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2017届高三数学复习专题7三角恒等变换与解三角形



2017 届高三数学复习 专题 7 三角恒等变换与解三角形

3 1.(2016· 课标Ⅲ,5,易)若 tan α =4,则 cos2α +2sin 2α =( 64 48 A.25 B.25 16 C.1 D.25 1.A cos2α +2sin 2α = cos2α +4sin α cos α sin2 α +cos2 α 1+4tan α tan2 α +1 3 1+4?4

)



16 64 = 9 =4?25=25. 16+1 ?π ? 3 2.(2016· 课标Ⅱ,9,中)若 cos? -α?=5,则 sin 2α =( ?4 ? )
1

7 1 A.25 B.5 1 7 C.-5 D.-25 ?π ? ? ?π ?? ?π ? ?3?2 2.D sin 2α =cos? -2α?=cos?2? -α??=2cos2? -α?-1=2??5? -1= ? ? ?2 ? ? ?4 ?? ?4 ? 7 -25. 3.(2015· 课标Ⅰ,2,易)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( 3 3 A.- 2 B. 2 1 1 C.-2 D.2 1 3.D 原式=sin 20° cos 10°+cos 20°sin 10° =sin 30° =2. 10 4.(2013· 浙江,6,中)已知 α∈R,sin α +2cos α = 2 ,则 tan 2α =( 4 3 3 4 A.3 B.4 C.-4 D.-3 4.C 方法一(通法):由 ) )

10 ?sin α +2cos α = 2 , 可解得 ? 2 2 ?sin α +cos α =1, 10 3 10 ? ?sin α =- 10 , ? ?sin α = 10 , 或? ? 3 10 10 ? ? ?cos α = 10 ?cos α = 10 . 1 因此 tan α =-3或 tan α =3, 于是 tan 2α = 2tan α 3 2 =- . 4 1-tan α

5 3 方法二(优法):(sin α +2cos α )2=2,展开得 3cos2α +4sin α ?cos α =2,再 3 由二倍角公式得2cos 2α +2sin 2α =0, 3 2 sin 2α 3 故 tan 2α = =-2=-4,选 C. cos 2α

2

1+sin β π? π? ? ? 5.(2014· 课标Ⅰ,8,中)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则 2? 2? cos β ? ? ( )

π π A.3α -β = 2 B.3α +β= 2 π π C.2α -β= 2 D.2α +β= 2 5.C 由 tan α = 1+sin β sin α 1+sin β 得 = , cos β cos α cos β

即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , ?π ? ∴sin(α-β)=cos α =sin? -α?. ?2 ? π? π? ? ? ∵α ∈?0, ?,β ∈?0, ?, 2? 2? ? ? ? π π? ∴α -β∈?- , ?, 2? ? 2 π π? ? ? ? 2 -α∈?0, 2 ?, ?π ? ∴由 sin(α-β)=sin? -α?, ?2 ? π 得 α-β= 2 -α, π ∴2α -β= 2 ,故选 C. 思路点拨:通过切化弦将已知条件转化为角 α,β的正弦与余弦的关系式,然后 根据诱导公式得到角之间的关系. π π 6.(2016· 四川,11,易)cos2 8 -sin2 8 =________. π π π 2 6. 【解析】 cos2 8 -sin2 8 =cos 4 = 2 . 2 【答案】 2 7. (2016· 浙江, 10, 易)已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0), 则 A=________, b=________. 7. 【解析】 ∵2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b,∴sin 2x+cos 2x+1=Asin(ωx +φ)+b. π? ? ∴ 2sin?2x+ ?+1=Asin(ωx+φ)+b,∴A= 2,b=1. 4? ?
3

【答案】

2

1

8.(2015· 四川,12,易)sin 15°+sin 75°的值是________. 8. 【解析】 方法一:sin 15°+sin 75° =sin 15°+cos 15° ? 2 ? 2 = 2? sin 15°+ cos 15°? 2 ?2 ? = 2(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°) 3 6 = 2sin 60°= 2? 2 = 2 . 方法二:由于(sin 15°+sin 75°)2 =(sin 15°+cos 15°)2 3 =1+2sin 15°cos 15°=1+sin 30°=2, 又 sin 15°>0,sin 75°>0, 所以 sin 15°+sin 75°>0, 6 故 sin 15°+sin 75°= 2 . 6 【答案】 2 ?π ? 9.(2013· 四川,13,易)设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是 ?2 ? ________. 9. 【解析】 方法一:sin 2α=-sin α? 2sin αcos α=-sin α, ?π ? ∵α∈? ,π?, ?2 ? 1 3 ∴sin α≠0,∴cos α=-2,则 sin α= 2 , ∴tan α=- 3,∴tan 2α= 2tan α -2 3 = = 3. 1-tan2α 1-3

1 方法二:同方法一,得 cos α=-2, 2π ?π ? 又 α∈? ,π?,则 α= 3 . 2 ? ? 4π ∴tan 2α=tan 3 = 3.
4

【答案】

3

5 ?π ? 10.(2014· 江苏,15,14 分,中)已知 α∈? ,π ?,sin α = 5 . ?2 ? ?π ? (1)求 sin? +α?的值; ?4 ? ?5π ? ?的值. (2)求 cos? - 2 α ? 6 ? 5 ?π ? 10.解:(1)因为 α∈? ,π?,sin α= 5 , 2 ? ? 2 5 所以 cos α=- 1-sin2 α=- 5 . π π ?π ? 故 sin? +α?=sin 4 cos α+cos 4 sin α ?4 ? 2 ? 2 5? 2 5 10 ?+ ? =- = 2 ??- 5 10 . 5 ? 2 ? 5 ? 2 5? 4 ?=- , (2)由(1)知 sin 2α=2sin α cos α=2? 5 ??- 5 5 ? ? ? 5?2 3 cos 2α=1-2sin2α=1-2?? ? = , ?5? 5 ?5π ? ? 所以 cos? - 2 α ? 6 ? 5π 5π =cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α ? 3? 3 1 ? 4? =?- ??5+2??-5? ? ? 2 ? ? 4+3 3 =- 10 .

高考对三角恒等变换的考查主要有三个角度:(1)给角求值;(2)给值求角;(3)给值 求值.试题以选择题、填空题出现,分值为 5 分.以解答题的形式出现时,一般 为中、低档题目,分值为 12 分.

5

(1)(2013· 重庆,9)4cos 50°-tan 40°=( A. 2 B. 2+ 3 2 C. 3

)

D.2 2-1

1 (2)(2015· 江苏,8)已知 tan α =-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为________. ? π? ? 5π ? 3 (3)(2014· 广东,16,12 分)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?=2. 4? ? ? 12 ? ①求 A 的值; π? 3 ? ?3π ? ②若 f(θ)+f(-θ)=2,θ ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2 4 ? ? ? ? 【解析】 sin 40° 4sin 40°cos 40°-sin 40° (1)原式=4sin 40°- = cos 40° cos 40°



2sin 80°-sin 40° 2cos(40°-30°)-sin 40° = cos 40° cos 40° 2(cos 40°cos 30°+sin 40°sin 30°)-sin 40° cos 40° 3cos 40° = 3,故选 C. cos 40° tan(α+β)-tan α 1+tan(α+β)tan α





(2)方法一:tan β=tan[(α+β)-α]= 1 7-(-2) = 1 =3. 1+7?(-2) 方法二:由于 tan(α+β)=

tan α+tan β , 1-tan α·tan β

-2+tan β 1 所以由已知得 = ,解得 tan β=3. 1+2tan β 7 2π 3 3 ?5π? ?5π π? ?=Asin (3)①f? ?=Asin? = A = + 3 2 2, 4? ? 12 ? ? 12 ∴A= 3. π? π? ? ? ②∵f(θ)+f(-θ)= 3sin?θ+ ?+ 3sin?-θ+ ? 4? 4? ? ?
6

π π? π π? ? ? = 3?sin θ·cos +cos θ·sin ?+ 3?sin(-θ)· cos 4 +cos(-θ)· sin 4 ? 4 4 ? ? ? ? π 3 =2 3cos θ·sin 4 = 6cos θ=2, 6 ∴cos θ= 4 . π? 10 ? 又 θ∈?0, ?,∴sin θ= 4 . 2? ? 30 ?3π ? ∴f? -θ?= 3sin(π-θ)= 3sin θ= 4 . 4 ? ?

