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高中数学选修2-2教案(完整版)(每课都有三维目标)




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年月日第课时

课题:§1.1.1 变化率问题
教学目的 1、知识与技能:通过具体事例,感受平均变化率广泛存在与日常生活之中,经历运 用数学描述刻画现实世界的过程. 2、过程与方法:理解平均变化率的意义,为后续建立瞬间变化率和导数的数学模型 提供丰富的背景. 3、情感、态度与价值观:①让学生通过学习了解变化率的广泛应用:在几何体中的 应用,在其他数学知识中的体现,培养学生多方面的数学素养;②体会数学的博大精 深以及学习数学的意义. 函数在某一点的平均变化率. 准确求解函数的平均变化率.

重点 难点

教学过程:
一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生 了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效 的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来 越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V ( r ) ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3

4 3 ?r 3

3V 4?
h

分析: r (V ) ? 3

3V , 4?

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0
o t

⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)

1

气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数 关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v

h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s ) ; 0. 5 ? 0 h(2) ? h(1) ? ?8.2(m / s ) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? 2 ?1 65 探究:计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v ? ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49

65 ) ? h(0) 所以 v ? 49 ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) , 但实际情况是运动员仍然运动, 并非静 49 h(
止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念: 1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示,称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 x2 ? x1

2.若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代替 x2,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 3. 则平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x

思考:观察函数 f(x)的图象

2

平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1

y y=f(x) f(x2) △y =f(x2)-f(x1)

直线 AB 的斜率 f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x

三.典例分析 例 1. 已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则
2

?y ?. ?x

解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ,



?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x

例 2.求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率。

?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 解: ?y ? ( x0 ? ?x) ? x0 ,所以 ? ?x ?x
2 2
2

2

?

x0 ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ? 2 x0 ? ?x ?x

2

所以 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x

四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为.
2

3

2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率. 25 ? 3?t 3.过曲线 y=f(x)=x3 上两点 P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1 时割线的斜率. 五.回顾总结 1.平均变化率的概念 2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业

教后感:

20

年月日第课时

课题:§1.1.2 导数的概念
4

教学目的

1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法;理解导 数的几何意义;理解导函数的概念和意义; 2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义, 培养转化问题的能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力; 3、情感、态度与价值观:让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。 1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用 1、导数概念的理解;2、导函数的理解、认识和运用

重点 难点

教学过程:
一.创设情景 (一)平均变化率
65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 65 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像,结合图形可知, h( ) ? h(0) , 49 65 h h( ) ? h(0) 49 所以 v ? ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) , 但实际情 49 况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描 述运动员的运动状态. o t 二.新课讲授 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在 某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速 度是多少?考察 t ? 2 附近的情况:

(二)探究:计算运动员在 0 ? t ?

思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势?
5

结论:当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时,平均速度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看, 时间 ?t 间隔无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度, 因此,运动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 为了表述方便,我们用 lim ?t ? 0 ?t 表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是: f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x0 ,即
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x 说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

(2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

三.典例分析 例 1. (1)求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数. 分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=6Δ x+(Δ x)2
?f ?f ? 6 ? ?x 再求 lim ?6 ? x ? 0 ?x ?x 解:法一(略)

再求

法二: y? |x ?1 ? lim

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(2)求函数 f(x)= ? x 2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 解:
?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x
6

f ?(?1) ? lim

?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

例 2. (课本例 1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷 却和加热,如果第 xh 时,原油的温度(单位: ? C )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计 算第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6) 根据导数定义,
?
f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?0 ?x ?x ?0

所以 f ?(2) ? lim

同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5,说明在 2h 附近,原油温度 大约以 3 ?C / h 的速率下降,在第 6h 附近,原油温度大约以 5 ?C / h 的速率上升. 注:一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.

四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t 2 ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

7

2.求曲线 y=f(x)=x3 在 x ? 1 时的导数. 3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五.回顾总结 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念 2.导数的概念

六.布置作业

教后感:

20

年月日第课时

课题:§1.1.3 导数的几何意义
8

教学目的

1、 知识与技能: 了解导数的几何意义, 函数 y=f(x)在一点处的导数就是曲线 y=f(x) 在这点处的切线的斜率,了解导数与切线斜率的关系; 2、过程与方法: (1)进一步增强对导数的理解,学会求导数(2)学会通过先求函 数的导数来求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法. 3、情感、态度与价值观: (1)培养学生的计算能力,转化问题的数学思想(2)培 养学生数形结合的数学思想. 导数的几何意义的理解,导数与切线斜率的关系. 导数的几何意义的理解, 导数与切线斜率的关系, 用图像来加深对导数的几何意义的 理解.

重点 难点

教学过程:
一.创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 我们知道,导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,反映了函数 y=f(x)在 x=x0 附近的变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢? 二.新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率:如图 3.1-2,当 Pn (xn , f (x n) )( n 1 ,2 ? ,3 ,4 ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PPn 的变化趋势是什么? 沿着曲线 f ( x)

图 3.1-2

我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这 个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题:⑴割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少?

9

容易知道,割线 PPn 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时, kn 无 xn ? x0
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x 说明: (1)设切线的倾斜角为 α,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的 切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

限趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim

②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判 断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲 线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x ?0 ?x 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

即 f ?( x0 ) ? lim

①求出 P 点的坐标; ② 求 出 函 数 在 点 x0 处 的 变 化 率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ?x

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程. (二)导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y? ,
f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ?0 ?x 注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

即: f ?( x) ? y? ? lim

(三)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限,它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f(x)的导函数 3)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值,这也是求函 数在点 x0 处的导数的方法之一。

10

三.典例分析 例 1:(1)求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程. (2)求函数 y=3x2 在点 (1,3) 处的导数.
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 ? lim ? 2, 解: (1) y? |x ?1 ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

所以,所求切线的斜率为 2,因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 (2)因为 y? |x ?1 ? lim
3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

所以,所求切线的斜率为 6,因此,所求的切线方程为 y ? 3 ? 6( x ?1) 即 6 x ? y ? 3 ? 0 (2)求函数 f(x)= ? x 2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x 解: ?x ?x f ?(?1) ? lim ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ? x ?0 ?x ? x ?0 ?x

例 2. (课本例 2)如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 ,根据图像,请描述、比较曲线
h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况.

解:我们用曲线 h(t ) 在 t 0 、t1 、t 2 处的切线,刻画曲线 h(t ) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t ? t0 时,曲线 h(t ) 在 t 0 处的切线 l0 平行于 x 轴, 所以,在 t ? t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2) 当 t ? t1 时, 曲线 h(t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h?(t1 ) ? 0 , 所以,在 t ? t1 附近曲线下降,即函数 h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t1 附近单调递 减. (3) 当 t ? t2 时,曲线 h(t ) 在 t 2 处的切线 l2 的斜率 h?(t2 ) ? 0 ,所以,在 t ? t2 附近曲线下 降,即函数 h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减.

11

从图 3.1-3 可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度,这说明曲线在 t1 附近 比在 t 2 附近下降的缓慢. 例 3. (课本例 3)如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时 间 t (单位: min )变化的图象.根据图像,估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时,血管中药物浓 度的瞬时变化率(精确到 0.1 ) .

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度 f (t ) 在此时刻的导数,从 图像上看,它表示曲线 f (t ) 在此点处的切线的斜率. 如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时 刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作 t ? 0.8 处的切线,并在切线上去两点,如 (0.7,0.91) , (1.0,0.48) ,则它的斜率为:
k? 0.48 ? 0.91 ? ?1.4 1.0 ? 0.7

所以 f ?(0.8) ? ?1.4 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: t 0.2 药物浓度瞬时变化率 f ' (t ) 四.课堂练习 1.求曲线 y=f(x)=x3 在点 (1,1) 处的切线; 2.求曲线 y ? x 在点 (4, 2) 处的切线. 五.回顾总结 1.曲线的切线及切线的斜率; 2.导数的几何意义 六.布置作业 0.4 0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4

教后感:
12

20

年月日第课时

课题:§1.2.1 几个常用函数的导数
教学目的 1、知识与技能:能由常数函数和幂函数的导数公式推导常见函数的导数 2、过程与方法:在教学过程中,注意培养学生归纳、类比的能力 3、情感、态度与价值观: (1)在单位圆中,根据导数的定义探索出正弦和余弦的导 数公式,培养学生热爱思考和探索的精神。 (2)通过学生的主动参与,激发学生的求 知欲。 导数公式表应用。 准确的应用常见函数的导数公式。

重点 难点

教学过程:
一.创设情景 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在 某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数 y ? f ( x) ,如何求它的导数呢? 由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的, 所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求 出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常 用的函数的导数. 二.新课讲授 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0

函数
y?c

导数
y? ? 0

y? ? 0 表示函数 y ? c 图像(图 3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示路程

关于时间的函数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静 止状态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0

13

函数
y?x

导数
y? ? 1

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像(图 3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路

程关于时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.

3.函数 y ? f ( x) ? x2 的导数 因为
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x
?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?x?0

所以 y? ? lim

?x ?0

函数

导数
y? ? 2 x

y ? x2

y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像(图 3.2-3)上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2 x ,说明随着 x

的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, 表明:当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x2 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增 加,函数 y ? x2 增加得越来越快.若 y ? x2 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解 释为某物体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x . 4.函数 y ? f ( x) ?
1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x
?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ? x ? 0 ?x x ? x ? ?x x

所以 y? ? lim

?x ? 0

函数

导数

14

y?

1 x

y? ? ?

1 x2

(2)推广:若 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) ,则 f ?( x) ? nxn?1 三.课堂练习 1.课本 P13 探究 1 2.课本 P13 探究 2 4.求函数 y ? x 的导数

四.回顾总结 函数
y?c
y?x

导数

y' ? 0
y' ? 1

y ? x2
y? 1 x

y' ? 2x
y' ? ? 1 x2

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

y' ? nxn?1

五.布置作业

教后感:

15

16

20

年月日第课时

课题:§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目的 1、知识与技能:熟练掌握基本初等函数的导数公式;掌握导数的四则运算

法则;
2、过程与方法:能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算

法则求简单函数的导数.
3、情感、态度与价值观:培养学生热爱思考和探索的精神;通过学生的主动参与, 激发学生的求知欲。 重点 难点

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程:
一.创设情景 四种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 函数
y?c
y?x

1 的导数公式及应用 x

导数

y' ? 0
y' ? 1

y ? x2
y? 1 x

y' ? 2x
y' ? ? 1 x2

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )

y' ? nxn?1

二.新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表 函数
y?c

导数

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y' ? ? sin x
17

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y ' ? a x ? ln a (a ? 0)

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

(二)导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ' ( x ) ? g ' ( x )
'

2. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ' ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ' ( x )
'

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?

'

(2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ' ( x)
'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)

三.典例分析 例 1. 假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% , 物价 p(单位: 元) 与时间 t(单 位:年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的

p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有 p' (t ) ? 1.05t ln1.05 所以 p' (10) ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨.

18

例 2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x3 ? 2x ? 3 (2)y=
1 1 ; ? 1? x 1? x

(3)y=x ·sin x ·ln x; x (4)y= x ; 4 1 ? ln x (5)y= . 1 ? ln x (6)y=(2 x2-5 x+1)ex sin x ? x cos x (7)y= cos x ? x sin x 【点评】 ①求导数是在定义域内实行的. ②求较复杂的函数积、 商的导数, 必须细心、 耐心.

例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增 加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为 5284 c( x) ? (80 ? x ? 100) 100 ? x 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% (2) 98% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

5284 ' 5284' ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)' c ' ( x) ? ( ) ? 100 ? x (100 ? x)2
? 0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) 5284 ? 2 (100 ? x) (100 ? x) 2 5284 ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,费用的瞬时变化 (100 ? 90)2

(1)

因为 c ' (90) ?

率是 52.84 元/吨. (2) 因为 c ' (98) ?
5284 ? 1321 ,所以,纯净度为 98% 时,费用的瞬时变化 (100 ? 90)2

率是 1321 元/吨. 函数 f ( x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,

c' (98) ? 25c' (90) .它表示纯净度为 98% 左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为

19

90% 左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费 用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.

四.课堂练习 1.课本 P92 练习 2.已知曲线 C:y=3 x4-2 x3-9 x2+4,求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程; (y=-12 x+8)

五.回顾总结 (1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则

六.布置作业

教后感:

20

20

年月日第课时

课题:§1.2.3 复合函数的求导法则
教学目的 1、知识与技能:理解并掌握复合函数的求导法则. 2、过程与方法:复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已

知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.
3、情感、态度与价值观:培养学生热爱思考和探索的精神。 重点 难点

复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变 量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积. 正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.

教学过程:
一.创设情景 (一)基本初等函数的导数公式表 函数
y?c

导数

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

21

(二)导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ' ( x ) ? g ' ( x )
'

2. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ' ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ' ( x )
'

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?

'

(2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ' ( x)
'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)

二.新课讲授 复合函数的概念一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表 示成 x 的函数, 那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数, 记作 y ? f ? g ( x) ? 。 复合函数的导数复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的关 系为 y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)

三.典例分析 例 1 求 y=sin(tan x2)的导数. 【点评】 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内 层逐层求导, 直到关于自变量求导, 同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

例 2 求 y=

x?a x 2 ? 2ax

的导数.

22

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例 3 求 y=sin4x+cos4x 的导数. 【解法一】y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2cos2x=1-
1 3 1 =1- (1-cos 4 x)= + cos 4 x.y′=-sin 4x. 4 4 4 1 sin22 x 2

【解法二】y′=(sin4x)′+(cos4x)′=4 sin3x(sin x)′+4 cos3x (cos x)′=4 sin3x cos x+4 cos3x (-sin x)=4 sin x cosx(sin2x-cos2x)=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数 求导数,应注意不漏步.

