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二元一次方程组应用题分类精析



二元一次方程组应用题分类精析
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即: (1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表 示其中的两个未知数; (2)找:找出能够表示题意两个相等关系; (3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组; (4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值; (5)答:在对

求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.

一、倍分问题
例 1、甲乙二人,若乙给甲 10 元,则甲所有的钱为乙的 3 倍,若甲给乙 10 元,则甲所 有的钱为乙的 2 倍多 10 元,求甲乙各拥有多少钱? 解:设甲原来有 X 元,乙原来有 Y 元。 X+10=3(Y-10) X-10=2(Y+10)+10 1、一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10 米,它的周长是 132 米,则宽和长分别是多少? 提示:设宽为 X 米,长为 Y 米 Y-2X=10 2(X+Y)=132 2、一批书分给组学生,每人 6 本则少 6 本,每人 5 本则多 5 本,该组共有多少名学生,这 批书共有多少本? 提示:设有 X 名学生,Y 本书, 6X=Y+6 5X+5=Y X=11,Y=60 3、某班学生有 x 人,准备分成 y 个组开展活动,若每个组 7 人,则余 3 人;若每个组 8 人, 则差 5 人.求全班的人数和所分组数。 提示:设全班有 x,所分组数为 y 组,则 ?

?7 y ? 3 ? x ? x ? 59 ;? ?8 y ? 5 ? x ? y ? 8

4、三年级有学生 246 人,其中男生比女生人数的 2 倍少 3 人,求男、女生各有多少人? 提示:设男生有 X 名,女生有 Y 名 X+Y=246 Y=2X-3 5、甲乙两条绳共长 17 米, 如果甲绳子减去五分之一,乙绳增加 1 米, 两条绳子相等, 求甲、 乙两条绳各长多少米? 提示:设甲绳长 X 米,乙绳长 Y 米,则 X+Y=17 X-1/5X=Y+1 6、已知长江比黄河长 836 千米,黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284 千米,求黄河、 长江各长多少千米? 提示:设黄河长度为 X 米,长江长度为 Y 米,则 X-Y=836 6Y-5X=1284 7、甲乙两个商店各进洗衣机若干台,若甲店拨给乙店 12 台,则两店的洗衣机一样多,若乙 店拨给甲店 12 台,则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的 5 倍还多 6 台,求甲、乙两店各进洗 衣机多少台? X-2=12+12 5(Y-12)+6=X+12 8、小红和小华各自购买新书若干本,已知小红买的比小华的 2 倍多 6 本,如果小红给小华 9 本,则小华是小红的 2 倍,小红和小华各买新书多少本?

提示:题中有两个未知数------小红买的新书、小华买的新书; 题中有两个相等关系 (1)小红买的新书—2X 小华买的新书=6; (2)2X(小红买的新书—9)=(小华买的新书+9) 解:设小红买新书 X 本,小华买新书 Y 本,根据题意得 X—2Y=6 2X(X—9)=Y+9 解得 X=16,Y=5 9、把 3 米长的铁丝分成两段,做成一个正方形和一个长方形框,已知长方形的长是宽的 2 倍,长方形的长比正方形的边长长 0。3 米,求两个图形的面积。 提示: 设长方形框的宽为 x, 则长为 2x,再设正方形的边长为 y 米, 根据题意, 得 2(x+2x)+4y=3 2x-y=0.3 解得 x=0.3,y=0.3,长方面的面积=0.18 正方形框的面积=0。09。 10、有甲、乙两条绳子,其中甲绳长的 3/8 与乙绳长的 1/3 叠合后,全长 238 厘米,求甲乙 两绳长各是多少厘米? 提示: 设甲绳长是 x 厘米, 乙绳长是 y 厘米。 则 3/8x=1/3y x+(1-1/3)y=238 解得 x=136 y=153. 11、小明春节原有压岁钱若干元,先用去一部分,剩余的钱为用去的 2 倍,后来又用掉 1200 元,最后剩下的钱为原有的三分之一,问小明原来有压岁钱多少元? 提示:设原有 X 元,先用去 Y 元 X-Y=2Y X-Y-1200=1/3X。解得 X=3600 元。 12、某化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩,游戏时,每个男生都看见 涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的 2 倍少 1 人, 而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂 红色人数的 3/5,则晚会上男、女生各有几人? 分析: 每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人, 这里涂蓝 色油彩的人数不是题中所有男生的人数,而是除自己之外的男生人数,同理,女生看到的人 数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。 正解:设晚会上男生有 x 人,女生有 y 人。