题(1)是典型的给角求值问题,解决的关键是将式中的非特殊角通过运用角的变换 及相关公式转化为特殊角, 再通过分子分母约分、 正负项抵消等方法求得结果. 在 转化特殊角时,利用了两角和与差的公式. 题(2)是典型的给值求值问题,解题关键是寻求已知角与未知角的关系,巧妙借助 角的变换求解(方法一),方法二根据公式,通过解方程求值. 3 ?5π? 解题(3)的思路是①由 f? ?的值直接求出 A 的值; ②化简 f(θ)+f(-θ)=2可得 cos ? 12 ? ?3π ? θ的值,由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得 sin θ,再化简 f? 4 -θ? ? ? 可得答案. 5 1 (2015· 山东淄博二模,11)若 x,y 都是锐角,且 sin x= 5 ,tan y=3, 则 x+y=________. 5 1 2 5 【解析】 由 x,y 都是锐角,且 sin x= 5 ,tan y=3,可得 cos x= 5 ,sin y= tan2y 10 3 10 , cos y = 2 = 10 . 1+tan y 10 cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y 2 5 3 10 5 10 2 = 5 ? 10 - 5 ? 10 = 2 . π 故 x+y= 4 . π 【答案】 4 ,

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三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角 与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转 化为特殊角的三角函数,有时,虽不能转化为特殊角,但可通过分子分母的约分、 正负项的相互抵消达到化简求值的目的. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题 关键在于“变角” ,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含 已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩 角的取值范围.

1.(2015· 安徽阜阳期末,7)化简 A.1 B. 3 C. 2 D.21.C

cos 40° =( cos 25° 1-sin 40° 原式=

)

cos220°-sin220° cos 25° sin220°-2sin 20°cos 20°+cos220° cos220°-sin220° = cos 25°(cos 20°-sin 20°) = 2sin 65° 2cos 25° = = 2. cos 25° cos 25° )

π? π? ? ? 2.(2016· 河北保定一模,6)已知 cos?α + ?=sin?α- ?,则 tan α 的值为( 3? 3? ? ? A.-1 B.1 C. 3 D.- 3

1 3 1 3 2.B 由已知得2cos α - 2 sin α =2sin α - 2 cos α ,整理得, ?1 ?1 3? 3? ? + ?sin α =? + ?cos α ,即 sin α =cos α ,故 tan α =1. ?2 2 ? ?2 2 ? ?π ? 1 ?2π ? 3.(2016· 山东潍坊质检,5)若 sin? -α?=3,则 cos? ) +2α?=( 6 3 ? ? ? ? 7 7 2 2 A.-9 B.9 C.-9 D.9

8

?π ? 1 ?π ? 1 ?2π ? ? ?π ?? 3.A 由 sin? -α?=3得 cos? +α?=3,于是 cos? +2α?=cos?2? 3 +α??= 6 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? π 7 ? ? 2cos2? +α?-1=-9. ?3 ? 7π ? 4 3 ?π ? ? 4.(2016· 贵州贵阳调研,6)已知 sin? +α?+sin α = 5 ,则 sin?α + ?的值 6 ? ?3 ? ? 是( ) 2 3 B. 5 4 C.5 4 D.-5

2 3 A.- 5

4 3 ?π ? 4.D sin? +α?+sin α = 5 3 ? ? π π 4 3 ?sin 3 cos α +cos 3 sin α +sin α = 5 3 3 4 3 ?2sin α + 2 cos α = 5 ? 3 1 4 sin α + cos α = 2 2 5, 7π ? ? 故 sin?α + ? 6 ? ? 7π 7π =sin α cos 6 +cos α sin 6 4 ? 3 ? 1 =-? sin α + cos α ?=-5. 2 ?2 ? 5.(2016· 浙江杭州模拟,10)若 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ),φ ∈(-π ,0), 则 φ=________. 5. 【解析】 因为 3sin x- 3cos x ? 3 1? =2 3?sin x· -cos x· ? 2 2? ? π ? π? =2 3sin?x- ?,所以 φ=- 6 . 6? ? π 【答案】 - 6 6. (2016· 河南郑州一模, 13)若 tan 20°+msin 20°= 3, 则 m 的值为__________. 6. 【解析】 由于 tan 20°+msin 20°= 3, 可得 m= 3-tan 20° sin 20°

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3cos 20°-sin 20° sin 20°cos 20°

? 3 ? 1 2? cos 20°- sin 20°? 2 ?2 ? = 1 2sin 40° = 4sin(60°-20°) =4. sin 40°

【答案】 4 7.(2016· 重庆巴蜀中学模拟,13)已知 =________. sin αcos α sin αcos α 1 1 7. 【解析】 由已知得 =2,即 =2,于是 sin α= 2 1-(1-2sin α) 2sin2α cos α,故 tan α=1,于是 tan β=tan[α-(α-β)]= 1 1-2 tan α-tan(α-β) = 1+tan α·tan(α-β) sin α cos α 1 1 =2,tan(α-β)=2,则 tan β 1-cos 2α

1+1?2

1 = 1 3. 1 3

【答案】

8.(2016· 广东六校联考,16,12 分)已知函数 f(x)= ? π? sin?x+ ?,x∈R. ? 12? ? π? (1)求 f?- ?的值; ? 4? π? π? 4 ? ? (2)若 cos θ =5,θ ∈?0, ?,求 f?2θ- ?. 2? 3? ? ? 1 ? π? ? π π? ? π? 8.解:(1)f?- ?=sin?- + ?=sin?- ?=-2. ? 4? ? 4 12? ? 6? π? π π? ? ? (2)f?2θ- ?=sin?2θ- + ? 3? 3 12? ? ? π? 2 ? =sin?2θ- ?= 2 (sin 2θ-cos 2θ). 4 ? ? π? 4 ? 因为 cos θ=5,θ∈?0, ?, 2? ?
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3 所以 sin θ=5, 24 所以 sin 2θ=2sin θcos θ=25, 7 cos 2θ=cos2θ-sin2θ=25, π? 2 2 ?24 7 ? 17 2 ? 所以 f?2θ- ?= 2 (sin 2θ-cos 2θ)= 2 ??25-25?= 50 . 3? ? ? ?

1.(2016· 天津,3,易)在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,∠C=120°,则 AC =( ) D.4

A.1 B.2 C.3

1.A [考向 1]设 AC=x,由余弦定理得, x2+9-13 1 cos 120°= =-2, 2?x?3 ∴x2-4=-3x, 即 x2+3x-4=0. ∴x=1 或-4(舍). ∴AC=1,选 A. π 1 2.(2016· 课标Ⅲ,8,易)在△ABC 中,B= 4 ,BC 边上的高等于3BC,则 cos A =( 3 10 A. 10 2.C ) 10 B. 10 10 C.- 10 3 10 D.- 10

[考向 1]如图,作 AD⊥BC 于 D.

π 设 AD=1,∵B= 4 ,∴BD=1.

