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对福建高考数学解析几何试题的评析与思考



对福建高考数学解析几何试题的评析与思考? 邹 黎 华 (福州十一中,福建 福州 350001) 摘要:在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下,高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内 容,有了显著的变化,这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习,都成为专家、教师探讨的重点、热点,也是高考 命题改革的一块试验田.本文通过对 2009 年到 2012 年的福建省高

考数 学理科解析几何试题的评析,考点统计,揭示这些试题是如何贯彻课程标准,反应考试说明的意图,进而反思教师在解析几 何的教学与高三复习,反思高考这一专题的命题. 关键词:课程标准;数学高考;解析几何;评析与反思 前 言 福建省从 2006 年开始实施高中新课程,从 2009 年开始在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下,高考数学科的 新课程卷也呈现其崭新的一面.其中解析几何与以往大纲课程背景下考查形式和内容,有了显著的变化,出现了不少的精彩 试题.不论在试题评价、试题研究还是高考复习,解析几何成为专家、教师探讨的重点、热点,解析几何试题成为高考命题 改革的一块试验田.本文通过对 2009 年到 2012 年的 福建省高考数学理科解析几何试题的评析,希望能够为一线教师的教学、高考复习和命题专家提供有益的思考. 1.解析几何考查综述 1.1《考试说明》对解析几何考点的解读 1.1.1 解析几何的考点与要求(A:了解;B:理解;C:掌握) 要 A B √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 求 C

考 1.直线的斜率与倾斜角 2.直线方程的几种形式 平 面 解 析 几 何 初 步



3.直线的平行关系与垂直关系 4.两条直线的交点 5.两点间距离,点到直线距离 6.平行直线间距离 7.圆的一般方程与标准方程 8.直线与圆、圆与圆的位置关系 9. 空间直角坐标系 10. 空间两点间的距离公式 1.圆锥曲线的实际背景、在解决实际问题中的作用

圆 锥 曲 线 与 方 程

2.椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 3.双曲线的定义、几何图形和标准方程、简单几何性质 4.抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 5.直线与圆锥曲线的位置关系 6.圆锥曲线的简单应用问题 7.数形结合的思想 8. 方程的曲线与曲线的方程的对应关系

1.1.2 考点解读 解析几何是高中数学的一个重要内容, 其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线. 解析几何用代数方法研究图形的几何性质, 体现了数形结合的重要数学思想.利用平面直角坐标系,将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将 几何问题转化为代数问题,运用代数的方法研究曲线的几何性质及其相互位置关系,分析代数结果的几何含义,解决几何问 题. 用代数方法研究几何图形是解析几何的核心.在解题的过程中计算占了很大的比重,对运算求解能力有较高的要求.因 此,首先应强调确定几何图形的几何要素,根据几何要素,用代数方法刻画几何图形,推导出几何图形的方程.其次,强调 用“几何”来引导代数的恒等变换的计算,不要把解析几何变成纯粹的形式推导. 由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系.用向量 方法研究解析几何问题,主要是利用向量的平行(共线) 、垂直关系及成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及成角.平 面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几

何试题适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考 查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查. 1.2 2009——2012 福建省高考数学(理科)解析几何试题考点分布统计 新 课 题 型 考查 曲线 程 背 年 份 景 下 设问方式 涉 及 的 考 点 难易度 及 题 序 分值 背景 的 解 析 几 直线方程、弦长公式 何 的 考查, 填空(13) 4 抛物线 求标准方程中的参数 直线与抛物线的位置关 基础题 最 核 心 的 系 思 想 2009 是 注 求曲线上的点坐标 椭圆方程、圆的方程 重 考 查 学 解答(19) 13 圆椭圆 求方程中参数的值 圆的几何性质、 直线与椭 难 题 生 在 数 形 (存在性问题) 圆的位置关系 结 合 思 想 抛物线的标准方程 基 础 上 的 抛物线 选择(2) 5 求圆的标准方程 几何性质 基础题 图 形 探 究 圆 圆的标准方程 能力, 强 化 双曲线方程; 平面向量的 自 主 探究, 选择( 7 ) 5 双曲线 求取值范围 数量积的坐标运算; 二次 中档题 淡 化 数 值 2010 函数的单调性与最值 推 理 运 椭圆的定义及标准方程 算.形 式 上 求椭圆标准方程 直线方程 按 照 新 课 解答(17) 13 椭 圆 求直线方程 中档题 平行线间的距离 标 的 要求, (存在性设问) 直线与椭圆的位置关系 对 圆 锥 曲 线 部 分 突 椭圆 椭圆、双曲线的定义 选择( 7 ) 5 求离心率 中档题 出 了 定 义 双曲线 圆锥曲线离心率 和 图 形、几 直线方程、圆的方程 何 性 质 的 2011 求圆方程 抛物线方程 研究, 强 调 圆 解答( 17 ) 13 判断直线与 直线与圆、抛物线的位 中档题 多 曲 线 的 抛物线 抛物线是否相切 置关系 综合, 显 化 直线关于 轴对称 x 了 直 线 和 双曲线方程、抛物线方 圆 的 位 置 双曲线 选择( 8 ) 5 求点到直线的距离 程、双曲线的渐近线方 关系. 抛物线 中档题 程、点到直线距离 1.3 考 点 分 椭圆的定义、标准方程、 析 2012 求椭圆方程 几何性质 ① 试 题 结 解答(19) 13 椭圆 求点坐标 圆的方程、性质 难 题 构 平 (存在性问题) 直线与圆锥曲线的位关 稳,题 系、平面向量 量 均 匀.每份试卷基本上是 1 道小题(2010 年 2 道)1 道大题,平均分值 19 分,理 科考查权重

