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指数函数与对数函数图像性质讲义练习题含答案



指数函数与对数函数

知识点一:对数函数与指数函数的图像与性质 指数函数 对数数函数

表 1 定 义 域 值 域

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R
y ? ? 0, ?? ?

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ?

0, ?? ?
y?R

图 象

过定点 (0,1) 减函数 性 质 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

a?b

a?b

a?b

a?b

知识点二:对数函数与指数函数的基本运算 指数函数:

(1)a r ? a s ? _______(a ? 0, r, s ? R)
(3) ? a r ? ? _______( a ? 0, r , s ? R)
s

( 2a ) r ? a s ? _ _ _ _ _a_? _ ( r s? 0R , ,
(4) __ b ? ( , r ? 0R , ? a b? ? _ _ _ _ _ _ a
r

)
)

对数函数: 恒等式: a
log a N

? N ; log a a b ? b (a ? 0, a ? 1)

① log a ( M · N ) ? ____________________;

M ? __________________________; N n ③ log a M ? _________________________ (n ? R) .
② log a

换底公式

log a b ?

log c b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . log c a
第 1 页 共 1 页

(4)几个小结论: ① log a n b ? _____ ;② log a
n m n

M ? ______ ;

③ log a n b ? _______ ;④ log a b ? logb a ? ____

log a 1 ? ____;log a a ? _____ .
? 7? 例:1、 ? 2 ? ? 9?
0.5

37 ? 10 ? 3 ? 0.1 ? ? 2 ? ? 3? 0 ? ; 48 ? 27 ?
?2

?2

2、 (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1

4

2

32

3.化简

?

a 3b 2 ? 3 ab 2 ( a ? 0, b ? 0) 的结果是__________. 1 1 4 b a 4b2 ? 3 a

?

4.方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x =_______. 5. 3 ? 12 ? 8 ,则
x y

1 1 ? ? ______ . x y
2 x? y

6.若 10 ? 3 , 10 ? 4 ,则 10
x y

? ________.

知识点三:反函数 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。 2.对数函数 y=loga x 与指数函数 y=ax 互为反函数,图象关于直线 y=x 对称。 3 .函数 y=f(x)的反函数通常用 y=f-1(x) 表示。 求函数反函数的步骤: 1 ? 反解 2 ? x 与 y 互换 3 ? 求原函数的值域 4 ? 写出反函数及它的定义域 例:求反函数(1)y=lgx

?2?y ? log 1 x.
3

(1)y=5x

2? ?2? y ? ? ? ? ?3?

x

2.函数 f(x)=loga (x-1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点(1, 4),求 a 的值.

3.已知函数 y=f(x)图像过点(-2,1) ,则 y=f -1(x)图像必过哪个点?
第 2 页 共 2 页

课堂练习: 例:.1 求函数 y = ( ) ? x

1 2

2

? 2 x ?1

的定义域、值域、单调区间.

2 求函数 y = log 2 (x2 -5x+6) 的定义域、值域、单调区间.

3 函数 y ? log 1
2

( x 2 ? ax ? 3 a )

在区间 [2,??) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

4 设 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1的最大值和最小值. 2

课后练习: 1、已知 f (10 ) ? x ,则 f (5) ? (
x

) D、 lg 5 )

A、 10

5

B、 5

10

C、 lg10

2、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是( ①若 M ? N 则 log a M ? log a N ;

②若 log a M ? log a N 则 M ? N ;
第 3 页 共 3 页

③若 log a M ? log a N 则 M ? N ; ④若 M ? N 则 log a M ? log a N 。
2 2 2 2

A、①②③④

B、①③
x

C、②④
2

D、② )

3、设集合 S ? { y | y ? 3 , x ? R}, T ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则 S ? T 是 ( A、 ? B、 T C、 S D、有限集 ) D、 ? 3, ?? ?

4、函数 y ? 2 ? log 2 x( x ? 1) 的值域为( A、 ? 2, ?? ?
0.9

B、 ? ??, 2 ?
0.48

C、 ? 2, ?? ?
?1.5

5、设 y1 ? 4 , y2 ? 8 A、 y3 ? y1 ? y2

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则(

) D、 y1 ? y2 ? y3

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2 )

6、在 b ? log ( a ? 2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是( A、 a ? 5或a ? 2
2 2

B、 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5 )

C、 2 ? a ? 5

D、 3 ? a ? 4

7、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2 ? lg 5 等于( A、0 B、1 C、2

D、3 ) D、 3a ? a ? 1
2

8、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log 3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 9、若 10 A、
2x

B、 a ? 2

C、 3a ? (1 ? a) )

2

? 25 ,则 10 ? x 等于(
B、 ?