例 4 曲线 y=x (x+1) (2-x) 有两条平行于直线 y=x 的切线, 求此二切线之间的距离. 【解】y=-x3 +x2 +2 xy′=-3 x2+2 x+2 1 令 y′=1 即 3 x2-2 x-1=0,解得 x=- 或 x=1. 3 1 14 于是切点为 P(1,2) ,Q(- ,- ) , 3 27 过点 P 的切线方程为,y-2=x-1 即 x-y+1=0.
1 14 |? ? ?1| 16 2. 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离,故所求距离为 3 27 = 27 2

四.课堂练习 1.求下列函数的导数 2.求 ln(2 x 2 ? 3x ? 1) 的导数
23

(1) y=sinx3+sin33x; (2) y ?

sin 2 x ;(3) loga ( x 2 ? 2) 2x ? 1

五.回顾总结

六.布置作业

教后感:

20

年月日第课时

课题:§1.3.1 函数的单调性与导数

24

教学目的

1、知识与技能:探索函数的单调性与导数的关系;会利用导数判断函数的单调性并 求函数的单调区间. 2、过程与方法:通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法; 在探索过程中培 养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 3、情感、态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总 结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯. 探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间 探索函数的单调性与导数的关系.

重点 难点

教学过程:
一、复习引入 1.常见函数的导数公式:
C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x .

2.法则 1 法则 2 法则 3

[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x) .

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) . ? ? ? v2 ?v?

'

3.复合函数的导数:设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x),函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y′u=f′(u),则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有导数, 且 y'x ? y'u ?u'x 或 f′x( ? (x))=f′(u) ? ′(x). 4.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 5.对数函数的导数: (ln x)' ?
1 1 (log a x)' ? log a e . x x
王新敞
奎屯 新疆

6.指数函数的导数: (e x )' ? e x ; (a x )' ? a x ln a . 二、讲解新课 y 1. 函数的导数与函数的单调性的关系: f?x? = ?x2-4?x?+3 我们已经知道,曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函 数 y=f(x)的导数.从函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图像 可以看到: y=f(x)=x2-4x+3 切线的斜率 f′(x) B (2,+∞) 增函数 正 >0 O 1 2 3 (-∞,2) 减函数 负 <0 A 在区间(2, ? ? )内,切线的斜率为正,函数 y=f(x) 的值随着 x 的增大而增大,即 y / >0 时,函数 y=f(x) 在 区间(2, ? ? )内为增函数;在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为负,函数 y=f(x)的
25

x

值随着 x 的增大而减小,即 y / ? 0 时,函数 y=f(x) 在区间( ? ? ,2)内为减函数 定义:一般地,设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y / >0, 那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内 y / <0, 那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′(x). ②令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间。 ③令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间。 y 三、讲解范例 2 例 1 确定函数 f(x)=x -2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数。 解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令 2x-2>0,解得 x>1. 2 ∴当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. f?x? = ?x2-2?x?+4 令 2x-2<0,解得 x<1. O 1 x ∴当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 3 2 例 2 确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x 令 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x<0 y ∴当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. f?x? = ?2?x3-6?x2?+7 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 2 令 6x -12x<0,解得 0<x<2. ∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 例 3 证明函数 f(x)= 在(0,+∞)上是减函数.
O
1 2

1 x

x

证法一: (用以前学的方法证) 证法二: (用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 1 1 )′=(-1)?x-2=- 2 ,x>0,∴x2>0,∴- 2 <0. ∴f′(x)< x x x

0,∴f(x)=

1 在(0,+∞)上是减函数。 x2

点评:比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函 数,用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。 例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2?3(1-x)2?(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2?(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<x<

2 2 . ∴y=x2(1-x)3 的单调增区间是(0, ) 5 5

26

令 x(1-x)2(2-5x)<0,解得 x<0 或 x>

2 且 x≠1. 5 2 ,+∞) 5

∵ x ? 1 为拐点,∴y=x2(1-x)3 的单调减区间是(-∞,0),(

y
f?x? = x2??1-x?3

O

2 5

1

x

例 5 当 x>0 时,证明不等式:1+2x<e2x. 分析:假设令 f(x)=e2x-1-2x.∵f(0)=e0-1-0=0, 如果能够证明 f(x)在(0,+ ∞)上是增函数,那么 f(x)>0,则不等式就可以证明。 证明:令 f(x)=e2x-1-2x. ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1) ∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0, 即 f′(x)>0 ∴f(x)=e2x-1-2x 在(0,+∞)上是增函数。 ∵f(0)=e0-1-0=0.∴当 x>0 时,f(x)>f(0)=0,即 e2x-1-2x>0. ∴1+2x<e2x 点评:所以以后要证明不等式时,可以利用函数的单调性进行证明,把特殊点找出 来使函数的值为 0。 例 6 已知函数 y=x+ ,试讨论出此函数的单调区间。

1 x

1 解:y′=(x+ )′ x
=1-1?x-2=

y f?x? = x+ 1 x 2

x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? x2 x2
2

-1

O

1

x

-2



( x ? 1)( x ? 1) >0. 解得 x>1 或 x< x2 1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x

-1.

∴y=x+



( x ? 1)( x ? 1) <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 的单调减区间是(-1,0)和(0,1). x
27

∴y=x+

四、课堂练习 1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3 2.讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间.

3.求下列函数的单调区间(1)y=

x?2 x

(2)y=

x (3)y= x +x x ?9
2

五、小结 f(x)在某区间内可导,可以根据 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求函数的单调区间,或 判断函数的单调性,或证明不等式.以及当 f′(x)=0 在某个区间上,那么 f(x)在这个 区间上是常数函数 六、课后作业

教后感:

20

年月日第课时

课题:§1.3.2 函数的极值与导数
28

教学目的

1、知识与技能: 〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件 〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 2、过程与方法:结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关 系。 3、情感、态度与价值观:感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让 学生体会极值是函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。 利用导数求函数的极值 函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

重点 难点

教学过程:
一.创设情景 我们知道,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域 内的性质.也就是说,如果 x0 是函数 y ? f ? x ? 的极大(小)值点,那么在点 x0 附近找不 到比 f ? x0 ? 更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心 函数在某个区间上, 哪个至最大, 哪个值最小. 如果 x0 是函数的最大 (小) 值, 那么 f ? x0 ? 不小(大)于函数 y ? f ? x ? 在相应区间上的所有函数值.

二.新课讲授 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函数 图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值,f ( x2 ) f ( x) 的图象. 是极大值.函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值是 f (b) , 最小值是 f ( x3 ) .
a x1 O x2 x3 b

y

x

1.结论:一般地,在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,那 么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 说明:⑴如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 (可以不给学生讲) y ? f ( x) 在这个区间上连续. ⑵给定函数的区间必须是闭区间, 在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值

29

与最小值.如函数 f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断, ⑷函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件. (可以不给学生讲)

2. “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值” 是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶ 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得, 而最值可以在区间的端点处取得, 有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
王新敞
奎屯 新疆

3.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出, 只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数 值进行比较,就可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) 、f (b) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 三.典例分析
1 例 1. (课本例 5)求 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 的最大值与最小值 3
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

解: 由例 4 可知, 在 ?0 , 3? 上, 当 x ? 2 时,f ( x) 有极小值, 并且极小值为 f (2) ? ? 又由于 f ? 0? ? 4 , f ? 3? ? 1

4 , 3

30

1 4 因此,函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 的最大值是 4,最小值是 ? . 3 3 1 上述结论可以从函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 上的图象得到直观验证. 3

四.课堂练习 1 . 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能
1 1 1 3.函数 y= x 4 ? x 3 ? x 2 ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 A.0 B.-2 C.-1 D. 12

)

)
12 10 8 6 4

y

4 . 求 函 数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在区间 ?? 2,2?上的最大值与最小值.
-4 -2

2

y=x4-2x2+5 O
2 4

x

5.课本练习 五.回顾总结 1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的 点,区间端点; 2.函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件; 3.闭 区 间 ?a, b? 上的连续函数一定有最值;开区间 ( a, b) 内的可导函数不一定 有 最 值 , 若 有唯一的极值,则此极值必是函数的最值 4.利用导数求函数的最值方法.
王新敞
奎屯 新疆

六.布置作业

31

教后感:

32

20

年月日第课时

课题:§1.4 生活中的优化问题举例(2 课时)
教学目的 1、知识与技能:会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,

重点 难点

体会导数在解决实际问题中的作用,提高将实际问题转化为数学问题的能 力。 2、过程与方法:在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中,进 一步巩固导数的相关知识,学生通过自主探究,体验数学发现与创造的历 程,提高学生的数学素养。 3、情感、态度与价值观:在学习应用数学知识解决问题的过程中,培养 学生善于发现问题、解决问题的自觉性,以及科学认真的生活态度,并以 此激发他们学习知识的积极性。 利用导数解决生活中的一些优化问题. 将实际问题转化为数学问题,根据实际利用导数解决生活中的优化问题.

教学过程:
一.创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化 问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节, 我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二.新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有 以下几个方面:1、与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润 及其成本有关的最值问题;4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函 数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是 建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决, 在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

三.典例分析 例 1.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有 一定的关系,汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个 问题: (1) 是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2) “汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析: 研究汽油的使用效率 (单位: L/m) 就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值. 如
33

w ,其中, w 表示汽油消耗量(单位: s L) , s 表示汽油行驶的路程(单位:km) .这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少” , 就是求 G 的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,

果用 G 表示每千米平均的汽油消耗量,那么 G ?

人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的 平均速度 v (单位:km/h)之间有 如图所示的函数关系 g ? f ? v ? . 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为 汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单 位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问 题.

w w g 解:因为 G ? ? t ? s s v t g g 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上点的直线的 v v 斜率. 进一步发现, 当直线与曲线相切时, 其斜率最小. 在此切点处速度约为 90 km / h . 因此, 当汽车行驶距离一定时, 要使汽油的使用效率最高, 即每千米的汽油消耗量最小,
此时的车速约为 90 km / h . 从数值上看, 每千米的耗油量就是图中切线的斜率, 即 f ? ? 90? , 约为 L. 例 2.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式 化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的 扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不 得小于 n 。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. (1) 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
34

解:由题意知:存储量=磁道数?每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外面的磁 R?r 道不存储任何信息,故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得 m 2? r 最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达 。所以,磁盘总 n 存储量 R?r 2? r 2? ? r(R ? r) ? f (r ) ? m mn n (1) 它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存 储量越大. (2) 为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .
f ?(r ) ? 2? ? R ? 2r ? mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ?

R 2

当r ?

R R 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2 R 2? R 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 mn 4

因此 r ?

例 3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是
0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可

获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题: (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是

? r3 2 ? 4 3 2 y ? f ? r ? ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r ? 0.8? ? ? r ? , 0 ? r ? 6 3 ?3 ?
令 f ? ? r ? ? 0.8? (r 2 ? 2r) ? 0 解得 r ? 2 ( r ? 0 舍去) 当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 ;当 r ? ? 2 , 6? 时, f ? ? r ? ? 0 . 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递减,即半径越大,利润越低.
35

(1) 半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ? 2? ? 0 ,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶 子的成本,此时利润是负值. (2) 半径为 6 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当 r ? 3 时, f ? 3? ? 0 ,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的成本 恰好相等;当 r ? 3 时,利润才为正值. 当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 , f ? r ? 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小.

四.课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一 边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. (高为 1.2 m,最大容积 1.8 m3 ) 5.课本练习 五.回顾总结 1.利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再 通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往 是一个有利的工具。

六.布置作业

教后感:

36

20

年月日第课时

课题:1.5.1 曲边梯形的面积
教学目的 1、知识与技能:通过求曲边梯形的面积了解极限思想; 2、过程与方法:通过求曲边梯形的面积体会求积分的基本思想; 3、情感、态度与价值观:通过求曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想。 曲边梯形的面积 准确求曲边梯形的面积

重点 难点

教学过程:
一、自主探究

1.求下图中阴影部分的面积:

2.对于哪些图形的面积,大家会求呢? 二、交流点拨 (一)问题引入:对于 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 , y ? x2 围成的图 形(曲边三角形)的面积如何来求呢? (一问激起千层浪,开门见山,让学生明确本节课的所要学 习的内容,对于学生未知的东西,学生往往比较好奇,激发 他们的求知欲) 今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。 (二)学生活动 1、让学生自己探求,讨论(3—4 分钟) 2、让学生说出自己的想法 希望学生说出以⊿OAB 的面积近似代替曲边三角形的面积,但误差很大,如何减小误差 呢?希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割,形成若干个曲边梯形。 (在讨论的过程 中渗透分割的思想)
37

问题:如何计算每个曲边梯形的面积呢?(通过讨论希望学生能出以下三种方案,在讨 论的过程中,让学生想到以直代曲,给学生创新的机会)

方案一

方案二

方案三

方案一:用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积,梯形分割的越多,三角形的面积 越小,小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。 方案二:用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积,梯形分割的越多,三角形的 面积越小,大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。 方案三:以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。 (对于其中的任意一个曲边梯形,我们可以用“直边”来代替“曲边” (即在很小的范 围内以直代曲) ,这三种方案是本节课内容的核心,故多花点时间引导学生探求,讨论 得出,让学生体会“以曲代直”的思想,从近似中认识精确,给学生探求的机会) 总结:这样,我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值,从而可以计算出 整个曲边三角形面积的近似值, (求和) ,并且分割越细,面积的近似值就越精确,当分 割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角 形的面积,以方案一为例: ⑴分割细化
? n ?1 n ? ? 1? ?1 2? ? i ?1 i ? 将区间 ?0,1? 等分成 n 个小区间 ?0, ? , ? , ? ,?, ? , ? ,?, ? , ,每个区 ? n n? ? ? n? ?n n? ? n n?

间的长度为 ? x ?

i i ?1 1 ? ? (学生回答) ,过各个区间端点作 x 轴的垂线,从而得到 n 个 n n n

小曲边梯形,它们的面积分别记作, ?S1 , ?S 2 ,??Si ,??S n . 。 ⑵以直代曲

38

i ?1 ? i ?1 i ? 对区间 ? 对应的函数值 , ? 上的小曲边梯形,以区间左端点 n ? n n?

? i ?1 ? ? i ?1 ? f? ??? ? 为 ? n ? ? n ?

2

1 为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。 n i ?1 i ?1 2 1 )?x ? ( ) ? 即 ?S i ? f ( n n n

一边的长,以 ?x ?

