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福建省八县一中2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015-2016 学年度第一学期八县(市)一中期末联考 高中 二 年 数学(理)科试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.)
2 1.命题: “若 x ? 1 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ”的逆否命题是(



A.若 x ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1
2 2 C.若 ?1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

2 B.若 ?1 ? x ? 1 ,则 x ? 1
2 D.若 x ? ?1或 x ? 1 ,则 x ? 1

2.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦距是( m2 ? 5 4 ? m2 A.4 B. 2 5

) C. 6 D.与 m 有关

3.以正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点 O ,如图建立空间直角坐标系, 则与 DB1 共线的向量的坐标可以是( A. ? 2, ?2, 2 ? C. ? ?2, 2, 2 ?

???? ?



B. ? ?2, ?2, 2? D. ? ?2, ?2, ?2? )

4.直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 过椭圆左焦点 F1 和一个顶点 B,则该椭圆的离心率为( A.

1 5

B.

2 5

C.

5 5

D.

2 5 5


5. “点 P 的轨迹方程为 y ? x ”是“点 P 到两条坐标轴距离相等”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.不充分不必要条件

6.已知 O(0, 0, 0) , A(2,1,1) , B (1,1, ?1) ,点 P(? ,1,3) 在平面 OAB 内,则 ? ? ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5



7.在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题 p 表示“甲的试跳成绩超过 2 米”, 命题 q 表示“乙的试跳成绩超过 2 米”,则命题 p ? q 表示( ) A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过 2 米 B.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米 C.甲、乙两人 的试跳成绩都没有超过 2 米 D.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过 2 米
2 8.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两条渐近线与抛物线 y ? 4 x 交于 O , A, B 三点, O 为坐标原 点,

则 AB 等于( A. 4

) B. 6 C. 8 D.16
1

9.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,平面 OAB 的法向量为 n ? ? 2, ?2,1? , O 为坐标原点. 已知 P ? ?1, ?3,8? ,则 P 到平面 OAB 的距离等于( A.4 B.2 C.3 ) D.1

?

10.已知抛物线 C : x 2 ? 4 y 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 抛物线 C 的一个交点,若 PF ? 4QF ,则 QF =( A.

??? ?
3 2

????

) D. 6

3 4

B.

C. 3

11.如图,在正三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,若 AA? ? 2 AB , 则异面直线 AB? 与 BC ? 所成角的余弦值为( ) A. 0 B.

3 8

C.

3 5

D.

7 10

? x2 y 2 ? ? ? 12.已知集合 D ? ?( x, y) ? ? 1? ,有下面四个命题: 4 3 ? ? ? ?
p1 : ?( x, y ) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 p2 : ?( x, y ) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

p3 : ?( x, y ) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4
其中的真命题是( ) A. p1 , p3 B. p1 , p4

p4 : ?( x, y ) ? D, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2
C. p2 , p3 D. p2 , p4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.如图,在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 错误!未找到引用源。中, AC 与 BD 的交点为 点M . 设 C1D1 ? a , C1B1 ? b , C1C ? c ,用 a , b , c 表示向量 MB1 , 则 MB1 =___________ 14.已知 p : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0, q : x ?1 ? 2 ,命题“ p ? q ”为真, 则实数 x 的取值范围是_________ 15.直线 l : y ? k ? x ? 1? 与抛物线 y ? x 只有一个公共点,则实数 k 的值为
2

?????
???? ?

?

???? ?

?

???? ?

?

?

?

?

???? ?

16.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1 , P 为椭圆上的动点, M 是圆 x 2 ? y ? 2 5 25 9 动点,则 PM ? PF1 的最大值是

?

?

2

? 1 上的

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分 10 分)
2

已知命题 p : 关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0 有实数根, 命题 q : m ?1 ? a ? m ? 1 . (Ⅰ) 若 ?p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若 p 是 q 的必要非充分条件,求实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的离心率为 5 ,虚轴长为 4 . a 2 b2

(Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)过点 ? 0,1? ,倾斜角为 450 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点, 求 ?OAB 的面积.