18 ? 12 ? 12% ,应考分值 18 分,实际情况与理论权重基本吻合; 250

②涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多,分值仅占总分的 13%,但涉及到的知识点分布较广,覆盖面 较大; ③涉及曲线类型较全.每份试卷至少涉及三种以上的曲线,2011 年涉及到四种曲线; ④注重与其他内容的交汇:四份试卷解析几何试题中,有三份试题与向量的内容交汇,有一份试题内容与 导数交汇. 2. 2009——2012 福建省高考数学(理科)解析几何试题评析 2.1 客观题评析 例 1: (2009 年)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,
2
?

则 p ? ________________. 【试题评析】要求抛物线标准方程中的一个参数 p 的值,只要构造一个与 p 有关的方程即可.根据已知条件,可根据弦长

AB ? 8 列出方程.具体操作时,可根据弦长公式列方程,亦可根据抛物线的定义列方程,但计算量是有差别的.本题主要
考查推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 例 2: (2010 年)以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( A. x 2 +y2 +2x=0 B. x 2 +y2 +x=0 C. x 2 +y2 -x=0 ).

D. x 2 +y2 -2x=0

【试题评析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为 r=1 ,故所求圆的方 程为 (x-1)2 +y2 =1 ,即 x 2 -2x+y2 =0 ,选 D.本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法.

x2 2 例 3: (2010 年)若点 O 和点 F (?2,0) 分别是双曲线 2 ? y ? 1(a ? 0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 a

??? ? ??? ? OP ? FP 的取值范围为 (
A. [3-2 3, ??)

) . C. [-

B. [3 ? 2 3, ??)

7 , ?? ) 4

D. [ , ??)

7 4

【试题评析】 OP ? FP 中涉及三个点,其中 O, F 是定点, P 是双曲线右支上的动点,所以,可以考虑建立 OP ? FP 与 P 点 坐标之间的函数关系. 根据已知双曲线的焦点坐标可以求出待定系数 a , 再由 P 是双曲线右支上的动点可以用 P 的横坐标 x 来表示 P 的纵坐标 y ,从而建立 OP ? FP 与 P 点横坐标 x 之间的函数关系,通过求函数的值域求出取值范围.本题主要考查 运算求解能力;考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 例 4: (2011 年)设圆锥曲线 ? 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 ? 上存在点 P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 ? 4: 3: 2 ,则曲线 ? 的离心率等于( A. 或 ). B.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 2

3 2

2 或2 3

C.

1 或2 2

D.

2 3 或 3 2

【试题评析】 要求圆锥曲线的离心率, 可以转化为求圆锥曲线中 a , c 之间的关系, 由于题干中没有指出具体是何种圆锥曲线,

a , c 之间的关系,从而求出离心率.本 故要分类讨论,在不同曲线背景下,根据已知 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 ? 4: 3: 2 即可得到
题主要考查推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 例 5: (2012 年)双曲线 4 b
( ) . B. 4 2 C.3 D.5