? i ?1 i ? (当分割很细时,在 ? , 上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以,常取左右端 ? n n? ?

点或中点,这样为以后定积分的定义埋下了伏笔,为学生的解题提供了方法) ⑶作和 因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值,所以 n 个小矩形面积之和就 是所求曲边三角形面积 S 的近似值:

? i ?1 ? 1 S ? ?S1 ? ?S 2 ? ? ?S n = ? ?S i (复习 ? 符号的运用) ? ? ? ? ? n i ?1 i ?1 ? n ?
n

n

2

?

1 ? 2 2 2 0 ? 1 ? ? ? ? n ? 1? ? 3 ? ? n

⑷逼近 当分割无限变细时,即 ? x 无限趋近于 0 ( n 趋向于 ?? )
1 ? 2 2 1 1 1 1 1 2 0 ? 1 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 3 ? ? n ? 1? ? n ? ? 2n ? 1? ? (1 ? )(2 ? ) 3 ? ? n n 6 6 n n 1 1 1 当 n 趋向 ?? 时, 1 ? 无限趋近于 1 , 2 ? 无限趋近于 2 ,故上式的结果无限趋近于 , n 3 n 1 1 S? ,即所求曲边三角形面积是 。( 在 逼 近 的 过 程 中 , 难 点 是 求 3 3 1 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n ? n ? 1?? 2n ? 1? 在此应给学生一些时间探求自然数的平方和, 6

最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥,有好多 知识应该先有伏笔,而不是要用到什么就补充什么,在研究解析几何中直线部分时,这 个问题也有所体现) 3、分成两组,分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积,并 将操作过程和计算结果与方案一进行比较。 (设计的目的是培养学生的合作交流的能力,优化解题方案)

39

四、拓展建构 例 1. 求由直线 y=2x+1 与直线 x=0,x=1 和 y=0 所围成的平面图形的面积 S 【解】 (1)分割 在区间 [0,1]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间:
1 1 2 i ?1 i n ?1 [0, ], [ , ],? ? ?, [ , ]? ? ?[ ,1]. n n n n n n

分别过上述 n-1 个分点作垂线,把曲边梯形分
n

成 n 个小曲边梯形。它们的面积记作 ?s1 , ?s 2 ,? ? ??si ,? ? ??s n , 则S ? ? ?si ;
i ?1

(2)近似代替 记 f(x)=2x+1,当 n 很大时, 第 i 个小曲边梯形的面积
f( i ?1 ' ) 为高)的面积 ?si 近似代替,则有: n
' i

1 ?si 可以用小矩形 (以 为底, n

n i ?1 1 n ?1 1 2 1 ' ?S i ? ?S ? f ( ) ? ? (2 ? ? 1) ? ? 2 (i ? 1) ? (i ? 1,2,?, n), 记S n ? ? ?S i' ; n n n n n n i ?1

(3)求和

S ? ? ?S i ? ? ?S i' ?
i ?1 i ?1

n

n

2 n ?1 1 [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 1 ? ?1 ? 2 ? ; 2 n n n

(4)取极限 当 n 趋向于无穷大时, S n 趋向于 S,从而有: S= lim S i ? lim ? f (
' n?? n?? i ?1 n
'

i ?1 1 1 ) ? ? lim(2 ? ) ? 2. n n n?? n


五、梯度训练 1.函数 f(x)=x2 在区间【 (i-1)/n,i/n】上( A. f(x)的值变化很小 C.f(x)的值不变化

B.f(x)的值变化很大 D.当 n 很大时,f(x)的值变化很小

2.由 y=x,x=0,x=1,y=0 围成图形的面积为 3. 求直线 x=0,y=0 与曲线 y ? x 2 所围成的曲边梯形的面积。

教后感:
20 年月日第课时

40

课题:1.5.2 汽车行驶的路程
教学目的 1、知识与技能:通过求汽车行驶的路程了解极限思想; 2、过程与方法:通过求汽车行驶的路程体会求积分的基本思想; 3、情感、态度与价值观:通过求汽车行驶的路程,进一步感受极限的思想。 汽车行驶的路程 汽车行驶的路程

重点 难点

教学过程:
一、自主探究 1.连续函数的概念; 2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤; 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问 题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 二、交流点拨 问题引入: 汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S ? vt .如果汽车作变 速直线运动,在时刻 t 的速度为 v ?t ? ? ?t 2 ? 2 (单位:km/h) ,那么它在 0≤ t ≤1(单位: h)这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少? 分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动 的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间 ?0 ,1? 分成 n 个小区间,在每个小 区间上,由于 v ? t ? 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在 每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位:km)的近似值,最后让 n 趋紧于 无穷大就得到 S (单位:km)的精确值. (思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动 路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程) . 1.分割

在时间区间 ?0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ?0 ,1? 等分成 n 个小区间:
? 1 ? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ,1? ? ? n? ?n n? ? n ? ? i ?1 i ? 记第 i 个区间为 ? , (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ? n n? ?
?t ? i i ?1 1 ? ? n n n

? 1 ? ?1 2? ? n ?1 ? 把汽车在时间段 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ,1? 上行驶的路程分别记作: ? n? ?n n? ? n ?
41

?S1 , ?S2 ,?, ?Sn
显然, S ? ? ?Si
i ?1 n

2. 近似代替
? i ?1 i ? 当 n 很大,即 ?t 很小时,在区间 ? , ? 上,可以认为函数 v ?t ? ? ?t 2 ? 2 的值变化 n n? ?

很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
2

i ?1 处的函数值 n

? i ?1 i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义上看,即使汽车在时间段 ? n , n ? (i ? 1, 2 , ? , n) 上 ? ? ? n ? ? n ?
i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻 处的速度 v ? ? ?? ? ? ? 2 作匀速 n ? n ? ? n ?
2

直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ,则有 ?Si ,即在局部范围内“以直代取”
2 ? ? i ? 1 ?2 ? 1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ? ?Si ? ?Si ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ? (i ? 1,2,?, n) ① ? n ? ? n ? n n ? ? n ? ? n ? ?

3. 求和
2 n n n ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? t ? ? 由①, Sn ? ? ?Si? ? ? v ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? n n? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ?

1 ?2 1 ?1? 1 2 ? n ?1 ? 1 2 ? = ?0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 = ? n3 ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 n ?n? n ? n ? n

2

2

=?

1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 3 n 6 3 ? n ?? 2n ?

1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 3 ? n ?? 2n ?

4. 取极限
1 ? 1 ?? 1 ? 当 n 趋向于无穷大时,即 ?t 趋向于 0 时, Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 趋向于 S ,从 3 ? n ?? 2n ?

而有

42

n 1 ? i ?1 ? ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 S ? lim Sn ? lim ? ? v? ? lim ?? ?1 ? ??1 ? ? ? 2? ? ? n?? n?? ? n ? n?? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3 i ?1 n

思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系? 结合上述求解过程可知, 汽车行驶的路程 S ? lim S n 在数据上等于由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0
n ??

和曲线 v ? ?t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积. 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v ? v ? t ? ,那么我们也可以采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想, 求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 S . 三、拓展建构 例 1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F ? x ? ? kx ( k 为常数, x 是伸长 量) ,求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功. 分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法 求解. 解:将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ,则所作的功为 W ? F ? x . (1)分割 在区间 ?0 , b? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ?0 ,1? 等分成 n 个小区间:
? ? n ? 1? b ? ? b ? ? b 2b ? , b? , ,?, 0 , , ? ? n ? n? ? ? ?n n ? ? ? ?

? ? i ? 1? b i ? b ? 记第 i 个区间为 ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 n n ? ?
?x ? i ? b ? i ? 1? b b ? ? n n n

? ? n ? 1? b ? ? b ? ? b 2b ? , b ? 上所作的功分别记作: 把在分段 ? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ? n? ?n n ? ? n ?

?W1 , ?W2 ,?, ?Wn
(2)近似代替

? ? i ? 1? b ? ? i ? 1? b ? b (i ? 1, 2 , ? , n) 有条件知: ?Wi ? F ? ? ? ?x ? k ? n n ? n ?
(3)求和
43

Wn ? ? ?Wi ? ? k ?
i ?1 i ?1

n

n

? i ? 1? b ? b
n

n

kb2 kb2 n ? n ? 1? kb2 ? 1 ? = 2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1?? ? ?1 ? ? ? ? n2 n ? 2 2 ? n?
从而得到 W 的近似值 W ? Wn ? (4)取极限

kb2 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? n? kb2 ? 1 ? kb2 ?1 ? ? ? n ?? 2 ? n? 2
kb2 2

W ? lim Wn ? lim ? ?Wi ? lim
n?? n?? i ?1

n

所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为:

四、梯度训练 1、作匀速(v)直线运动的物体在【0,6】这段时间内,物体所运动的路程 S= 2、已知自由下落物体的速度为 v=gt,则物体从 t=0 到 t=t0 走过的路程

教后感:

20

年月日第课时

44

课题:1.5.3 定积分的概念
教学目的 1、知识与技能:1.过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ;借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 ; 理解掌握定积分的几何意义; 2、过程与方法:通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观:通过分割、逼近的观点体会定积分的来历,使学生从本质 上理解定积分的几何意义,从而激发学生学习数学的兴趣。 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 定积分的概念、定积分的几何意义

重点 难点

教学过程:
一、自主探究 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步 骤: 分割→以直代曲→求和→取极限(逼近 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二、交流点拨 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ( ?x ?
n

b?a ) ,在每个小区间 n
n

? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2,?, n? ,作和式: Sn ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1 i ?1

b?a f (?i ) n

如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常 数 S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S ? ? f ( x)dx
a b

其中 f ( x) 成为被积函数,x 叫做积分变量, [a, b] 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 说明: (1)定积分 ? f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为
a b

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 Sn .
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 ?a , b? ;②近似代替:

45

取点 ?i ?? xi ?1 , xi ? ;③求和: ?
i ?1

n

n b b?a b?a f (?i ) ;④取极限: ? f ( x)dx ? lim ? f ??i ? a n ?? n n i ?1

(3)曲边图形面积: S ? ? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? v(t )dt ;
t2

b

a

t1

变力做功 W ? ? F (r )dr
a

b

2.定积分的几何意义 说明:一般情况下,定积分 ? f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线
a b

x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去

负号. (可以先不给学生讲) . 分析:一般的,设被积函数 y ? f ( x) ,若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上可取负值。 考察和式 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ??? f ( xi )?x ? ?? f ? xn ? ?x 不妨设 f ( xi ), f ( xi ?1 ),?, f ( xn ) ? 0 于是和式即为 f ? x1 ? ?x ? f ? x2 ? ?x ??? f ( xi?1 )?x ?{[? f ( xi )?x] ? ?? [? f ? xn ? ?x]}

? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
a

b

2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1

? 1dx ? b ? a
a b b a a
b b b

b

性质 2 ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质) 性质 3 ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a a

(定积分的线性性质)性质

4 ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a ? c ? b)
a a c

b

c

b

(定积分对积分区间的可加性) 说明:①推广: ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? ? ? ? f m ( x)
a a a a b b b b

46

②推广: ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx
a a c1 ck

b

c1

c2

b

③性质解释:
y

性质 1
y=1

y A

性质 4
C

B

O

a

b

x

M O a P b

N x

S曲边梯形AMNB ? S曲边梯形AMPC ? S曲边梯形CPNB
三、拓展建构 例 1.计算定积分 ? ( x ? 1)dx
1 2

y

分析:所求定积分即为如图阴影部分 5 面积,面积为 。 2 2 5 即: ? ( x ? 1)dx ? 1 2 变式练习:1. ? (2 x ? 4)dx
0 5

o

1

2

x

解: ? (2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5
0

5

2. ? x dx
?1
1 1 1 解: ? x dx ? ? 1? 1 ? ?1?1 ? 1 ?1 2 2

1

例 2.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的 面积的差得到。
? ?y ? x ? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点 解:? 2 y ? x ? ?

为(0,0) 、
y ? x

(1,1) ,面积 S= ? ?

1

0

xdx ? ? x 2 dx ,所以
0
3 1

1

1 ?2 3 x ? 1 S = ? ( x - x2 )dx ? ? x 2 ? ? = 0 3 ?0 3 ?3

C O

B
y ? x2

【点评】 在直角坐标系下平面图形的面积的四个

D A

步骤:
47

1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积; 4.微积分基本定理求定积分。 计算下列定积分 1、定积分 ? cdx (c 为常数)的几何意义是
a b

2、由 y=sinx, x=0,x=
b

? ,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 2
( )

3、定积分 ? f ( x)dx 的大小
a

A、与 f ( x) 和积分区间 ?a, b? 有关,与 ? i 的取法无关 B、与 f ( x) 有关,与区间 ?a, b? 及 ? i 的取法无关 C、与 f ( x) 和 ? i 的取法有关,与积分区间 ?a, b? 无关 D、与 f ( x) 、区间 ?a, b? 和 ? i 的取法都有关 4、下列等式成立的个数是(
1 1


? ?
0

① ? f (t )dt ? ? f ( x)dx ② ? 2 sin xdx ? ?? sin xdx ? ? sin xdx
0 0
0 2

?

③ ? x dx ? 2? x dx
?a 0

a

a

④?

2

0

4 ? x 2 dx ? ? 2dx
0

2

A、1 B、2 5、计算下列定积分 1. ? (2 x ? 4)dx
0 5

C、3

D、4

?

5

0

(2 x ? 4)dx ? 9 ? 4 ? 5
1 1 ? 1? 1 ? ? 1? 1 ? 1 2 2

2. ? x dx
?1

1

?

1

?1

x dx ?