19. (本题满分 12 分) 如图所示, DC ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形, 四边形 BCEF 为直角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . (Ⅰ) 求证: AF // 平面 CDE ; (Ⅱ) 求平面 AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.

20. (本题满分 12 分)
3

点 P 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 8 上运动, PD ? x 轴, D 为垂足,点 M 在线段 PD 上, 满足 PM ? MD . (Ⅰ) 求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) 过点 Q ?1, ? 作直线 l 与点 M 的轨迹相交于 A 、 B 两点,使点 Q 为弦 AB 的中点, 求直线 l 的方程.

???? ?

???? ?

? 1? ? 2?

21.(本题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直, AA1 ? AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 , (Ⅰ)证明:无论 ? 取何值,总有 AM ? PN ; (Ⅱ)当 ? 取何值时, 直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大?并求该角取最大值时的正切值.

M , N 分别是 CC1 , BC 的中点,点 P 在直线 A1 B1 上,且 A1P ? ? A1B1 .

????

???? ?

22. (本题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? x ,过点 M (2, 0) 作直线 l : x ? ny ? 2 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 点 N 是定直线 x ? ?2 上的任意一点,分别记直线 AN ,MN , BN 的斜率为 k1 ,k 2 ,k 3 . (Ⅰ) 求 OA ? OB 的值; (Ⅱ) 试探求 k1 , k 2 , k 3 之间的关系,并给出证明.

??? ? ??? ?

2015---2016 学年度第一学期八县(市)一中期末联考
4

---------密???封????装????订???线----------

高中 二 年 数学 (理) 科答题卷 考试日期: 1 月 28 日 1~12 13~16 17 完卷时间:120 分钟 18 19 满分:150 分 20 21 22 总分

.

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案
.

准考号:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13 15 14 16

座号

三、解答题: (17 题 10 分,18-22 每小题 12 分,共 70 分)

17.

班级

姓名

学校

18.
5

.

19.

20.
6

21.

22.
7

2015---2016 学年度第一学期八县(市)一中期末联考 高中 二 年 数学(理科) 试卷参考答案 一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10 B 11 D 12 A

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

1? 1? ? a? b?c 2 2

14. [1,3]

15. 0 或 ?

1 2

16. 17

三、解答题:(共 70 分) 17. (本题满分 10 分) 解法一:(Ⅰ) 当命题 p 是真命题时,满足 ? ? 0 则 a 2 ? 4(a ? 3) ? 0 解得 a ? ?2 或 a ? 6 ??p 是真命题,则 p 是假命题 ?2 ? a ? 6 即 ? 实数 a 的取值范围是 (?2, 6) . (Ⅱ) ? p 是 q 的必要非充分条件 则 ????????????3 分

????????????5 分

[m ? 1, m ? 1] 是 ? ??, ?2? ? ?6, ?? ? 的真子集
???????8 分 ??????10 分

m ? 1 ? ?2 或 m ? 1 ? 6 即 解得 m ? ?3 或 m ? 7 ? 实数 m 的取值范围是 ? ??, ?3? ? ?7, ?? ? .
2

解法二:(Ⅰ) 命题 ?p :关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 没有实数根 ??p 是真命题,则满足 ? ? 0 即 a2 ? 4(a ? 3) ? 0 解得 ?2 ? a ? 6 ? 实数 a 的取值范围是 (?2, 6) . (Ⅱ) 由 (Ⅰ)可得 当命题 p 是真命题时, ??????3 分 ??????5 分

实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ?6, ?? ?

? p 是 q 的必要非充分条件 则 [m ? 1, m ? 1] 是 ? ??, ?2? ? ?6, ?? ? 的真子集
m ? 1 ? ?2 或 m ? 1 ? 6 即 解得 m ? ?3 或 m ? 7 ? 实数 m 的取值范围是 ? ??, ?3? ? ?7, ?? ? .
???????8 分 ??????10 分

18. (本题满分 12 分)
8

?c ?a ? 5 ? 解:(Ⅰ)依题意可得 ?2b ? 4 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
解得

??????3 分

a ? 1, b ? 2, c ? 5
2

y2 ? 1. ? 双曲线的标准方程为 x ? 4 (Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )
由?

