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浙江省湖州市安吉县上墅私立高中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科)


2014-2015 学年浙江省湖州市安吉县上墅私立高中高二(上)第二次月考数学试卷(文科)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.) 1.在△ABC 中, “A= ”是“cosA= ”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.已知命题 p:? x∈R,x﹣2>0,命题 q:? x∈R, A. 命题 p∨q 是假命题

>x,则下列说法中正确的是(



B. 命题 p∧q 是真命题

C. 命题 p∨(¬q)是假命题 D. 命题 p∧(¬q)是真命题

3.直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 心率为( A. ) B. C. D.

的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离

4.若直线(m+2)x+3y+3=0 与直线 x+(2m﹣1)y+m=0 平行,则实数 m=( A. ﹣ 或 1 B. 1 C. 1 或 2 D. ﹣



5.直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 B. C. D.



6.设 l,m 是不同的直线,α ,β ,γ 是不同的平面(



A. 若 l⊥α ,l⊥m,则 m∥α B. 若 l? α ,m? β ,α ∥β ,则 l∥m C. 若 l∥α ,m⊥α ,则 l⊥m D. 若α ∩β =l,l⊥γ ,m⊥β ,则 m∥γ

7. 过P (2, 0) 的直线被圆 (x﹣2)+ (y﹣3)=9 截得的线段长为 2 时, 直线 l 的斜率为 (

2

2



A.

B.

C. ±1 D.

8.若双曲线

的离心率为

,则其渐近线方程为(



A. y=±2x B.

C.

D.

9.直线 l:x+

y﹣4=0 与圆 C:x +y =4 的位置关系是(

2

2



A. 相交过圆心 B. 相交不过圆心 C. 相切 D. 相离

10.下列结论正确的是(


2 2

A. 命题“若 a>b>0,则 a >b ”的逆命题是假命题 B. 若函数 f(x)=sinx,则函数 f(x)为周期函数的逆命题是真命题 C. 向量 , 的夹角为钝角的充要条件是 ? <0 D. “x >2”是“x ﹣3x+2≥0”的充分不必要条件
2 2

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分.) 11.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围为
2



12.已知命题 p:m<0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 成立,若“p∧q”为真命题,则实数 m 的取值范围是 .

2

13.两直线 l1:ax+2y﹣1=0,l2: (a﹣1)x+ay+1=0 垂直,则 a=



14.两圆 x +y ﹣4x+6y=0 和 x +y ﹣6x=0 的连心线方程为

2

2

2

2



15.已知动圆 M 与圆 C1: (x+3) +y =9 外切且与圆 C2: (x﹣3) +y =1 内切,则动圆圆心 M 的 轨迹方程是 .

2

2

2

2

16.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

m.

3

17.下列四个命题: ①“? x∈R,x ﹣x+1≤0”的否定; ②“若 x +x﹣6≥0,则 x>2”的否命题; ③在△ABC 中, “A>30°”是“sinA> ”的充分不必要条件 ④“函数 f(x)=tan(x+φ )为奇函数”的充要条件是“φ =kπ . (k∈Z) ” ,其中真命题的序 号是 .
2 2

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 49 分.) 18.设 p:实数 x 满足 x +2ax﹣3a <0(a>0) ,q:实数 x 满足 x +2x﹣8<0,且 q 是 p 的必 要不充分条件,求 a 的取值范围.
2 2 2

19.求满足下列条件的椭圆方程: (1)长轴在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率等于 ; (2)椭圆经过点(﹣6,0)和(0,8) ; (3)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4.

20. 如图, 正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC⊥BC, 且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小.

21.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 过点 D(2,0) . (1)求该椭圆的标准方程; (2)设点 ,若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

,且

22.已知圆 C:x +y =4 和直线 l:3x+4y+12=0,点 P 是圆 C 上的一动点,直线与坐标轴的交点 分别为点 A、B, (1)求与圆 C 相切且平行直线 l 的直线方程; (2)求△PAB 面积的最大值.