教后感:

48

20

年月日第课时

课题:1.6 微积分基本定理
教学目的 1、知识与技能:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹 公式求简单的定积分 2、过程与方法:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 3、情感、态度与价值观:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对 立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系, 使学生直观了解微积分基本定理的 含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 了解微积分基本定理的含义

重点 难点

教学过程:
1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂, 所以不是求定积分的一 般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动, 在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) ( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为 ? v(t )dt 。
T1 T2

另一方面, 这段路程还可以通过位置函数 S (t) 在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表达, 即

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 )

而 S ?(t ) ? v(t ) 。 对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
49

若上式成立,我们就找到了用 f ( x) 的原函数(即满足 F ?( x) ? f ( x) )的数值差 F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。 注:1:定理如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
x a

证明:因为 ? ( x) = ? f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故
F ( x) - ? ( x ) =C( a ? x ? b ) 其中 C 为某一常数。

令 x ? a 得 F ( a ) - ? (a ) =C,且 ? (a ) = ? f (t )dt =0
a

a

即有 C= F ( a ) ,故 F ( x) = ? ( x) + F ( a )
? ? ( x) = F ( x) - F ( a ) = ? f (t )dt
a x

令 x ? b ,有 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

b

此处并不要求学生理解证明的过程 F (b) ? F (a) ,即 为了方便起见,还常用 F ( x) |b a 表示

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。 它指出了求连续函数定积分的 一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的 桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效 方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启 下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重 要最辉煌的成果。 例 1.计算下列定积分: 21 3 1 (1) ? dx ; (2) ? (2 x ? 2 ) dx 。 1 x 1 x 1 解: (1)因为 (ln x ) ' ? , x 21 2 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 。 所以 ? dx ? ln x |1 1 x 1 1 (2) )因为 ( x 2 )' ? 2 x, ( )' ? ? 2 , x x 3 3 3 1 1 所以 ? (2 x ? 2 )dx ? ? 2 xdx ? ? 2 dx 1 1 1 x x 1 3 1 22 3 ? x 2 |1 ? |1 ? (9 ? 1) ? ( ? 1) ? 。 x 3 3 练习:计算 ? x 2 dx
0 1

1 解:由于 x3 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x dx = 3 x |0 = 3 ? 1 ? 3 ? 0 = 3

50

例 2.计算下列定积分:

?

?

0

sin xdx, ? sin xdx, ? sin xdx 。
?
0

2?

2?

由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解:因为 (? cos x)' ? sin x , 所以

? sin xdx ? (? cos x) | ? (? cos ? ) ? (? cos 0) ? 2 , ? ? ?? sin xdx ? (? cos x) |? ? (? cos 2? ) ? (? cos ? ) ? ?2 , ? ? ? sin xdx ? (? cos x) | ? (? cos 2? ) ? (? cos 0) ? 0 .
?
0 0 2 2

?

2

0

2 0

可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图 1.6 一 3 ) ,定积分的值取正值,且等 于曲边梯形的面积;

图1.6 一 3(2 ) (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ,定积分的值取负值, 且等于曲边梯形的面积的相反数;

( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定 积分的值为 0(图 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴 下方的曲边梯形面积.

51

例 3.汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时,汽车速度 v0 =32 公里 32 ? 1000 /小时= 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 3600 8.88 ? 4.93 秒 当汽车停住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= 1.8 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) ? 21.90 米,即在刹车后,汽车需 2 0

4.93

走过 21.90 米才能停住. 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系, 同时它也提供了计算定积分 的一种有效方法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展 起来,成为一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重 要、最辉煌的成果. 四:课堂小结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿 莱布尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求 定积分的简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面 的求导数的知识比较熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习!

教后感:

52

20

年月日第课时

课题:1.7 定积分的简单应用(一)
教学目的 1、知识与技能:进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯 形的思想方法; 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 初步掌握 利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 体会定积分在物理中应用 (变速直线 运动的路程、变力沿直线做功) 。 2、过程与方法:借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分在实际中的应用 3、情感、态度与价值观:通过定积分在几何和物理中的应用,进一步感受极限的思 想 定积分在几何和物理中的应用 定积分在几何和物理中的应用

重点 难点

教学过程:
定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例 1.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积. ? ?y ? x 解: ? 、 (1,1) ,面积 S= ? x ? 0及x ? 1 ,所以两曲线的交点为(0,0) 2 ? ?y ? x

??

1

0

? 2 3 x3 ? 1 xdx ? ? x dx ,所以 S = ? ( x - x )dx ? ? x 2 ? ? =3 0 0 3 ?0 ?3
1 2 1 2
y ? x

1

B C D A O
y ? x2

例 2.计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S. 解:作出直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2 x 的草图,所求面积为图阴影部分的面积.
? y ? 2x , ? 解方程组 ? ? ?y ? x ? 4 得 直 线 y ? x ? 4 与 曲 线 y ? 2x 的 交 点 的 坐 标 为 (8,4) . 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为(4,0). 因此,所求图形的面积为 S=S1+S2

??
?

4

0

2 xdx ? [?
3 2 4 0

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4
3 2 8 4

8

2 2 2 2 1 40 . x | ? x | ( x ? 4) 2 |8 4? 3 3 2 3

53

2? 2? ] 与直线 x ? 0, x ? , x 轴所围成的图形面积。 3 3 2? 2? 3 3 答案: S=? sin xdx ? ? cos x | o3 ? 0 2

例 3.求曲线 y ? sin x  x ?[0,

练习 1、求直线 y ? 2 x ? 3 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积。
2 x+3-x 2 )dx ? (x 2 ? 3 x ? 答案: S=? (
?1 3

x 3 3 32 ) | ?1 ? 3 3

2、求由抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 M(0,-3)和 N(3,0)处的两条切线所围 成的图形的面积。 略解:? y / ? ?2 x ? 4 ,切线方程分别为 y ? 4 x ? 3 、 y ? ?2 x ? 6 ,则所求图形的面积为
S=

?

3 2 [(4 x 0

? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 3)]dx ?

?

3 [( ?2 x 2

3

? 6) ? ( ? x 2 ? 4 x ? 3)]dx=

9 4

3、求曲线 y ? log2 x 与曲线 y ? log2 (4 ? x) 以及 x 轴所围成的图形面积。 略解:所求图形的面积为
S= 【g( y) ? f ( y)dy ?
0

?

1

? (4 ? 2 ? 2
0

1

y

)dy

? ( 4 y ? 2 ? 2 y log2 e) |1 0 ? 4 ? 2 log2 e

4、在曲线 y ? x 2 ( x ? 0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 1 .试求:切点 A 的坐标以及切线方程. x y=x2 12 略解:如图由题可设切点坐标为 (x 0 , x 0 2 ) ,则切线方程 A 为 y ? 2 x0 x ? x0 2 ,切线与 x 轴的交点坐标为 O BC x x0 3 x0 x0 x 1 2 2 2 0 2 ( ,0) ,则由题可知有 S ? ? x dx ? ?x0 ( x ? 2 x 0 x ? x 0 )dx ? ?
2
0 2

12

12

? x 0 ? 1 ,所以切点坐标与切线方程分别为 A(1,1), y ? 2 x ? 1

总结: 1、定积分的几何意义是: 在区间[a, b]上的曲线y ? f ( x)与直线x ? a 、 x ? b以及x 轴所围成 的图形的面积的代数和,即 ? f ( x)dx ? S x轴上方-S x轴下方 .
a b

2、求曲边梯形面积的方法与步骤: (1) 画图,并将图形分割为若干个曲边梯形; (2) 对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限; (3) 确定被积函数; (4) 求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。
54

3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法: (1) x 型区域: ①由一条曲线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的 ) 曲边梯形的面积: S=? f ( x )dx (如图(1) ) ;
a b

②由一条曲线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的 ) 曲边梯形的面积: S= ? f ( x )dx =-? f ( x )dx (如图(2) ) ;
a a b b

③由两条曲线 y ? f ( x),y ? g( x)(其中f ( x) ? g( x) 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) ) 所围成的曲边梯形的面积: S=? | f ( x)-g( x) | dx (如图(3) ) ;
a b

y

y ? f ( x)

y

a

b x

y

y ? f ( x)

a

b

x

y ? f ( x)

y ? g( x)
a

b x

图(1) 图(2) 图(3) (2) y 型区域: ①由一条曲线 y ? f ( x)(其中x ? 0 与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲 ) 边梯形的面积,可由 y ? f ( x ) 得 x ? h( y ) ,然后利用 S=? h( y)dy 求出(如图(4) ) ;
a b

②由一条曲线 y ? f ( x)(其中x ? 0 与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲 ) 边梯形的面积,可由 y ? f ( x ) 先求出 x ? h( y ) ,然后利用 S= ? h( y )dy =-? h( y )dy 求出
a a b b

(如图(5) ) ; ③由两条曲线 y ? f ( x ),y ? g ( x ) 与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的 面 积 , 可 由 y ? f ( x ),y ? g ( x ) 先 分 别 求 出 x ? h1 ( y) , x ? h2 ( y) , 然 后 利 用
S= | h1 ( y)-h2 ( y) | dy 求出(如图(6) ) ;
a

?

b

y b

y

y ? f ( x) y ? f ( x) x
a
图(4) 图(5)

b x a

y b

y ? f ( x)
y ? g( x) x

a
图(6)

55

2.求平面曲线的弧长 设曲线 AB 方程为 y ? f ( x)(a ? x ? b) , 函数 f ( x) 在区间 [ a , b] 上可导, 且 f ' ( x) 连续, 则曲线 AB 的弧长为 l ? ?
b a

1 ? [ f ' ( x)]2 dx .

3.求旋转体的体积和侧面积

由曲线 y ? f ( x) , 直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成的旋转体 体积为

V ? ? ? [ f ( x)]2 dx .
a

b

其侧面积为 S侧 ? 2? ? f ( x) 1 ? [ f ' ( x)]2 dx .
a

b

四:课堂小结 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积,即定积分在几何中 应用,要掌握几种常见图形面积的求法,并且要注意定积分的几何意义,不能等同于图 形的面积,要注意微积分的基本思想的应用与理解。

教后感:

56

20

年月日第课时

课题:§1.7
教学目的

定积分的简单应用(二)

1、知识与技能:进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯 形的思想方法; 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理; 初步掌握 利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 体会定积分在物理中应用 (变速直线 运动的路程、变力沿直线做功) 。 2、过程与方法:借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分在实际中的应用 3、情感、态度与价值观:通过定积分在几何和物理中的应用,进一步感受极限的思 想 定积分在几何和物理中的应用 定积分在几何和物理中的应用

重点 难点

教学过程:
定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程 我们知道, 作变速直线运动的物体所经过的路程 s, 等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分,即 s ? ? v(t )dt
a b

例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图 1.7 一 3 所示.求汽车在这 1 min 行驶的 路程. 解:由速度一时间曲线可知: ?3t , 0 ? t ? 10, ? v(t ) ? ?30,10 ? t ? 40 ??1.5t ? 90, 40 ? t ? 60. ? 因此汽车在这 1 min 行驶的路程是:

s ? ? 3tdt ? [? 30dt ? ? (?1.5t ? 90)dt
0 10 40

10

40

60

3 2 10 3 40 t |0 ?30t |10 ?(? t 2 ? 90t ) |60 40 ? 1350( m) 2 4 答:汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . ?

(2) .变力作功 一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向移 (单位:m),则力 F 所作的功为 W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x) 相同的方向 从 x =a 移动到 x=b (a<b) ,那么如何计算变力 F(x)所作的功 W 呢? 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样, 可以用“四步曲”解决 变力作功问题.可以得到

W ? ? F ( x)dx
a

b

例 5. 如图 1· 7一4 , 在弹性限度内, 将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 lm 处, 求克服弹力所作的功.

57

解:在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F ( x )与弹簧拉伸(或压缩) 的长度 x 成正比,即 F ( x )= kx , 其中常数 k 是比例系数. 由变力作功公式,得到 l 1 1 W ? ? kxdx ? x 2 |l0 ? kl 2 ( J ) 0 2 2 1 答:克服弹力所作的功为 kl 2 J . 2 例 6.A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站 B 开往站,电车开出 ts 后到达途中 C 点,这一段的速度为 1.2t(m/s),到 C 点的速度为 24m/s,从 C 点到 B 点前的 D 点以等 速行驶,从 D 点开始刹车,经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求 (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间。 分析:作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在 时间区间[a,b]上的定积分,即 S=? v (t )dt
a b

略 解 :( 1 ) 设 A 到 C 的 时 间 为 t1 则 1.2t=24, t1=20(s), 则 AC =

?

20

0

20 1.2tdt ? 0.6t 2 | 0 ? 240(m)

(2)设 D 到 B 的时间为 t21 则 24-1.2t2=0, t21=20(s),
20 24-1.2t)dt ? 0.6t 2 | 0 ? 240(m) 则 DB= ? ( 0 20

( 3 ) CD=7200-2 ? 240=6720(m), 则从 C 到 D 的时间为 280(s), 则所求时间为 20+280+20=320(s) 。 练习:1:如果 1N 能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,需做功( A A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
6 0



略解:设 F ? kx ,则由题可得 k ? 0.01 ,所以做功就是求定积分 ? 0.01xdx ? 0.18 四:课堂小结 本节课主要学习了定积分在物理学中的应用,要掌握几种常见图形面积的求法, 并且要注意定积分的几何意义,不能等同于图形的面积,要注意微积分的基本思想的应 用与理解。

教后感:

58

20

年月日第课时

课题:2.1.1 合情推理 教学目的 1、知识与技能:掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。 2、过程与方法:通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心” 的理念。 3、情感、态度与价值观:感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣, 使其体会到数学学习的美感。 归纳推理及方法的总结 归纳推理的含义及其具体应用

重点 难点

教学过程:
(一)问题情境: 1、引入: “阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球! ” ①提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在? ②探究:他是怎么发现“杠杆原理”的? 从而引入两则小典故: A:一个小孩,为何轻轻松松就能提起一大桶水? B:修筑河堤时,奴隶们是怎样搬运巨石的? 正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发现了伟大的“杠 杆原理” 。 ③思考:整个过程对你有什么启发? ④启发:在教师的引导下归纳出: “科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想和 证明” 。
生活 观察 猜想 证明

归纳推理的发展过程

2、数学皇冠明珠 追逐先辈的足迹,接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想” 。 这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是一位著名的数学家。据说哥德巴赫无意中 观察到:3+7=10,3+17=20,13+17=30,于是他对一些偶数进行验证,由此他大胆地猜 想:任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想,它 是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想,而
59

且也取得了很好的进展。 思考:哥德巴赫是如何提出这个猜想的? 学生交流、 探讨: 他是通过对一些偶数的验证, 发现它们总可以表示成两个奇质数之和, 而且没有出现反例,从而提出这个猜想。

(二)推进新课 1、归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)。

2、归纳推理的特点: 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

3、归纳推理的一般步骤:

实验、观察
4、例题讲解:

概括、推广

猜测一般性结论

例 1、前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸 的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例 2、前提:三角形的内角和是 1800,凸四边形的内角和是 3600,凸五边形的内角和是 5400,…… 结论:凸 n 边形的内角和是(n—2)?1800。

例 3、

2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ? 3 ? , ? , ? ,? 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3

b b+m 由此我们猜想: ? (a, b, m均为正实数)。 a a+m
60

探究:上述结论都成立吗? 强调:归纳推理的结果不一定成立!

