9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

竞赛辅导-三角函数



三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在 现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、 数学竞赛中的必考内容之一.

同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质

形如y=Asin(ωx+φ)+B图象
y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式 和差化积公式

正弦定理、 余弦定理、 面积公式

S2α= C2α= T2α=

Sα/2= Cα/2= Tα/2=

万能公式

降幂公式

三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异

宏 观 思 路

寻找联系

利用有关公式,建立差异间关系

促进转化

活用公式,差异转化,矛盾统一

微 观 直 觉

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、见切割,想化弦;个别情况弦化切; 3、见和差,想化积;见乘积,化和差; 4、见分式,想通分,使分母最简; 5、见平方想降幂,见“1±cosα ”想升幂; 6、见sin2α ,想拆成2sinα cosα ; sinα +sinβ =p 7、见sinα ±cosα 或

想两边平方或和差化积 cosα +cosβ =q 8、见a sinα +b cosα ,想化为

a 2 ? b 2 sin(α ?φ )形式
9、见cosα ?cosβ ?cosθ ????,先 sin 2α 若不行,则化和差 运用cosα ? ? 2 sinα 2 sin 10、见cosα +cos(α +β ) 2 ? +cos(α +2 β )????, 想乘 2 sin 2

一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性 、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、 立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用. 【例1】 【例2】 求函数y=2sin( -2x)的单调增区间。

若φ∈(0, ),比较sin(cosφ),cos(sinφ),

cosφ这三者之间的大小。 解:∵在(0, )中,sinx<x<tanx,而0<cosx<1< ∴sin(cosφ)< cosφ。∵在(0, )中,y=cosx单调递减, ∴cosφ< cos(sinφ)。 ∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】

已知x,y∈[-

,

],a∈R,且

求cos(x+2y)的值。
解:原方程组化为 函数f(t)=t3+sint在[∵x,-2y∈[, ],

,

]上单调递增,且f(x)=f(-2y)

∴x=-2y,∴cos(x+2y)=1。

【例4】

求证:在区间(0, )内存在唯一的两个数c、d(c<d),

使得 sin(cosc)= c, cos(sind)= d. 证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0, ]内是 单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,

f( )=cos(sin

)-

= cos 1-

<0,

∴存在唯一的d∈(0, ),使f(d)=0,即cos(sind)= d. 对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind)) =sin d,sin(cosc)=c。 显然c∈(0, )。且由y=sinx在(0, )上的单调性和d的 唯一性,知c也唯一。故存在唯一的c<d,使命题成立。

【例5】α、β、γ∈(0, ),且cotα=α,sin(cotβ)=β, cot(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。
解:∵α、β、γ∈(0, )∴cotβ>0,0< sinγ<γ<
),

∴β=sin(cotβ)< cotβ,γ=cot (sinγ)> cotγ。
作出函数y=ctgx在(0, )上的图象,可看出:β<α<γ。

【例6】

n∈N,n≥2,求证:cos < <·· ·< < <1

· cos ··· cos ··

>

证明:∵0<

∴0<sin <

, ,cos2

=1-sin2

>1-

=

k=2,3,…,n。

∴(cos
=( ∴cos

· cos
)>

··· ·· cos
>( )2,

)2>(

)· (

)·· ·(

)

· cos

··· cos ··

>

【例1】(1)已知cosβ= <β<π,求sinα的值。
(2)已知sin( -α)=

,sin(α+β)=

,且0<α<

,求

的值。

提示:(1)sinα= (2)sin2α=1-2 sin2( -α)=

=
; 。

【例2】求cos

cos

cos

… cos

的值。

解法1:利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ= 得 cos cos cos cos cos cos = cos cos cos = cos cos = ==

∴原式=

解法2:原式=
=

··· ··

=

=

【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。 【例4】若sinα+cosβ= 求sinαcosβ的值。 【例5】已知f(x)= 0<θ<π,求θ。 ,cosα+sinβ= ,

sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,

【例6】方程 sinx+cosx+a=0在(0,2π)内有相异两根α、 β,求实数a的取值范围,以及α+β的值。

解:∵
t∈(

sinx+cosx+a=0,∴sin (x+

)=-

。令t= x+

,则

, ),sint= -

作出函数y= sint,t∈(

, )的图象:

由图象可以看出:当-1< - , <1且-



即-2<a<-



- <a<2时,sint= 有相异两根t1、t2,原方程有相异 两根α、β,并且 。 当-2<a<- 时,t1+t2=(α+ )+(β+ )=π,α+β= 当<a<2时,t1+t2=(α+ )+(β+ )=3π,α+β=







更多相关文章:
2014全国数学竞赛预赛试题分类:三角函数
2014 数学预赛试题分类:三角函数天津 6.如果△ABC 中,tanA, tan B,tanC 都是整数,且 A >B>C,则以下说法错误的是( ( A ) . A < 80° (B) . B <...
初三上竞赛辅导资料6(三角函数的应用)学生版
初三上竞赛辅导资料6(三角函数的应用)学生版_数学_初中教育_教育专区。初三上竞赛辅导资料 6 三角函数的应用知识要点: 用三角函数来解(证)几何题,是把几何变换和...
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数_学科竞赛_高中教育_教育专区。三角恒等式与三角不等式一、基础知识 定义 1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的...
高二数学竞赛辅导材料1-三角函数
高二数学竞赛辅导材料1-三角函数_数学_高中教育_教育专区。高二数学竞赛辅导材料 1——三角函数 1(06)已知函数 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a ...
高一数学竞赛辅导计划
二辅导时间与地点:星期一科技楼二楼竞赛辅导室 星期三科技楼二楼竞赛辅导室 辅导课程计划: 函数,三角函数,平面向量,数列,不等式 函数与方程,初等数论,多项式。 ...
高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)
2012 年增城市高一级数学竞赛 高一数学竞赛辅导——三角函数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项...
高中数学竞赛辅导培优七:三角函数的概念、基本关系式、...
高中数学竞赛辅导培优七:三角函数的概念、基本关系式、诱导公式、两角和与差及二倍角公式_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学培优七:三角函数的概念、基本关系式...
三角函数培优竞赛
6 成功需要基础 9 年级《解直角三角形》拓展训练 能力需要方法 题型:三角函数与一元二次方程的综合题(2) 例:在 Rt△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C ...
高中数学竞赛辅导讲义 第六章 三角函数【讲义】
高中数学竞赛辅导讲义 第六章 三角函数【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。第六章一、基础知识 三角函数 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做...
江苏省四星级学校高中数学竞赛辅导资料(三角函数)
江苏省四星级学校高中数学竞赛辅导资料(三角函数)_学科竞赛_高中教育_教育专区。江苏省四星级学校高中数学竞赛辅导资料(三角函数)专业奥赛辅导老师倾情打造整理高二...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图