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山东省日照市2013届高一数学上学期期末考试



绝密★启用前

试卷类型:A

日照市高一上学期期末考试 数 学 2011.1

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务

必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡 和试卷规定的位置。 2.第Ⅰ卷共 2 页。答题时,考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。在试卷上作答无效。 参考公式:

1 S球 ? 4πR2 ; V柱体 ? Sh ; V锥体 ? Sh . 3 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6} ,集合 A ? {2,3, 4,5} ,则 ?U A ?
(A){1 , 3} (B){2 , 6} (2)点 A(3, ?5) 关于原点的对称点是 (A) (?5, ?3) (B) (?3, ?5) (3)计算 3log3 2 ? lg ? lg5 的结果为 (A)2 (B)1 (C)3 (D)-1 (4)集合 A ? {x |1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a} ,若 A B,则实数 a 的取值范围是 (A) {a | a≥2} (B) {a | a≤1} (C) {a | a≥1} (D) {a | a≤2} C1 (5)如右图几何体中, ?ABC 为锐角三角形, AA1 // BB1 // CC1 , (C){1 , 6} (C) (?3,5) (D){1 , 5} (D) (3,5)

1 2

CC1 ⊥平面 ABC ,且 3 AA1 =
的主视图是

3 BB1 = CC1 ,则多面体 ABC –A1B1C1 2
A1
C

B1

A

B

(A)

(B)

(C)

(D)

3 (6)若 a ? ( )1.2 , b ? 1.23 , c ? log 3 1.2 ,则 a、b、c 的大小关系是 5 5

(A) a ? b ? c

(B) c ? b ? a

(C) c ? a ? b

(D) a ? c ? b

(7)直线 x ? ay ? 7 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? 2 y ? 14 ? 0 互相平行,则 a 的值是 (A)1 (B)-2 (C)1 或-2 (D)-1 或 2

? x ? 2 ( x≤ ? 1) (8)函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是 (?1 ? x ? 2) ?x
(A) 3 (B)± 3 (C)1 (D) 3 或 1

(9)如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长 11.3%,经过 x 年可以增长到原来的

y 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象大致为

(A) (B) (C) (D) (10)在下列关于直线 l , m 与平面 ? , ? 的命题中,正确的是 (A)若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ? ? (B)若 l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 l ? ? (C)若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ∥ ? (D)若 ? ? ? ? m ,且 l ∥ m ,则 l ∥ ?

(11)若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为 (A) -1 或 3 的 x 范围为 (A) (?3,3) (B) (3, ??) (C) (??,3) (D) (??,3) ? (3, ??) (B) 1 或 3 (C) -2 或 6 (D) 0 或 4

(12)已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0) 上是减函数,且 f (3) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0

绝密★启用前 日照市高一上学期期末考试 数 学 第Ⅱ卷(共 90 分) 2011.1

试卷类型:A

注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页。考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上各题目的指定答题区域内 作答,填空题请直接填写答案,解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)已知幂函数 f ( x) ? x n 的图象经过点 (2, 2 ) ,则 f (9) ? 2 2 (14)圆 x +y -4x-2y-5=0 的圆心坐标是 . . . .

(15)若函数 f ( x) ? x ? 3 ? lg(2 ? x) 的定义域为 A ,集合 B ? {x | e x≥ 1} ,则 A ? B = (16)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的体积为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分)

2 . x (Ⅰ)若 g ( x) ? f ( x) ? a 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)试判断 f ( x) 在 (0, ??) 内的单调性,并用定义证明.
已知函数 f ( x) ? 1 ? (18) (本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过点 P(-2,5) ,且斜率为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程. (19) (本小题满分 12 分) 某几何体的直观图与三视图如下,其中主视图、俯视图都是直角三角形,左视图是等边 三角形.

(Ⅰ)证明:AB ? CD; (Ⅱ)求该几何体的体积. (20) (本小题满分 12 分)

根据市场调查, 某种新产品投放市场的 30 天内, 每件销售价格 P (元) 与时间 t (天 t ? N? ) 的关系满足下图,日销量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系是 Q ? ?t ? 40(t ? N? ) . (Ⅰ)写出该产品每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (Ⅱ)在这 30 天内,哪一天的日销售金额最大? (日销量金额=每件产品销售价格×日销量)

(21) (本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ABC=90°,BC=CC1,M、N 分别为 BB1、A1C1 的中 点. (Ⅰ)求证:CB1⊥平面 ABC1; (Ⅱ)求证:MN//平面 ABC1.

(22) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的零点,并写出 f ( x) ? 0 时, x 取值的集合; (Ⅲ)设 F ( x) ? 4 f (a x ) ? 3a 2 x ? 1(a ? 0且a ? 1) ,当 x ? [?1,1] 时, F ( x) 有最大值 14, 试求 a 的值.

日照市高一上学期期末考试 数学参考答案及评分标准 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,应参照本标准相应评分。

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. CCBAD CBADB DA 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分. (13)3; (14) (2,1) ; (15) [0, 2) ; (16) 8 6 π .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解: (Ⅰ)由已知 g ( x) ? f ( x) ? a 得: g ( x) ? 1 ? a ? ∵ g ( x) 是奇函数,∴ g (? x) ? ? g ( x) ,即 1 ? a ?

2 , x

…………2 分

2 2 ? ?(1 ? a ? ) ,解得 a ? 1. ………5 分 (? x) x
9分

(Ⅱ)设 0 ? x1 ? x2 ,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?

