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四川省德阳市2012届高三第一次诊断性考试(数学理)



四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断性考试(数学理)WORD 版
说明: 1.试卷分第 I 卷和第 II 卷。将第 I 卷的正确选项填在答题卡上,第 II 卷用铅笔或圆珠笔 直接答在试卷上。 2.本试卷满分 150 分,120 分钟完卷。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只

有 一项是符合题目要求的。 ) 1.记集合 M ? { x | x ? 4}, N ? { x | x ? 3 x ? 0} ,则 N ? M =
2 2

( A. { x | 2 ? x ? 3} C. { x | ? 2 ? x ? 3}

) B. { x | x ? 0 或 x ? ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2}

2.已知复数 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 1 ? i , 则 z ? z1 ? z 2 在复平面上对应的点位于 ( ) B.第二象限

A.第一象限

C.第三象限
a1 5 a5

D.第四象限

3.在等比数列 { a n } 中, a 5 ? a11 ? 3, a 3 ? a13 ? 4 ,则 ( A.3 B.
1 3

=

) C.3 或
2

1 3

D. ? 3 或 ?

1 3

4.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 6 0 ? ,那么 a ? 6 a ? b 等于 ( A. 1 ? 3 3 5.函数 y ? co s( x ?
?
2

) C.3
? x ) 具有性质

B.4
) ? sin (

D.7

?
3




?
6

A.最大值为 3 ,图象关于直线 x ? B.最大值为 1,图象关于直线 x ?
?
6

对称

对称

C.最大值为 3 ,图象关于 ( D.最大值为 1,图象关于 ( 6 . 已 知 函 数 f (x) ? ?
?
6

?
6

, 0 ) 对称

, 0 ) 对称

? ( a ? 0 .5)( x ? 1), x ? 1 ? lo g a x a x ? 1

在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是

( ) A. 0 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 0.5 C. a ? 0 .5 D. 0 .5 ? a ? 1 7.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) ( ) ①“若 a,b ? R,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“a,b ? C,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ② “若 a,b,c,d ? R, 则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d ” 类比推出 “若 a , b , c , d ? Q , 则 a ? b 2 =c ? d
2 ? a ? c, b ? d ” ;

③若“a,b ? R,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“a,b? C,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 其中类比结论正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知命题 p :
1 4 ? 2 ?
x

1 2

,命题 q : x ? )

1 x

? [?

5 2

, ?2] , 则 下 列 说 法 正 确 的 是



A.p 是 q 的充要条件 B.p 是 q 的充分不必要条件 C.p 是 q 的必要不充分条件 D.p 是 q 的既不充分也不必要条件 9.六个人排成一排,甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有 ( ) A.480 B.720 C.240

D.360

10.已知四边形 ABCD 上各点在映射 f : ( x , y ) ? ( x ? 1, 2 y ) 的作用下的象集为四边形
A ' B ' C ' D ' ,若四边形 A ' B ' C ' D ' 的面积为 12,那么四边形 ABCD 的面积为

( A.9 B.6

) C. 3 D.12

?1, x ? 0 ? 3 2 11 . 已 知 符 号 函 数 sg n ( x ) ? ? 0 , x ? 0 , 那 么 y ? sgn( x ? 3 x ? x ? 1) 的 大 致 图 象 是 ? ? 1, x ? 0 ?





12.设函数 f ( x ) ? a x ?

x x ?1

( x ? 1) ,若 a 是从—1,0,1,2 三数中任取一个,b 是从 1,

2,3,4 五数中任取一个,那么 f ( x ) ? b 恒成立的概率为 ( A.
1 2


7 20

B.

C.

2 5

D.

9 20

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将答案填在题中横线上) 13 . 已 知 随 机 变 量
P( ? a X 4 ?
5

X ? N ( 2, ? ),
2



P ( X ? a ) ? 0.26

, 那 么

?

