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高中数学 第二章 正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题素材 北师大版必修5



正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛,解这类应 用题需要我们吃透题意,对专业名词、术语要能正确理解,能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为: (1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有 关名称、术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等; (2)根据题意画出图形; (3)将 要求

解的问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正弦定理、 余弦定理等有关知识建 立数学模型,然后正确求解,演算过程要简练,计算要准确,最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站 C 在目标 A 南偏西 25 ? 方向,从 A 出发有一条南偏东 35 ? 走向的公路,

在 C 处测得公路上与 C 相距 31 千米的 B 处有一人正沿此公路向 A 走去, 走 20 千米到达 D , 此时测得 CD 距离为 21 千米,求此人所在 D 处距 A 还有多少千米? 分析:根据已知作出示意图,分析已知及所求,解 ?CBD ,求角 B .再解 ?ABC ,求 出 AC ,再求出 AB ,从而求出 AD (即为所求). 解:由图知, ?CAD ? 60? . 北 ,

cos B ?

BD 2 ? BC 2 ? CD 2 312 ? 202 ? 212 23 ? ? 2 BC ? BD 2 ? 31? 20 31

A
25 ?
21

35 ? D



12 3 . sin B ? 31
BC ? sin B ? 24 . 在 ?ABC 中, AC ? sin A
由余弦定理,得 BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB ? cos A .
2 2 2

C

20

31

B

即 31 ? AB ? 24 ? 2 ? AB ? 24 ? cos 60? .
2 2 2

整理,得 AB ? 24 AB ? 385 ? 0 ,解得 AB ? 35 或 AB ? ?11 (舍).
2

故 AD ? AB ? BD ? 15 (千米). 答:此人所在 D 处距 A 还有 15 千米. 评注:正、余弦定理的应用中,示意图起着关键的作用, “形”可为“数”指引方向, 因此,只有正确作出示意图,方能合理应用正、余弦定理.

2.航海中正、余弦定理的应用

例 2

在海岸 A 处,发现北偏东 45 ? 方向,距 A 为 3 ? 1 海里的 B 处有一艘走私船,

在 A 处北偏西 75 ? 方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截 走私船.此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30 ? 方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间? 分析:注意到最快追上走私船,且两船所用时间 相等, 可画出示意图, 需求 CD 的方位角及由 C 到 D 所 需的航行时间. 解:设缉私船追上走私船所需时间为 t 小时,则有

D

30 ? C
75 ? 45 ? A
B

CD ? 10 3t , BD ? 10t .
在 △ ABC 中 , ∵ AB ? 3 ? 1 , AC ? 2 ,

?BAC ? 45? ? 75? ? 120? ,
根据余弦定理可得 BC ?

( 3 ? 1) 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) cos120? ? 6 .

AC sin120? ? 根据正弦定理可得 sin ?ABC ? BC

2?

3 2 ? 2. 2 6

∴ ?ABC ? 45? ,易知 CB 方向与正北方向垂直,从而 ?CBD ? 90? ? 30? ? 120? . 在 △BCD 中,根据正弦定理可得: sin ?BCD ?

BD sin ?CBD 10t ? sin120? 1 ? ? , CD 2 10 3t

∴ △BCD ? 30? , ?BDC ? 30? ,∴ BD ? BC ? 6 , 则有 10t ?

6 ,t ?

6 ? 0.245 小时 ? 14.7 分钟. 10
0

所以缉私船沿北偏东 60 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 评注:认真分析问题的构成,三角形中边角关系的分析,可为解题的方向提供依据.明 确方位角是应用的前提,此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

3.航测中正、余弦定理的应用 例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 20250 m,速度

为 180 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 18?30 ,经过 120 秒后又看到山顶的俯角为 81 ? ,
'

求山顶的海拔高度(精确到 1 m). 分析:首先根据题意画出图形,如图,这样可在 ?ABM 和 Rt ?BMD 中解出山顶到航 线的距离,然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解:设飞行员的两次观测点依次为 A 和 B ,山顶为

A B D M

M ,山顶到直线的距离为 MD .
如图,在 △ ABM 中,由已知,得

?A ? 18?30 ' ,?ABM ? 99? ,?AMB ? 62?30' .

120 ? 6 (km), 60 ? 60 6sin18?30 ' 根据正弦定理,可得 BM ? , sin 62?30 ' 6sin18?30 'sin 81? 进而求得 MD ? ,∴ MD ? 2120 (m), sin 62?30 '
又 AB ? 180 ? 可得山顶的海拔高度为 20250 ? 2120 ? 18130 (m). 评注:解题中要认真分析与问题有关的三角形,正确运用正、余弦定理有序地解相关的 三角形,从而得到问题的答案.

