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2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数与解三角形



三角函数与解三角形
1.【2015 高考福建,文 6】若 sin ? ? ? A.

12 5

B. ?

12 5

C.

5 12

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 13 5 D. ? 12



【答案】D 【 解 析 】 由 sin ? ? ?

tan ? ? ??

sin ? cos ?

5 12 , 且 ? 为 第 四 象 限 角 , 则 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,则 13 13

5 ,故选 D. 12

【考点定位】同角三角函数基本关系式. 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式,在 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 三个值之间, 知其中的一个可以求剩余两个,但是要注意判断角 ? 的象限,从而决定正负符号的取舍, 属于基础题. 2.【2015 高考重庆,文 6】若 tan a = , tan(a + b ) = (A)

1 3

1 7

(B)

1 6

(C)

5 7

1 ,则 tan b = ( 2 5 (D) 6



【答案】A

1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 2 3 ? 1 ,故选 A. 【解析】 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 ? 1 7 2 3

【考点定位】正切差角公式及角的变换. 【名师点睛】 本题考查角的变换及正切的差角公式, 采用先将未知角 ? 用已知角 ? 和 ? ? ? 表 示出来,再用正切的差角公式求解.本题属于基础题,注意运算的准确性. 3.【2015 高考山东,文 4】要得到函数 y ? sin (4 x ? 图象( ) (A)向左平移

? ) 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的 3

?
12

个单位 (B)向右平移

?
12

个单位

(C)向左平移 【答案】 B

? ? 个单位 (D)向右平移 个单位 3 3
?
3

【解析】因为 y ? sin(4 x ?

) ? sin 4( x ?

?
12

) ,所以,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象向右

平移

?
12

个单位,故选 B .

【考点定位】三角函数图象的变换. 【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换,解答本题的关键,是明确平移的方向和单位数, 这取决于 x 加或减的数据.本题属于基础题,是教科书例题的简单改造,易错点在于平移的方 向记混. 4.【2015 高考陕西,文 6】 “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A 充分不必要条件 【答案】 A 【解析】 cos 2? ? 0 ? cos ? ? sin ? ? 0 ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? 0 ,
2 2

) D 既不充分也不必要

B 必要不充分条件

C 充分必要条件

所以 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? ? cos ? ,故答案选 A . 【考点定位】1.恒等变换;2.命题的充分必要性. 【名师点睛】 1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性, 采用二倍角公式展开 cos 2? ? 0 , 求出 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? ? cos ? .2.本题属于基础题,高考常考题型. 【2015 高考上海,文 17】已知点 A 的坐标为 (4 3 ,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转

?
3



OB ,则点 B 的纵坐标为(
A.

). B.

3 3 2
11 2

5 3 2
13 2

C.

D.

【答案】D 【解析】设直线 OA 的倾斜角为 ? , B (m, n)(m ? 0, n ? 0) ,则直线 OB 的倾斜角为 因为 A(4 3 ,1) ,

?
3

?? ,

所以 tan ? ?

1 4 3

, tan(

?
3

??) ?

n n 4 3 ? 13 ,即 m 2 ? 27 n 2 , , ? m m 1? 3 ? 1 169 3 3 4 3 27 2 13 13 , n ? 49 ,所以 n ? 或 n ? ? (舍去) 169 2 2

3?

1

因为 m 2 ? n 2 ? (4 3 ) 2 ? 12 ? 49 ,所以 n 2 ? 所以点 B 的纵坐标为

13 . 2

【考点定位】三角函数的定义,和角的正切公式,两点间距离公式. 【 名 师 点 睛 】 设 直 线 OA 的 倾 斜 角 为 ? , B (m, n)(m ? 0, n ? 0) , 则 kOA ? tan ? ,

kOB ? tan( ? ? ) ,再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于 m 、 n 的等式求解结论. 3
数学解题离不开计算,应仔细,保证不出错. 5.【2015 高考广东,文 5】设 ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 ,

?

