 2 5 ? ( ?8) 13 69 ? 另法:由 a2 ? ?8 , a15 ? 5 ,得 d ? , a1 ? a 2 ? d ? ,计算知 S9 ? S10 15 ? 8 7 7
2.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 120,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 【解析】 480 .

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 4a5 ? 480.
.

3.数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最小值时, n ? 【解析】 24 由 an ? 2n ? 49 知 ?an ? 是等差数列, an ? 0 ? n ? 25. ? n ? 24.

4.已知等差数列 ?an ? 共有 10 项,其奇数项之和为 10 ,偶数项之和为 30 ,则其公差是 【解析】 4 已知两式相减,得 5d ? 20 ? d ? 4. 5.设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? 【解析】 .

.

1 n( n ? 1) ? 1 利用迭加法(或迭代法) ,也可以用归纳—猜想—证明的方法. 2 6.从正整数数列 1,2,3,4,5, ? 中删去所有的平方数, 得到一个新数列, 则这个新数列的第 1964
项是 . 综合拔高训练 7.(2009 广雅中学)已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值. 【解析】⑴设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ? 【解析】 2008

?a1 ? d ? ?20 ? a1 ? ?22, d ? 2 ?2a1 ? 8d ? ?28

? an ? ?22 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 24
⑵? log2 bn ? 2n ? 24 ,? bn ? 22n?24

? Tn ? b1b2b3 ?bn ? 22(1?2?3???n )?24n ? 2n( n?1)?24n

..

令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n ? 23 ∴当 n ? 23 时, Tn ? 1. 8.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16. ⑴当 n 为何值时, Sn 取得最大值; ⑵求 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 的值; ⑶求数列 an 的前 n 项和 Tn . 【解析】⑴?等差数列 ?an ? 中, a1 ? 25, a4 ? 16. ? 公差 d ?

? ?

a 4 ? a1 ? ?3 4 ?1

? an ? ?3n ? 28,令 an ? ?3n ? 28 ? 0 ? n ? 9 ?当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 .?当 n ? 9 时, Sn 取得最大值;
⑵? 数列 ?an ? 是等差数列

? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? ? ? a20 ?

10( a 2 ? a 20 ) ? 10 a11 ? 10( 25 ? 3 ? 9) ? ?20 ; 2 ⑶由⑴得,当 n ? 9 时, an ? 0 ;当 n ? 9 时, an ? 0 . 53 3 ? ? 3 ? 2(9 ? 25 ? 36 ? 3) ? ?25n ? n(n ? 1)? ? n 2 ? n ? 234 2 2 ? ? 2

? Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? (a10 ? a11 ? ? ? an ) ? 2S9 ? Sn

9.(2009 执信中学)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). ⑴证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.

【解析】⑴证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ,? a1 ? 1, a2 ? 3 ,?

an ?2 ? an ?1 ? 2(n ? N ? ) an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
⑵解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).

..

⑶证明:? 4b1 ?14b2 ?1...4 n

b ?1

? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn ,


?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ②
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即, (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ④
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即, bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),
⑴当 a2 ? 1 时,求 ? 及 a3 的值;

??bn ? 是等差数列.

10.(2008 北京)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2,?) , ? 是常数. ⑵数列 ?an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; ⑶求 ? 的取值范围,使得存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 an ? 0 . 【解析】⑴由于 a1 ? 1, an?1 ? (n 2 ? n ? ? )an (n ? 1,2,?) ,且 a1 ? 1 , 所以当 a2 ? 1 时,得 ? 1 ? 2 ? ? , 故 ? ? 3 .从而 a3 ? (22 ? 2 ? 3) ? (?1) ? ?3. ⑵数列 ?an ? 不可能为等差数列.证明如下: 由 a1 ? 1 , an?1 ? (n 2 ? n ? ? )an 得

a2 ? 2 ? ?, a3 ? (6 ? ? )(2 ? ? ), a4 ? (12 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ). 若存在 ? ,使 ?an ? 为等差数列,则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即 (5 ? ? )(2 ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? 3. 于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2, a4 ? a3 ? (11? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) ? ?24. 这与 ?an ? 为等差数列矛盾,所以,对任意 ? , ?an ? 都不可能是等差数列.
⑶记 bn ? n 2 ? n ? ? (n ? 1,2,?) 根据题意可知, b1 ? 0 且 bn ? 0 ,即 ? ? 2 且 这时总存在 n? ? N ? , 满足: 当 n ? n? 时, bn>0; 当 n ? n? ? 1 时, bn ? 0. ? ? n 2 ? n(n ? N ? ) , 所以,由 an?1 ? bn an 及 a1 ? 1 ? 0 可知,若 n? 为偶数,则 an ? 0 ,从而当 n ? n? 时 an ? 0 ;
?