2( x1 ? x2 ) 2 2 ? (1 ? ) ? . x1 x2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,从而

2( x1 ? x2 ) ? 0, x1 x2

11 分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 内是单调增函数. (18)解: (Ⅰ)由直线方程的点斜式,得 y ? 5 ? ? 整理,得所求直线方程为 3x ? 4 y ? 14 ? 0. (Ⅱ)过点(2,2)与 l 垂直的直线方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,
? x ? y ? 11 ? 0, 由? 得圆心为(5,6) , ?4 x ? 3 y ? 2 ? 0.

12 分

3 ( x ? 2), 4
………………4 分 ………………6 分 ………………8 分

∴半径 R ? (5 ? 2)2 ? (6 ? 2)2 ? 5 , 故所求圆的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 . (19)解: (I)由三视图知三棱锥 A-BCD 中,面 ABC⊥面 BCD, ∠BCD=90°,AC=CD=BC, 面 ABC⊥面 BCD, 面 ABC∩面 BCD=BC,∵CD⊥BC,∴CD⊥面 ABC. ∵AB ? 面 ABC∴CD⊥AB.

………………10 分 …………12 分

……………4 分 ……………8 分

1 1 1 2 3 3 a . ………12 分 (II)三棱锥 A-BCD 的体积为 V ? ? S?ABC ? CD ? ? ? 2a ? 3a ? 2a ? 3 3 2 3 (20)解: (Ⅰ)根据图象,每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系为:

?t ? 30 (0 ? t ? 20, t ? N ? ) . P?? ?50 (20 ? t ? 30, t ? N ? )

………………4 分

?(t ? 30)(?t ? 40) (0 ? t ? 20, t ? N ? ) (Ⅱ)设日销售金额 y(元) ,则 y ? ? (20 ? t ? 30, t ? N? ) ?50(?t ? 40)

…………6 分

2 ? (0 ? t ? 20, t ? N ? ) ??t ? 10t ? 1200 ?? (20 ? t ? 30, t ? N? ). ? ??50t ? 2000

……………8

分 若 0 ? t ? 20, t ? N? 时, y ? ?t 2 ? 10t ? 1200? ?(t ? 5) 2 ? 1225 , ………………10 分

∴当 t=5 时, y max ? 1225 ; 若 20<t≤30,t∈N+时,y=-50t+2000 是减函数, ∴y<-50×20+2000=1000,因此,这种产品在第 5 天的日销售金额最大, 最大日销售金额是 1225 元. ……………………12 分 (21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C⊥底面 ABC,且侧面 BB1C1C∩底面 ABC=BC, ∵∠ABC=90°,即 AB⊥BC, ∴AB⊥平面 BB1C1 ………………2 分 ∵CB1 ? 平面 BB1C1C,∴AB⊥CB1. …………… 4 分 ∵ BC ? CC1 , CC1 ? BC ,∴ BCC1 B1 是正方形, ∴ CB1 ? BC1 ,∴CB1⊥平面 ABC1. (Ⅱ)取 AC1 的中点 F,连 BF、NF. ………………7 分 在△AA1C1 中,N、F 是中点,

1 1 // BM,………8 分 AA1,又∵BM ? // AA1,∴EF ? 2 2 故四边形 BMNF 是平行四边形,∴MN//BF,…………10 分 而 EF ? 面 ABC1,MN ? 平面 ABC1,∴MN//面 ABC1…12 分
∴NF ? //

(22)解: (Ⅰ)? f ( x) ? ax2 ? bx 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,

?a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? ax2 ? bx ? x ?1, 即ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? ax2 ? (b ? 1) x ?1,
1 2 1 ??(2a ? b) ? b ? 1 1 1 ?? , 解得a ? ? , b ? . ? f ( x) ? ? x ? x. 2 2 2 2 ?a ? b ? ?1
(II)由 f ( x) ? 0 得函数的零点为 0,1. 又函数 f ( x) 的图像是开口向下的抛物线,∴ f ( x) ? 0 时 x ? 1或x ? 0. ∴x 取值的集合为 x x ? 1或x ? 0 . (III)由 F ( x) ? 4 f (a ) ? 3a
x 2x

……………………5 分

?

?

…………………………………………9 分

?1(a ? 0且a ? 1), 得 F ( x) ? a2 x ? 2a x ?1 .

x ①当 a ? 1 时,令 u ? a ,? x ?[?1,1] ,? u ? [ , a ] ,

1 a

令g (u) ? u 2 ? 2u ?1 ? (u ? 1)2 ? 2 , u ? [ , a ] .

1 a

1 ? 对称轴 u ? ?1 ,? g (u ) 在 [ , a] 上是增函数. a

? gmax (u) ? g (a) ? a2 ? 2a ?1 ? 14 , ? a 2 ? 2a ? 15 ? 0 ,
? a ? 3, a ? ?5 (舍).
x ②当 0 ? a ? 1 时,令 u ? a ,? x ?[?1,1] ? u ? [a, ]

1 a

1 ? g (u) ? u 2 ? 2u ?1 ? (u ? 1)2 ? 2 , u ? [a, ] , a 1 ? 对称轴 u ? ?1 ,? g (u ) 在 [a, ] 上是增函数. a 1 1 2 1 1 1 ? g max (u ) ? g ( ) ? ( ) 2 ? ? 1 ? 14 , ? ? 3, ? ?5 (舍) ,? a ? . a a a a a 3 1 综上 a ? 或 a ? 3 . ……………………14 分 3
[例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的倾 斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k= ∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2 1 ,m)共线,求 m 的值. 2

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3]已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4 1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα = ∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3 1 3

因此,直线 l 的斜率是

说明: 由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略的地 方.

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