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专题四、函数三要素



专题四:函数三要素

一.知识梳理
1. 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域. 2.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫

做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数 的 定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使 这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 3. 定义域补充:求函数的定义域时列不等式(组)的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1; (5)指数为零底不可以等于零; (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 4.函数概念补充 (1)函数的三要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数). (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值 的字母无关. 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备). 5.值域补充: (1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域. (2)应熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域,它是求解复杂函数值域的 基础. (3)函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换 元法 ;⑥利用均值不等式
ab ? a?b ? 2 a 2 ? b 2 a, b ? 0 ; ⑦利用数形结合或几何意义(如 ? ? 2
x

斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等). 6.复合函数定义域的求法: ① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f [g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出; ② 若 f [g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域. 例题:已知函数 f ( x) 的定义域为 ?? 1,2? ,分别求函数 f ( ) 和 f [log 1 (3 ? x )] 的定义域.
2

1 x

【解析】由 ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? 2,得 x ? ?1或x ? , ? f ( )的定义域为 ?? ?,?1? ? ? ,?? ? ? x 2 x ?2 ? 11 ? 11? ,? f [log1 (3 ? x)] 的定义域为 1, ? 2 4 ? 4? ?

由 ? 1 ? log 1 (3 ? x) ? 2得1 ? x ?
2

7.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论.

?1 , x?0 ? ?x 例题:若函数 f ( x ) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为____________. 3

?x ? 0 1 ? 【解析】(1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3
?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ? ? ? 3 ? ?? 3 ? 3 ??3?
∴不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1? ,∴应填 ? ?3,1? . 3

二.例题精讲
1. 下列各图中表示函数的是 ( )

y

y

y

y

o A

x

o B

x

o C

x

o D ( )

x

2. 在下列各组函数中, f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是
0 A. f ( x) =1, g ( x) = x

B. y ? x 与 y ?
2

x2

C. y ? x 与 y ? ( x ? 1)
2

D. f ( x) =∣ x ∣, g ( x) = x 2

3x ? 6
3.已知函数 f ( x) ?

( x ≥0 ) 求 f (1) 及 f [ f (1)]

x?5
2

( x ? 0 ),

4.(1)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x)

(2)已知f (

1? x x2 ? 1 1 ) ? 2 ? ,求 f ( x) x x x

解题思路:将函数关系理解为一种“运算关系”,这里的运算是指通过运算关系 f ,任何一个 使 f 有意义的 x 在运算关系 f 作用下都确定出唯一的结果.求 f ( x) 就是求对 f 有意义的 x 其预示结果的运算方法.本题采用凑配法和换元法可解. 5.求函数 y ? x ? 2 x ? 1 的值

6.函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的值.

三.练习反馈
1.已知 f ? 2x ? ? 2x ? 3 ,则 f ? x ? 等于 A. x ? ( C. )

3 2

B. x ? 3

x ?3 2

D. 2 x ? 3

2.已知 f ( x) 的定义域为[ ? 2,2 ],则 f (1 ? 2 x) 的定义域为 A.[ ? 2,2 ] B.[ ?





1 3 , ] 2 2

C.[ ? 1,3]

D.[ ? 2,

3 ] 2

-x2-3x+4 3.函数 y= 的定义域为________. x 4.求函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的值域. 解题思路:(1)由绝对值三角不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3 ,或由图象法可 解;

5.设函数 f ( x) ? ? A

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? x ? 6, x ? 0

,则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( )

(?3,1) ? (3,??)

B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

C (?1,1) ? (3,??)

6.如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1), 1 则 f( )的值等于________. f(3)

2 7.已知函数 f ( x) = ax ? bx ? c ,若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x) 的表达

式.

8.由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3) =(b1,b2,b3),则 f(2,1,-1)=________. 9.已知 f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当 x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1, 求当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x)的解析式.

* * 10.给定 k ? N * ,设函数 f : N ? N 满足:对于任意大于 k 的正整数

n , f ( n) ? n ? k
; .

(1)设 k ? 1 ,则其中一个函数 f 在 n ? 1 处的函数值为

(2)设 k ? 4 ,且当 n ? 4 时, 2 ? f (n) ? 3 ,则不同的函数 f 的个数为

四、挑战自我
1.对于任意的实数 x ,规定 y 取 4 ? x , x ? 1 ,

1 (5 ? x ) 三个值中的最小值. 2

(1)求 y 关于 x 的函数关系式,并画出此函数的图象; (2) x 为何值时, y 最大?最大值是多少? (2)由图象可知:当 x = 1时, y 最大,其最大值为 y max = 2 .



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