若 n? 为奇数,则 an? ? 0 ,从而当 n ? n? 时 an ? 0. 因此“存在 m ? N ? ,当 n ? m 时总有 an ? 0 ”的充分必要条件是: n? 为偶数, 记 n? ? 2k (k ? 1,2, ?) ,则 ? 满足: ?

?b2 k ? (2k ) 2 ? 2k ? ? ? 0

2 ?b2 k ?1 ? (2k ? 1) ? 2k ? 1 ? ? ? 0 故 ? 的取值范围是 4k 2 ? 2k ? ? ? 4k 2 ? 2k (k ? N ? ).

第3讲

等比数列

★ 知 识 梳理 ★ 1.等比数列的概念

..

如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) ,这个数列叫 做等比数 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1qn?1 , a1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ②当 q ? 1 时, S n ? 3.等比中项 如果 a , G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
2 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , A , b 成等差数列 ? G ? a ? b .

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1? q 1? q

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 5.等比数列的常用性质

? ?an ? 是等比数列.

⑴数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?pan ? 、 ?pan ? ( q ? 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 ?an ? 中, 等距离取出若干项也构成一个等比数列, 即 an , an?k , an?2k , an?3k , ? 为等比数列,公比为 q k . ⑶ an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比数列. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前 n 项和公式并能解决实际问 题;理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质. 2.难点:利用等比数列的性质解决实际问题. 3.重难点:正确理解等比数列的概念,灵活运用等比数列的性质解题. ⑴求等比数列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.

..

问题 1 :已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? p n ? 1 ( p 是非零常数 ), 则数列 ?an ? 是 ( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列

分析:先由 Sn 求出 an ,再根据等差、等比数列定义作出判定. 解析:? Sn ? p n ? 1 ,? an ? Sn ? Sn?1 ? ( p ? 1) p n?1 (n ? 2)

?当 p ? 1, 且 p ? 0 时, ?an ? 是等比数列;?当 p ? 0 时, ?an ? 是等差数列,选 C.
⑵求实数等比数列的中项要注意符号,求和要注意分类讨论. 问题 2:若实数数列 1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列,则 a2 ? .

2 分析:本题容易错认为,由等比数列的等比中项公式 a2 ? 1 ? 4 ,得 a2 ? ?2. 2 解析:? 1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列,? a2 ? 1 ? 4 ,得 a2 ? ?2. 2 又 1, a1 , a 2 是等比数列,? a1 ? 1 ? a2 , a1 ? R ,? a2 ? 2 .

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1 等比数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等比数列的某些项,求某项 【例 1】已知 ?an ? 为等比数列, a2 ? 2, a6 ? 162,则 a10 ? 【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质 【解析】方法 1:? ?

?a2 ? a1q ? 2 ? q 4 ? 81 5 ?a6 ? a1q ? 162

? a10 ? a1q9 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122
方法 2:? q 4 ?

a6 162 ? ? 81,? a10 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122 a2 2

方法 3:? ?an ? 为等比数列

? a2 ? a10 ? a6

2

a6 1622 ? a10 ? ? ? 13122 a2 2

2

【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法. 题型 2 已知前 n 项和 Sn 及其某项,求项数. 【例 2】⑴已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 93 , an ? 48 ,公比 q ? 2 ,则项数

..

n?

.

⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中 间两数之和为 36 ,求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 及 S n ?

a1 (1 ? q n ) 求出 a1 及 q ,代 1? q

入 Sn 可求项数 n ;⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数. 【解析】⑴由 Sn ? 93 ,an ? 48 ,公比 q ? 2 ,得 ?