A. 5

【试题评析】根据抛物线的标准方程即可求出其焦点坐标,亦为双曲线的焦点,从而求出其标准方程中的待定系数 b 的值, 进而求出双曲线的渐近线方程,再利用点到直线的距离公式求出答案.本题主要考查推理论证能力、运算求解能力;考查数 形结合思想. 从以上试题的分析可以看出:我省解析几何的客观题重点考查直线方程、圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程及其 简单的几何性质,计算量不大,但突出对解析几何本质的理解,强调运算求解能力与推理论证能力,重视函数与方程思想、 数形结合思想的应用,题目难度不大,属于基础题或中档题. 2.2 主观题评析 例 1(2009 年)已知 A, B 分别为曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1( y ? 0, a ? 0) 与 2 a

x 轴的左、右两个交点,直线 l 过点 B ,且与 x 轴垂直,S 为 l 上
异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (Ⅰ)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? AB 的三等分点,试求出点 S 的

坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线?若存在,求出 a 的值, 若不存在,请说明理由. 【试题评析】第一问只要抓住 Rt ?ABS ,利用已知条件,即可求解.要注意的是对 T 点的位置分两种情况 讨论.第二问是一个开放性的问题,判断参数 a 的存在性.这类问题的逻辑思路是假设 a 存在,根据满足 的条件 O, M , S 三点共线建立与 a 有关的方程,由方程解的存在情况确定 a 的存在与值.本题考查了推理 论证能力、运算求解能力,考查了数形结合思想、化归与转化的思想以及分类与整合的思想.本题的亮点 是根据 O, M , S 三点共线的不同处理方式,可以有建立方程不同的方法,就有了不同的解法,此法在具体 解题中,要利用直线与曲线的位置关系求出相关点的坐标,这与学生平时习惯用韦达定理, “设而不求” 的训练不同,规避了解题模式,突出对解析几何基本方法的考查. 例 2(2010 年)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由. 【试题评析】第一问可以有两种方法:一是用待定系数法,根据已知两个条件,列出两个方程,从而求解; 二是利用椭圆的定义和已知条件求出 2 a ,再由已知 c 的值求出 b ,从而求得椭圆方程;第二问是开放性问 题,判断满足题设的直线是否存在.从逻辑思维的角度考虑,假设直线 l 存在,则 l 应满足三个条件① l // OA (可求 k ) ;② l 与椭圆有公共点(可建立 k 与 b 的不等关系) ;③ l 与 OA 的距离等于 4(可建立 k 与 b 的 相等关系) ,而确定一条直线只需两个条件即可.因此,可利用 l 满足其中两个条件求出,再检验是否满足 第三个条件,从而得出 l 是否存在.这样,本题有多种不同的解法.本题主要考查运算求解能力、推理论 证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.本题的亮点是,背景学生熟悉,试题入 口宽,可以用不同的想法和解法解决,使不同思维方式的学生都能做题,提供给学生充分展示自己的平台. 例 3(2011 年)已知直线 l : y ? x ? m, x ? R . (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C : x ? 4 y 是否相切?说明理由.
2

【试题评析】第一问可以有两种解法:一是利用 l 与圆相切于 y 轴上一点,求出切点,进而求出圆的半径,从而确定出圆的 方程;二是利用待定系数法,由已知条件列出两个方程,从而确定出圆的方程.第二问是一个开放性问题,判断直线 l 与已 知抛物线是否相切.在研究直线与抛物线的位置关系时,通过联立方程,根据 m 取不同的值情况判断判别式的符号,从而 确定直线 l 是否与已知抛物线相切.本题主要考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、 分类与整合思想.本题的亮点是用方程的工具研究直线与圆锥曲线的位置关系,体现了“以数释形”的“解析”思想.本题 不论是题设背景,还是问题设置都是学生所熟悉的,解题的运算量适中,但却能体现解析几何的本质思想和方法.
' '

x2 y2 例 4(2012 年)如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右 a b
心率 e ?

焦点为 F2 ,离

1 .过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8. 2
x ?4 相交于

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线

点 Q .试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,说明理由. 【试题评析】第一问由已知条件,根据椭圆的定义和离心率的定义即可求解.第二问难度较大,是一个探 究性的开放试题,判断是否存在满足题设的定点.解决此题要突破两个关键:一是由图形的几何特征,判 断出若定点存在,则必在 x 轴上,二是,题设要求“以 PQ 为直径的圆恒过点 M ”应转化为“ MP ? MQ ? 0

???? ???? ?