c ? 2 3 , cos ? ?
A. D. 3 【答案】B

3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2



3

B. 2

C. 2 2

【解析】 由余弦定理得: 所以 22 ? b 2 ? 2 3 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 , 2

即 b 2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得: b ? 2 或 b ? 4 ,因为 b ? c ,所以 b ? 2 ,故选 B. 【考点定位】余弦定理. 【名师点晴】 本题主要考查的是余弦定理, 属于容易题. 解题时要抓住关键条件 “b ? c ” ,否 则很容易出现错误.本题也可以用正弦定理解,但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情 况, 否则很容易出现错误. 解本题需要掌握的知识点是余弦定理, 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? . 6.【2015 高考浙江,文 11】函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是 最小值是 【答案】 ? , . ,

3? 2 2

【解析】 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ?

1 1 ? cos 2 x 1 1 3 sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

?

2 ? 3 3 2 2? . sin(2 x ? ) ? ,所以 T ? ? ? ; f ( x) min ? ? 2 4 2 2 2 2

【考点定位】1.三角函数的图象与性质;2.三角恒等变换. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等 变换化简三角函数,利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题,主要考查学生的 基本运算能力以及整体代换的运用. 7.【2015 高考福建,文 14】若 ?ABC 中, AC ? 【答案】 2 【解析】 由题意得 B ? 1800 ? A ? C ? 600 . 由正弦定理得

3 , A ? 450 ,C ? 750 ,则 BC ? _______.

AC BC AC sin A , 则 BC ? , ? sin B sin A sin B

所以 BC ?

3? 3 2

2 2 ? 2.

【考点定位】正弦定理. 【名师点睛】本题考查正弦定理,利用正弦定理可以求解一下两类问题: (1)已知三角形的 两角和任意一边,求三角形其他两边与角; (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求三 角形其他边与角.关键是计算准确细心,属于基础题. 8. 【 2015 高 考 重 庆 , 文 13 】 设 ?ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

a = 2, cos C = 【答案】4

1 , 3sin A = 2sin B ,则 c=________. 4

【解析】由 3sin A = 2sin B 及正弦定理知: 3a ? 2b ,又因为 a ? 2 ,所以 b ? 2 , 由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 16 ,所以 c ? 4 ;故填:4. 【考点定位】正弦定理与余弦定理. 【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,先由正弦定理将 3sin A = 2sin B 转化为 3a=2b 结合已知即可求得 b 的值,再用余弦定理即可求解.本题属于基础题,注意运算的准确 性及最后结果还需开方.

1 4

9.【2015 高考陕西,文 14】如图,某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y= 3sin(

?
6

x+Φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.

【答案】8 【解析】由图像得,当 sin( 当 sin(

?
6

x ? ? ) ? ?1 时 ymin ? 2 ,求得 k ? 5 ,

?
6

x ? ? ) ? 1 时, ymax ? 3 ?1 ? 5 ? 8 ,故答案为 8.

【考点定位】三角函数的图像和性质. 【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质,在三角函数的求最值中,我们经常使用的是 整理法,从图像中知此题 sin(

?
6

x ? ? ) ? ?1 时, y 取得最小值,继而求得 k 的值,当

sin(

?
6

x ? ? ) ? 1 时, y 取得最大值.2.本题属于中档题,注意运算的准确性.
2

【2015 高考上海,文 1】函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin x 的最小正周期为 【答案】 ? 【解析】因为 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ,所以 f ( x) ? 1 ? 数 f ( x) 的最小正周期为

.

2? ?? . 2

3 1 3 (1 ? cos 2 x) ? ? ? cos 2 x ,所以函 2 2 2

【考点定位】函数的周期,二倍角的余弦公式. 【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为 f ( x) ? ?

T?

2?

1 3 ? cos 2 x ,再根据 2 2

?

求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.

10.【2015 高考湖南,文 15】已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中,距离 最短的两个交点的距离为 2 3 ,则 ? =_____. 【答案】 ? ?