?a1 (2 n ? 1) ? 93 ?a1 ? 2
n ?1

? 48

? 2 n ? 32 ? n ? 5 .

? 2b ? a ? c ?c 2 ? bd ? ⑵方法 1:设这四个数分别为 a, b, c, d ,则 ? ; ?a ? b ? 37 ? ?b ? c ? 36 4 个数分别为 36 ? b, 37 ? a ,则 方法 2:设前 2 个数分别为 a , b ,则第 3、 99 ? ? 2b ? (36 ? b) ? a ?a ? 12 ?a ? 4 ,解得 ? 或? ; ? 2 ?(36 ? b) ? b(37 ? a ) ?b ? 16 ? b ? 81 ? 4
3 个数分别为 b, c ,则第 1 个数为 2b ? c ,第 1 个数为 方法 3:设第 2、

c2 ,则 b

81 ? ? b ? c2 b ? 16 ? ? ? 2b ? c ? 4 ; ? b ? ?c ? 20 或 ? 63 ? ? ?c ? ?b ? c ? 36 ? 4
a ? c 2c 2 3 个数分别为 b, c ,设第 1,4 个数分别为 , 方法 4:设第 2、 ; 2 a?c
4 个数分别为 c, d ,则设第 1,2 个数分别为 37 ? d ,36 ? c ,则 方法 5:设第 3、

?2(36 ? c) ? (37 ? d ) ? c ?c ? 20 ? 16 63 49 ,d ? . 或c ? ?? ? 2 4 4 ?c ? d (36 ? c) ?d ? 25
【名师指引】平时解题时,应注意多方位、多角度思考问题,加强一题多解的练习,这对 提高我们的解题能力大有裨益. 题型 3 求等比数列前 n 项和 【例 3】等比数列 1,2,4,8,? 中从第 5 项到第 10 项的和. 【解题思路】可以先求出 S10 ,再求出 S4 ,利用 S10 ? S4 求解;也可以先求出 a5 及 a10 , 由 a5 , a6 , a7 , ?, a10 成等比数列求解. 【解析】由 a1 ? 1, a2 ? 2 ,得 q ? 2 ,

..

? S10 ?

1(1 ? 210 ) 1(1 ? 2 4 ) ? 1023, S 4 ? ? 15 ,? S10 ? S4 ? 1008 . 1? 2 1? 2

【例 4】已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ,求 Sn 【解题思路】可以先求出 an ,再根据 an 的形式特点求解. 【解析】? an ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2 3 n ?1

?

1(1 ? 3n ) 3n 1 ? ? , 1? 3 2 2

? Sn ?

1 1 1 3(1 ? 3n ) 1 (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? n ? ? ? n 2 2 2 1? 3 2

即 Sn ?

3n 1 3 ? n? . 4 2 4

【例 5】已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? (2n ? 1) ? 3n ,求 Sn . 【解题思路】分析数列通项形式特点,结合等比数列前 n 项和公式的推导,采用错位相减 法求和. 【解析】? an ? (2n ? 1) ? 3n

? Sn ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ,----------------①

3Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 -------------②
①—②,得 ? 2Sn ? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1

9(1 ? 3n ?1 ) ? 3? 2? ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n ) ? 3n ?1 ? 6 1? 3
? Sn ? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3.
【名师指引】根据数列通项的形式特点,等比数列求和的常用方法有:公式法、性质法、 分解重组法、错位相减法,即数列求和从“通项”入手. 【新题导练】 1.已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,求 a11 ? a12 ? a13 的值. 【解析】设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,

? a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,? q 5 ?

a 4 ? a5 ? a 6 ? 2 ,? a11 ? a12 ? a13 ; a1 ? a2 ? a3

2. 如果将 20,50,100 依次加上同一个常数后组成一个等比数列,则这个等比数列的公比

..

为 . 【解析】设这个常数为 x ,则 20 ? x,50 ? x,100 ? x 成等比数列,

5 ? (50 ? x)2 ? (20 ? x)(100? x) ,解得 x ? ,? q ? 4

50 ?