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1 又∵AD=3BC,∴CD=2, ∴AC= 5,AB= 2, ∴sin α = cos β = 2 1 1 ,cos α = ,sin β = , 5 5 2

1 , 2

∴cos A=cos(α+β)=cos α cos β -sin α sin β = 1 1 2 1 10 ? - ? =- 10 . 5 2 5 2

3.(2014· 江西,4,易)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 π c2=(a-b)2+6,C= 3 ,则△ABC 的面积是( 9 3 A.3 B. 2 3.C 3 3 C. 2 D.3 3 )

[考向 3]c2=(a-b)2+6,

即 c2=a2+b2-2ab+6.① π ∵C= 3 ,由余弦定理得 c2=a2+b2-ab,② 1 1 3 3 3 由①和②得 ab=6,∴S△ABC=2absin C=2?6? 2 = 2 ,故选 C. 1 4.(2014· 课标Ⅱ,4,易)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1,BC= 2,则 AC =( ) C.2 D.1

A.5 B. 5

1 1 4.B [考向 3]由三角形面积公式可知,S=2AB?BC?sin B=2. π 3π 2 又∵AB=1,BC= 2,∴sin B= 2 ,∴B= 4 或 B= 4 .由余弦定理可知,AC2 π =AB2+BC2-2AB· BCcos B.当 B= 4 时,得 AC=1,这时不符合钝角三角形的 3π 要求,故舍去;当 B= 4 时,得到 AC= 5,故选 B. 5. (2012· 上海, 16, 易)在△ABC 中, 若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 5. C B.直角三角形 D.不能确定 )

[考向 2]由已知 sin2A+sin2B<sin2C 结合正弦定理可得 a2+b2<c2, 于是 cos C
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a2+b2-c2 = 2ab <0,C 为钝角,故三角形为钝角三角形. 6.(2016· 课标Ⅱ,13,中)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos 4 5 A=5,cos C=13,a=1,则 b=________. 3 12 6.[考向 1]【解析】 由题意可知,sin A=5,sin C=13. 在△ABC 中,sin B=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 3 5 4 12 63 =5?13+5?13=65. b a ∵sin B=sin A, 63 65 21 asin B ∴b= sin A =1? 3 =13. 5 21 【答案】 13 7. (2015· 广东, 11,易)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3, π 1 sin B= ,C= ,则 b=________. 2 6 π 1 7.[考向 1]【解析】 ∵sin B=2,C= 6 , π 2π ∴B= 6 ,∴A= 3 . b a 由正弦定理得sin B=sin A, 1 3?2 a·sin B ∴b= sin A = =1. 2π sin 3 【答案】 1 sin 2A 8.(2015· 北京,12,易)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin C =________ 8.[考向 1]【解析】 由余弦定理,得

a2+b2-c2 42+52-62 1 cos C= 2ab = = , 2?4?5 8

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b2+c2-a2 52+62-42 3 cos A= 2bc = =4. 2?5?6 3 7 7 ∴在△ABC 中,sin C= 8 ,sin A= 4 . 7 3 2? 4 ?4 sin 2A 2sin Acos A ∴ sin C = sin C = =1. 3 7 8 【答案】 1 9.(2015· 课标Ⅰ,16,中)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC =2,则 AB 的取值范围是________. 9.[考向 1]【解析】 方法一:如图所示,

过点 C 作 CE∥AD 于点 E,则∠CEB=75°,∴CE=BC=2,∠BCE=30°. 3 ∴BE2=BC2+CE2-2BC· CE· cos∠BCE=4+4-8? 2 =8-4 3. 此时,BE= 6- 2. 延长 CD 交 BA 的延长线于点 F,则△BCF 为等腰三角形,且∠CFB=30°,FC =FB, FC2+FB2-BC2 ∴cos∠CFB= 2FC·FB 2FB2-4 3 = 2FB2 = 2 . 解得 FB= 6+ 2. 由题意可知, 6- 2<AB< 6+ 2. 方法二:如图所示,延长 BA,CD 交于点 E.

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则在△ADE 中,∠DAE=105°, ∠ADE=45°,∠E=30°. 1 设 AD=2x,CD=m, 6+ 2 2 在△AED 中,由正弦定理得,AE= 2 x,DE= 4 x. ∵BC=2,在△BCE 中,由正弦定理得, BC CE = sin E sin B, ? 6+ 2 ? ?=2sin 75°, 即 sin 30°·? x + m ? 4 ? ∴ 6+ 2 4 x+m= 6+ 2. 6+ 2 2 2 4 x+m- 2 x= 6+ 2- 2 x,

∵m>0,∴0<x<4.而 AB=

∴AB 的取值范围是( 6- 2, 6+ 2). 【答案】 ( 6- 2, 6+ 2) 思路点拨:本题方法一借助几何图形分析极端情况,得到 AB 边的取值范围;方 法二则是借助两个定理建立函数关系,通过代数方法进行求解. 10.(2015· 湖北,13,中)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上, 仰角为 30°, 则此山的高度 CD=________m.

10.[考向 4]【解析】 在△ABC 中,∠CAB=30°,∠ABC=105°,∴∠ACB
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=45°. 又∵AB=600 m, AB BC 由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° 代入 AB 解得 BC=300 2 m. 在 Rt△BCD 中, 3 CD=BC?tan 30°=300 2? 3 =100 6(m). 【答案】 100 6 11.(2016· 课标Ⅰ,17,12 分,中)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; 3 3 (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 2 ,求△ABC 的周长. 11.[考向 1,3]解:(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即 2cos Csin(A+B)=sin C. 故 2sin Ccos C=sin C. 又 C 为△ABC 的内角, π 1 可得 cos C=2,所以 C= 3 . 1 3 3 (2)由已知,2absin C= 2 . π 又 C= 3 ,所以 ab=6. 由已知及余弦定理得, a2+b2-2abcos C=7. 故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC 的周长为 5+ 7. 12.(2016· 山东,16,12 分,中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, tan A tan B c,已知 2(tan A+tan B)=cos B+cos A.
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(1)证明:a+b=2c; (2)求 cos C 的最小值. sin A sin B ? sin A sin B ? 12.[考向 1]解:(1)证明:由题意知 2?cos A+cos B?=cos Acos B+cos Acos B, ? ? 化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A) =sin A+sin B, 即 2sin(A+B)=sin A+sin B. 因为 A+B+C=π, 所以 sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而 sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得 a+b=2c. a+b (2)由(1)知 c= 2 , 2 2 2 ?a+b? ? ? a + b - a2+b2-c2 ? 2 ? 3?a b? 1 1 所以 cos C= 2ab = =8?b+a?-4≥2, 2ab ? ? 当且仅当 a=b 时,等号成立. 1 故 cos C 的最小值为2. 13.(2016· 浙江,16,14 分,中)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; a2 (2)若△ABC 的面积 S= 4 ,求角 A 的大小. 13.[考向 1,3]解:(1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π),故 0<A-B<π, 所以 B=π-(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π(舍去)或 A=2B. 所以 A=2B.

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a2 1 a2 (2)由 S= 4 得2absin C= 4 , 1 故有 sin Bsin C=2sin 2B =sin Bcos B. 因为 sin B≠0,所以 sin C=cos B. π 又 B,C∈(0,π),所以 C= 2 ±B. π π 当 B+C= 2 时,A= 2 ; π π 时,A= . 2 4 π π 综上,A= 2 或 A= 4 . 当 C-B= 14.(2014· 安徽,16,12 分,中)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a, b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π? ? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ? 14.[考向 1]解:(1)因为 A=2B, 所以 sin A=sin 2B=2sin B·cos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· 2ac . 因为 b=3,c=1,所以 a2=12, 所以 a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= =-3. 2bc = 6 1 2 2 由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos2A= 1-9= 3 . π π 2 2 π? 2 ? 1? 2 4- 2 ? 故 sin?A+ ?=sin Acos 4 +cos Asin 4 = 3 ? 2 +?-3?? 2 = 6 . 4? ? ? ? 方法点拨:本题的关键在于对角的关系“A=2B”两边同取正弦,然后利用倍角 公式,再结合正、余弦定理进行边角互化,从而求得结果. 15.(2015· 课标Ⅱ,17,12 分,中)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC, △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍.