2

2

2014-2015 学年浙江省湖州市安吉县上墅私立高中高二(上)第二次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.) 1.在△ABC 中, “A= ”是“cosA= ”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义结合三角形的性质,分别证明充分性和必要性,从而得到答 案. 解答: 解:在△ABC 中,若 A= 在△ABC 中,若 cosA= ,则 A= 故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了三角形中的三角函数值问题,是一道基础题. ,则 cosA= ,是充分条件, 或 A= ,不是必要条件,

2.已知命题 p:? x∈R,x﹣2>0,命题 q:? x∈R, A. 命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题

>x,则下列说法中正确的是(



C. 命题 p∨(¬q)是假命题 D. 命题 p∧(¬q)是真命题

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 容易判断命题 p 是真命题,q 是假命题,所以根据 p∨q,p∧q,¬q 的真假和 p,q 的 关系即可找出正确选项. 解答: 解:? x∈R,x﹣2>0,即不等式 x﹣2>0 有解,∴命题 p 是真命题; x<0 时, 无解,∴命题 q 是假命题;

∴p∨q 为真命题,p∧q 是假命题,¬q 是真命题,p∨(¬q)是真命题,p∧(¬q)是真命 题; ∴D 正确. 故选 D. 点评: 考查真命题,假命题的概念,以及 p∨q,p∧q,¬q 的真假和 p,q 真假的关系.

3.直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 心率为( A. ) B. C. D.

的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0) , (0,1) ,依题意得 . 解答: 直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0) , (0,1) , 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点;

故 故选 A.



点评: 本题考查了椭圆的基本性质,只需根据已知条件求出 a,b,c 即可,属于基础题型.

4.若直线(m+2)x+3y+3=0 与直线 x+(2m﹣1)y+m=0 平行,则实数 m=( A. ﹣ 或 1 B. 1 C. 1 或 2 D. ﹣



考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的平行可得 m 的方程,解得 m 代回验证可得.

解答: 解:∵直线(m+2)x+3y+3=0 与直线 x+(2m﹣1)y+m=0 平行, ∴(m+2) (2m﹣1)﹣3×1=0,解得 m=﹣ 或 1 经验证当 m=1 时,两直线重合,应舍去, 故选:D 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.

5.直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 B. C. D.



考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 通过直线的平行求出 m,然后利用平行线之间的距离求解即可. 解答: 解:直线 2x+3y+1=0 与直线 4x+my+7=0 平行,所以 m=6, 直线 4x+my+7=0 化为直线 4x+6y+7=0 即 2x+3y+3.5=0, 它们之间的距离为:d= = .

故选:C. 点评: 本题考查两条平行线之间是距离的求法,基本知识的考查.

6.设 l,m 是不同的直线,α ,β ,γ 是不同的平面(



A. 若 l⊥α ,l⊥m,则 m∥α B. 若 l? α ,m? β ,α ∥β ,则 l∥m C. 若 l∥α ,m⊥α ,则 l⊥m D. 若α ∩β =l,l⊥γ ,m⊥β ,则 m∥γ

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 l⊥α ,l⊥m,则 m∥α 或 m? α ,故 A 错误; 若 l? α ,m? β ,α ∥β ,则 l 与 m 平行或异面,故 B 错误; 若 l∥α ,m⊥α ,则由直线与平面平行的性质得 l⊥m,故 C 正确;

若α ∩β =l,l⊥γ ,m⊥β ,则 m∥γ 或 m? γ ,故 D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要注意空间思维能力的培养.

7. 过P (2, 0) 的直线被圆 (x﹣2)+ (y﹣3)=9 截得的线段长为 2 时, 直线 l 的斜率为 ( A. B. C. ±1 D.

2

2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设直线 l 的方程为:y=kx﹣2k,由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导 出 =2 ,由此能求出直线的斜率.

解答: 解:设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为:y=kx﹣2k, (x﹣2) +(y﹣3) =9 的圆心 C(2,3) ,半径 r=3, ∵过 P(2,0)的直线被圆(x﹣2) +(y﹣3) =9 截得的线段长为 2, ∴圆心 C(2,3)到直线 AB 的距离 d= =2 ,
2 2 2 2

∵点 C(2,3)到直线 y=kx﹣2k 的距离 d=

=2



∴ 解得 k=±

?2 .

=3,

故选:A. 点评: 本题考查直线的斜率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公 式的合理运用.

8.若双曲线

的离心率为

,则其渐近线方程为(



A. y=±2x B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过双曲线的离心率,推出 a、b 关系,然后直接求出双曲线的渐近线方程. 解答: 解:由双曲线的离心率 又 a +b =c ,所以 b=
2 2 2

,可知 c=

a,

a, =± x.

所以双曲线的渐近线方程为:y= 故选 B.

点评: 本题考查双曲线的基本性质,渐近线方程的求法,考查计算能力.