把①代入②,得 y=3/5[2(x-1)-1-1],所以 x=12

答:晚会上男生有 12 人,女生有 21 人。 13、某 班 有 学 生 4 9 人 , 一 天 该 班 一 男 生 因 事 请 假 , 当 天 的 男 生 人 数 恰 好 是 女 生 人 数 的 一 半 , 男 生 有 17 人 , 女 生 有 32 人

二、年龄问题

解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题 的主要特点是: 时间发生变化, 年龄在增长, 但是年龄差始终不变。 年龄问题往往是 “和差” 、 “差倍”等问题的综合应用。解题时,我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。 例 1、父子的年龄差 30 岁,五年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍,问今年父亲和儿子各是 多少岁? 解:设今年父亲的年龄为 X 岁,儿子的为 Y 岁, 则根据(1)父子的年龄差 30 岁,可列式得:X-Y=30; (2)五年后,父亲的年龄是 X+5 岁, 儿子的年龄是 Y+5 岁;由五年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍,可列式得:X+5=3(Y+5) (3)联立两式,得今年父亲的年龄是 40 岁,儿子的年龄是 10 岁。 X-Y=30 X+5=3(Y+5) 例 2:1998 年,甲的年龄是乙的年龄的 4 倍。2002 年,甲的年龄是乙的年龄的 3 倍。问甲、 乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁? A.34 岁,12 岁 B.32 岁,8 岁 C.36 岁,12 岁 D.34 岁,10 岁

【答案】D。 解析:抓住年龄问题的关键即年龄差,1998 年甲的年龄是乙的年龄的 4 倍, 则甲乙的年龄差为 3 倍乙的年龄,2002 年,甲的年龄是乙的年龄的 3 倍,此时甲乙的年龄 差为 2 倍乙的年龄,根据年龄差不变可得 3×1998 年乙的年龄=2×2002 年乙的年龄 3×1998 年乙的年龄=2×(1998 年乙的年龄+4) 1998 年乙的年龄=8 岁 则 2000 年乙的年龄为 10 岁 1、 学生问老师: “您今年多少岁了?”老师风趣的说: “我像你这样大的时候,你才出生, 你到我这么大时,我已经 37 岁了”试求老师和学生的年龄各是多少? 提示:设老师为 X 岁,学生为 Y 岁, (1)老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加, “我像 你我样大的时候, ”可以得知老师是 Y 岁,老师由 Y 岁增加到 X 岁,增加了 X-Y 岁;学生 由 1 岁增加到 Y,增加了 Y-1 岁。增加的年份是相等的量。即:X-Y=Y-1; (2)老师由 X 岁 到 37 岁时,增长的量是 37-Y;学生由 Y 岁增加到 X 岁,增长的量是 X-Y,二者相等。 X-Y=Y-1 37-X=X-Y 解得 X=25;Y=13。

2、甲乙两人在聊天,甲对乙说:"当我的岁数是你现在岁数时,你才 4 岁。”乙 对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将 61 岁。”你能算出他们两人各几 岁吗?
提示:设甲乙他们的岁数分别是 X、Y(1)当我的岁数是你现在的岁时,你才 4 岁,由这 句话得知,当时甲是 Y 岁,乙是 4 岁,甲由 Y 岁到 X 岁,增加了 X-Y,乙增加了 Y-4,二 者是相等的;(2)乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将 61 岁。”这句得知,乙 的岁数由 Y 变为 X,增加了 X-Y,甲呢由 X 岁变为 61 岁,增加了 61-X。二者增加的量相 等。联立方程可得 X=42 Y=23 3、现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍,7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍,