?
2

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1 ? 1 5? ( (k1? ? , 2),( (k2? ? , ? 2),k1,k2 ? Z ? , 距离最短的两个交点一定在同一 ? 4 ? 4 2 1 5? ? 2 ? 2 个周期内,? 2 3 ? 2 . ( ? )? ( ? 2 ? 2) , ?? ? ? 4 4 2

?

?

【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形. 应把三角函数的对称 性与奇偶性结合,体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个 周期内,本题也可从五点作图法上理解. 11. 【2015 高考天津, 文 14】 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在 区间 ? ?? , ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 .

【答案】

π 2

【解析】由 f ? x ? 在区间 ? ?? , ? ? 内单调递增 , 且 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称 , 可得

2? ?

π

?

,



π? ? f ?? ? ? sin ? 2 ? cos ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? ? 1 4? ?

,





?2 ?

π π π ? ?? ? . 4 2 2

【考点定位】本题主要考查三角函数的性质. 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查 能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ? 的单调 区间长度是半个周期;②若 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ? 的图像关于直线 x ? x0 对称, 则 f ? x0 ? ? A 或 f ? x0 ? ? ? A . 12. 【2015 高考四川, 文 13】 已知 sinα+2cosα=0, 则 2sinαcosα-cos2α 的值是______________. 【答案】-1 【解析】由已知可得,sinα=-2cosα,即 tanα=-2

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?4 ? 1 ? ? ? ?1 2sinαcosα-cos α= sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ? 1
2

【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识,考查综合处理 问题的能力.

【名师点睛】 同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是: 结合 sin2α+cos2α=1, 解出 sinα 与 cosα 的值,然后代入计算,但这种方法往往比较麻烦,而且涉及符号的讨论.利用 整体代换思想,先求出 tanα 的值,对所求式除以 sin2α+cos2α(=1)是此类题的常见变换技巧, 通常称为“齐次式方法” ,转化为 tanα 的一元表达式,可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. 13. 【 2015 高 考 安 徽 , 文 12 】 在 ?ABC 中 , AB ?

6 , ?A ? 75? , ?B ? 45? , 则

AC ?
【答案】2

.

【解析】 由正弦定理可知:

AB AC 6 AC ? ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? sin 60 sin 45? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45
?

【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用. 【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键,本题考查了考生的运算能力. 14.【2015 高考湖北,文 15】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75 的 方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD ? _________m. 【答案】 100 6 . 【解析】在 ?ABC 中, ?CAB ? 300 , ?ACB ? 750 ? 300 ? 450 , 根据正弦定理知, 即
BC ?
BC AB , ? sin ?BAC sin ?ACB
C B A D

AB 600 1 ? sin ?BAC ? ? ? 300 2 sin ?ACB 2 2 2







C D ? B C? t a n ? D B C? 3 0 0 2?

3 ? 100 , 6故应 3


100 6 .

【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例,属中档题. 【名师点睛】以实际问题为背景,将抽象的数学知识回归生活实际,凸显了数学的实用性和 重要性,体现了“数学源自生活,生活中处处有数学”的数学学科特点,能较好的考查学生 识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力. 【 2015 高 考 上 海 , 文 14 】 已 知 函 数 f ( x) ? sin x . 若 存 在 x1 , x2 , ? ? ? , xm 满 足

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6?





| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) |? 12 (m ? 2, m ? N ? ) ,则 m 的
最小值为 【答案】8 【 解 析 】 因 为 函 数 .

f ( x) ? sin x 对 任 意 xi , x j

(i, j ? 1,2,3,? ? ?, m) ,

| f ( xi ) ? f ( x j ) |? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 ,
欲 使 m 取 得 最 小 值 , 尽 可 能 多 的 让 xi (i ? 1,2,3,? ? ?, m) 取 得 最 高 点 , 考 虑

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6? , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) |? 12 (m ? 2, m ? N ? ) 按 下 图 取
值满足条件, 所以 m 的最小值为 8.