9.直线 l:x+

y﹣4=0 与圆 C:x +y =4 的位置关系是(

2

2



A. 相交过圆心 B. 相交不过圆心 C. 相切 D. 相离

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆心(0,0)到直线 l:x+ y﹣4=0 的距离 d 正好等于半径,可得直线和圆相切. y﹣4=0 的距离为 d= =2=r(半径) ,

解答: 解:由于圆心(0,0)到直线 l:x+ 故直线和圆相切, 故选:C.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.

10.下列结论正确的是(


2 2

A. 命题“若 a>b>0,则 a >b ”的逆命题是假命题 B. 若函数 f(x)=sinx,则函数 f(x)为周期函数的逆命题是真命题 C. 向量 , 的夹角为钝角的充要条件是 ? <0 D. “x >2”是“x ﹣3x+2≥0”的充分不必要条件
2 2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.

分析: A. “若 a>b>0,则 a >b ”的逆命题为“若 a >b ,则 a>b>0”是假命题; B.函数 f(x)=sinx,则函数 f(x)为周期函数的逆命题为“函数 f(x)为周期函数,则 f (x)=sinx” ,显然不正确; C.向量 , 的夹角为钝角? ? <0,反之不成立,由于非零向量反向共线时,满足 0; D. “x >2”?
2

2

2

2

2



或x

,而 x ﹣3x+2=
2 2 2

2

﹣ ≥﹣ ,反之也不成立.
2

解答: 解:A. “若 a>b>0,则 a >b ”的逆命题为“若 a >b ,则 a>b>0”是假命题,正 确; B.函数 f(x)=sinx,则函数 f(x)为周期函数的逆命题为“函数 f(x)为周期函数,则 f (x)=sinx”是假命题,不正确; C.向量 , 的夹角为钝角? ? <0,反之不成立,由于向量反向共线时,其 此不正确; D. “x >2”?
2 2 2

<0,因

或x

,此时 x ﹣3x+2=

2

﹣ ≥﹣ ,反之也不成立,

因此“x >2”是“x ﹣3x+2≥0”的既不充分也不必要条件,不正确. 综上可得:只有 A. 故选:A. 点评: 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定、向量的数量积及其夹角公式,考查了推理 能力,属于基础题.

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分.) 11.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围为 (1,+∞) .
2

考点: 特称命题. 专题: 计算题. 分析: 原命题为假命题,则其否命题为真命题,得出? x∈R,都有 x +2x+m>0,再由△<0, 求得 m. 解答: 解:∵“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0” , ∴其否命题为真命题,即是说“? x∈R,都有 x +2x+m>0” ,
2 2 2

∴△=4﹣4m<0, 解得 m>1. ∴m 的取值范围为(1,+∞) . 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题考查了存在命题的否定,不等式恒成立问题.考查转化、计算能力.

12.已知命题 p:m<0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 成立,若“p∧q”为真命题,则实数 m 的取值范围是 ﹣2<m<0 .

2

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据复合命题的真假性判断出命题 p、q 都是真命题,再逐一求出 m 的范围,最后求 它们的交集. 解答: 解:因为“p∧q”为真命题,所以命题 p、q 都是真命题, 若命题 q 是真命题,则? x∈R,x +mx+1>0 横成立, 所以△=m ﹣4<0,解得﹣2<m<2, 又命题 p:m<0,也是真命题, 所以实数 m 的取值范围是:﹣2<m<0, 故答案为:﹣2<m<0. 点评: 本题考查了复合命题的真假性,以及二次函数的性质,属于基础题.
2 2

13.两直线 l1:ax+2y﹣1=0,l2: (a﹣1)x+ay+1=0 垂直,则 a=

0 或﹣1 .

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得 a(a﹣1)+2a=0,由此能求出 a. 解答: 解:∵两直线 l1:ax+2y﹣1=0,l2: (a﹣1)x+ay+1=0 垂直, ∴a(a﹣1)+2a=0, 解得 a=0 或 a=﹣1. 故答案为:0 或﹣1.

点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线与直线垂直的性质 的合理运用.

14.两圆 x +y ﹣4x+6y=0 和 x +y ﹣6x=0 的连心线方程为 3x﹣y﹣9=0 .

2

2

2

2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出圆心坐标,利用点斜式,可得方程. 解答: 解:两圆 x +y ﹣4x+6y=0 和 x +y ﹣6x=0 的圆心坐标分别为(2,﹣3) , (3,0) , ∴连心线方程为 y﹣0= 故答案为:3x﹣y﹣9=0. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定,考查直线方程,比较基础. (x﹣3) ,即 3x﹣y﹣9=0.
2 2 2 2

15.已知动圆 M 与圆 C1: (x+3) +y =9 外切且与圆 C2: (x﹣3) +y =1 内切,则动圆圆心 M 的 轨迹方程是 ﹣ =1(x≥2) .