例 4、已知数列{ an }的第 1 项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? 数列的通项公式.

an (n=1,2,3,?) ,试归纳出这个 1 ? an

分析: 数列的通项公式表示的是数列{ an }的第 n 项 an 与序号 n 之间的对应关系. 为此, 我们先根据已知的递推公式,算出数列的前几项. 解:当 n=1 时, a1 ? 1 ; 当 n =2 时, a2 ?
1 1 ? ; 1?1 2

1 1 当 n =3 时, a3 ? 2 ? ; 1 3 1? 2 1 1 当 n=4 时, a4 ? 3 ? . 1 4 1? 3
观察可得,数列的前 4 项都等于相应序号的倒数.由此猜想,这个数列的通项公 式为
an ? 1 . n

例5、拓展: a1 ? 2, a 2 ? 1, a3 ?

2 1 , a 4 ? , 求a n ? ? 3 2

①思考:怎么求 an ?组织学生进行探究,寻找规律。 ②归纳:由学生讨论,归纳技巧: 有整数和分数时,往往将整数化为分数; 当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律。 在例 4 和例 5 中,我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想.虽然猜想是

61

否正确还有待严格的证明,但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.

(三)课堂练习:

(四)课堂小结: 1、归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。 2、归纳推理的一般步骤: 通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般命题(猜想) 。

(五)布置作业:

教后感:

62

20

年月日第课时

课题:2.1.2 演绎推理 教学目的 1、知识与技能:了解演绎推理的含义及特点,会将推理写成三段论的 形式 2、过程与方法:了解合情推理和演绎推理的区别与联系 3、情感、态度与价值观:了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日 常生活中的作用,养成言之有理论证有据的习惯。 重点 演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 难点 演绎推理的应用

教学过程:
一、导入新课 现在冰雪覆盖的南极大陆,地质学家说它们曾在赤道附近,是从热带飘移到现在的 位置的,为什么呢?原来在它的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶表明它们是阔 叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热 带。 被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高入云天,巍然屹立。西藏高原南 端的喜马拉雅山横空出世,雄视世界。珠穆郎玛峰是世界第一高峰,登上珠峰顶,一览 群山小。谁能想到,喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋,高耸的山峰的前身,竟 然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢? 科学家们在喜马拉雅山区考察时, 曾经发现高山的地层中有许多鱼类、 贝类的化石。 还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海洋里,在喜马拉雅山上发 现它们的化石, 说明喜马拉雅山曾经是海洋。 科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法, 就是一种名叫演绎推理的方法。

二、讲授新课(学生阅读课本,找到定义) 1.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法。 2.演绎推理的一般模式 分析喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋推理过程: 鱼类、贝类、鱼龙,都是海洋生物,它们世世代代生活在海洋里??大前提 在喜马拉雅山上发现它们的化石??小前提 喜马拉雅山曾经是海洋??结论 三段论(1)大前提??已知的一般原理 (2)小前提??所研究的特殊情况 (3)结论??根据一般原理,对特殊情况作出的判断 3.练习把下列推理写成三段论的形式 (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此冥 王星以椭圆形轨道绕太阳运行; (2)在一个标准大气压下,水的沸点是 100°C,所以在一个标准大气压下把水加热到 100°C 时,水会沸腾; (3)一切奇数都不能被 2 整除, (2100 ? 1) 是奇数,所以 (2100 ? 1) 不能被 2 整除;
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(4)三角函数都是周期函数, tan ? 是三角函数,因此 tan ? 是周期函数; (5)两条直线平行,同旁内角互补。如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么 ∠A+∠B=180°;

三、例题讲评: 例 1.如图所示,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 为垂足, 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等。

C E D

证明:(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形,???? A 大前提 在△ABD 中,AD⊥BC,∠ADB=90?,?????????小前提 所以△ABD 是直角三角形.??????????????结论 同理,△AEB 也是直角三角形 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,???????大前提 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点,DM 是斜边上的中线,???小前提 1 所以 DM= AB ,????????????????????结论 2 1 同理,EM= AB . 所以 DM=EM 2 评注: “三段论”可以表示为 大前题:M 是 P

M

B

小前提:S 是 M

结论:S 是 P。

用集合论的观点分析:若集合 M 中的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P。

例 2、证明函数 f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数。 分析:大前题:增函数的定义。小前提:f(x)在(-∞,1]上满足定义 学生 板演证明过程。

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练习:分析下面几个推理是否正确,说明为什么? (1) 因为指数函数 y ? a x 是增函数,
1 而 y ? ( ) x 是指数函数 2 1 所以 y ? ( ) x 是增函数 2

(2)因为无理数是无限小数 而π 是无限小数 所以π 是无理数

1 1 (3)因为无理数是无限小数,而 (=0.333??)是无限小数,所以 是无理数 3 3

说明:在应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都 可能导致结论错误。

比较:合情推理与演绎推理的区别与联系 从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到 特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。 从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推 理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。 人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真 伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化,系统化,合情推理和演绎推理分别在这 两个环节中扮演着重要的角色 就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结 论、 证明思路等的发现, 主要靠合情推理。 因此, 我们不仅要学会证明, 也要学会猜想。

四、练习(自己动手练习巩固,寻找不足当堂解决) 1.用三段论证明:通项公式为 an ? cqn (cq ? 0) 的数列 ?an ? 为等比数列。 2.用三段论证明:若梯形的两个腰和一个底如果相等,它的对角线必平分另一底上的 两个角。

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五、小结: 1.俗话说,打鱼人识不完鱼,庄稼人识不完草。认识事物的任务十分艰巨,把握规律 的道路分外漫长。我们不能事事去亲知,事事去实验。但是我们运用这种演绎方法,你 就能以一知十,以近知远,以少知多。演绎推理还使人们产生新的创意或新的发现。如 一种被称为“铜草”的植物,是铜矿的“指示剂”,因为它们之间相互依存、相伴而生。发 现生长良好的“铜草”,往往就能找到铜矿。 2.演绎方法是一种重要的认识工具,也是科学发现的有用方法。我们面前,一个无限 广阔的世界正等待我们去认识,等待着我们去利用,去改造。许多发明和发现就是运用 这一方法得到的,浮法制造玻璃是根据液体自由流平的原理演绎而来,钢笔主要是根据 毛细管原理演绎而来等等。

六、作业: 1.用三段论证明:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,则∠B=∠C。 2.写出三角形内角和定理的证明,并指出每步推理的大前题和小前题。 1 3.设实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a( x 2 ? 1) ? (2 x ? ) 有最小值—1, a (1)求 a 的值; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? f (n) ,令 bn ? 证明数列 ?bn ? 是等差数列。

a2 ? a4 ? ? ? a2n , n

教后感:

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20 年月日第课时 课题:2.2.1 综合法和分析法 教学目的 1、知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本 方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及 培养他们的分析问题和解决问题的能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 重点 了解分析法和综合法的思考过程、特点 难点 分析法和综合法的思考过程、特点

教学过程:
学生探究过程: 合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大 基本证明方法-------直接证明与间接证明。 若要证明下列问题: 已知 a,b>0,求证 a(b2 ? c2 ) ? b(c2 ? a2 ) ? 4abc 教师活动:给出以上问题,让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。 教师最后归结证明方法。 学生活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法 设计意图:引导学生应用不等式证明以上问题,引出综合法的定义 证明:因为 b2 ? c2 ? 2bc, a ? 0 , 所以 a(b2 ? c2 ) ? 2abc , 因为 c2 ? a2 ? 2ac, b ? 0 , 所以 b(c2 ? a2 ) ? 2abc . 因此, a(b2 ? c2 ) ? b(c2 ? a2 ) ? 4abc . P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 1.综合法 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不 等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是: ? P ? Q1 ? ? (Q1 ? Q2 ) ? ?Q2 ? Q3 ? ? ..... ? ?Qn ? Q?
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综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质 和公式,推出结论的一种证明方法
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例 1、 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A,B,C 成等差数列, a, b, c 成 等比数列,求证△ABC 为等边三角形. 分析:将 A , B , C 成等差数列,转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的 内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是 A + B + C = ? ; a , b,c 成等比数列,转化 为符号语言就是 b2 ? ac .此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和 边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定 理为工具进行证明. 证明:由 A, B, C 成等差数列,有 2B=A + C .①
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因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A + B + C= ? .⑧ ? 由①②,得 B= . 3 由 a, b,c 成等比数列,有 b2 ? ac . 由余弦定理及③,可得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac . 再由④,得 a2 ? c2 ? ac ? ac . (a ? c)2 ? 0 , 因此 a ? c . 从而 A=C. 由②③⑤,得 ? A=B=C= . 3 所以△ABC 为等边三角形. 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来. 例 2、已知 a, b ? R ? , 求证 a a b b ? a b b a . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0. ?a ? b ? 0 ,从而原不等式得证。 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ? b ? b a ?b ) ? 0 2)商值比较法:设 a ? b ? 0,
a abb a a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b 注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步 骤是:作差(或作商) 、变形、判断符号。 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换?
?

2. 分析法 证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的 条件,明尸 2 成立,再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等) 为止.乞,再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ;为了证??直到找到一个明显成立的 条件(已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 .为了证明尸 1 成立, 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的 条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已 具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是:
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?Q ? P 1 ? ? (P 1 ?P 2 )..... ? ( P n?1 ? P n) ??P n ? P?
分析法的思维特点是:执果索因 分析法的书写格式:
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要证明命题 B 为真, 只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? ?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真
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例 3、求证 3 ? 7 ? 2 5 证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数,所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 只需证明 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 展开得 10 ? 2 21 ? 20 即 2 21 ? 10,21 ? 25 因为 21 ? 25 成立,所以 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 成立 即证明了 3 ? 7 ? 2 5 说明:①分析法是“执果索因” ,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是 对立统一的两种方法 ②分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是:为了证明命题 B 为真, 这只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故 B 必真 在本例中, 如果我们从 “21<25 ” 出发, 逐步倒推回去, 就可以用综合法证出结论。 但由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难。 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结 构特点去转化结论,得到中间结论 Q‘;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P‘.若由 P‘可以推出 Q‘成立,就可以证明结论成立.下面来看一个例子.
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例 4 已知 ? , ? ? k? ?
sin ? ? cos ? ? 2sin ? sin ? cos? ? sin 2 ? ②

?
2

(k ? Z ) ,且



1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? ? 。 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? ) 分析:比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角 ? ,因此第一步工作可以从已 知条件中消去? .观察已知条件的结构特点,发现其中蕴含数量关系 ① 2 一 2 ?② 得 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 .把 ( s i? n? c? o2s ? ) 2 ? s i n?? ,于是 c o s ,由 1 发现角相同, 但函数名称不同, 于是尝试转化结论: 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1与结论相比较, 统一函数名称,即把正切函数化为正(余)弦函数.把结论转化为 1 co s 2 ? ? sin 2 ? ? (co s 2 ? ? sin 2 ? ) , 再 与 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 比 较 , 发 现 只 要 把 2
求证:
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co s 2 ? ? sin 2 ? ?

1 (co s 2 ? ? sin 2 ? ) 中的角的余弦转化为正弦,就能达到目的. 2 证明:因为 (sin ? ? cos? )2 ? 2sin ? cos? ? 1,所以将 ① ② 代入,可得

4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1.
2 2



1 ? tan ? 1 ? tan ? ? 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? 1 ? 1? 2 cos 2 ? 即证 cos2 ? ? , sin ? sin 2 ? 1? 2(1 ? ) cos 2 ? cos 2 ? 1 即证 co s 2 ? ? sin 2 ? ? (co s 2 ? ? sin 2 ? ) , 2 1 即证 1 ? 2sin 2 ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) , 2 2 即证 4sin ? ? 2sin 2 ? ? 1。 由于上式与③相同,于是问题得证。
另一方面,要证 例 5 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是 圆的水管比截面是正方形的水管流量大 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长 L L L 为 L,则周长为 L 的圆的半径为 ,截面积为 T1 ( ) 2 ;周长为 L 的正方形边长为 , 2? 2? 4 L L L 截面积为 ( ) 2 所以本题只需证明 ? ( ) 2 ? ( ) 2 4 2? 4 L 证明:设截面的周长为 L,依题意,截面是圆的水管的截面面积为 ? ( ) 2 ,截面是 2? L 2 L 2 L 2 正方形的水管的截面面积为 ( ) ,所以本题只需证明 ? ( ) ? ( ) 4 2? 4
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为了证明上式成立,只需证明 两边同乘以正数

?L2 L2 ? 4? 2 16

4 1 1 ,得 ? 2 ? 4 L 因此,只需证明 4 ? ? L L 上式是成立的,所以 ? ( ) 2 ? ( ) 2 2? 4 这就证明了,通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面 是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 说明:对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法 探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的
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巩固练习:
1、a, b, c ? R ? , 求证 a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? 2(a ? b ? c)