【考点定位】正弦函数的性质,最值. 【 名 师 点 睛 】 本 题 重 点 考 查 分 析 能 力 , 转 化 能 力 , 理 解 函 数 y ? sin x 对 任 意 xi ,

x j (i, j ? 1,2,3,? ? ?, m) , | f ( xi ) ? f ( x j ) |? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 是关键.
15. 【2015 高考北京, 文 11】 在 ??? C 中,a ? 3 ,b ? 【答案】

6 ,?? ?

?
4

2? , 则 ?? ? 3



【解析】由正弦定理,得

3 6 2 a b ? ,即 ,所以 sin B ? ,所以 ?B ? . ? ? 2 sin A sin B 4 3 sin B 2

【考点定位】正弦定理. 【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理,属于容易题.解题时一定要注意检验有两解的情

a b . ? sin ? sin ? x 16.【2015 高考北京,文 15】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 . 2
况,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是正弦定理,即 (I)求 f ? x ? 的最小正周期; (II)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

【答案】 (I) 2? ; (II) ? 3 .

2? ? ? ,∴ ? x ? ? ? . 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值. 3 3 2? 2? ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 f ( ) ? ? 3 . 3 3
(Ⅱ)∵ 0 ? x ? 考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数 的最值,属于中档题.解题时要注意重要条件“ ? 0,

? 2? ? ” ,否则很容易出现错误.解本题需 ? 3 ? ?

要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象,即

1 1 sin 2 ? ? ? cos 2? ? , a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ,函数 2 2 2? f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 )的最小正周期是 ? ? .

?

17.【2015 高考安徽,文 16】已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2 x
2

(Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【答案】 (Ⅰ) ? ; (Ⅱ)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0 【解析】 ( Ⅰ ) 因 为

f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T=

?
4

) ?1

2? =? . 2
2 sin( 2 x ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果, f ( x) ? 当 x ? [0,

?
4

) ?1

? 5? ?[ , ] 2 4 4 4 ? 5? 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知, 4 4

?

] 时, 2 x ?

?

时, f ( x) 取最大值 2 ? 1 ; 2 8 ? 5? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取最小值 0 . 4 4 4 当 2x ?

?

4

?

?

,即 x ?

?

综上, f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的最大值为 2 ? 1 ,最小值为 0 .

【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、 三角恒等变换、 三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的性质,以及正弦函数的性质. 【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的性质是解决本题的关键,考查了考生的基本运算能力.
18.【2015 高考福建,文 21】已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

?
6

个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得

到函数 g ? x ? 的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 .

【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)详见解析. 【解析】 (I)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?? ? ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 6? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (II) (i)将 f ? x ? 的图象向右平移

?
6

个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象, 再向下平移 a

( a ? 0 )个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象. 又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13 . 所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多个 互不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ?

4 . 5



4 3 ? 4 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ? 0 ? . ? 5 2 3 5
4 . 5

由正弦函数的性质可知,当 x ? ?? 0 , ? ? ? 0 ? 时,均有 sin x ? 因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

所以当 x ? ? 2k? ? ? 0 , 2k? ? ? ? ? 0 ? ( k ? ? )时,均有 sin x ? 因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

4 . 5

?

3

? 1, 4 . 5

所以对任意的正整数 k ,都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ? 0 , 2k? ? ? ? ? 0 ? ,使得 sin xk ? 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 【考点定位】1、三角函数的图像与性质;2、三角不等式.

【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式 变形为 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 进行;若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移,都是相对于

f ( x) 而言,即 f ( x) ? Af ( x) 和 f ( x) ? f ( x) ? k ,若三角函数图象变换是横向伸缩和横向

平移,都是相对于自变量 x 而言,即 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x) ? f ( x ? a ) ;本题第(ⅱ)问 是解三角不等式问题,由函数周期性的性质,先在一个周期内求解,然后再加周期,将存在 无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,转化为解集长度大于 1,是本题的核心. 19.【2015 高考广东,文 16】 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 . (1)求 tan ? ? ? (2)求

? ?

