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山东省泰安市肥城市第三中学2013-2014学年高一数学 4.2.3.2 直线与圆的方程的应用复习学案



山东省泰安市肥城市第三中学 2013-2014 学年高一数学 4.2.3.2 直 线与圆的方程的应用复习学案
【教学目标】 1、坐标法求直线和圆的应用性问题; 2、面积最小圆、中点弦问题的 解决方法. 【教学重难点】 教学重点 :坐标法求直线和圆的应用性问题. 教学难点:面积最小圆、中点弦问题的解决方法. 【教学过程】 1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 例 1、求通过

直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,且面积最小的 圆的方程. 结论:解法一:利用过两曲线交点的 曲线系.我们可以设圆的方程为

x ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? ?(2x ? y ? 3) ? 0 . 配 方 得 到 标 准 式 方 程 如 下 所 示 ( x ? 1 ? ?)2 ? ( y ? 2 ? ? / 2)2 ? (1 ? ?)2 ? (2 ? ? / 2)2 ? 3? ?1 , 可 以 得 到 r 2 ? (5 / 4)?2 ? ? ? 4 ? 5 / 4(? ? 2 / 5)2 ? 19 / 5 ,当 ? ? ?2 / 5 时,此时半径 r ? 19 / 5 ,所 求圆的方程为 ( x ? 3 / 5) 2 ? ( y ? 9 / 5) 2 ? 19 / 5 .解法二: 利用平面几何知识.以直线与圆的交 点 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 连 线 为 直 径 的 圆 符 合 条 件 . 把 两 个 方 程 式 联 立 , 消 去 y , 得 5x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 .因为判别式大于零,我们可以根据根与系数的关 系也即韦 达定理得到线 段 AB 的中点的横坐标为 x0 ? ( x1 ? x2 ) / 2 ? ?3 / 5 , y0 ? 2 x0 ? 3 ? 9 / 5 ,又半径 r ? 0.5 | x1 ? x2 | . 1 ? 22 ? 19 / 5 ( 弦 长 公 式 ), 所 以 所 求 的 圆 的 方 程 2 2 是: ( x ? 3 / 5) ? ( y ? 9 / 5) ? 19 / 5 .解法三:我们可以求出两点的坐标, 根据两点间距离
2

公式和中点坐标公式求出半径和圆心,求出圆的方程.

x ? 2? ? ? y ? 3? 变式练习:求圆 ?
2

2

?4

上的点到 x ? y ? 2 ? 0 的最远、最近的距离。

例 2、已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 9 ,求过点 A(1,2) 所作的弦的中点的轨迹. 结论:解法一 :参数法(常规方法)设过 A 所在的直线方程为 y-2 =k(x-1)(k 存在时) , P ( x,y) , 则 x ? y ? 9, y ? kx ? (2 ? k ) , 消 去
2 2 2 2 2

y , 得 到 如 下 方 程

( 1 ? k ) x ? 2k (2 ? k ) x ? k ? 4k ? 5 ? 0. 所 以 我 们 可 以 得 到 下 面 结 果 x1 ? x2 ? 2k (k ? 2) /(k 2 ? 1) , 利 用 中 点 坐 标 公 式 及 中 点 在 直 线 上 , 得 : x ? k (k ? 2) /(k 2 ? 1), y ? (?k ? 2) /(k 2 ? 1) (k 为参数) . 消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 ,当 k 不存在时,中点 P(1,0)的坐标也适合方程.所以 P 点的轨迹 是以点(1/2,1)为圆心, 5 / 2 为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 我们可以设过点 A 的弦为 MN,则可以设两点的坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .因为 M、N 都在 2 2 2 2 圆上,所以我们可以得到 x1 ? y1 ? 9, x2 ? y2 ? 9 ,然后我们把两式向减可以得到: 设 P ( x,y) 则 ( x1 ? x2 ) ? [( y1 ? y2 ) /( x1 ? x2 )].(y1 ? y2 ) ? 0( x1 ? x2 ).
1

x ? ( x1 ? x2 ) / 2, y ? ( y1 ? y2 ) / 2 . 所以由这个结论和 M 、 N 、 P 、 A 四点共线,可以得到 ( y1 ? y2 ) /( x1 ? x2 ) ? ( y ? 2) /( x ?1)(x ? 1) .所以 2x+ [ (y-2)/(x1)] ? 2y=0,所以 P 点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 (x=1 时也成立) ,所以 P 点的轨迹 是以点(1/2,1)为圆心, 5 / 2 为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识) ,由垂 径定理可知 OP ? PA ,故点 P 的轨迹是以 AO 为直径的圆.

反思总结: 当堂检测: 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l 交 x, y 的正半轴与 A、B 两点, O 为原点, OA =a, OB ? b , (a ? 2, b ? 2) . (1)求线段 AB 中点的轨迹方程; (2)求 ab 的最小值. 【板书设计】 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 1、必做题:习题 4.2B 组的 2、3、题;

4、2、3 直线与 圆的方程的应用导学案(二) 课前预习学案 一、预习目标:利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 二、预习内容: 1.你能说出直线与圆的位置关系吗? 2.解决直线与圆 的位置关系,你将采用什么方法? 三、提出疑惑 1、 2、 3、 课内 探究学案
2

; ; 。

一、学习目标: (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 学习重难点:直线的知识以及圆的知识 二、学习过程: 1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 例 1、求通过直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,且面积最小的 圆的方程.

变式练习:求圆 ?

x ? 2? ? ? y ? 3? ? 4
2 2

上的点到 x ? y ? 2 ? 0 的最远、最近的距离。

例 2、已知圆 O 的方程为 x ? y ? 9 ,求过点 A(1,2) 所作的弦的中点的轨迹.
2 2

3

变式练习:已知直线 l: ?

x 4

y ? 1 , M 是 l 上一动点,过 M 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂 3

足分别为 A 、 B ,则在 A 、 B 连线上,且满足 AP ? 2 PB 的点 P 的轨迹方程。

反思总结: 当堂检测: 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l 交 x, y 的正半轴与 A、B 两点, O 为原点, OA =a, OB ? b , (a ? 2, b ? 2) . (1)求线段 AB 中点的轨迹方程; (2)求 ab 的最小值.

课后练习与提高 1、M( x0 , y 0 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 与
2

该圆的位置关系为 A、相切 B、相 交 C、相离 D、相切或相交

2.从直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的点向圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 引切线,则切线长的最小
4

值为 A、

3 2 14 B、 2 2

C、

3 2 4

D、

3 2 ?1 2

3 、已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 分别是 直线 l 上和直线 l 外 的点,若直线 l 的 方程 是

f ( x, y) ? 0 ,则方程 f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? 0 表示
A、与 l 重合的直线 C、过 P1 且与 l 垂直的直线 B、过 P2 且与 l 平行的直线 D、不过 P2 但与 l 平行的直线

4.如果实数 x, y满足等式( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 那么 的最大值 5、已知集合 A={(x,y)| 若 A∩B= ? ,则实数 a 的值为 .

y x



y?3 =2,x、y∈R } ,B={(x,y)|4x+ay=16,x 、y∈R} , x ?1

(2,0) , 6.等腰三角形 ABC 的顶点 A(?1,0), 底边一端点B的坐标为 求另一端点 C 的轨迹方程.

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