2、?ABC中,已知3b ? 2 3a sin B,且 cos B ? cos C 求证:?ABC为等边三角形
?3、a, b, c为?ABC的三内角的对应边 aA ? bB ? cC ? 试证明 : ? a?b?c 2
课后作业: 例 1、已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证: a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc 证明:∵ b 2 ? c 2 ≥2bc,a>0, ∴ a(b 2 ? c 2 ) ≥2abc① 同理 b(c 2 ? a 2 ) ≥2abc② c(a 2 ? b 2 ) ≥2abc③ 因为 a,b,c 不全相等,所以 b 2 ? c 2 ≥2bc, c 2 ? a 2 ≥2ca, a 2 ? b 2 ≥2ab 三式不能 全取“=”号,从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴ a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc 例 2、已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 证明:左-右=2(ab+bc-ac) ∵a,b,c 成等比数列,∴ b 2 ? ac a?c ? a?c 又∵a,b,c 都是正数,所以 0 ? b ? ac ≤ 2 ∴a ? c ? b ∴ 2(ab ? bc ? ac) ? 2(ab ? bc ? b 2 ) ? 2b(a ? c ? b) ? 0 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 例 3、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 = 3 ? 3x 2 ? 3x 4 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 = 2( x 4 ? x 3 ? x ? 1) = 2( x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) 1 3 = 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ]. 2 4 1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 ∴ 2( x ? 1) 2 [( x ? ) 2 ? ] ? 0, 2 4
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∴ 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 例 4、已知 a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) 分析一:用分析法 证法一:(1)当 ac+bd≤0 时,显然成立 (2)当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即证 a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcd≤b2c2+a2d2 即证 0≤(bc-ad)2 因为 a,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
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∴ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) ≥|ac+bd|≥ac+bd
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故命题得证 分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0, ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) ≥|ac+bd|≥ac+bd, 即 ac+bd≤ ( a 2 ? b 2 )( c 2 ? d 2 ) 例 5、设 a、b 是两个正实数,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 证明:(用分析法思路书写) 要证 a3+b3>a2b+ab2 成立, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立, 即需证 a2-ab+b2>ab 成立。(∵a+b>0) 只需证 a2-2ab+b2>0 成立, 即需证(a-b)2>0 成立。 而由已知条件可知,a≠b,有 a-b≠0,所以(a-b)2>0 显然成立,由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即 a2-2ab+b2>0 亦即 a2-ab+b2>ab 由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 3 3 2 2 即 a +b >a b+ab ,由此命题得证.
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教后感:

20 年月日第课时 课题:§2.2.2 反证法
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教学目的

重点 难点

1、知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本 方法─ ─ 反证法;了解反证法的思考过程、特点。 2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及 培养他们的分析问题和解决问题的能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 了解反证法的思考过程、特点 反证法的思考过程、特点

教学过程:
学生探究过程: (1)、反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个 假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的 一种方法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面 不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式 是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于 /不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有 n 个/至 多有(n 一 1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导 将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件 矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 上,都需要翻转奇数次,所以 3 枚硬币全部反面朝上时,需要翻转 3 个奇数之和 次,即要翻转奇数次.但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币, 3 枚硬币被翻转的次数 只能是 2 的倍数,即偶数次.这个矛盾说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转 都不能使 3 枚硬币全部反面朝上. 一般地, 假设原命题不成立 (即在原命题的条件下, 结论不成立) ,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命 题成立,这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) . 例 1、已知直线 a , b 和平面,如果 a ? ? , b ? ? ,且 a || b ,求证 a || ? 。 证明:因为 a || b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面 ? 。 因为 a ? ? ,而 a ? ? , 所以 ? 与 ? 是两个不同的平面. 因为 b ? ? ,且 b ? ? , 所以 ? ? ? ? b . 下面用反证法证明直线 a 与平面 ? 没有公共点.假 设直线 a 与平面 ? 有公共点 P ,则 P ?? ? ? ? b ,即点 P 是直线 a 与 b 的公共点,这 与 a || b 矛盾.所以 a || ? . 点评:线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线 平行,那么这条直线和这个平面平行. 推理模式: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .

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例 2、求证: 2 不是有理数 分析: 直接证明一个数是无理数比较困难, 我们采用反证法. 假设 2 不是无理数, m 那么它就是有理数. 我们知道, 任一有理数都可以写成形如 ( m, n 互质, m? Z, n ? N* ” n 的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾. 证明:假设 2 不是无理数,那么它就是有理数.于是,存在互质的正整数 m, n , m 使得 2 ? ,从而有 m ? 2n , n 因此, m2 ? 2n 2 , 所以 m 为偶数.于是可设 m ? 2 k ( k 是正整数) ,从而有 2 2 4k ? 2n ,即 n 2 ? 2k 2 所以 n 也为偶数.这与 m , n 互质矛盾! 由上述矛盾可知假设错误,从而 2 是无理数. 正是 2 的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与 1 是不可公度的,这 就是无理数;从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐。

例 3、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 ) 证明:假设 n a 不大于 n b ,即 n a ? n b 或 n a ? n b . ∵a>0,b>0 ∴由 n a ? n b ? ( n a )n ? ( n b )n (注:应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?) ?a<b(推理利用了不等式的传递性). 又由 n a ? n b ? a ? b 但这些都与已知条件,a>b>0 相矛盾. ∴ n a ? n b 成立.

例 4、设 a 3 ? b 3 ? 2 ,求证 a ? b ? 2. 证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而 a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 ,

a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2. 因为 6(b ? 1) 2 ? 2 ? 2 ,所以 a 3 ? b 3 ? 2 ,这与题设条件 a 3 ? b 3 ? 2 矛盾,所以,原不 等式 a ? b ? 2 成立。

例 5、设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于

74

1 . 2

证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

1 ,则 2

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2. (1)
另一方面,由绝对值不等式的性质,有 f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3)
? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 注意: 诸如本例中的问题, 当要证明几个代数式中, 至少有一个满足某个不等式时, 通常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所 推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等 各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 巩固练习: 课后作业: 1.设 0 <a, b, c< 2,求证:(2 ?a)c, (2 ?b)a, (2 ?c)b,不可能同时大于 1 反证法:(2 ?a)c>1, (2 ?b)a>1, (2 ?c)b>1,则(2 ?a)c(2 ?b)a(2 ?c)b>1 ?① (2 ? a) ? a ? 1, 又因为设 0 <a, b, c< 2,(2 ?a) a ? 2 同理 (2 ?b) b≤1, (2 ?c) c≤1,所以(2 ?a)c(2 ?b)a (2 ?c)b≤1 此与①矛盾
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2.若 x, y> 0,且 x + y>2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2 x y

反证法:设

1? x 1? y ≥2, ≥2 x y

∵x, y> 0,可得 x + y≤2 与 x + y>2 矛盾。

3.设 0 <a, b, c< 1,求证:(1 ?a)b, (1 ?b)c, (1 ?c)a,不可能同时大于
1 1 (1 ?b)c> , (1 ?c)a> , 4 4 1 则三式相乘:ab< (1 ?a)b?(1 ?b)c?(1 ?c)a< ① 64

1 4

证:设(1 ?a)b>

1 , 4

又∵0 <a, b, c< 1 同理: (1 ? b)b ?
1 , 4

1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? ? 2 4 ? ?
(1 ? c)c ? 1 4
75

2

以上三式相乘: (1 ?a)a?(1 ?b)b?(1 ?c)c≤ ∴原式成立

1 与①矛盾 64

4.已知 a + b + c> 0,ab + bc + ca> 0,abc> 0,求证:a, b, c> 0 证:设 a< 0, ∵abc> 0, ∴bc< 0 又由 a + b + c> 0, 则 b + c = ?a> 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc< 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc> 0 矛盾,∴必有 a> 0 同理可证:b> 0, c> 0

教后感:

20 年月日第课时 课题:2.3 数学归纳法(1)
76

教学目的

重点 难点

1、知识与技能:了解数学归纳法原理,理解数学归纳法的概念; 2、过程与方法:掌握数学归纳法的证明步骤,能用数学归纳法证明一 些简单的数学命题. 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 教学重点: 了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

教学过程:
学生探究过程: 我们已经用归纳法得到许多结论, 例如, 等差数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d , n(n ? 1)(2n ? 1) 自然数平方和公式 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ? .这些命题都与自然数有关,自然 6 数有无限多个,我们无法对所有的自然数逐一验证. 怎样证明一个与自然数有关的命题呢? 讨论以下两个问题的解决方案: (1)在本章引言的例子中,因为袋子里的东西是有限的,迟早可以把它摸完,这 样总可以得到一个肯定的结论.因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的 事.但是,当袋子里的东西是无限多个的时候,那怎么办呢? (2)我们有时会做一种游戏,在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起) ,假定这排 砖有无数块, 我们要使所有的砖都倒下, 只要做两件事就行了. 第一, 使第一块砖倒下; 第二,保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖. 一、复习引入: 问题 1:这里有一袋球共十二个,我们要判断这一袋球是白球,还是黑球,请问怎 么办? 方法一:把它倒出来看一看就可以了. 特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性. 方法二:一个一个拿,拿一个看一个. 比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球,??,第十二个白球,由此 得到:这一袋球都是白球. 特点:有顺序,有过程. 问题 2:在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ?
an , (n ? N * ) ,先算出 a2,a3,a4 的值,再推 1 ? an
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测通项 an 的公式. 1 1 1 1 过程: a2 ? , a3 ? , a4 ? ,由此得到: an ? , ( n ? N * ) , 2 3 4 n 解决以上两个问题用的都是归纳法. 再请看数学史上的两个资料: 资料 1: 费马 (Fermat) 是 17 世纪法国著名的数学家, 他是解析几何的发明者之一, 是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也有许多 贡献.但是,费马曾认为,当 n∈N 时, 22 ? 1 一定都是质数,这是他对 n=0,1,2,3, 4 时的值分别为 3,5,17,257,65537 作了验证后得到的.
77
n

18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了当 n=5 时,

22 ? 1 =4 294 967 297=6 700 417?641,从而否定了费马的推测.
有人说,费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法回答的.但是要告诉同学 们,失误的关键不在于多算一个上! 资料 2:f(n)=n2+n+41,当 n∈N 时,f(n)是否都为质数? f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61, f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131, f(10)=151,? f(39)=1 601. 但是 f(40)=1 681=412 是合数 算了 39 个数不算少了吧,但还不行!我们介绍以上两个资料,不是说世界级大师还 出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而是要找出运用归纳法 出错的原因,并研究出对策来. 对于生活、生产中的实际问题,得出的结论的正确性,应接受实践的检验,因为实 践是检验真理的唯一标准.对于数学问题,应寻求数学证明 课件展示:多媒体课件(游戏:多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功,必须靠两 条: (1)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒; (2)第一张牌被推倒. 用这种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法 就是数学归纳法. 数学运用 例 1.用数学归纳法证明:等差数列 {an } 中, a1 为首项, d 为公差,则通项公式为
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5

an ? a1 ? (n ?1)d .① 证: (1)当 n ? 1 时,等式左边 ? a1 ,等式右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 ,等式①成立. (2)假设当 n ? k 时等式①成立,即 ak ? a1 ? (k ?1)d , 那么,当 n ? k ? 1 时,有 ak ?1 ? ak ? d ? a1 ? (k ?1)d ? d ? a1 ? [(k ?1) ?1]d . 这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式①都成立. 注意: (1)这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础, 步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证; (2)在数学归纳法证明有关问题的关键,在第二步,即 n ? k ? 1 时为什么成立? n ? k ? 1 时成立是利用假设 n ? k 时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结 论推证 n ? k ? 1 出时成立,而不是直接代入,否则 n ? k ? 1 时也成假设了,命题并没有得 到证明; (3)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用 数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析. 数学归纳法产生的过程分二个阶段,第一阶段从对归纳法的认识开始,到对不完全 归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,直到怎么办结束.第二阶段是对策酝 酿, 从介绍递推思想开始, 到认识递推思想, 运用递推思想, 直到归纳出二个步骤结束. 理解数学归纳法中的递推思想,还要注意其中第二步,证明 n=k+1 命题成立时必须 用到 n=k 时命题成立这个条件
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q 为公比, 变式: 用数学归纳法证明: 等比数列 {an } 中, 则通项公式为 an ? a1qn?1 . a1 为首项,

例 2.用数学归纳法证明:当 n ? N * 时, 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2n ? 1) ? n2 . 证: (1)当 n ? 1 时,等式左边 ? 1 ,等式右边 ? 1 ,等式成立. (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2k ? 1) ? k 2 , 那么,当 n ? k ? 1 时,有 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1] ? k 2 ? [2(k ? 1) ?1] ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2 . 这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式都成立. n(n ? 1)(2n ? 1) 例 3.用数学归纳法证明:当 n ? N * 时, 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 ? . 6 1? (1 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ,结论成立. 证: (1)当 n ? 1 时, 12 ? 1 , 6 k (k ? 1)(2k ? 1) (2)假设 n ? k 时,结论成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? k 2 ? , 6 那么 k (k ? 1)(2k ? 1) (k ? 1)(2k 2 ? k ? 6k ? 6) 12 ? 22 ? 32 ? ??? ? k 2 ? (k ? 1)2 ? ? (k ? 1)2 ? 6 6 2 (k ? 1)(2k ? 7k ? 6) (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] ? ? ? . 6 6 6 所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知结论当 n ? N * 时都成立. 变式:用数学归纳法证明: (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2n ? 1? 3? 5? ???? (2n ?1) , n ? N * 解: (1)当 n ? 1 时,等式左边 ? 2 ,等式右边 ? 2 ? 1 ? 2 ,所以,等式成立. (2)假设 n ? k (k ? N * ) 时,等式成立,即

(k ? 1)(k ? 2) ??? (k ? k ) ? 2k ? 1? 3? 5? ???? (2k ?1) 那么,当 n ? k ? 1 时, (k ? 2)(k ? 3) ??? (k ? k )(2k ? 1)(2k ? 2) ? 2(k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) ??? (k ? k )(2k ? 1)

? 2k ?1 ? 1? 3? 5? ???? (2k ? 1)[2(k ? 1) ? 1]
即 n ? k ? 1 时等式成立. 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式都成立. 1 1 1 1 , , ,? , 例 4.已知数列 ,计算 S1 , S2 , S3 , S4 ,根据计算结果, 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2)(3n ? 1) 猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 1 1 ? ; 证: S1 ? 1? 4 4 1 1 2 S2 ? ? ? ; 4 4? 7 7 2 1 3 S3 ? ? ? ; 7 7 ?10 10 3 1 4 S4 ? ? ? . 10 10 ?13 13 可以看出 , 上面表示四个结果的分数中 , 分子与项数 n 一致 , 分母可用项数 n 表示为
79

3n ? 1 .于是可以猜想 n Sn ? . 3n ? 1 下面用数学归纳法证明这个猜想. 1 (1)当 n ? 1 时,左边= S1 ? , 4 n 1 1 ? ? , 右边= 3n ? 1 3 ?1 ? 1 4 猜想成立. (2)假设 n ? k ( k ? N * )时,猜想成立,即 1 1 1 1 k , ? ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3k ? 2)(3k ? 1) 3k ? 1 那么 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3k ? 2)(3k ? 1) [3(k ? 1) ? 2)][3(k ? 1) ? 1] k 1 ? ? 3k ? 1 [3(k ? 1) ? 2)][3(k ? 1) ? 1]

3k 2 ? 4k ? 1 (3k ? 1)(k ? 1) ? (3k ? 1)(3k ? 4) (3k ? 1)(3k ? 4) k ?1 ? . 3(k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 根据(1)和(2) ,可知猜想对任何 n ? N * 时都成立. 巩固练习: 课外作业: ?
1.对一切自然数 n,猜出使 t n ? n 2 成立的最小自然数 t
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2.平面上有 n 条直线,其中无两条平行,无三条共点, 1 问:(1)这 n 条直线共有几个交点 f(n)?( f (n) ? n(n ? 1) 2 (2)这 n 条直线互相分割成多少条线段(或射线)?( n 2 条)
n2 ? n ? 2 (3)平面被这 n 条直线分割成多少块区域?( ) 2
1 a ?1 3.已知数列{an}中,a1= , an+1= n 求 a2, 3 3 ? an
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a3,

a4,猜测通项公式 an (a n ?