??

? 的值; 4?

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 . 【解析】 试题分析: (1)由两角和的正切公式展开,代入数值,即可得 tan ? ? ? 二
2

? ?

??

(2)先利用 ? 的值; 4? 式 可 得

















sin 2? 2sin ? cos ? ,再分子、分母都除以 ? 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin 2? 2 tan ? ,代入数值,即可得 cos 2 ? 可 得 ? 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 tan ? ? tan ? ? 2 sin 2? 的值. 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
试题解析: (1) tan ? ? ?

? ?

??

4 ? tan ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ?3 ?? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 2 4

tan ? ? tan

?

(2)

sin 2? sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

?
?

2sin ? cos ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 1? ? 1
2

2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? tan ? ? 2 2? 2 ? 2 2 ?2?2
?1
考点:1、两角和的正切公式;2、特殊角的三角函数值;3、二倍角的正、余弦公式;4、同 角三角函数的基本关系.

【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余 弦公式和同角三角函数的基本关系,属于中档题.解本题需要掌握的知识点是两角和的正切 公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系,即 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? , 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2sin ? cos ? , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 , tan ? ?

sin ? . cos ?

π 20.【2015 高考湖北,文 18】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在 2

某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2

π

3π 2



π 3

5π 6
?5

A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动
π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.
π 【答案】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表: 6

?x ? ?
x

0

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ)离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 6 12

? ? 5? 3? π 【解析】 (Ⅰ) 根据表中已知数据可得:A ? 5 , ? ? ? ? , ? ? ? ? , 解得 ? ? 2, ? ? ? . 3 2 6 2 6
数据补全如下表:
π 2 3π 2

?x ? ?
x

0

π



π 12
0

π 3
5

7π 12
0

5π 6
?5

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) .因为 6 6 6 6

y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ?

π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? , k ? Z .即 y ? g ( x) 图 6 2 12

kπ π π 象的对称中心为 ( ? ,) 0 , k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 2 12 12

【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质,属基 础题. 【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起, 正确运用方程组的思想,合理的解三角函数值,准确使用三角函数图像的平移和三角函数的 图像及其性质是解题的关键,能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和 规范解答能力. 21.【2015 高考湖南,文 17】 (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c, a ? b tan A .
(I)证明: sin B ? cos A ; (II) 若 sin C ? sin A cos B ?

3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4

【答案】 (I)略;(II) A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 . 【解析】

sin A sin A , 所以 sin B ? cos A ; ? cos A sin B 3 (II) 根 据 两 角 和 公 式 化 简 所 给 条 件 可 得 sin C ? sin A cos B ? cos A sin B ? , 可 得 4 3 sin 2 B ? ,结合所给角 B 的范围可得角 B,进而可得角 A,由三角形内角和可得角 C. 4
试题分析: (I) 由题根据正弦定理结合所给已知条件可得

【考点定位】正弦定理及其运用 【名师点睛】解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理 更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式 子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两 个定理都有可能用到. 22.【2015 高考山东,文 17】 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知

cos B ?

3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 求 sin A 和 c 的值. 3 9 2 2 ,1. 3 3 6 ,得 sin B ? . 3 3 6 , 9 5 3 , 9 6 5 3 3 6 2 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 3

【答案】

【解析】在 ?ABC 中,由 cos B ?

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ?

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ?

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

c sin A a c 由 ? ? , 可得 a ? sin C sin A sin C

2 2 c 3 ? 2 3c ,又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 6 9

【考点定位】1.两角和差的三角函数;2.正弦定理. 【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想,在正确理解题意 的情况下,准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论,使解答陷入误 区. 本题是一道能力题,属于中等题,重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识,同 时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 23. 【2015 高考陕西, 文 17】?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 向量 m ? ( a , 3b) 与 n ? (cos A,sin B ) 平行. (I)求 A ; (II)若 a ?