)a
4

。 。
? ?
, 4 2 ],

14. (1 ? 2 x ) (1 ? 3 x ) 的展开式中按 x 的升幂排列的第 2 项等于

? 15. 下列命题: ①若 f ( x ) 是定义在[—1, 1]上的偶函数, 且在[—1, 0]上是增函数, ? [

则 f (sin ? ) ? f (sin ? ) ②若锐角 ? , ? 满足 co s ? ? sin ? , 则 ? ? ? ? ③若 f ( x ) ? 2 co s
2

?
2

.

x 2

? 1, 则 f ( x ? ? ) ? f ( x ) 对 x ? R 恒成立。 x 2 ?

④要得到函数 y ? sin ( 其中是真命题的有

?
4

) 的图象,只需将 y ? sin

x 2

的图象向右平移

?
4

个单位。

(填正确命题番号) 。
? (x)

16.我们把形如 y ? f ( x )

的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对法
? (x)

数:在函数解析式两边求对数得 ln y ? ln f ( x )

? ? ( x ) ln f ( x ) ,两边对 x 求导数,



y? y

? ? ? ( x ) ln f ( x ) ? ? ( x )

f ?( x ) f (x)
x

, 于是 y ? ? f ( x )

? (x)

[? ? ( x ) ln f ( x ) ? ? ( x )

f ?( x ) f (x)

],

运用此方法可以求得函数 y ? x ( x ? 0) 在(1,1)处的切线方程是 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分)解答应写出文字说明及演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 sin x co s x ? co s x ? 1 .
2



(1)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A ) ? 2, b ? 1, △ABC 的面积
3 2



, 求 a 的值。

18. (本小题满分 12 分) 有混在一起的质地均匀且粗细相同的长分别为 1,2,3 的钢管各 2 根(每根钢管有不同 的编号) 。现随意抽取 3 根(每根钢管被抽取的可能性是均等的) 。再将抽取的三根钢管首尾 相接焊成笔直的一根。 (不考虑焊接顺序) (1)求抽取的 3 根钢管中恰有两根长度相等的概率; (2)用 ? 表示新焊成的钢管长度(不计焊接误差) ,求 ? 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 在 直 角 坐























??????? ????? ? { An } ,{ B n } ,{C n } , n ? N *, 其 中 An ( n , a n ), B n ( n , b n ), C n ( n ? 1, 0) ,满足 A n A n ? 1 / / B n C n ,且

点列 { B n } 在方向向量为(1,6)的直线上, a1 ? a , b1 ? ? a . (1)用 a,n 表示 bn;

(2)用 a,n 表示 an; (3)若数列 { a n } 是递增数旬,试确定 a 的范围。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? 2 4 ? 2 b ? b x , g ( x ) ? ( x ? a ) ( a , b ? R .)
2 2 2

(1)当 b=0 时,若 f ( x ) 在 ? ? ? , 2 ? 上单调递减,求 a 的取值范围; (2)求满足下列条件的所有整数对(a,b) :存在 x 0 ,使得 f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的最大值, 同时 g ( x 0 ) 是 g ( x ) 的最小值。

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和,且满足
a n ? S 2 n ?1 , n ? N ,数列 {b n } 满足: b n ? 2 ? 2 b n ? 1 ? 3 b n , n ? N , b1 ? x , b 2 ? y .
2 * *

(1)求 a n ; (2)判断数列 {b n ? b n ? 1 } 是否是等比数列?证明你的结论; (3)求和 T n ? a1 b1 ? a1 b 2 ? a 2 b 2 ? a 2 b3 ? ? ? a n b n ? a n b n ? 1 .

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ln x ?
1 2 a x ? b x , a ? 0 且 函 数 f ?( 1 ) = 0 .
2

(1)闭幕式用含 a 的式表示 b; (2)求 f ( x ) 的单调区间; ( 3 ) f ( x ) 的 图 象 上 是 否 存 在 不 同 两 点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 使 f ( x ) 有 过 点
M ( x 0 , f ( x 0 )) 的切线 l , 且 l / / A B ?其中 x 0 ?
x1 ? x 2 2

。若存在,求出 A,B 的坐标;否

则,说明理由。



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