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(新课程)高中数学《2.2等差数列》第1课时课件 新人教A版必修5



2.2

等差数列

第1课时 等差数列的概念及通项公式
【课标要求】 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的判定方法. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认 识并能运用. 【核心扫描】 1.等差数列的判定.(难点) 2.等差数列的通项公式及运用.(重点)

自学导引
1. 等差数列的

定义 前一项 2 如果一个数列从第__项起,每一项与它的_______的差等 同一个常数 于___________,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数 公差 _____叫做等差数列的_____ ,通常用字母__表示. d :若已知数列{an}中,首项为a1,且满足an-an-1 =d(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(n∈N*),则数列{an}为等 差数列,正确吗? 提示:正确.上述式子是等差数列定义的符号表示.

2. 等差中项 A 由三个数a,A,b组成的等差数列中,__叫做a与b的等差 中项.这三个数满足关系式a+b=___. 2A 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则等差数列的通 a1+(n-1)d 项公式为an=____________.

:推导等差数列的通项公式,除了课本上的归纳法 外,还有哪些方法. 提示:法一 (累加法) ∵{an}为等差数列, ∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…, a2-a1=d. 以上各式两边分别相加,得an-a1=(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d. 法二 (迭代法) ∵{an}是等差数列, ∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…= a1+(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d.

法三 (逐差法) ∵{an}是等差数列, ∴an=an-an-1+an-1,an-1=an-1-an-2+an-2,an-2= an-2-an-3+an-3,…,a2=a2-a1+a1, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2 -a1)+a1=(n-1)d+a1, ∴an=a1+(n-1)d.

名师点睛
1. 等差数列定义的理解 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义,其 一,第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差 ”相吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必须从 第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差. (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要 求,它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个数列不 能称为等差数列.

2. 等差中项的理解

a+b (1)a,A,b 成等差数列?A-a=b-A?A= . 2
(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差 数列的方式,如若an,an+1,an+2满足2an+1=an+an+2, 则数列{an}为等差数列,这是因为2an+1=an+an+2等价于 an+1-an=an+2-an+1,显然满足等差数列的定义. (3)在等差数列中,除首末两项外,任何一项都是前后两 项的等差中项.

3. 等差数列的通项公式 (1)确定a1和d是确定通项的一般方法. (2)由方程思想,根据an,a1,n,d中任何三个量可求解另 一个量,即知三求一. (3)通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量 为n的一次函数.

题型一

等差数列的通项公式及应用

【例1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积 为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗? [思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列 的基本运算.

?a +a +a =18, ? 1 2 3 ? 依题意得 ?a1·2·3=66, ? a a

?3a1+3d=18, ? ∴? ?a1· 1+d?· 1+2d?=66, ?a ? ?a

?a1=11, ? 解得? ?d=-5, ?

?a1=1, ? 或? ?d=5. ?

∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0. 故取a1=11,d=-5. ∴an=11+(n-1)· (-5)=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项.

在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两 个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条 件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1, d的关系列方程组求解,但是要注意公式的变形及 整体计算,以减少计算量.

【变式1】在等差数列{an}中,已知a5=11,a8=5,求a10. 解 设数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意知: ?a1+4d=11, ?a1=19, ? ? ? 解得? ?a1+7d=5, ?d=-2. ? ? ∴an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21. ∴a10=-2×10+21=1.

题型二

等差中项及其应用

【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成 等差数列,求此数列. [思路探索] 由a1=-1及a5=7,可使用通项公式求得公差 d,再利用通项公式分别求得a,b,c;也可利用等差中项 先求得b,再依次使用等差中项求得a,c. 解 法一 设a1=-1,a5=7. ∴7=-1+(5-1)d?d=2. ∴所求的数列为-1,1,3,5,7. 法二 ∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项.

-1+7 ∴b= =3. 2 -1+3 又 a 是-1 与 3 的等差中项,∴a= =1. 2 3+7 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c= =5. 2 ∴该数列为-1,1,3,5,7.

在等差数列{an}中,由定义有an+1-an=
an+1+an-1 an-an-1(n≥2,n∈N ),即 an= ,从而由 2
*

等差中项的定义知,等差数列从第 2 项起的每一项 都是它前一项与后一项的等差中项.

【变式2】若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求 m和n的等差中项. 解 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得m+n=6. m+n ∴m 和 n 的等差中项为 =3. 2

题型三

等差数列的判定与证明
4

(n>1),记 【例3】已知数列{an}满足 a1=4,an=4- a n-1 1 bn= . an-2
(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 审题指导

[ 规 范 解 答 ] (1) 证 明

1 1 bn + 1 - bn = - = an+1-2 an-2

an-2 1 1 1 1 an - = - = = .(4 分) ? 4? an-2 2?an-2? an-2 2?an-2? 2 ?4- ?-2 an ? ? 1 1 又 b1= = , a1-2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列.(6 分) 2 2 (2)解 1 1 1 由(1)知 bn= +(n-1)× = n.(10 分) 2 2 2

1 1 2 ∵bn= ,∴an= +2= +2.(12 分) bn n an-2

【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法 有: (1)an+1-an=d(d为常数,n∈N*)?{an}是等差数列; (2)2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列; (3)an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)?{an}是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例 即可.

【变式3】判断下列数列是否为等差数列: (1)an=3-2n; (2)an=n2-n. 解 对任意n∈N*, (1)∵an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,是同一常 数, ∴数列{an}是等差数列. (2)∵an+1-an=(n+1)2-(n+1)-(n2-n)=2n,不是同一 常数, ∴数列{an}不是等差数列.

误区警示

对等差数列的定义理解不透彻

【示例】若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,试说明数列 {an}为等差数列. [错解] 因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2,…, 所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,…, 故数列{an}为等差数列.

证明一个数列为等差数列,以特殊代替 一般,用验证几个特例作为证明是不正确的,必须 用定义或与定义等价的命题来证明.

[正解] 因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*). 所以数列{an}为等差数列.

要说明一个数列为等差数列,必须 说明从第二项起所有的项与其前一项之差为 同一常数,即an-an-1=d(n≥2)恒成立,而不 能只验证有限个相邻两项之差相等.



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