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sin B (1)求sin C; 2 (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长. 1 15.[考向 3]解:(1)S△ABD=2AB·AD sin∠BAD, 1 S△ADC=2AC·AD sin∠CAD. 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC. 由正弦定理可得 sin B AC 1 sin C=AB =2. (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以 BD=2DC= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. 16.(2015· 湖南,17,12 分,中)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,a=btan A,且 B 为钝角. π (1)证明:B-A= 2 ; (2)求 sin A+sin C 的取值范围. sin A a sin A 16.[考向 1]解:(1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得cos A=b=sin B, 所以 sin B=cos A, ?π ? 即 sin B=sin? +A?. ?2 ? π ?π ? 又 B 为钝角,因此 2 +A∈? ,π?, 2 ? ? π π 故 B= 2 +A,即 B-A= 2 .

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π? π ? (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-?2A+ ?= 2 -2A>0, 2? ? π? ? 所以 A∈?0, ?. 4? ? ?π ? 于是 sin A+sin C=sin A+sin? -2A? ?2 ? =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1 1?2 9 ? =-2?sin A-4? +8. ? ? 因为 0<A< π 1?2 9 9 2 2 ? ,所以 0<sin A< ,因此 <-2?sin A-4? + ≤ . 4 2 2 8 8 ? ?

? 2 9? 由此可知 sin A+sin C 的取值范围是? , ?. ? 2 8? 方法点拨:三角形中求解范围问题,关键是借助正、余弦定理进行边角互化,然 后通过三角恒等变换,借助三角函数的性质求解.

利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容,主要考查利用两个定理求 三角形的边的长度、角的大小等,既有灵活多变的小题,也有考查能力的大题, 试题多为中、低档题目,所占分值为 5 分或 12 分.

1(1)(2015· 重庆,13)在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC=________. 3π (2)(2015· 安徽,16,12 分)在△ABC 中,∠A= 4 ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长. 【解析】 AD 得sin B= (1)如图,在△ABD 中,由正弦定理, AB 2 ,∴sin∠ADB= 2 . sin∠ADB

∴∠ADB=45°,∴∠BAD=180°-45°-120°=15°. ∴∠BAC=30°,∠C=30°,
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∴BC=AB= 2. 在△ABC 中,由正弦定理, AC 得sin B= BC ,∴AC= 6. sin ∠BAC

(2)设△ABC 的内角∠BAC,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos∠BAC 3π =(3 2)2+62-2?3 2?6?cos 4 =18+36-(-36)=90, 所以 a=3 10. 又由正弦定理得 sin B= π 由题设知 0<B< 4 , 所以 cos B= 1-sin2B= 1 3 10 1-10= 10 . bsin∠BAC 3 10 = = , a 3 10 10

在△ABD 中,因为 AD=BD, 所以∠ABD=∠BAD, 所以∠ADB=π-2B, 故由正弦定理得 AD= . 正弦定理 内角和定理 (1) 在 △ABD 中,已知 AB , AD ,∠ B ― ― ― ― ― → 求得∠ ADB ― ― ― ― ― → 求得 AD为角平分线 正弦定理 ∠BAD― ― ― ― ― ― ― →求得∠BAC― ― ― ― ― →求得 AC. (2)在△ABC 中,已知∠A,AB,AC 余弦定理 正弦或余弦定理 ― ― ― ― ― ― ― →求出 BC― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →sin B 在△ABD中,正弦定理 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →AD 长度. AB·sin B 6sin B 3 =2sin Bcos B=cos B= 10 sin(π-2B)

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(2014· 天津,12)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, 1 c.已知 b-c=4a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 3 1 【解析】 由 2sin B=3sin C 得 2b=3c, 即 b=2c, 代入 b-c=4a, 整理得 a=2c, 9 2 2 c +c -4c2 b +c -a 4 1 故 cos A= 2bc = =-4. 3 2·2c·c
2 2 2

1 【答案】 -4,

解三角形的常见题型及求解方法 a b c (1)已知两角 A,B 与一边 a,由 A+B+C=π 及sin A=sin B=sin C,可先求出角 C 及 b,再求出 c. (2)已知两边 b,c 及其夹角 A,由 a2=b2+c2-2bccos A,先求出 a,再求出角 B, C. (3)已知三边 a,b,c,由余弦定理可求出角 A,B,C. a b = 可求出另一边 b sin A sin B a c a 的对角 B, 由 C=π -(A+B), 可求出角 C, 再由sin A=sin C可求出 c, 而通过sin A b =sin B求角 B 时,可能有一解或两解或无解的情况. (4)已知两边 a,b 及其中一边的对角 A,由正弦定理

利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形,在 高考中考查频率不高,试题一般为客观题,难度中等,分值为 5 分.

2(1)(2013· 陕西,7)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 B.直角三角形 )

(2)(2016· 山东潍坊一模,7)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,
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若 a=2bcos C,则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 【解析】 B.直角三角形

)

D.等腰三角形或直角三角形

(1)由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,

∴sin(B+C)=sin2A, 即 sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A. π ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即 A= 2 ,故选 B. a2+b2-c2 (2)方法一:由余弦定理可得 a=2b· , 2ab 因此 a2=a2+b2-c2,得 b2=c2,于是 b=c, 从而△ABC 为等腰三角形. 方法二:由正弦定理可得 sin A=2sin Bcos C, 因此 sin(B+C)=2sin Bcos C, 即 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, 于是 sin(B-C)=0,因此 B-C=0,即 B=C, 故△ABC 为等腰三角形. 【答案】 (1)B (2)C,

解题(1)的关键是利用正弦定理将边化为角,再化简,得到结果. 解题(2)时,可利用余弦定理进行角化边(方法一),也可利用正弦定理进行边化角 (方法二).

利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法 (1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式 分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的 关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此 时要注意应用 A+B+C=π 这个结论.
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利用正、余弦定理求解三角形的面积问题,是高考的常考题型,通常有两种考查 角度:(1)求三角形的面积,多以三角形基本的边、角计算为主,难度不大.(2) 将三角形面积与其他知识交汇考查, 涉及面积的最值或范围问题, 此时难度较大. 有关面积问题的考查,在高考中客观题和解答题均有可能出现,所占分值为 5 或 12 分.

3(1)(2014· 课标Ⅰ,16)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为 ________. (2)(2014· 浙江,18,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a≠b,c= 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. ①求角 C 的大小; 4 ②若 sin A=5,求△ABC 的面积. 【解析】 (1)∵a=2,(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,

∴(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C. 由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)· c,∴a2-b2=c2-bc. b2+c2-a2 1 由余弦定理得 cos A= 2bc =2, ∴A=60°且 b2+c2-4=bc,∴b2+c2-4=bc≥2bc-4,当且仅当 b=c 时等号成 立. 1 ∴bc≤4,∴S△ABC=2bcsin A≤ 3,∴△ABC 面积的最大值为 3. 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 - = sin 2 A - 2 2 2 2 sin 2B, 3 1 3 1 即 2 sin 2A-2cos 2A= 2 sin 2B-2cos 2B, π? π? ? ? sin?2A- ?=sin?2B- ?. 6 6? ? ? ? (2)①由题意得 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π),

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π π 2π π 得 2A- 6 +2B- 6 =π,即 A+B= 3 ,所以 C= 3 . 4 a c 8 ②由 c= 3,sin A=5,sin A=sin C ,得 a=5. 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A=5, 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= 8 3+18 1 所以△ABC 的面积为 S=2acsin B= 25 . 4+3 3 10 ,

解题(1)的关键有两个:一是将已知式利用正弦定理转化为边的等式,从而可获得 边的关系,再利用余弦定理可获得 A 的大小;二是结合三角形的面积公式借助均 值不等式求得 bc 的最值,从而得到面积的最值. 解题(2)的关键是注意角大小的比较,从而得到 cos A 的值,然后再利用面积公式 求解.