对满足一定关系的 m, k 恒成立” ,这里一定关系是指 l 与椭圆相切 (4k 2 ? m2 ? 3 ? 0) .从逻辑的角度想, 有两种做法:一是根据“ MP ? MQ ? 0 对满足一定关系(即 4k ? m ? 3 ? 0 )的 m, k 恒成立” ,得出一
2 2

???? ???? ?
2 2

个关于 x 的方程对于满足 4k ? m ? 3 ? 0 的 m, k 的恒成立.从而求出定点坐标;二是先通过两组 m, k 具 体值,得到两个圆方程,求出它们与 x 轴的交点,从而找到定点 M (1,0) ,再证明点 M 满足 MP ? MQ ? 0 . 本题主要考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般的思想.本 题的亮点是体现代数方法对解决几何问题的作用,同时体现图形的几何性质对代数运算的方向和运算量的 减小的作用,在推理论证上,体现不同思维方式引发不同的解题方法,对区分不同数学思维层次的学生有 很好的作用. 从以上试题的分析可以看出:福建省高考数学理科解析几何的解答题的考查无论从知识点、能力点、 还是数学方法、数学思想都符合福建省高考数学考试说明对解析几何的要求,以学生熟悉的曲线类型为背 景,以直线与圆锥曲线的位置关系为重点,以开放式的设问方式为主要形式,在解析几何与向量、函数、 不等式等知识点的交汇处设计试题,以能力立意为主,着重考查学生对解析几何基础知识、核心思想和数 学通法的掌握,试题有较好的区分度,对中学解析几何的教学有很好的导向作用. 3.思考 3.1 从教学的角度思考:通过对四年解析几何的试题分析,进一步坚定在教学中要扎扎实实地讲好直线、圆、圆锥曲线及其 几何性质等基础知识.教学中要学生先通过画图,直观地理解要解决的几何问题的几何意义,再转化为代数问题求解,通过 这个过程学生很容易体会数形结合的思想,体会解析几何的方法;在研究圆锥曲线时,弄清楚曲线方程和参变量的几何意义 是第一位的,在此基础上,运用代数方程的方法解决几何问题,在解决几何问题之后,要回到几何意义的理解上.几何是解 决问题的出发点也是问题解决之后的落脚点,要避免让学生陷入代数的恒等变形而不理解其几何含义.在分析问题、解决问 题中要突出几何要素,注重几何要素的代数化,要在几何要素的引导下进行代数的恒等变形,要让几何图形帮助我们思考问 题、确定恒等变形的方向、简化计算,体会几何直观给我们带来的好处. 3.2 从高三复习备考的角度思考:①认真研读《考试大纲》 、 《考试说明》明确高考对解析几何基础知识、基本技能、基本思 想、基本方法的要求,使复习工作有的放矢;②重视解决解析几何问题通法的训练.从试题分析中可以看出,直线方程、圆 的方程,圆锥曲线的方程和基本性质(基本量)是重点考查的知识点,一定要熟悉基本方法,而直线与圆锥曲线的位置关系 及其引发的各类问题是主观题的考查热点,要通过典型例题的操作、讲解,帮助学生总结解题思路,思考策略和通行通法, 此外,要注意解析几何与其他数学内容的交汇,加强知识整体性的认知,锻炼学生在对参数的运算处理和面对繁杂的数学式 子变形时应有的沉着心理和坚强毅力; 3.3 从高考试题命制的角度思考:通过分析发现一些商榷的问题,例如四年解析几何的主观题的第二问都是采用开放式的设 问方式,探究存在性的问题,显得“稳定有余” , “变化不足” ;考查的切入点可以再丰富一些,比如解析几何中的最值问题, 范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说:他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时,就很有 启发性.比如 2010 年安徽卷理科 19 题,该题入题口宽,既可用传统的联立直线与曲线,从方程的角度解决,也可利用点在 曲线上的本质,用整体运算、对称运算的方法求解.再比如 2011 年上海卷理科 23 题,主要涉及到中学最常见的几个轨迹, 通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题,特别是第三问,呈现给学生三个选择,学生可根据自已的实际情况选 择答题,当然不同层次的问题,评分也不一样,体现让不同的学生在数学上得到不同的发展;试题将用代数方法研究几何问 题这一解析几何的本质方法通过新定义的方式得到了精彩演绎.这些命题的思路都值得我们借鉴. 总的说四年解析几何的试题命制是成功的.很好的贯彻了“关注交汇,注重探究,规避模式,强调应用,体现理念”的 高考命题指导思想和“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想.命题立足 学科知识本质,降低试题整体难度,注重考查基础知识、基本技能和基本思想的掌握程度,努力体现对知识和技能、过程和 方法、情感态度和价值观等目标的要求,以发挥试题对推进普通高中实施素质教育的积极导向作用. 参考文献: [1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社 2003 [2 福建省教育考试院编.2012 年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明[M]. 福建:福建教育出版社 2012 [3]王尚志.数学教学研究与案例[M].北京:高等教育出版社 2006

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