2

2

2

2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 找出两圆圆心坐标与半径,设设动圆圆心 M(x,y) ,半径为 r,根据动圆 M 与圆 C1 外 切且与圆 C2 内切,即可确定出 M 轨迹方程. 解答: 解:由圆 C1: (x+3) +y =9,圆心 C1(﹣3,0) ,半径 r1=3,圆 C2: (x﹣3) +y =1,圆 心 C2(3,0) ,r2=1, 设动圆圆心 M(x,y) ,半径为 r, 根据题意得: 整理得:|MC1|﹣|MC2|=4, 则动点 M 轨迹为双曲线,a=2,b= ,c=3,其方程为 ﹣ =1(x≥2) . ,
2 2 2 2

故答案为:



=1(x≥2)

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及动点轨迹方程,熟练掌握双曲线定义是解本题 的关键.

16.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

m.

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的 体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体, 其中圆柱的高为 4,底面直径为 2,圆锥的高为 2,底面直径为 4, ∴几何体的体积 V=π ×1 ×4+ ×π ×2 ×2=4π + π = 故答案为: .
2 2

π.

点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是解题的关键.

17.下列四个命题: ①“? x∈R,x ﹣x+1≤0”的否定; ②“若 x +x﹣6≥0,则 x>2”的否命题; ③在△ABC 中, “A>30°”是“sinA> ”的充分不必要条件 ④“函数 f(x)=tan(x+φ )为奇函数”的充要条件是“φ =kπ . (k∈Z) ” ,其中真命题的序 号是 ①② .
2 2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①按照特称命题的否定要求改写,然后判断真假; ②先写出原命题,然后再按照否条件、否结论进行改写; ③双向推理,然后进行判断,此例可以举反例; ④结合奇函数的性质进行推导,从左推右,然后反推化简. 解答: 解:①原命题的否定是:? x∈R,x ﹣x+1>0;因为 故①为真命题; ②原命题的否命题是:若 x +x﹣6<0,则 x≤2.由 x +x﹣6<0,得(x+3) (x﹣2)<0,所以 ﹣3<x<2,故②为真命题; ③当 A=150°时, 件.故③是假命题; ④若函数 f(x)为奇函数,则 f(0)=tanφ =0,或 y 轴为图象的渐近线,所以φ =kπ (k∈Z) ; 或 tanφ 不存在,则φ = 故答案为:①,② 点评: 本题以简易逻辑为载体,考查了命题的否定及否命题的写法以及真假判断,充分必要 性的判断方法,属于基础题,难度不大. , (k∈Z)所以前者是后者的不充分条件.故④为假命题. .所以故在△ABC 中, “A>30°”是“sinA> ”的不充分条
2 2 2



三、解答题: (本大题共 5 小题,共 49 分.) 18.设 p:实数 x 满足 x +2ax﹣3a <0(a>0) ,q:实数 x 满足 x +2x﹣8<0,且 q 是 p 的必 要不充分条件,求 a 的取值范围.
2 2 2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先分别化简两个不等式,再利用 q 是 p 的必要不充分条件,转化为 然后求实数 a 的取值范围. 解答: 解:由 x +2ax﹣3a <0 得(x+3a) (x﹣a)<0, 又 a>0,所以﹣3a<x<a, (2 分) x +2x﹣8<0,∴﹣4<x<2, p 为真时,实数 x 的取值范围是:﹣3a<x<a; q 为真时,实数 x 的取值范围是:﹣4<x<2(6 分) 因为 q 是 p 的必要不充分条件, 所以有 (10 分)
2 2 2



所以实数 a 的取值范围是 ≤a≤2. (14 分) 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查计算 能力,转化思想,是中档题.

19.求满足下列条件的椭圆方程: (1)长轴在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率等于 ; (2)椭圆经过点(﹣6,0)和(0,8) ; (3)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设椭圆方程为 b,即可得到椭圆方程; (2)设椭圆方程为 mx +ny =1, (m,n>0) ,由题意代入点(﹣6,0)和(0,8) ,解方程即可 得到椭圆方程;
2 2

+

=1(a>b>0) ,运用离心率公式和 a,b,c 的关系,解得 a,

(3)讨论椭圆的焦点的位置,由题意可得 a﹣c=4,a+c=10,解方程可得 a,c,再由 a,b,c 的关系解得 b,即可得到椭圆方程. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,