1.(2015· 天津,13)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 1 c.已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-4,则 a 的值为________. 1 15 1. 【解析】 在△ABC 中,由 cos A=-4可得,sin A= 4 , bc? =3 15, ? ?2 4 所以有?b-c=2, 1 ? ?a =b +c -2bc????-4???, 1 15
2 2 2

?a=8, 解得?b=6, ?c=4.
【答案】 8 2.(2013· 课标Ⅱ,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 a=bcos C+csin B. (1)求 B;
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(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 2.解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= 4 . 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 由已知及余弦定理得 π 4=a2+c2-2accos 4 . 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2

因此△ABC 面积的最大值为 2+1.,

利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法 (1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边角后,直接求三角形的面 积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量. (3)求三角形面积的最值或范围,这时一般要先得到面积的表达式,再通过均值不 等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围.

利用正、余弦定理解决实际问题也是高考考查的一个重要方面.以实际问题情景 为载体考查学生应用知识解决问题的能力.考查频率一般,试题难度中等,所占 分值一般为 5 分或 12 分,以客观题或解答题的形式出现.

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4(2013· 江苏,18,16 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设 缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= 12 3 13,cos C=5. (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 【解析】 12 (1)在△ABC 中,因为 cos A=13,

3 5 4 cos C=5,所以 sin A=13,sin C=5. 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 ? + ? = . 13 5 13 5 65 AB AC AC 1 260 4 由sin C=sin B,得 AB=sin B?sin C= 63 ?5=1 040(m). 65 =sin Acos C+cos Asin C= 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙 距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2?130t?(100+50t)?13=200(37t2-70t+50). 因为 0≤t≤ 1 040 ,即 0≤t≤8, 130

35 故当 t=37(min)时,甲、乙两游客距离最短. BC AC AC 1 260 5 (3)由sin A=sin B,得 BC=sin B?sin A= 63 ?13=500(m). 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50?(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min,
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500 710 1 250 625 由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 43 ≤v≤ 14 , 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ?1 250 625? ? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围内. ? ?

(1)在△ABC 中,先求 sin B 的值,再用正弦定理求解; (2)利用余弦定理,构造距离关于时间 t 的函数,结合二次函数的性质求最值; (3)根据速度、路程、时间三者之间的关系,求出速度的范围. (2014· 课标 Ⅰ 文, 16) 如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°, 已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m. 【解析】 在△ABC 中,AC=100 2,在△MAC 中, MA AC = ,解得 sin 60° sin 45°

MN 3 MA=100 3,在△MNA 中, =sin 60°= 2 ,故 MN=150,即山高 MN 为 100 3 150 m. 【答案】 150,

解三角形应用题的常见情况及方法 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦 定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时 需作出这些三角形,先解条件足够的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需 设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

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解三角形应用题的一般步骤

1.(2016· 江西南昌一模,6)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 3 若 c=1,B=45°,cos A=5,则 b 等于( 5 10 A.3 B. 7 1.C 5 C.7 5 2 D. 14 ?3?2 4 1-?5? =5, ? ? )

3 [考向 1]因为 cos A=5,所以 sin A= 1-cos2A=

所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 4 3 7 2 =5cos 45°+5sin 45°= 10 . b c 由正弦定理sin B=sin C, 1 5 得 b= ?sin 45°=7. 7 2 10 2 . (2015· 山西朔州一模, 6) 若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B ∶ sin C = 5∶11∶13,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.C [考向 2]由于 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,结合正弦定理可知,a∶b∶ )

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a2+b2-c2 25+121-169 c=5∶11∶13, 不妨令 a=5, b=11, c=13, 由于 cos C= 2ab = 2?5?11 <0, ∴C 为钝角,故△ABC 是钝角三角形. 3.(2016· 山东济南二模,5)张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北 方向的公路行驶,在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向上, 则电动车在点 B 时与电视 塔 S 的距离是( A.2 2 km C.3 3 km 3.B )

B.3 2 km D.2 3 km

15 [考向 4]画出示意图如图,由条件知 AB=24?60=6.在 BS AB = ,所以 BS= sin 30° sin 45°

△ABS 中, ∠BAS=30°, AB=6, ∠ABS=180°-75°=105°, 所以∠ASB=45°.由正弦定理知 ABsin 30° =3 2. sin 45° 4.(2015· 安徽合肥三模,9)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a b + sin B sin A=2c,则 A 的大小是( π π π π A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4.C )

sin A sin B [考向 1]由正弦定理可得,sin B+sin A=2sin C,由 sin C≤1,

sin A sin B 即有sin B+sin A≤2, sin A sin B 又 + ≥2(由基本不等式可得), sin B sin A 当且仅当 sin A=sin B,取得等号. π 故 sin C=1,C= 2 ,sin A=sin B, π 即 A=B= 4 . 5.(2016· 河南郑州质检,10)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,

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π 已知 sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A, 且 c= 7, C= 3 , 则△ABC 的面积是( 3 3 A. 4 7 3 B. 6 21 C. 3 3 3 7 3 D. 4 或 6

)

5. D [考向 3]sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A, sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A, sin 2A=2sin Acos A, sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A, 即 2sin Bcos A=6sin Acos π π 21 A.当 cos A=0 时,A= 2 ,B= 6 ,又 c= 7,得 b= 3 .由三角形面积公式知 S 1 7 3 =2bcsin A= 6 ; 当 cos A≠0 时, 由 2sin Bcos A=6sin Acos A 可得 sin B=3sin A, a2+b2-c2 a2+9a2-7 根据正弦定理可知 b=3a,再由余弦定理可知 cos C= = = 2ab 6a2 π 1 1 3 3 cos 3 =2,可得 a=1,b=3,所以此时三角形的面积为 S=2absin C= 4 .综上可 7 3 3 3 得三角形的面积为 6 或 4 . π 6.(2016· 广东汕头二模,12)如图,在△ABC 中,B= 3 ,点 D 在 BC 1 上,cos∠ADC=7,则 cos∠BAD=________. 6.[考向 1]【解析】 在△ABC 中, 1 4 3 ∵cos∠ADC= ,∴sin∠ADC= 1-cos2∠ADC= ,则 7 7 cos∠BAD=cos(∠ADC-B) =cos∠ADC·cos B+sin∠ADC·sin B 1 1 4 3 3 13 =7?2+ 7 ? 2 =14. 13 【答案】 14 7.(2016· 河南南阳一模,15)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, b a tan C tan C c.若a+b=6cos C,则tan A +tan B 的值是________. b a 7.[考向 1]【解析】 ∵a+b=6cos C, a2+b2 a2+b2-c2 3 ∴ ab =6· 2ab ,∴a2+b2=2c2. tan C tan C sin C ?cos A cos B? sin C sin C ∴ tan A+tan B=cos C? sin A + sin B ?=cos C·sin Asin B ? ? c2 2c2 2c2 = = = =4. a2+b2-c2 a2+b2-c2 3 2 2 ab· 2ab 2c -c
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【答案】 4 8.(2016· 河北秦皇岛一模,17,12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, → ?AC → =a2-(b+c)2. b,c,满足 2AB (1)求角 A 的大小; C ?4π ? ?的最大值,并求取得最大值时角 B,C 的大小. (2)求 2 3cos2 2 -sin? - B ? 3 ? 8.[考向 1]解:(1)由已知得 2bccos A=a2-(b+c)2, 由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A,得 4bccos A=-2bc, 1 ∴cos A=-2, ∵0<A<π, 2π ∴A= 3 . 2π (2)∵A= 3 , π π? ? ∴B= 3 -C?0<C< ?, 3? ? C ?4π ? ∴2 3cos2 -sin? -B? 2 ? 3 ? 1+cos C ?π ? ? -B? =2 3? + sin 2 ?3 ? π? ? = 3+2sin?C+ ?. 3? ? π π π 2π ∵0<C< 3 ,∴ 3 <C+ 3 < 3 , π π ∴当 C+ 3 = 2 时, π C ?4π ? ?取最大值 3+2,此时 B=C= . 2 3cos2 2 -sin? - B 6 ? 3 ? 9.(2016· 河南郑州质检,17,12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 2 的对边,D 为边 AC 的中点,a=3 2,cos∠ABC= 4 . (1)若 c=3,求 sin∠ACB 的值; (2)若 BD=3,求△ABC 的面积. 2 9.[考向 3]解:(1)a=3 2,cos∠ABC= 4 ,c=3, 由 b2=c2+a2-2c· a· cos∠ABC
32