2n ) 2n ? 4

教后感:
20 年月日第课时 课题:2.3 数学归纳法(2)

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教学目的

重点 难点

1、知识与技能:理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证明步骤; 2、过程与方法:通过数学归纳法的学习,体会用不完全归纳法发现规 律,用数学归纳法证明规律的途径; 3、情感、态度与价值观:学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归 纳猜想问题及不等式问题中的应用. 体会用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明规律的途径,学会数 学归纳法的应用. 用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题,学会数学归纳法的应用.

教学过程:
教学过程: 1.归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:特殊→一般
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2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫 做不完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有 (有限种)特殊情况后得出一般结论的推理 方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在 事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法. 4.数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确 性:先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;然后假设当 n=k(k?N*,k≥n0)时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法
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5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0,如果当 n=n0 时,命题成立,再假设当 n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定 的),根据这个假设,如能推出当 n=k+1 时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不 小于 n0 的正整数 n0+1,n0+2,?,命题都成立. 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 .
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学生探究过程:数学归纳法公理; 用数学归纳法证明:当 n ? N * 时 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 .
2 3 4 2n ? 1 2n n ?1 n ? 2 2n

数学运用

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例 1.设 n ? N * , f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 . (1)当 n ? 1, 2,3, 4 时,计算 f (n) 的值; (2)你对 f (n) 的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想. 解: (1)当 n ? 1 时, f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 ? 8 ?1 ; 当 n ? 2 时, f (2) ? 52 ? 2 ? 32?1 ? 1 ? 32 ? 8 ? 4 ; 当 n ? 3 时, f (3) ? 53 ? 2 ? 33?1 ? 1 ? 144 ? 8 ?18 ; 当 n ? 4 时, f (4) ? 54 ? 2 ? 34?1 ? 1 ? 680 ? 8 ? 85 . (2)猜想:当 n ? N * 时, f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 能被 8 整除. ①当 n ? 1 时,有 f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 能被 8 整除,命题成立. ②假设当 n ? k 时,命题成立,即 f (k ) 能被 8 整除, 那么当 n ? k ? 1 时,有 f (k ? 1) ? 5k ?1 ? 2 ? 3( k ?1)?1 ? 1 ? 5 ? 5k ? 6 ? 3k ?1 ? 1

? (5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1) ? 4(5k ? 3k ?1 ) ? f (k ) ? 4(5k ? 3k ?1 ) . 这里, 5k 和 3k ?1 均为奇数,它们的和 (5k ? 3k ?1 ) 必为偶数,从而 4(5k ? 3k ?1 ) 能被 8 整 除.又依归纳假设, f (k ) 能被 8 整除,所以 f (k ? 1) 能被 8 整除.这就是说,当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知命题对任何 n ? N * 都成立.

变式:求证当 n 取正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除。 证明: (1) n ? 1 时, x1 ? y1 ? x ? y ,能被 x ? y 整除,命题成立。 (2)假设 n ? k ( k 为正奇数)时,有 x k ? y k 能被 x ? y 整除, 当 n ? k ? 2 时, xk ?2 ? yk ?2 ? xk ? x2 ? y k ? y 2 ? xk ? x2 ? y k ? x2 ? y k ? x2 ? y k ? y 2

( xk ? yk ) x2 ? yk ( x2 ? y 2 ) ? ( xk ? y k ) x2 ? y k ( x ? y)( x ? y) ∵以上两项均能被 x ? y 整除,∴ xk ?2 ? y k ?2 能被 x ? y 整除,即当 n ? k ? 2 时命题仍 成立。 由(1) 、 (2)可知,对一切正奇数 n ,都有 x n ? y n 能被 x ? y 整除.

例 2. 在平面上画 n 条直线, 且任何两条直线都相交, 其中任何三条直线不共点. 问:
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这条直线将平面分成多少个部分? 解:记 n 条直线把平面分成 rn 个部分,我们通过 n ? 1, 2,3, 4,5, 画出图形观察 rn 的情 况:

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

从图中可以看出 r1 ? 2 ? 1 ? 1 , r2 ? 4 ? r1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 , r3 ? 7 ? r2 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ,

r4 ? 11 ? r3 ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 , r5 ? 16 ? r4 ? 5 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 . 由此猜想 rn ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n . 接下来用数学归纳法证明这个猜想. (1)当时 n ? 1, 2 ,结论均成立; (2)假设当 n ? k 时,结论成立,即 rk ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? k , 当 n ? k ? 1 时,第 k ? 1 条直线与前面的 k 条直线都相交,有 k 个交点,这 k 个交点将 这条直线分成 k ? 1 段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分, 所以 rk ?1 ? rk ? (k ? 1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ???? ? k ? (k ? 1) ,结论也成立. n( n ? 1 ) 根据 (1) 和 (2) , 可知对 n ? N * , 均有 rn ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n , 即 rn ? 1 ? . 2

1 1 1 n 例 3.已知 Sn ? 1 ? ? ? ??? ? (n ? 1, n ? N * ) ,求证: S 2n ? 1 ? (n ? 2, n ? N * ) . 2 3 n 2 1 1 1 25 2 ? 1 ? ,即 n ? 2 时命题成立. 证明: (1)当 n ? 2 时, S2n ? 1 ? ? ? ? 2 3 4 12 2 1 1 1 k (2)假设当 n ? k 时命题成立,即 S2k ? 1 ? ? ? ??? ? k ? 1 ? , 2 3 2 2 1 1 1 1 1 ? ??? ? k ?1 当 n ? k ? 1 时, S2k ?1 ? 1 ? ? ? ??? ? k ? k 2 3 2 2 ?1 2 k k 1 1 1 k 2 k 1 k ?1 ? 1? ? k ? k ? ??? ? k ?1 ? 1 ? ? k ? 1? ? ? 1? k 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 ?2 2 2 2 故当 n ? k ? 1 时,命题成立. n 由(1)和(2)可知,对 n ? N * , n ? 2 , S 2n ? 1 ? 不等式都成立. 2 1 1 1 ? ?? ? 1 成立. 巩固练习:1. 证明对 n ? N * , f (n) ? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2.课本练习
83

课外作业:

教后感:

20 年月日第课时 课题:3.1.1 数系的扩充和复数的概念

84

教学目的

重点 难点

1、知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位 i 2、过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3、情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形 式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 复数的有关概念. 虚数单位 i 的引进及复数的概念.

教学过程: (一)创设情境: 探究一:思考:N、Z、Q、R 分别代表什么?它们的如何发展得来的?
学生探究过程:

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期, 人们在狩猎、 采集果实 等劳动中,由于计数的需要,就产生了 1,2,3,4 等数以及表示“没有”的数 0.自然 数的全体构成自然数集 N
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随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展

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为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表 示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要, 人们又引进了负数.这样就把数集扩充到 有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集(含正整数和 0)与负整数集合并在一起, 构成整数 集 Z,则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数,那么有理数集实际上就是分数 集
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有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法 用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环 小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数(包 括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集
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因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说, 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾, 分数解决了在整数集中不能 整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛 盾.但是,数集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实 数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i ,叫做虚数单位.并由此产 生的了复数
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探究二:判断下列方程在实数集中的解的个数
(1) x 2 ? 3x ? 4 ? 0 (2) x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 (3) x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 (4) x 2 ? 1 ? 0
85

探究三:. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释,不想得到“无解”的答
案。 讨论:若给方程 x 2 ? 1 ? 0 一个解 i ,则这个解 i 要满足什么条件? i 是否在实数集中?实 数 a 与 i 相乘、相加的结果应如何?

(二)新课讲解: 探究四:.复数的概念:
1.虚数单位 i : (1)它的平方等于-1,即
i 2 ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另 一个根是- i ! 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1,
i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.定义复数:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi (复数的代数形式) ,其中 i 叫 虚数单位, a 叫实部, b 叫虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的 形式,叫做复数的代数形式
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5. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等 强调:两复数不能比较大小,只有等与不等。如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小.
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6. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a; 当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数; 当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数; 当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数
?实数 (b=0) ? 数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?
纯虚数集 虚数集 复数集 实数集

(三)典型例题

86

例 1 请说出复数 2 ? 3i,?3 ?

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部,有没有纯虚数? 2 3

答:它们都是虚数,它们的实部分别是 2,-3,0,- 3 ;虚部分别是 3,

1 1 ,- , 2 3

- 5 ;- i 是纯虚数. 例 2 复数-2i+3.14 的实部和虚部是什么? 答:实部是 3.14,虚部是-2.易错为:实部是-2,虚部是 3.14! 例 3(课本例 1)实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

1 3

[分析]因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实数、虚数和 纯虚数的条件可以确定 m 的值. 解:(1)当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数; (2)当 m-1≠0,即 m≠1 时,复数 z 是虚数; (3)当 m+1=0,且 m-1≠0 时,即 m=-1 时,复数 z 是纯虚数. 例4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y. 解:根据复数相等的定义,得方程组 ?

?2 x ? 1 ? y , 5 ,所以 x= ,y=4 2 ?1 ? ?(3 ? y )

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四.整合提升:
1.虚数单位 i 的引入; 2.复数有关概念: 3.数学的思想方法:转化的思想,数形结合思想

五.课堂达标
1.设集合 C={复数} ,A={实数} ,B={纯虚数} ,若全集 S=C,则下列结论正确的 是( ) A.A∪B=C B. CS A=B C.A∩ CS B= ? D.B∪ CS B=C )

2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-

1 2

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

3.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P= {3} ,则实数 m 的值为( ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1
87

4.满足方程 x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______. 5.复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是______. 6.设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值. 7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值. 答案:1.D 2.D 3. 解析:由题设知 3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3

?m 2 ? 3m ? 1 ? 3 ?m ? 4或m ? ?1 ∴? 2 ,∴ ? ∴m=-1,故选 A. m ? 6 或 m ? ? 1 m ? 5 m ? 6 ? 0 ? ?
? x ? 3或x ? ?1 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? 4. 解析:由题意知 ? 2 ∴? 1 y? ?9 y ? 6 y ? 1 ? 0, ? 3 ?
∴点对有(3, ),(-1, )共有 2 个.答案:2

1 3

1 3

5. 解析:z1=z2 ? ?

?a ? c 2 2 2 2 ? a=c 且 b =d .答案:a=c 且 b =d ?| b |?| d |
2

?m 2 ? 3m ? 3 ? 1 ?log 2 (m ? 3m ? 3) ? 0, ? 6.解:由题意知 ? ∴ ?3 ? m ? 1 ?log 2 (3 ? m) ? 0, ?3 ? m ? 0 ?
?m 2 ? 3m ? 4 ? 0 ?m ? 4或m ? ?1 ∴? ∴? ,∴m=-1. ?m ? 3且m ? 2 ?m ? 2且m ? 3
7. 解:方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴ ?

? x 2 ? mx ? 2 ? 0 ?2 x ? m ? 0



∴x=-

m m2 m ,∴ ? ? 2 ? 0, ∴m2=8,∴m=±2 2 . 2 4 2

六.课后作业:
教后感:

20 年月日第课时 课题:3.1.2 复数的几何意义
88

教学目的

重点 难点

1、知识与技能:.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系;了解复 数的几何意义;会用复数的几何意义解决有关问题. 2、过程与方法:渗透转化、数形结合等数学思想和方法,提高分析、 解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观:引导学生观察现象,发现问题,提出观点, 验证结论,培养良好的学习思维品质。 复数的几何意义 复数与向量的关系;复数模的几何意义

教学过程: 【知识链接】

y
b
0

??? ? 1.若 A( x, y ) , O (0, 0) ,则 OA ? ? x, y ? ;
2.若 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

Z ? a, b?