??????5 分

? y ? x ?1 ?4 x ? y ? 4
2 2

2 可得 3x ? 2 x ? 5 ? 0

由韦达定理可得 x1 ? x2 ? 即 AB ? 1 ? k 2

5 2 , x1 x2 ? ? 3 3
2

??????8 分

? x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2 ? 2

4 20 8 2 ? ? 9 3 3
??????10 分

2 2 1 1 8 2 2 4 于是 S?OAB ? ? AB ? d ? ? ? ? 2 2 3 2 3 4 ? ?OAB 的面积为 . 3
原点到直线 l 的距离为 d ? 19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CE 所在直线为 y 轴,

??????12 分

CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
根据题意,可得以下点的坐标: C (0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , D (0, 0, 4) , E (0, 4, 0) , A(2, 0, 4) , F (2, 2, 0) 则 AF ? (0, 2, ?4) , CB ? (2,0,0) .

??? ?

??? ?

??? ? CB ? (2,0,0) 为平面 CDE 的一个法向量. ??????3 分 ??? ? ??? ? 又? AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 , AF ? 平面 CDE
? AF // 平面 CDE . (其它方法,请酌情给分! )

??????5 分

?? ??? ? ? ?? ?n1 ? AE ? 0 (Ⅱ)设 平面 AEF 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ?? ??? ? ? ?n1 ? AF ? 0 ??? ? ??? ? ? AE ? (?2, 4, ?4), AF ? (0, 2, ?4) ?? ??2 x1 ? 4 y1 ? 4 z1 ? 0 , 取 z1 ? 1 ,得 n1 ? (2,2,1) . ??????8 分 ? ?2 y1 ? 4 z1 ? 0
9

又? CE ? 平面 ABCD ,? 平面 ABCD 一个法向量为 n2 ? CE ? (0, 4,0) , 设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ,

?? ?

??? ?

?? ?? ? n1 ? n2 2? 4 2 则 cos ? ? ?? ?? ? ? 3? 4 3 n1 n1

因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 20. (本题满分 12 分)

2 . ??????12 分 3

解:(Ⅰ) ? 点 M 在线段 PD 上,满足 PM ? MD ? 点 M 是线段 PD 的中点 设 M ( x, y ) ,则 P( x, 2 y )

???? ?

???? ?

??????2 分

? 点 P 在圆 O: x ? y ? 8 上运动 2 y2 2 ?1 则 x 2 ? ?2 y? ? 8 即 x ? 8 2 2 y2 ? 点 M 的轨迹方程为 x ? ? 1 . 8 2
2 2

??????4 分

(Ⅱ) 方法一: 当直线 l ? x 轴时,由椭圆的对称性可得弦 AB 的中点在 x 轴上,不可能是 点 Q ,这种情况不满足题意. ??????5 分 设直线 l 的方程为 y ?

1 ? k ( x ? 1) , 2

1 ? ? y ? kx ? ( ? k ) 由 ? 可得 2 2 2 ?x ? 4 y ? 8 ? 1 1 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k ( ? k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 8 ? 0 2 2 1 8k ( ? k ) 2 由韦达定理可得 x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 1 8k ( ? k ) ? 1? 2 由 AB 的中点为 Q ?1, ? ,可得 ? ?2 1 ? 4k 2 ? 2? 1 解得 k ? ? 2 1 1 即直线 l 的方程为 y ? ? ? ( x ? 1) 2 2 ? 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .

??????9 分

??????12 分

方法二: 当直线 l ? x 轴时,由椭圆的对称性可得弦 AB 的中点在 x 轴上,不可能是 点 Q ,这种情况不满足题意. ??????5 分 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )
10

? x12 y12 ? ?1 (1) ? ? A 、 B 两点在椭圆上,满足 ? 8 2 2 2 ? x2 ? y 2 ?1 (2) ? ? 8 2 2 2 2 2 x ? x2 y ? y2 由 (1) ? (2) 可得 1 ? 1 ?0 8 2 y ? y 2 y1 ? y 2 则 1 ??????9 分 ? ??1 x1 ? x2 x1 ? x2 4 ? 1? 由 AB 的中点为 Q ?1, ? ,可得 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 1,代入上式 ? 2? y ?y k AB ? 1 2 ? ? 1 x1 ? x2 2 1 1 即直线 l 的方程为 y ? ? ? ( x ? 1) 2 2 ??????12 分 ? 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 .
21.(本题满分 12 分) 证明:由 AB ? AC ? 2 , BC ? 2 2 可得, AB ? AC ? BC 则 AB ? AC 即 AB 、 AC 、 AA1 两两相互垂直 ?????????2 分
2 2 2

z
B1

A1 C1 M

如图,以 A 为原点建立空间直 角坐标系, 则 A1(0,0,2) , B1(2,0,2) , M(0,2,1 ) ,N(1,1,0)

P

A B

???? ???? ? A1P ? ? A1B1 ? ?(2,0,0) ? (2?,0,0) , ??? ? ???? ???? AP ? AA1 ? A1P ? (2?,0,2) ,可得 P(2? , 0, 2) ??? ? ????????????4 分 PN ? (1 ? 2?,1, ?2)
(其它方法,请酌情给分 ! )

x

N

???? ? C (Ⅰ)∵ AM ? (0, 2,1) , ???? ? ??? ? y ∴ AM ? PN ? (1 ? 2? ) ? 0 ? 1? 2 ? ? ?2 ? ?1 ? 0 ∴无论 ? 取何值, AM ? PN ??????????6 分

(Ⅱ)∵ m ? (0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量. ∴ sin ? ? cos ? m, PN ? = ∴当 ? =

?? ????

|0?0?2| (1 ? 2? ) ? 1 ? 4
2

?

2 (2? ?1)2 ? 5

????9 分

1 时, ? 取得最大值, 2 2 5 5 此时 sin ? = , cos ? = , tan ? ? 2 5 5
22. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

????12 分

11

由 ?

? x ? ny ? 2 ?y ? x
2

可得

y 2 ? ny ? 2 ? 0
?????3 分

y1 ? y2 ? n, y1 y2 ? ?2 ??? ? ??? ? 即 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? y12 y22 ? y1 y2 ? 4 ? 2 ? 2 ??? ? ??? ? ?OA ? OB ? 2
由韦达定理可得 (Ⅱ)当 n ? 0 时, A(2, 2) 、 B(2, ? 2) 不妨取 N (?2, 2) ,则 k1 ? 易得 k1 ? k2 ? 2k2 (其它方法,请酌情给分! ) 设 N (?2, y0 ) , k2 ? ?

?????5 分

2? 2 2? 2 2 , k2 ? , k3 ? ?4 ?4 ?4
?????7 分

y0 4 y1 ? y0 y2 ? y0 y1 ? y0 y2 ? y0 k1 ? k2 ? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ny1 ? 4 ny2 ? 4

?????9 分

?
?

? y1 ? y0 ?? ny2 ? 4? ? ? y2 ? y0 ?? ny1 ? 4? ? ny1 ? 4?? ny2 ? 4?

2ny1 y2 ? (4 ? ny0 )( y1 ? y2 ) ? 8 y0 n2 y1 y2 ? 4n( y1 ? y2 ) ? 16 ?4n ? (4 ? ny0 )n ? 8 y0 ? ?2n 2 ? 4n 2 ? 16 ? n 2 y0 ? 8 y 0 ? 2n 2 ? 16 ? y0 ? n 2 ? 8 ? ? 2n 2 ? 16 y ?? 0 2 ? 2k2 ? k1 ? k2 ? 2k2 , k1 , k 2 , k 3 成等差数列.

?????12 分

12


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