7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

【答案】(I) A ? 【解析】

?
3

;(II)

3 3 . 2

试题分析: (I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 ,由正弦定理,得

sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,
又 sin B ? 0 ,从而 tan A ?

3 ,由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3



(II)解法一:由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,代入数值求得 c ? 3 ,由面积公式 得 ?ABC 面 积 为

1 3 3 7 2 .解法二:由正弦定理,得 ,从而 bc sin A ? ? ? sin B 2 2 sin 3

sin B ?

21 7

, 又 由

a?b 知

A? B

, 所 以

cos B ?

2 7 7

, 由

sin C ? sin(A ? B ) ? sin(B ?

?
3

) , 计 算 得 sin C ?

3 21 , 所 以 ?ABC 面 积 为 14

1 3 3 . ab sin C ? 2 2
试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 , 故 ?ABC 面积为

?
3



1 3 3 . bc sin A ? 2 2

解法二:由正弦定理,得

7 sin

?
3

?

2 sin B

从而 sin B ?

21 7 2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

所以 ?ABC 面积为

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

【考点定位】1.正弦定理和余弦定理;2.三角形的面积. 【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积,利用正弦定理进行边角互化,继而求出 A 的值;可利用余弦定理求出 c 的值,代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角

变换与解三角形知识综合起来命题,其中关键是三角变换,而三角变换中主要是“变角、 变函数名和变运算形式” ,其中的核心是 “变角” ,即注意角之间的结构差异,弥补这种 结构差异的依据就是三角公式. 24.【2015 高考四川,文 19】已知 A、B、C 为△ABC 的内角,tanA、tanB 是关于方程 x2+ 3 px -p+1=0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值 【解析】(Ⅰ)由已知,方程 x2+ 3 px-p+1=0 的判别式 △=( 3 p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0 所以 p≤-2 或 p≥

2 3

由韦达定理,有 tanA+tanB=- 3 p,tanAtanB=1-p 于是 1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0 从而 tan(A+B)=

tan A ? tan B ? 3 p ? ?? 3 1 ? tan A tan B p

所以 tanC=-tan(A+B)= 3 所以 C=60° (Ⅱ)由正弦定理,得

AC sin C 6 sin 600 2 ? ? sinB= AB 3 2
解得 B=45°或 B=135°(舍去) 于是 A=180°-B-C=75°

3 tan 45 ? tan 30 3 ? 2? 3 ? 则 tanA=tan75°=tan(45°+30°)= 0 0 1 ? tan 45 tan 30 3 1? 3
0 0

1?

所以 p=-

1 1 (tanA+tanB)=- (2+ 3 +1)=-1- 3 3 3

【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等 基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理,给出三角形两个内角正切值的关系式, 求解过程中要注意对判别式的判定,表面上看,判别式对结论没有什么影响,但这对考查学 生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到 C=60°后, 第(Ⅱ)问中要注意舍去 B=135°, 否则造成失误.属于中档题. 25.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

1 , 4

? ?

π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

(I)由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8. 最后由正弦定理求 sinC 的值;(II)直接展开求值. 试题解析( : I) △ABC 中,由 cos A ? ?

15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2
a c ,得 ? sin A sin C

由 b ? c ? 2, 解得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可得 a=8. 由

sin C ?


15 . 8
II )

π? π π 3 15 ? 7 3 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? 16 6? 6 6 2 ?
【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能 力. 【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定 理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部 分以三角形为载体考查三角变换.

26.【2015 高考新课标 1,文 17】 (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的 对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)先由正弦定理将 sin 2 B ? 2sin A sin C 化为变得关系,结合条件 a ? b ,用其 中一边把另外两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值; (II)由(I)知 b 2 = 2ac , 根据勾股定理和即可求出 c,从而求出 ?ABC 的面积. 试题解析: (I)由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B = (II)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b 2 . 故 a 2 + c 2 = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以 DABC 的面积为 1. 考点:正弦定理;余弦定理;运算求解能力 【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理,在解题过程中要注意边角 关系的转化,根据题目需要合理选择合理的变形复方向,本题考查利用正余弦定理解三角形 和计算三角形面积,是基础题. 27. 【2015 高考浙江, 文 16】 (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 tan(

2, 求 ?ABC 的面积.