2 =32+(3 2)2-2?3?3 2? 4 =18,得 b=3 2. 14 又∠ABC∈(0,π),所以 sin∠ABC= 1-cos2∠ABC= 4 . c b 由正弦定理 = , sin∠ACB sin∠ABC c·sin∠ABC 7 得 sin∠ACB= = b 4. (2)以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE,如图,

2 则 cos∠BCE=-cos∠ABC=- 4 ,BE=2BD=6.在△BCE 中,BE2=CB2+CE2 -2CB· CE· cos∠BCE, ? 2? 即 36=18+CE2-2?3 2?CE??- ?, ? 4? 解得,CE=3,即 AB=3, 1 9 7 所以 S△ABC=2acsin∠ABC= 4 . 10.(2016· 山东淄博三模,16,12 分)在△ABC 中,sin A=sin B=-cos C. (1)求角 A,B,C 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM= 7,求△ABC 的面积. 10.[考向 3]解:(1)由 sin A=sin B 知 A=B, 从而有 C=π-2A, 而 sin A=-cos C=cos 2A=1-2sin2A, 即 2sin2A+sin A-1=0, 1 ∴sin A=-1(舍去)或 sin A=2, π 2π 故 A=B= 6 ,C= 3 . (2)设 BC=2x,则 AC=2x, 在△ACM 中, AM2=AC2+MC2-2AC· MC· cos C, 2π ∴7=4x2+x2-2· 2x· x· cos 3 ,
33

解得 x=1, 2π 1 1 于是△ABC 面积 S=2·CA·CB·sin C=2·2x·2x·sin 3 = 3.

一、三角恒等变换 1.三角恒等变换中常用的公式 (1)两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sin α cos β +cos α sin β ;(Sα +β) sin(α-β)=sin α cos β -cos α sin β .(Sα -β) cos(α+β)=cos α cos β -sin α sin β ;(Cα +β) cos(α-β)=cos α cos β +sin α sin β .(Cα -β) tan(α+β)= tan α +tan β ;(Tα +β) 1-tan α tan β tan α -tan β .(Tα -β) 1+tan α tan β

tan(α-β)=

(2)二倍角公式 sin 2α =2sin α cos α ;(S2α ) cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ;(C2α ) tan 2α= 2tan α .(T2α ) 1-tan2α

(3)半角公式 α sin 2 =± α tan 2 =± 1-cos α α ;cos 2 =± 2 1+cos α ; 2

1-cos α sin α 1-cos α = = sin α . 1+cos α 1+cos α

2.常用的公式变形 (1)辅助角公式 asin α +bcos α = a2+b2sin(α+φ), 其中 cos φ = a b . 2,sin φ = 2 a +b a +b2
2

34

辅助角公式在三角函数中具有最广泛的应用,它是研究三角函数性质、求三角函 数值的重要工具,应熟练掌握. (2)两角和与差的正切公式的变形 tan α +tan β =tan(α+β)(1-tan α tan β ); tan α -tan β =tan(α-β)(1+tan α tan β ). (3)升幂公式 α α 1+cos α =2cos2 2 ;1-cos α =2sin2 2 . (4)降幂公式 1-cos 2α 1+cos 2α 2 sin2α = ; cos α = . 2 2 (5)其他常用变形 sin 2α = 2sin α cos α 2tan α ; 2 2 = sin α +cos α 1+tan2α

cos2α -sin2α 1-tan2α cos 2α = 2 = ; cos α +sin2α 1+tan2α α?2 ? α 1±sin α =?sin ±cos ? ; 2? ? 2 α sin α 1-cos α tan 2 = = . 1+cos α sin α 3.三角函数式的化简与求值的原则与技巧 (1)化简的基本原则 ①能求值的尽量求值; ②使三角函数的种类尽量少; ③使项数尽量少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含有三角函数. (2)化简中“次数”与“角”的关系 “次降角升”“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要 升次.
35

(3)化简中的常用技巧 ①“1”的代换,1=sin2α +cos2α ,1=2cos2α -cos 2α ,1=cos 2α +2sin2α , π 1=tan 4 等; ②用“弦化切”“切化弦”的方法来减少三角函数的种类; ③利用辅助角公式将形如 asin α +bcos α 的式子化为只含有一个三角函数的形 式 a2+b2sin(α+φ); ④角的变换技巧:2α=(α+β)+(α-β),2β =(α+β)-(α-β),α =(α+β)-β=(α π? π ?π ? π ? -β)+β,α =? +α?- 3 =?α - ?+ 3 等. 3? ?3 ? ? 二、正、余弦定理及解三角形 1.正、余弦定理

定理

正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R (其中 R 是△ABC 外接圆的半径) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R;

余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C

内容

变形 形式

b2+c2-a2 cos A= 2bc ; a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a2+c2-b2 cos B= 2ac ; asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A; a2+b2-c2 cos C= 2ab a+b+c =2R sin A+sin B+sin C

2.利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角一边,用正弦定理,只有一解. (2)已知两边及一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为几种情况. 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角

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图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

上表中 A 为锐角时,a<bsin A,无解. A 为钝角或直角时,a=b,a<b 均无解. (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 3.三角形的面积公式 设△ABC 的三边为 a,b,c,对应的三个角分别为 A,B,C,其面积为 S. 1 (1)S=2ah(h 为 BC 边上的高); 1 1 1 (2)S=2absin C=2bcsin A=2acsin B; (3)S=2R2sin Asin Bsin C(R 为△ABC 外接圆半径); abc (4)S= 4R ; 1 ? ? (5)S= p(p-a)(p-b)(p-c)?p=2(a+b+c)?; ? ? (6)S=pr(p 同(5),r 为△ABC 内切圆的半径). 4.三角形中的一些重要结论 (1)A+B+C=π . (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)三角形内的诱导公式: sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; A+B C tan(A+B)=-tan C;sin 2 =cos 2 ; A+B C cos 2 =sin 2 . (5)在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A?tan B?tan C.

37

(6)△ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B=60°. (7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 成等比数 列. (8)在△ABC 中,A>B?sin A>sin B?cos A<cos B. π? ?π ? ? (9)在△ABC 中, 最大内角的取值范围是? ,π ?, 最小内角的取值范围是?0, ?. 3? ?3 ? ? (10)在锐角△ABC 中,sin A>cos B,sin B>cos C,sin C>cos A 等. 5.解三角形实际问题中常用的术语 术语名 称 仰角与 俯角 术语意义 在目标视线与水平视线所成的角中, 目 标视线在水平视线上方的叫作仰角, 目 标视线在水平视线下方的叫作俯角 从某点的正北方向线起按顺时针方向 方位角 到目标方向线之间的水平夹角叫作方 位角,方位角的范围是(0°,360°) 正北或正南方向线与目标方向线所成 方向角 的锐角,通常表达为北(南)偏东 (西)??度 坡角 坡面与水平面的夹角 北偏东 m° 南偏西 n° 图形表示

设坡角为 α,坡度为 i,则 h i= l =tan α

坡度

坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2016· 河北石家庄模拟,4)若 tan α =3,则 sin 2α 的值等于( cos2α )

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A.2 B.3 C.4 1.D

D.6

sin 2α 2sin α cos α = =2tan α =2?3=6. cos2α cos2α

2.(2013· 湖南,3)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B = 3b,则角 A 等于( π π A.12 B. 6 π C. 4 π D. 3 )