问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁? 提示:设父亲和儿子的年龄分别为 X 和 Y,现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍, 由这句话得 X=3Y,“7 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍,”由这句话得 7 年 前父亲的年龄是 X-7,儿子的年龄是 Y-7,所以得到 X-7=5(Y-7)解得 X=42, Y=14 4、兄弟两人,弟弟五年后的年龄与哥哥五年前的年龄相等,3 年后兄弟两人的年 龄和是他们年龄之差的 3 倍,则兄弟两人今年的岁数分别是________.17 岁和 7 岁 提示:设哥哥的年龄为 X,弟弟的年龄为 Y,由弟弟五年后的年龄与哥哥五年前 的年龄相等,Y+5=X-5, 3 年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的 3 倍,得 (X+3) +(Y+3)=3[(X+3)—(Y+3)]
5、今年父亲的年龄是儿子的 5 倍,15 年后,父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍,问:现在父子 的年龄各是多少岁? 提示: 设今年父亲和儿子的年龄分别为 X 和 Y, 由今年父亲的年龄是儿子的 5 倍, 得 X=5Y, 15 年后,父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍,(X+15)=2(Y+15) 解得 X=25,Y=5。

三、数字问题
1、56 十位上的数字 5 表示 5 那么 56 可写成 5X10+6 个 10 ,个位上的数字 6 表示 。 6 个 1,

2、 (1)一个三位数百位上的数字是 a,十位上的数字是 b,个位上的数字是 c。请你表示出 这个三位数: 设百位上的数字为 x,则这个百位数可表示为:100x+10(x+3)+(x+5) (2)已知:一个三位数十位上的数字比百位上的数字大 3,个位上的数字比十位上的数字 大 2。请你表示出这个三位数: 设百位上的数字为 x,则这个三位数可表示为:100x+10(x+3)+(x+5) (3)若各位上的数字之和不大于 11,求这个三位数。 x+(x+3)+(x+5)≤11 3、 326=32× 10 +6=3× 100 +26 7321=73× 100 +21 1234=12× 100 +34 abc 表示一个三位数,则 abc=a× 100 +bc=ab× 10 +c 若 abcd 表示一个四位数,则 abcd=ab× 100 +cd 例 1: 两个两位数的和是 68, 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数, 得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的两位数, 也得到一个四位数。 已知前一个四位数比后一个 四位数大 2178,求这个两位 思考:设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y, 1、 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数可表示为 100X+Y 2、 在较大的两位数的左边写上较小的两位数,得到一个四位数可表示为 100Y+X 解:设在较大的两位数为 x,较小的两位数为 y,则有 x+y=68 (100x+y)—(100y+x)=2178 解得 x=45 y=23 答:这两个两位数分别是 45 和 23 例 2:一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小 45;又已知百位数字的 9 倍比由十位和个位数字组成的两位数小 3,求原来的三位数。 解:设百位数字为 x,由十位和个位数字组成的两位数为 y, 则原来的三位数为 100x+y,对调的三位数为 10y+x,则 9x=y—3 10y+x=100x+y—45 x=4 y=39 则原来的三位数为 100x+y=4×100+39=439。 另解:设百位数字为 x,十位数字 y,个位数字为 z,则有 9x=10y+z—3 (100x+10y+z)—(100y+10z+x)=45 得 x=4 10y+z=9x+3=39 则原来的三位数是 100x+10y+z=100×4+39=439 1、 有一个两位数,个位上的数比十位上的数大 5,如果把两个数字的位置对换,那么所得 的新数与原数的和是 143,求这个两位数. 分析:本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系: (1)个位数字—十 位数字=5; (2)新数+原数=143.根据这两个相等关系,可通过设十位数字为 x,个位数字

为 y,列方程组求到十位数字和个位数字,然后确定两位数. 解:设这个两位数的十位数字为 x,个位数字为 y.根据题意,得

? y ? x ? 5, ? x ? 4, 解这个方程组,得 ? ? ? y ? 9. ?(10y ? x) ? (10x ? y) ? 143.
所以这个两位数是 4×10+9=49. 2、 有一个两位数和一个一位数,如果在这个一位数后面多写一个 0,则它与这个两位数的 和是 146,如果用这个两位数除以这个一位数,则商 6 余 2,求这个两位数和一位数. 分析:一位数后面多写一个 0,则这个一位数扩大了 10 倍,如果两位数为 x,一位数为 y,则根据两位数的和为 146 可得 x+10y=146;根据被除数=除数×商数+余数可得 x=6y+2,由此 可得到方程组.通过解方程组确定两位数和一位数. 解:设这个两位数为 x,这个一位数为 y,根据题意,得

? x ? 10y ? 46, ? x ? 56, ,解得 ? ? ?x ? 6 y ? 2 ? y ? 9.
所以这个两位数为 56,一位数为 9. 3、 .有一个两位数,其值等于十位数字与个位数字之和的 4 倍,其十位数字比个位数字 小 2,求这个两位数. 设这个两位数的十位数字为 x,个位数字为 y, 则可列方程组为 ?