1 1 1 C、 D、 5 625 50 2 x 10、若函数 y ? (a ? 5a ? 5) ? a 是指数函数,则有( )
A、 a ? 1 或 a ? 4 B、 a ? 1 C、 a ? 4 D、 a ? 0 ,且 a ? 1

1 5

11、当 a ? 1 时,在同一坐标系中, 函数 y ? a 与 y ? log a 的图象是图中的(
x

?x



12、已知 x ? 1 ,则与

1 1 1 + + 相等的式子是( log 3 x log 4 x log 5 x



A、

1 log 60 x

B、

1 log 3 x ? log 4 x ? log 5 x

C、

1 log x 60

D、

12 log 3 x ? log 4 x ? log 5 x
第 4 页 共 4 页

og 13、若函数 f (x) ?l
A、

a

(0 x

?a 1 ? )

在区间 ? a, 2a ? 上的最大值 是最小值的3 倍,则 a 的值为(



2 4

B、

2 2
x

C、

1 4
x

D、

1 2
x xx

14、下图是指数函数(1) y ? a , (2) y ? b , (3) y ? c x, (4) y ? d a、b、c、d 与 1 的大小关系是( ) A、 a ? b ? 1 ? c ? d B、 b ? a ? 1 ? d ? c C、 1 ? a ? b ? c ? d D、 a ? b ? 1 ? d ? c 15、若函数 y ? ( ) |1? x| ? m 的图象与 x 轴有公共点, 则 m 的取值范围是( ) A、 m ? ?1 B、 ?1 ? m ? 0 16 已知 f ( x) ? log 2 C、 m ? 1 D、 0 ? m ? 1
(1) y (2)

的图象,则

(3)

(4)

1 2

1 O x

1? x 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。

17、已知

x ?3 ? x ) f ( x) ? log (2 , 4

2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求取得最大值时的 x 的值.

18.已知函数 f ( x) ? ( )

1 3

ax 2 ? 4 x ? 3

.

(1)若 a ? ?1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f ( x) 的值域是(0,+∞),求 a 的取值范围

选择题:DDCCC BBBAC AAABB 1? x 16、(1)由于 ? 0 ,即 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 1 1? x 1? x ∴函数 f ( x) ? log 2 的定义域为 (?1,1) 1? x
第 5 页 共 5 页

(2) f ( x) ? 0 ,即 log 2 ∴

1? x ? 1,? x ? (?1,1),?1 ? x ? 0,?1 ? x ? 1 ? x ? x ? 0 1? x 1? x 又∵函数 f ( x) ? log 2 的定义域为 (?1,1) ,∴使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为 (0,1) 1? x 2 17、解:(1)由 2 x ? 3 ? x ? 0 ,得函数 f ( x) 的定义域为 (?1,3)

1? x 1? x ? 0 ? log 2 ? log 2 1 ∵以 2 为底的对数函数是增函数, 1? x 1? x

2 2 令 t ? 2 x ? 3 ? x , x ? (?1,3) ,由于 t ? 2 x ? 3 ? x 在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减,而 f ( x) ? log 4 在
t

R 上单调递增,
所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,1],递减区间为[1,3) (2)令 t ? 2 x ? 3 ? x , x ? (?1,3) ,则 t ? 2 x ? 3 ? x ? ?( x ? 1) ? 4 ? 4 ,
2
2 2

所以

x ? 3? x ) f ( x) ? log (2 ? log t4 ? log 4 4 4 ? 1 ,所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取最大值 1.

2

18、解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( ) 令 g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ,
2

1 3

? x2 ? 4 x ?3



由于 g ( x) 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而 y ? ( ) 在 R 上单调递减,
t

1 3

所以 f ( x) 在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f ( x) 的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). (2) 令 h( x) ? ax ? 4 x ? 3 , 则 y ? ( )
2

1 3

h( x)

, 由于 f ( x) 有 最 大值 3 ,所 以 h( x ) 应 有最 小值 ?1 , 因 此必 有

?a ? 0 ? ,解得 a ? 1 . ?12a ? 16 ? ? 1 ? ? 4a
即当 f ( x) 有最大值 3 时, a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知,要使 y ? ( )

1 3

h( x)

的值域为(0,+∞).应使 h( x) ? ax ? 4 x ? 3 的值域为 R ,因此只能
2

有 a ? 0 。因为若 a ? 0 ,则 h( x ) 为二次函数,其值域不可能为 R 。故 a 的取值范围是 a ? 0 .

第 6 页 共 6 页



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