2.D 由正弦定理可知,2sin A?sin B= 3sin B,因为 B 为三角形的内角,所以 π π? 3 ? sin B≠0, 故 sin A= 2 .又因为△ABC 为锐角三角形, 所以 A∈?0, ?, 故 A= 3 , 2? ? 故选 D. 2cos225°-1 3.(原创题) 的值等于( sin 200° 1-sin2 20° A.-1 3.C = B.1 C.-2 D.2 )

原式=

cos 50° -sin 20°? cos220°

sin 40° sin 40° = 1 =-2. -sin 20°?cos 20° -2sin 40°

4.(2013· 辽宁,6)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos 1 C+csin Bcos A=2b,且 a>b,则∠B=( π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6 )

1 1 4.A 由正弦定理得 sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin B,即 sin Bsin(A+C)=2 π 5π 1 sin B.因为 sin B≠0,sin(A+C)=sin B,所以 sin B=2,所以 B= 6 或 6 .又因为 π a>b,所以∠B= 6 ,故选 A. π 1 13 5.(2015· 湖南益阳质检,7)已知 cos α =7,cos(α-β)=14,且 0<β<α< 2 ,则 β 等于( π A. 4 ) π B. 6 π C. 3 5π D. 12
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5.C

π π ∵0<β<α< 2 ,- 2 <-β<0,

π ∴0<α-β< 2 , 4 3 3 3 ∴sin α = 7 ,sin(α-β)= 14 . ∴cos β =cos[α-(α-β)] =cos α cos(α-β)+sin α sin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7?14+ 7 ? 14 =2, ∴β = π . 3

6.(2016· 安徽安庆二模,2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则 “A=B”成立的必要不充分条件为( A.cos A=cos B C.bcos A=acos B B.sin A=sin B D.acos A=bcos B )

6.D 由于 A=B?cos A=cos B?sin A=sin B,故排除选项 A 和 B;由 bcos A= acos B 及正弦定理可得 sin Acos B=cos Asin B,即 sin(A-B)=0,从而 A=B,故 排除选项 C;对于选项 D,当 A=B 时,必有 acos A=bcos B,但当 acos A= π bcos B 时,可得 A=B 或 A+B= 2 ,因此 D 项符合. 3 7 ?π π ? 7.(2012· 山东,7)若 θ∈? , ?,sin 2θ = 8 ,则 sin θ =( 2? ?4 3 4 A.5 B.5 7 C. 4 3 D.4 )

3 7 7.D 由已知得(sin θ +cos θ )2=1+sin 2θ =1+ 8 ,于是 sin θ +cos θ = 3 7 3+ 7 3 7 1+ 8 = 4 ,又(sin θ -cos θ )2=1-sin 2θ =1- 8 ,所以 sin θ - cos θ = 3- 7 3 . 因此可得 sin θ = 4 4.

方法点拨:sin θ±cos θ以及 sin θcos θ之间有密切的联系,在 sin θ+ cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中知其一可求其二,这是因为(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ,利用这一关系可以巧妙解决相关的计算问题. 8.(2015· 河南洛阳二模,6)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
40

面积为 S,若 S+a2=(b+c)2,则 cos A 等于( 4 4 A.5 B.-6 15 C.17 15 D.-17

)

8.D ∵S+a2=(b+c)2, ∴S=b2+c2-a2+2bc, 1 ∴2bcsin A=2bccos A+2bc, 化为 sin A-4cos A=4,① sin2A+cos2A=1.② 15 由①②解得 cos A=-17或 cos A=-1(舍去). 15 ∴cos A=-17. ?π ? 9.(2016· 山东青岛一模,5)已知锐角 α 满足 cos 2α =cos? -α?,则 sin 2α 等于 ?4 ? ( ) 2 C. 2 2 D.- 2 1 1 A.2 B.-2

2 9.A 由已知可得 cos2α -sin2α = 2 (cos α +sin α ),因此 cos α -sin α = 2 1 2 1 2 ,所以(cos α -sin α ) =2,即 1-sin 2α =2, 1 故 sin 2α =2. 10.(2016· 浙江温州模拟,4)在△ABC 中,a2+b2+c2=2 3bcsin A,则△ABC 的 形状是( ) B.锐角三角形 D.等边三角形

A.直角三角形 C.钝角三角形

10.D 由已知及余弦定理得 b2+c2-2bccos A+b2+c2=2 3bcsin A, 整理得 b2+c2=bc( 3sin A+cos A), π? π? π? ? ? ? 即 b2+c2=2bcsin?A+ ?, 由于 b2+c2≥2bc, 而 sin?A+ ?≤1, 从而 2bcsin?A+ ? 6 6 6? ? ? ? ? ? π π π ≥2bc,因此必有 b=c,且 A+ 6 = 2 ,即 b=c 且 A= 3 ,从而△ABC 一定为等 边三角形.
41

方法点拨:本题的关键在于利用余弦定理将 a2 转化为用 b2+c2-2bccos A 表示, 然后用辅助角公式化简,通过均值不等式以及三角函数的有界性找到边、角应满 足的关系,从而确定形状. 11.(原创题) 6 3 2 + 的值等于( sin 70° cos 250° C.-4 6 D.4 6 )

A.4 B.-4 11.C 原式=

6 3 2 - sin 70° cos 70°



6cos 70°-3 2sin 70° sin 70°cos 70°

? 1 3? 2 6?cos 70°? -sin 70°? ? 2 2? ? = 1 2sin 140° 2 6?cos(70°+60°) 2 6?cos 130° = 1 1 2sin 40° 2sin 40° -2 6cos 50° = 1 2sin 40° -2 6sin 40° = 1 =-4 6. sin 40° 2 = 12.(2016· 山西吕梁一模,11)设△ABC 的三个内角为 A,B,C,且 tan A,tan B, tan C,2tan B 成等差数列,则 cos(B-A)=( 3 10 A.- 10 10 B.- 10 10 C. 10 3 10 D. 10 )

12.D ∵tan A,tan B,tan C,2tan B 成等差数列, ∴tan A+tan C=2tan B, 2tan C=tan B+2tan B=3tan B, 3 1 即 tan C=2tan B,tan A=2tan B. ∵tan C=tan(π -A-B) =-tan(A+B)

42

tan A+tan B 3 =- = tan B, 1-tan Atan B 2 1 2tan B+tan B 3 2 即 =- 1 2 2tan B,整理得 tan B=4, 1-2tan B 解得 tan B=2(tan B=-2 舍,否则 A,B,C 都是钝角,不成立), 1 则 tan A=2tan B=1, 则 tan(B-A)= tan B-tan A 2-1 1 = = , 1+tan Atan B 1+2 3

故 B-A 为锐角, 又 cos2(B-A) cos2(B-A) = 2 sin (B-A)+cos2(B-A) = 1 = 1+tan (B-A)
2

1 ?1? 1+?3? ? ?

9 = 2 10,

则 cos(B-A)=

9 3 10 10= 10 .

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2014· 福建,12)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面 积等于________. 13. 【解析】 BC AC 由sin A=sin B,

AC 4 3 得 sin B=BCsin A= ? 2 =1, 2 3 ∴B=90°,故 C=30°, 1 ∴S△ABC=2AC·BCsin C 1 1 =2?4?2 3?2=2 3. 【答案】 2 3 14.(2011· 上海,6)在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB=75°,
43

∠CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离是________千米. 14. 【解析】 如图,

∠C=180°-60° -75° =45° . AC AB 由正弦定理sin B=sin C, 3 2 sin B 得 AC=AB· sin C=2? 2 2 = 6(千米). 【答案】 6

π? 4 π? ? ? 15 . (2012· 江苏, 11) 设 α 为锐角,若 cos ?α+ ? = 5 ,则 sin ?2α + ? 的值为 6 12? ? ? ? ________. 15. 【解析】 π ∵0<α< 2 ,

π π 2π ∴ 6 <α+ 6 < 3 . π? 4 ? 又 cos?α+ ?=5, 6? ? π? ? ∴sin?α+ ?= 6? ? 3 =5, π?? ? ? ∴sin?2?α+ ?? 6 ?? ? ? π? ? π? ? =2sin?α+ ?cos?α+ ? 6? ? 6? ? 3 4 24 =2?5?5=25, π?? π? ? ? ? cos?2?α+ ??=2cos2?α+ ?-1 6 6? ? ? ?? ? 7 ?4?2 =2??5? -1=25, ? ?
44

π? ? 1-cos2?α+ ? 6? ?

