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3.1.3随机事件的概率基本性质



新课探究
在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: C1={出现 1 点} ,C2={出现 2 点} , C3={出现 3 点} ,C4={出现 4 点} , C5={出现 5 点} ,C6={出现 6 点} , D1= {出现的点数不大于 1} , D2= {出现的点数大于 4} , D3={出现的点数小于 6} ,E={出现的点数小于 7} , F={出现的点

数大于 6} ,G={出现的点数为偶数} , H={出现的点数为奇数} ,等等.

问题1:上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不 可能事件? 问题2:上述事件中你能否从集合的角度发现事件之间的关系有哪 些?

包含关系、 相等关系、 并、 交

一、事件的关系和运算
C1 ={出现1点} 与 H ={出现的点数为奇数}

1.包含关系
若事件A 发生则必有事件B 发生,则称事件B包含事件A

(或称事件A包含于事件B), 记为A ? B (或B

? A)。

A

B

不可能事件记作 , 任何事件都包含不可能 事件。

C1 ={出现1点} 与 D1 ={出现的点数不大于1}

2.相等关系
若事件A发生必有事件B 发生;反之事件B 发生必有
事件A 发生, 即,若A

? B,且

B

?A,那么称

事件A 与事件B相 等, 记为 A = B

A

B

3 .事件的并(或称事件的和)
若事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生(即 事件 A ,B 中至少有一个发生),则称此事件为A与 B的并事件 (或和事件) 记为 A ? B (或 A + B )。

A 例如:

B

C={出现3点}

D={出现4点}

则C ∪ D={出现3点或4点}

4.事件的交
记为A
?

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生(即 “ A与 B 都发生” ),则此事件为A 与B 的交事件(或积事件), B 或 AB

例如:

D={出现4点}
H={出现的点数大于3} J={出现的点数小于5}

A B

C ?

则有:H ∩J=D

5.事件的互斥 若A∩B为不可能事件( A∩B=

),那么称事件A 与B互斥,其含义是: 事件A 与 B 在任何一次试验中不会同 时发生。 即,A 与 B 互斥 A ? B=

例如: D={出现4点} F={出现6点} M={出现的点数为偶数} N={出现的点数为奇数} 则有:事件D与事件F互斥

A

B

事件M与事件N互斥

6.对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B必然事件,那么称事件A 与事件B互为对立事件。其含义是:事件A与事件B在任何 一次试验中有且只有一个发生。

例如: M={出现的点数为偶数} N={出现的点数为奇数}

A

B(A )

则有:M与N互为对立事件

1.互斥事件:

帮助理解

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.

如:C 1 ? {出现1点};C 2 ? {出现2点};C 3 ? {出现3点} C 4 ? {出现4点};C 5 ? {出现5点};C 6 ? {出现6点}
则 C1,C2是互斥事件

2.对立事件:
其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件

如:G ? ?出现的点数为偶数?;H=?出现的点数为奇数?
①首先G与H不能同时发生,即G与H互斥 ②然后G与H一定有一个会发生,这时说G与H对立 进一步理解:对立事件一定是互斥事件

3.互斥事件与对立事件的区别与联系
联系:都是两个事件的关系 对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 区别:互斥事件是不可能同时发生的两个事件

对立事件除了要求这两个事件不同时发生之外 要求二者之一必须有一个发生

事件的关系和运算小结
事件 关系 事件 运算

3.事件的并 (或和)

1.包含关系 2.等价关系

4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 (或互不相容) 6.对立事件

例题讲解
例 1 某射手进行一次射击, 试判断下列事件哪 些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.
事件 A 与事件 C 互斥,事件 B 与事件 C 互斥,事件 C 与事件 D 互斥且对立.

例题讲解
例 2 一个人打靶时连续射击两次事件“至少 有一次中靶”的互斥事件是 ( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶

D

例题讲解

例3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随 机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分 得一张,那么事件“甲分得红牌”与 事件“乙分得红牌”是 ( B ) A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C.必然事件 D. 不可能事件

新课探究

二、概率的几个基本性质
(1)对于任何事件的概率的范围是: 0≤P(A)≤1 其中不可能事件的概率是 P(A)=0 必然事件的概率是 P(A)=1

不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况

新课探究
(2)当事件A与事件B互斥时,A∪B的频率

fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
由此得到概率的加法公式:

如果事件A与事件B互斥,则
P(A∪B)=P(A)+P(B)

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(3)特别地,当事件A与事件B是对立事件 时,有

P(A)=1- P(B)
利用上述的基本性质,可以简化概率的计算

例题讲解
例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽

取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 1 取到方块(事件B)的概率是 问: 4 (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

1 4

分析:事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥, 因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事

件D是对立事件,因此P(D)=1—P(C).
1 解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)= 2

1 (2)P(D)=1—P(C)= 2

例题讲解

例5 袋中有12个小球,分别为红球、 黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已 1 知得到红球的概率是 3 ,得到黑球或黄 5 球的概率是12 ,得到黄球或绿球的概率 5 也是 12,试求得到黑球、黄球、绿球的 概率分别是多少?

1 1 1 , , . 4 6 4

小结
1. 事件的各种关系与运算,可以类比集合的 关系与运算; 2. 在一次试验中,两个互斥事件不能同时发 生,它包括一个事件发生而另一个事件不 发生,或者两个事件都不发生,两个对立 事件有且仅有一个发生;
3. 事件 A∪B,表示事件 A 与事件 B 至少有一个 发生,事件 A∩B,表示事件 A 与事件 B 同时 发生.

小结
4、概率的基本性质: 1)必然事件概率为1,不可能事件概率 为0,因此0≤P(A)≤1;

2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)= P(A)+ P(B);

3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为
必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,

于是有P(A)=1—P(B);



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