【问题探究】

a

x

探究一、复数几何意义(一) 引导:复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与有序实数对 ? a, b ? 是关系;若点 Z 的横坐标是 a ,纵坐标 是 b ,则复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 可用点表示,其中这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做_______, x 轴叫做_________, y 轴叫做__________
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思考:⑴实轴上的点都表示________,原点表示,除了原点外,虚轴上 的点都表示 ___________. ⑵在复平面内 z=-5-3i 对应的点______________,z=-3i 对应的点______________, 实轴上的点 ? 2, 0 ? 表示实数,虚轴上的点 ? 0, ? 1? 表示纯虚数_____________, 虚轴上的点 ? 0,5? 表示纯虚数____________;

复数 z

一一对应 ? a ? bi?a, b ? R ? ???? ? 复平面内点 Z (a, b)

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. 点 拨 : 复 数 z ? a ? b?i , a ? b?是 R 由其实部 a 和虚部 b 共同决定,所以复数

z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与有序实数对 ? a, b ? 是一一对应关系,和复平面内的点 Z ? a, b ? 也是一
一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几何图形——点之间的关系,体现了数与形 结合思想. 探究二、复数几何意义(二) 引导:复平面内的点与平面向量的对应关系:
89

??? ? 一一对应 ? 平面向量 OZ Z (a, b) ????

因此,我们可以用平面向量来表示复数,即:
一一对应 ? 平面向量 OZ 复数 z ? a ? bi?a, b ? R ? ????

??? ?

??? ? 同时我们把向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi 的模,即有 z ? a ? bi ? OZ ? . ??? ? 点拨:复数 z ? a ? bi ? a, b ? R? 与平面向量 OZ 建立了一一对应关系,从而可以利用平面
向量知识来解决复数问题,实现了数与形的互化. 探究三、共轭复数 引导:像复数 z ? 2 ? 3i 和 z ? 2 ? 3i 这样,如果两个复数,实部,虚部________________ 时 , 称 这 两 个 复 数 互 为 共 轭 复 数 , 且 z ? a ? bi 的 共 轭 复 数 记 作
z,即z ? a ? bi(a ? R, b ? R)的共轭复数z ? _________ .

思考: (1)互为共轭复数的两个数所对应的点有什么关系?

(2)互为共轭复数的两个数的模有什么关系?

点拨:实部相等虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数,互为共轭复数的两个复数有 较好的性质,譬如在复平面内对应的点关于 x 轴对称,两个复数的模相等等性质,为后 续进一步研究复数提供便利. 【典例分析】 例 1 已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 2i 在复平面内对应的点分别为 A、B, y B 求 AB 对应的复数 z,z 在平面内所对应的点在第几象限? 引导:根据复数的几何意义(一)知复数 z1 、 z2 对应的点 A、B 的坐标,进而可知向量 AB 的坐标,即可判断 z 在平面内所对应 的点在第几象限. 解:
0

A x

90

点拨:可根据题意先求出 A、B 点的坐标.实际上我们发现点 z 的坐标即是向量 AB 的坐 标,也即是复数 z2 ? z1 对应的有序数对. 例 2 如果复数 z 的实部为正数,虚部为 3,那么在复平面内,复数 z 对应的点应位于怎 样的 图形上。 引导:考虑复数 z 在复平面内对应的点坐标形式为 z ? a,3? ,若 a ? 0 ,则点 z 所位于的图 形即为所求. 解:

点拨:若仅说复数 z 的虚部为 3,那么复数 z 对应的点坐标形式当为 z ? a,3? ,满足条件 的点 z 形成的是一条直线,而本题限定 a ? 0 ,当然形成的图形为一条射线.注意复数几 何意义的应用.

【目标检测】 1. 如果 P 是复平面内表示复数 a ? bi?a, b ? R ?的点, 分别指出在下列条件下点 P 的位置: (1) a ? 0, b ? 0 ; (2) a ? 0, b ? 0 ; (3) a ? 0, b ? 0 ; (4) b ? 0 ; 2.实数 m 取什么值时,复数 m2 ? 8m ? 15 ? m2 ? 5m ?14 i 在复平面内所对应的点:
91

?

? ?

?

(1)位于第四象限; (2)位于直线 y ? x 上;

3.已知复数 z 的虚部为 3 ,在复平面内复数 z 对应的向量的模为 2,求复数 z . 提示:可设复数 z ? a ? 3i ,根据复数 z 的模为 2 建立关于 a 的方程,解之即可.

4* .在复平面内,复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 2 ? 3i , z3 ? 3 ? 2i , z4 ? ?2 ? i 对应的点

分别为 Z 1 , Z2 , Z3 , Z4 .试求出复数 z1, z2 , z3 , z4 的模,并判断点 Z 1 , Z2 , Z3 , Z4 是否在同一个圆上,从中你能得到什么结论? 提示:计算复数 z1, z2 , z3 , z4 的模,发现规律,寻求结论,再结合复数模的定义解释你的 结论.

【总结提升】 复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与复平面内的点 Z ? a, b? 是一一对应关系, 与以原点为起点以 ??? ? ? a, b ? 为坐标的向量 OZ 是一一对应关系,从而建立了复数与复平面内的点及向量之间的 关系,这为我们研究复数问题提供了行之有效的方法,也体现了数与形的有机结合.

教后感:

20 年月日第课时 课题:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

92

教学目的

重点 难点

1、知识与技能:掌握复数的加法运算及意义 2、过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减 法运算的几何意义 3、情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形 式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念;画图 得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪 解题思路的作用 复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系. 复数加法运算的运算率,复数加减法运算的几何意义。
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教学过程:
一.复习旧知 1.虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即
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i 2 ? ?1 ;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则

运算时,原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另 一个根是- i 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体
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复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时, 复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a; 当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复 数相等 即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数, 就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 y 7. 复平面、实轴、虚轴: b 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b) 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平 面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 o 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复 数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
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Z(a,b)

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a

x

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一一对应 ? 复平面内的点 Z (a, b) 复数 z ? a ? bi ????

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每
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一个点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法 二.讲解新课: (1).复数代数形式的加减运算 1.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 三.讲解范例: 例 1 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i 例 2 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2002+2003i)+(2003-2004i) 解法一:原式=(1-2+3-4+?-2002+2003)+(-2+3-4+5+?+2003-2004i)=(2003- 1001)+(1001-2004)i=1002-1003i. 解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, ?? (2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有 1001 个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i (2).复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). ??? ? 一一对应 ? 平面向量 OZ 1.复平面内的点 Z (a, b) ????
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2.

??? ? 一一对应 ? 平面向量 OZ 复数 z ? a ? bi ????

3.复数加法的几何意义: 设复数 z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量为 OZ1 、OZ2 ,即

OZ1 、 OZ2 的坐标形式为 OZ1 =(a,b), OZ2 =(c,d) 以 OZ1 、 OZ2 为邻边作平行四边形
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OZ1ZZ2,则对角线 OZ 对应的向量是 OZ , ∴ OZ = OZ1 + OZ2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i 4. 复数减法的几何意义: 复数减法是加法的逆运算, 设 z=(a-c)+(b-d)i, 所以 z-z1=z2, z2+z1=z,由复数加法几何意义,以 OZ 为一条对角线, OZ1 为一条边画平行四边形,那

94

么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ2 就与复数 z-z1 的差(a-c)+(b-d)i 对

???? ? ???? 应 由于 OZ2 ? Z1Z ,所以,两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的
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向量对应. 例 3 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z,z 在平面内所对应的点在第几象限? 解:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z 的实部 a=-1<0,虚部 b=1>0, ∴复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内. 点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应 的复数所得的差. 即 AB 所表示的复数是 zB-zA. ,而 BA 所表示的复数是 zA-zB,故切
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不可把被减数与减数搞错 尽管向量 AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应 的复数的差相同,那么向量 AB 所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称 之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关 例 4 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三 个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
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分析一:利用 AD ? BC ,求点 D 的对应复数. 解法一:设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A、B、C,正方形的第四个顶点 D 对应的 复数为 x+yi(x,y∈R),是:

AD ? OD ? OA =(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i; BC ? OC ? OB =(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
∵ AD ? BC ,即(x-1)+(y-2)i=1-3i, ∴?

? x ? 1 ? 1, ? x ? 2, 解得 ? ? y ? 2 ? ?3, ? y ? ?1.

例2图

故点 D 对应的复数为 2-i. 分析二:利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解. 解法二: 因为点 A 与点 C 关于原点对称, 所以原点 O 为正方形的中心, 于是(-2+i)+ (x+yi)=0,∴x=2,y=-1. 故点 D 对应的复数为 2-i. 点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能 起到启迪解题思路的作用 四.巩固练习: 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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95

2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i 3.已知复平面上△AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 B.2 2 C.2 D. 5

4.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.一个实数与一个虚数的差() A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6.计算(- 2 ? 3i) ? ( 3 ? 2i) ? [( 3 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 )i] =____. 7.计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________(x、y∈R). 8.计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-?-(2002-2003i). 9.已知复数 z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ1 、 OZ 2 (O 为原 点) ,若向量 Z1 Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. 解: Z1Z 2 对应的复数为 z2-z1,则 z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-[a2-3+(a+5)i]=(a-a2+2)+(a2+a-6)i
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ∵z2-z1 是纯虚数∴ ? 2 解得 a=-1. ? a ? a ? 6 ? 0 ?

10.已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2) 、B(-2,1) 、C(-1,-2) ,求它 的第四个顶点 D 对应的复数. 解:设 D(x,y),则

AD ? OD ? OA 对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i BC ? OC ? OB 对应的复数为:(-1-2i)-(-2+i)=1-3i
?x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ∵ AD ? BC ∴(x-1)+(y-2)i=1-3i∴ ? ,解得 ? ? y ? 2 ? ?3 ? y ? ?1
∴D 点对应的复数为 2-i。 答案:1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.-2 2 i 7.(y-x)+5(y-x)i

8.解:原式=(1-2+3-4+?+2001-2002)+(-2+3-4+?-2002+2003)i =-1001+1001i 五.课后作业:
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教后感:
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20 年月日第课时 课题:3.2.2 复数代数形式的乘除运算 教学目的 1、知识与技能:掌握复数代数形式的乘除运算的法则,熟练进行复数 的乘法和除法运算; 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律;了解共 轭复数的定义及性质. 过程与方法: 2、过程与方法:运用类比方法,经历由实数系中的乘除法到复数系中 乘除法的过程;培养学生发散思维和集中思维的能力,以及问题理解的 深刻性、全面性. 3、情感、态度与价值观:通过实数的乘、除法运算法则及运算律,推 广到复数的乘、除法,使同学们对运算的发展历史和规律,以及连续性 有一个比较清晰完整的认识,同时培养学生的科学思维方法. 重点 掌握复数代数形式的乘除运算的法则,熟练进行复数的乘法和除法运算. 难点 复数除法的运算法则.

教学过程:
【知识链接】 1.复数 z1 与 z2 的和的定义: z1 ? z2 ? ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c? ? ?b ? d ?i ; 2.复数 z1 与 z2 的差的定义: z1 ? z2 ? ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c? ? ?b ? d ?i ; 3.复数的加法运算满足交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 4.复数的加法运算满足结合律: ?z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? ; 5.复数 z ? a ? bi?a, b ? R? 的共轭复数为 z ? a ? bi . 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导 1:乘法运算规则 设 z1 ? a ? bi 、 z2 ? c ? di ?a, b, c, d ? R? 是任意两个复数, 规定复数的乘法按照以下的法则进行:

z1 ? z2 ?
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 2 换成-1, 并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

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引导 2:试验证复数乘法运算律 (1) z1 ? z2 ? z2 ? z1

(2) ?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ?

(3) z1 ? ?z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? z1 ? z3

点拨:两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 2 换成-1,并且把实 部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究二、复数的除法运算 引导 1:复数除法定义: 满 足 ?c ? di??x ? yi? ? ?a ? bi? 的 复 数 x ? yi?x, y ? R? 叫 复 数 a ? bi 除 以 复 数 c ? di 的商,记为: ?a ? bi? ? ?c ? di?或者 引导 2:除法运算规则: 利用 ?c ? di??c ? di? ? c 2 ? d 2 .于是将
a ? bi ?c ? di ? 0? . c ? di

a ? bi 的分母有理化得: c ? di

原式=
?

a ? bi (a ? bi)(c ? di) [ac ? bi ? (?di)] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

点拨:利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法,而复数
c ? di 与复数 c ? di ,相当于我们初中学习的 3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,它们之积为 1

是有理数, 而 ?c ? di??c ? di? ? c 2 ? d 2 是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分 母实数化法
王新敞
奎屯 新疆

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【典例分析】 例 1 计算 ?1 ? 2i ??3 ? 4i ??? 2 ? i ? 引导:可先将前两个复数相乘,再与第三个复数相乘.

点拨:在复数的乘法运算过程中注意将 i 2 换成-1. 例 2 计算: (1) ?3 ? 4i ??3 ? 4i ? ; (2) ?1 ? i ?2 . 引导:按照复数乘法运算展开即可.

点拨:注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数,记住一些特殊形式代数式 的运算结果,便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例 3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)
王新敞
奎屯 新疆

引导:可按照复数除法运算方法,先将除式写成分式,再将分母实数化,然后化简即可.

点拨: 本题可将除法运算转化为乘法运算, 但是相对麻烦, 易于采用先将除式写成分式, 再将分母实数化,然后化简的办法,学习时注意体会总结,寻求最佳方法. 例 4 计算

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

王新敞
奎屯

新疆

引导:可先将分子化简,再按照除法运算方法计算,注意计算的准确性.

点拨:对于混合运算,注意运算顺序,计算准确.

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【目标检测】

? 2i ? 1.复数 ? ? 等于( ) ? 1+i ?
A. 4i 2.设复数 z 满足 A. ?2 ? i
3

2

B. ?4i

C. 2i

D. ?2i ) C. 2 ? i D. 2 ? i

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( z

B. ?2 ? i ) C. ? 1

?1 3 ? ? ? 3.复数 ? ? 2 2 i ? 的值是( ? ?

A. ? i

B. i

D.1

4.已知复数 z 与 ?z ? 2?2 ? 8i 都是纯虚数,求 z . 提示:复数 z 为纯虚数,故可设 z ? bi ?b ? 0? ,再代入求解即可.

5.(1)试求 i1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 , i8 的值. (2)由(1)推测 i n n ? N * 的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来. 提示:通过计算,观察计算结果,发现规律.

?

?

【总结提升】 复数的乘法和除法运算是复数的基本运算,在学习时注意运算法则和方法,在乘法运算 中注意把 i 2 换成-1,在除法运算中注意方法的本质依据,计算时注意准确性.

教后感:

100



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