π? ? ∴sin?2α+ ? 12? ? π? π? ? ? =sin?2?α+ ?- ? 6? 4? ? ? π?? π ? ? =sin?2?α+ ??cos 4 - 6 ?? ? ? π?? π ? ? cos?2?α+ ??sin 4 6 ?? ? ? 24 2 7 2 =25? 2 -25? 2 17 2 = 50 . 17 2 【答案】 50 16.(原创题)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 a2+b2=c2 A B C +ab,4sin Asin B=3,则 tan 2 ?tan 2 ?tan 2 的值等于________. 16. 【解析】 由 a2+b2=c2+ab 可得 a2+b2-c2=ab, 1 由余弦定理得,cos C=2,C=60°. 又 4sin Asin B=3,所以 4sin A·sin(120°-A)=3,整理得 sin(2A-30°)=1,于 是 A=60°,从而 B=60°, A B C 3 3 3 3 故 tan 2 ·tan 2 ·tan 2 = 3 ? 3 ? 3 = 9 . 3 【答案】 9 思路点拨: 本题的关键在于首先由条件求得角 C 的大小, 然后根据 4sin Asin B=3, 利用三角恒等变换求得角 A,B 的值,从而确定三角形为等边三角形,最终求得 欲求值式子的值. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) π? ? 17.(10 分)(2014· 四川,16)已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α ? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f? ?=5cos?α+ ?cos 2α , 3 4? ? ? ? 求 cos α -sin α 的值. π ? π ? 17.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z. 2 ? 2 ?
45

π π π π 2kπ π 2kπ 由- 2 +2kπ≤3x+ 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z,得- 4 + 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为 ? π 2kπ π 2kπ? ?- + ?,k∈Z. 3 ,12+ 3 ? ? 4 π? ? (2)由已知,有 sin?α+ ? 4? ? π? 4 ? =5cos?α+ ?(cos2α-sin2α), 4? ? π π 所以 sin αcos 4 +cos αsin 4 π π? 4? =5?cos αcos -sin αsin ?(cos2α-sin2α). 4 4? ? 4 即 sin α+cos α=5(cos α-sin α)2·(sin α+cos α). 3π 当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,知 α= 4 +2kπ,k∈Z. 此时,cos α-sin α=- 2. 当 sin α+cos α≠0 时, 5 (cos α-sin α)2=4. 5 由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0,此时 cos α-sin α=- 2 . 5 综上所述,cos α-sin α=- 2或- 2 . 18.(12 分)(2014· 湖南,18)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC = 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- 14 ,sin∠CBA= 6 ,求 BC 的长. 18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= . 2AC·AD 故由题设知,cos∠CAD= (2)设∠BAC=α, 则 α=∠BAD-∠CAD.
46

7+1-4 2 7 = 7 . 2 7

2 7 7 因为 cos∠CAD= 7 ,cos∠BAD=- 14 , 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD = 21 ?2 7?2 ? = 1-? , 7 7 ? ?

sin∠BAD= 1-cos2∠BAD = ? 7?2 3 21 1-?- ? = 14 . ? 14 ?

于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 3 7? = 14 ? 7 -?- ?? 7 = 2 . ? 14 ? 在△ABC 中,由正弦定理得, BC AC = , sin α sin∠CBA 3 7? 2 AC·sin α 故 BC= = =3. sin∠CBA 21 6 19.(12 分)(2016· 河北唐山质检,17)已知在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分 π? ? 别为 a,b,c,且 sin?A+ ?=2cos A. 6? ? 6 (1)若 cos C= 3 ,求证:2a-3c=0; π? 4 ? (2)若 B∈?0, ?,且 cos(A-B)=5,求 sin B 的值. 3? ? π? ? 19.解:由 sin?A+ ?=2cos A, 6? ? 3 1 得 2 sin A+2cos A=2cos A, 即 sin A= 3cos A. 因为 A∈(0,π),且 cos A≠0, π 所以 tan A= 3,所以 A= 3 .

47

6 3 (1)证明:因为 sin2C+cos2C=1,cos C= 3 ,C∈(0,π),所以 sin C= 3 . a c 由正弦定理知sin A=sin C, 3 a sin A 2 3 即 c=sin C= =2,即 2a-3c=0. 3 3 π? ? (2)因为 B∈?0, ?, 3? ? π π? ? 所以 A-B= -B∈?0, ?. 3 3? ? 3 因为 sin2(A-B)+cos2(A-B)=1,所以 sin(A-B)=5, 所以 sin B=sin[A-(A-B)]=sin Acos(A-B)-cos Asin(A-B)= 4 3-3 10 .

20.(12 分)(2015· 辽宁沈阳一模,17)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂 直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水 面 A 处测得 B 点和 D 点仰角分别为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图 中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距 离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449). 20.解:在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180°-60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA. 在△ABC 中, 即 AB= AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC

ACsin 60° , sin 15°

又 sin 15°=sin(60° -45° ) =sin 60°cos 45°-cos 60° sin 45°

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6- 2 3 2 1 2 = 2 ? 2 -2? 2 = 4 , ACsin 60° 3 2+ 6 所以 AB= sin 15° = 20 , 因此,BD= 3 2+ 6 20 ≈0.33(km).

故 B,D 的距离约为 0.33 km. ? π? ? π? 21.(12 分)(2016· 广东东莞模拟,18)已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?,g(x) 6 3? ? ? ? x =2sin22. 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 5 ,求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 3 1 1 3 ? π? ? π? 21.解:f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?= 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x= 3sin 6? 3? ? ? x, x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α)= 5 得 sin α=5. 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1-5=5. (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x,即 3sin x+cos x≥1. ? π? 1 于是 sin?x+ ?≥2. 6? ? π π 5π 2π 从而 2kπ+ 6 ≤x+ 6 ≤2kπ+ 6 ,k∈Z,即 2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合
? ? ? ? ? 2π ?. 为?x?2kπ≤x≤2kπ+ , k ∈ Z 3 ? ? ? ? ?

? π? 22.(12 分)(2015· 山东,16)设 f(x)=sin xcos x-cos2?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间;

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?A? (2)在锐角△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 f? 2 ?=0, a=1, 求△ABC ? ? 面积的最大值. sin 2x 22.解:(1)由题意知 f(x)= 2 π? ? 1+cos?2x+ ? 2? ? - 2 sin 2x 1-sin 2x 1 = 2 - =sin 2x-2. 2 π π 由- 2 +2kπ≤2x≤ 2 +2kπ,k∈Z, π π 可得- 4 +kπ≤x≤ 4 +kπ,k∈Z; π 3π π 3π 由 2 +2kπ≤2x≤ 2 +2kπ,k∈Z,可得 4 +kπ≤x≤ 4 +kπ,k∈Z. π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ, +kπ?(k∈Z); 4 ? 4 ? 3π ?π ? 单调递减区间是? +kπ, +kπ?(k∈Z). 4 4 ? ? A 1 ? ? (2)由 f? 2 ?=sin A-2=0,得 ? ? 1 sin A= . 2 3 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= 2 . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc, 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立. 2+ 3 1 因此2bcsin A≤ 4 . 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 4 .

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