由题意可得,2a=12,e= , 即有 a=6, = ,即有 c=4, b= = =2 ,

即有椭圆方程为

+
2

=1;
2

(2)设椭圆方程为 mx +ny =1, (m,n>0) , 由题意代入点(﹣6,0)和(0,8) ,可得 36m+0=1,且 0+64n=1, 解得 m= ,n= ,

即有椭圆方程为

+

=1;

(3)当焦点在 x 轴上时,可设椭圆方程为 由题意可得 a﹣c=4,a+c=10, 解得 a=7,c=3, b= =2 ,

+

=1(a>b>0) ,

即有椭圆方程为

+

=1;

同理,当焦点在 y 轴上时,可得椭圆方程为

+

=1.

即有椭圆方程为

+

=1 或

+

=1.

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的方程的正 确设法,以及椭圆性质的运用,属于基础题.

20. 如图, 正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC⊥BC, 且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小.

考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)建立空间直角坐标,利用向量法证明线面垂直. (2)利用向量法求线面角的大小. 解答: 解:∵四边形 ACDE 是正方形,所以 EA⊥AC,AM⊥EC, ∵平面 ACDE⊥平 ABC, ∴EA⊥平面 ABC, ∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴, 分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz. 设 EA=AC=BC=2,则 A(0,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,E(0,0,2) , ∵M 是正方形 ACDE 的对角线的交点, ∴M(0,1,1)?3 =(0,1,1) , 0)=(2,0,0) , ∴ , , =(0,2,0)﹣(0,0,2)=(0,2,﹣2) , =(2,2,0)﹣(0,2,

∴AM⊥EC,AM⊥CB, ∴AM⊥平面 EBC. ?(5 分) (2)∵AM⊥平面 EBC,∴ 为平面 EBC 的一个法向量,



=(0,1,1) ,

=(2,2,0) , .

∴cos



=60°.

∴直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30°.?(12 分)

点评: 本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小,运算量较大.

21.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 过点 D(2,0) . (1)求该椭圆的标准方程; (2)设点 ,若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

,且

考点: 轨迹方程;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设椭圆方程为 ,根据题意可得 a=2 且 c= ,从而

b=

=1,得到椭圆的标准方程;

(2)设点 P(x0,y0) ,线段 PA 的中点为 M(x,y) ,根据中点坐标公式将 x0、y0 表示成关于 x、 y 的式子,将 P(x0,y0)关于 x、y 的坐标形式代入已知椭圆的方程,化简整理即可得到线段 PA 的中点 M 的轨迹方程. 解答: 解: (1) 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上, 设椭圆的标准方程是

∵椭圆经过点 D(2,0) ,左焦点为



∴a=2,

,可得 b=

=1 .

因此,椭圆的标准方程为

(2)设点 P 的坐标是(x0,y0) ,线段 PA 的中点为 M(x,y) ,

由根据中点坐标公式,可得

,整理得



∵点 P(x0,y0)在椭圆上,

∴可得

,化简整理得



由此可得线段 PA 中点 M 的轨迹方程是



点评: 本题给出椭圆满足的条件,求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程,着重考查了椭 圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点,属于中档题.

22.已知圆 C:x +y =4 和直线 l:3x+4y+12=0,点 P 是圆 C 上的一动点,直线与坐标轴的交点 分别为点 A、B, (1)求与圆 C 相切且平行直线 l 的直线方程; (2)求△PAB 面积的最大值.

2

2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据题意设所求方程为 3x+4y+a=0,根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d=r 求出 a 的值,即可确定出所求直线方程; (2)当直线与 AB 平行,且与圆相切时,△PAB 面积的最大值,如图所示,求出|AB|与|MN| 的长,即可确定出△PAB 面积的最大值. 解答: 解: (1)设所求直线方程为 3x+4y+a=0, 由题意得:圆心(0,0)到直线的距离 d=r,即 解得:a=±10, =2,

则所求直线方程为 3x+4y±10=0; (2)当直线与 AB 平行,且与圆相切时,△PAB 面积的最大值, 此时直线方程为 3x+4y﹣10=0, ∵点 C 到直线 AB 的距离|CN|= ∴|MN|= +2= , ,CM=2,

∵A(﹣4,0) ,B(0,3) ,即 OA=4,OB=3, ∴|AB|=5, 则△PAB 面积最大值为 ×5× =11.

点评: 此题考查了直线与圆的方程的应用,涉及的知识有:点到直线的距离公式,两直线平 行时斜率的关系,以及直线与圆相切的性质,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.


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