4.炮兵观测中正、余弦定理的应用 例4 我炮兵阵地位于地面 A 处, 两观察所分别位于地面点 C 和 D 处, 已知 CD ? 6000

米, ?ACD ? 45? , ?ADC ? 75? ,目标出现于地面点 B 处时,测得 ?BCD ? 30? ,

?BDC ? 15? (如图) ,求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号).
分析:根据题意画出图形,如图,题中的四点 A 、 B 、 C 、 D 可构成四个三角形.要 求 AB 的长,由于 ?ADB ? 75 ? ?15 ? ? 90 ?,只需知道 AD 和 BD 的长,这样可选择在

?ACD 和 ?BCD 中应用定理求解.

解:在 △ ACD 中, ?CAD ? 180? ? ?ACD ? ?ADC ? 60? ,

CD ? 6000 , ?ACD ? 45? ,
根据正弦定理有 AD ? 同 理 ,

A

CD sin 45? 2 ? CD , sin 60? 3


△B

C

中 D



C

45 ? 30 ?

15 ?

75 ?

D

?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?BDC ? 135? , CD ? 6000 , ?BCD ? 30? ,
根据正弦定理有 BD ?

CD sin 30? 2 ? CD . sin135? 2

又在 ?ABD 中, ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90? , 根据勾股定理有: AB ?

AD2 ? BD2 ?

2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 . 3 2 6

所以炮兵阵地到目标的距离为 1000 42 米. 评注:应用正、余弦定理求解问题时,要将实际问题转化为数学问题,而此类问题又可 归结为解斜三角形问题,因此,解题的关键是正确寻求边、角关系,方能正确求解.

5.下料中正余弦定理的应用 例5 已知扇形铁板的半径为 R ,圆心角为 60 ? ,要从中截取一个面积最大的矩形,应

怎样划线? 分析:要使截取矩形面积最大,必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上,即为扇形的 内接矩形,如图所示.

B

B
P

P

Q
O

Q

D

x
M (1)

N A O

x
E M (2 )

N

A

AB 上取一点 P , 解: 在图 (1) 中,在 ? 过 P 作 PN ? OA 于 N , 过 P 作 PQ ? PN 交 OB
于 Q ,再过 Q 作 QM ? OA 于 M . 设 ?AOP ? x , PN ? R sin x . 在 △POQ 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

OP PQ 2 3 .∴ PQ ? ? R sin(60? ? x) . sin(180? ? 60?) sin(60? ? x) 3
于是 S ? PN ? PQ ?

2 3 2 3 2 R sin x ? sin(60? ? x) ? R ?cos(2 x ? 60?) ? cos 60?? 3 3

?

3 2 1 3 2 R (1 ? ) ? R . 3 2 6 3 2 R . 6

当 cos(2 x ? 60?) ? 1 即 x ? 30? 时, S 取得最大值

在图(2)中,取 ? AB 中点 C ,连结 OC ,在 ? AB 上取一点 P ,过 P 作 PQ // OC 交 OB 于 Q ,过 P 作 PN ? PQ 交 ? AB 于 N ,过 Q 作 QM ? PQ 交 CA 于 M ,连结 MN 得矩形

MNPQ ,设 ?POC ? x ,则 PD ? R sin x .
在 △POQ 中,由正弦定理得: ∴ PQ ? 2R sin(30? ? x) . ∴ S ? 2PD ? PQ ? 4R sin x ? sin(30? ? x) ? 2R ?cos(2x ? 30?) ? cos30??
2 2

R R ? , sin(180? ? 30?) sin(30? ? x)

). ? 2R2 (1 ? cos30?) ? (2 ? 3) R2 (当 x ? 15? 时取“ ? ” ∴当 x ? 15? 时, S 取得最大值 (2 ? 3) R2 .



3 2 R ? (2 ? 3) R 2 , 6

∴作 ?AOP ? 30? ,按图(1)划线所截得的矩形面积最大. 评注:此题属于探索性问题,需要我们自己寻求参数,建立目标函数,这需要有扎实的 基本功,在平时学习中要有意识训练这方面的能力.

综上,通过对以上例题的分析,要能正确解答实际问题需: (1)准确理解有关问题的陈 述材料和应用的背景; (2)能够综合地,灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的 与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.



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