1 (II)1 4

a 2 + c2 - b2 1 = . 2ac 4

?
4

? A) ? 2 .

(1)求

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

(2)若 B ?

?

4

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

【答案】(1) 【解析】

2 ;(2) 9 5 1 , 利用同角三角函数基本函数关系式得到结论; 3 1 , 3

(1)利用两角和与差的正切公式, 得到 tan A ?

(2)利用正弦定理得到边 b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积. 试题解析:(1)由 tan( 所以

?
4

? A) ? 2 ,得 tan A ?

sin 2 A 2sin A cos A 2 tan A 2 ? ? ? . 2 2 sin 2 A ? cos A 2sin A cos A ? cos A 2 tan A ? 1 5

(2)由 tan A ?

10 3 10 1 可得, sin A ? . , cos A ? 10 10 3
,由正弦定理知: b ? 3 5 .

a ? 3, B ?

?
4

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2 5 , 5

所以 S ?ABC ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 3 5 ? ?9. 2 2 5

【考点定位】1.同角三角函数基本关系式;2.正弦定理;3.三角形面积公式. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式, 计算角 ? 的正切值,利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论;根据角 ? 的正切 值计算得到其正弦值,利用正弦定理计算得到边 b 的值,根据三角形内角和为 180 及两角和 的正弦公式计算得到角 C 的正弦值, 有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题, 主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用, 考查学生基本的计算能力. 28.【2015 高考重庆,文 18】已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小周期和最小值, (Ⅱ)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x) 的图像.当 x ? ?

1 sin2x- 3 cos 2 x . 2

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ? 2+ 3 1- 3 2 - 3 , (Ⅱ) [ , ]. 2 2 2

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先用降幂公式将函数 f ( x) =

1 sin 2 x 2

3 cos 2 x 的解析式化为

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,从而就可求出 f ( x) 的最小周期和最小值,
(Ⅱ)由题目所给变换及(Ⅰ)的化简结果求出函数 g ( x) 的表达式,再由 x ? ? 正弦函数的图象即可求出其值域. 试题解析: (1) f ( x) =

?? ? , ? 并结合 ?2 ? ?

1 sin 2 x 2

1 3 3 cos 2 x = sin 2 x (1 + cos 2 x) 2 2

1 3 3 p 3 , = sin 2 x cos 2 x = sin(2 x - ) 2 2 2 3 2
因此 f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

2+ 3 . 2

(2)由条件可知: g( x) = sin( x 当 x? [

p 3 . )3 2

p p p 2p , p ] 时,有 x - ? [ , ] , 2 3 6 3 p 1 从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] , 3 2
那么 sin( x -

p 3 1- 3 2 - 3 的值域为 [ ), ]. 3 2 2 2
1- 3 2 - 3 p , ]. , p ] 上的值域是 [ 2 2 2

故 g( x) 在区间 [

【考点定位】1. 三角恒等变换,2.正弦函数的图象及性质,3.三角函数图象变换. 【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质,第一问采用先降幂再用 辅助角公式将已知函数化为 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式求解,第二小问在第一问的基础 上应用三角函数图象变换知识首先求出函数 g ( x) 的解析式, 再结合正弦函数的图象求其值域. 本题属于中档题,注意公式的准确性及变换时的符号. 28.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ?

1 , 4

(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

(I)由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8. 最后由正弦定理求 sinC 的值;(II)直接展开求值. 试题解析( : I) △ABC 中,由 cos A ? ?

15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2
a c ,得 ? sin A sin C

由 b ? c ? 2, 解得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可得 a=8. 由

sin C ?


15 . 8
II )

π? π π 3 15 ? 7 3 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? 16 6? 6 6 2 ?
【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能 力. 【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定 理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部 分以三角形为载体考查三角变换.



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