?10x ? y ? 4( x ? y), ? y ? x ? 2.

解这个方程组,得 ?

? x ? 2, 所以这个两位数为 24. ? y ? 4.

4、一个三位数和一个两位数的差为 225,在三位数的左边写这个两位数,得到一个五位数, 在三位数的右边写上这个两位数, 也得到一个五位数, 已知前面的五位数比后面的五位数大 225,求这个三位数和两位数. . 设三位数为 x,两位数为 y.

? x ? y ? 225 ? ?(1000y ? x) ? (100x ? y) ? 225
解得 ?

? x ? 250 ? y ? 25

这个三位数是 250,两位数为 25. 5、如下图,在 3×3 的方格内,填写了一些代数式和数.

(1)在图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请你求出 x、y 的值; (2)把满足(1)的其它 6 个数填入图②的方格内. 分析:本题是一道与表格数字排列有关的信息试题,根据各行、各列及对角线上的数字和相 等,可列方程组解决.所列的方程组不惟一. 解: (1)由已知条件可得

?2 x ? 3 ? 2 ? 4 y ? ( ? 3) ? 2, . ? ?2 x ? y ? 4 y ? 4 y ? (?3) ? 2
解得 ?

? x ? ?1, . ?y ?1

,y ? ?1 代入表格,所得表格如图③所示. (2)将 x ? 1
6、甲、乙两人做加法,甲将其中一个加数后面多写了一个 0,所得的和是 2342,乙将同一 个加数后面少写了一个 0,所得的和是 65,求原来的两个加数. 原来的两个加数分别是 42 和 230. 提示:设这两个加数分别是 x、y,其中 y 是两人同时看错的数,根据题意,得

, ? x ? 10 y ? 2342 ? 1 ? x ? y ? 65. ? ? 10
7、有一个三位数,各数位上的数字之和等于 14,个位上的数字比十位上的数字大 4,如果 把百位上的数字与个位上的数字对调,所组成的新数比原数的 3 倍多 98,求这个三位数是 多少? 提示:设百位数字是 x,十位数字是 y,个位数字是 z,根据题意,得

? x ? y ? z ? 14, ? ? z ? y ? 4, ?100z ? 10 y ? x ? 3(100x ? 10 y ? z ) ? 98. ?
这个三位数是 248. 8、已知二位数,其十位数字的 3 倍与个位数字的和是 21,它的个位与十位数字对调后,所 得的新数比原数大 9,请问原数是多少? 提示:设十位数字为 X,个位数字为 Y,此二位数为 10X+Y; 依题意得 3X+Y=21 10Y+X=(10X+Y)+9 解得原数为 56。

9、已知一个两位数,它的十位上的数字 x 比个位上的数字 y 大 1,若颠倒个位与十位数字 的位置,得到的新数比原数小 9,求这两个数? 提示:依得意得 x=y+1,10x+y=10y+x+9 10、一个两数的十位数字与个位数字的和是 7,如果这个两位数加上 45,则恰好成为个位 数字与十位数字对调后组成的两位数,求这两位数。 提示:十位数字+个位数字=7,原来的两位数+45=对调后的两位数。 X+y=7,10x+y+45=10y+x.解得这两位数为 16。 11、一个两位数,十位数字是个位数字的 2 倍,把这个两位数的个位数字与十位数字对调 后,得到的新数比原数小 27,求原数。 提示:(1)十位数字=个位数 X2,(2)新数+27=原数 设该两位数个位数字为 x, 十位数字为 y,依题意得 y=2x,10y+x=10x+y+27.解得 x=3,y=6。 12、阿木和阿海做加法,阿木将加数后面多写一个 0,所得的和是 2342;阿海将加数后面 少写一个 0,所得的和是 65;试求原来的被加数和加数。 提示:在一个数后面多写一个 0,变为原数的 10 倍;在一数后面少写一个 0,变为原数的 1/10 倍。解:设被加数为 x,加数为 y,则 x+10y=2342 x+1/10y=65,解得 x=42 y=230。



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