5 4 ? 205 ? 41 . 5 85 17 20 ? 4


3.已知 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? 3, a6 ? 243 , Sn ? 364,则 n ? 【解析】 ?

?a2 ? a1q ? 3 ? a1 ? 1, q ? 3 或 a1 ? ?1, q ? ?3 , 5 ?a6 ? a1q ? 243

1(1 ? 3n ) ? 364 ? n ? 6 ; 当 a1 ? 1, q ? 3 时, S n ? 1? 3 ? 1 1 ? ( ?3) n ? 364 ? n 无整数解. 当 a1 ? ?1, q ? ?3 时, S n ? 1? 3

?

?

4.已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 【解析】∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ?

.

? ?

1? 1 ? ? 1? q ? q? q

∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ? 当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ?

1 1 ? 1? 2 q ? ? 3 ; q q
? 1? 1? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 , ∴ S3 ? ? ??, ?1? ? ?3, ??? q? ? q?

? ?

5.已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? 0 , Sn ? 80 , S2n ? 6560,前 n 项中的数值最大 的项为 54,求 S100 . 【解析】由 an ? 0 , Sn ? 80 , S2n ? 6560,知 q ? 1 ,

? Sn ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q 2n ) ? 80, S2 n ? 1 ? 6560 . 1? q 1? q

?

Sn 1 ? q 2n ? ? 82 ? q n ? 81,? q ? 1 ,又?前 n 项中的数值最大的项为: n S2n 1 ? q
a1 2 ? ,? a1 ? 2, q ? 3 ? S100 ? 3100 ? 1. q 3
2 an ? n ? 4 , 3

an ? a1qn?1 ? 54 ,?

考点 2 证明数列是等比数列 【例 6】已知数列 ?an ? 和 ?bn ?满足: a1 ? ? , a n ?1 ?

bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ,其中 ? 为实数, n ? N ? . ⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?an ? 不是等比数列;

..

⑵ 试判断数列 ?bn ?是否为等比数列,并证明你的结论. 【解题思路】⑴证明数列 ?an ? 不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列 ?bn ?是等比数 列, 常用:①定义法;②中项法.
2 【解析】⑴ 证明:假设存在一个实数 ? ,使 ?an ? 是等比数列,则有 a2 ? a1 ? a3 ,
2 即 ( ? ? 3) ? ? ( ? ? 4) ?

所以 ?an ? 不是等比数列.

2 3

4 9

4 2 4 ? ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 9 9

⑵ 解:因为 bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ? (?1) n?1 ?an?1 ? 3(n ? 1) ? 21?

2 ? ( ?1) n ?1 ?a n ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以 当 ? ? ?18, bn ? 0(n ? N ? ) ,此时 ?bn ?不是等比数列; b 2 当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时, 由上可知 bn ? 0,? n ?1 ? ? (n ? N ? ) , 此时 ?bn ?是等比数列. bn 3
【名师指引】等比数列的判定方法: ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an

2 ⑵中项法: an ?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0

? ?an ? 是等比数列.

【新题导练】 6.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 列;

2 2an 1 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?.证明:数列 { ? 1} 是等比数 3 an ? 1 an

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1 2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 an
【解析】? an ?1 ? 考点 3 等比数列的性质 【例 7】已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ? 【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解. 【解析】? ?an ? 是等比数列,? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 为等比数列, .

? 54( S 3n ? 60 ) ? 36 ? S 3n ?

182 . 3

..

【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法. 【新题导练】 7.已知等比数列 ?an ? 中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? 【解析】? ?an ? 是等比数列, an ? 0 .

? (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ? (a3 ? a5 )2 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6 .
考点 4 等比数列与其它知识的综合 【例 8】设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 ⑴证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

⑵求 ?an ? 的通项公式 【解题思路】由递推公式 ?Sn , an , n? ? 0 求数列的通项公式 an ? f (n) ,主要利用:

? S ( n ? 1) an ? ? 1 ,同时注意分类讨论思想. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)
【解析】由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn , ban?1 ? 2
n n?1

? ?b ?1? Sn?1


两式相减,得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1 ,即 an?1 ? ban ? 2n
n

于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n

⑴当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n

n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?

n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1 ,公比为 q ? 2 的等比数列。

?

?

⑵当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2