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二次函数1



数学培优试题(二) 《二次函数》
一、 选择题 1. 抛物线 y=2x2﹣2 A.0 B.1 C.2 x+1 与坐标轴的交点个数是( D.3 )

2. 在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度,然后绕原点选择 180°
2 得到抛物线 y=x +5x+6,则原抛物线的解析式是(

) C.y=﹣(x﹣

)2﹣ D.y=﹣(x+ )

A.y=﹣(x﹣ )2﹣
2

B.y=﹣(x+ )2﹣

+ 3. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=( )

A.a+b

B.a﹣2b

C.a﹣b

D.3a

4. 已知直线 y=﹣ 3 x+3 与坐标轴分别交于点 A,B,点 P 在抛物线 y=﹣ (x﹣ 上,能使△ ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有( A.3 个
2

2 3 ) +4

) D.6 个

B.4 个

C.5 个

5. 抛物线 y=x +bx+c(其中 b,c 是常数)过点 A(2,6) ,且抛物线的对称轴与线段 y=0 (1≤x≤3)有交点,则 c 的值不可能是( ) A.4
2

B.6

C.8

D.10

6. 二 次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0) ,对称轴为直线 x=2,下列结论: (1)4a+b=0; (2)9a+c>3b; (3)8a+7b+2c>0; (4)若点 A(﹣3,y1) 、 点 B(﹣ ,y2) 、点 C( ,y3)在该函数图象上,则 y1<y3<y2; (5)若方程 a(x+1) (x ﹣5)=﹣3 的两根为 x1 和 x2,且 x1<x2,则 x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有( )

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

7. 已 知 二 次 函 数 y=ax 2 ﹣ bx ﹣ 2 ( a ≠ 0 ) 的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 , 且 过 点 ( ﹣ 1, 0) , 当 a ﹣ b 为 整 数 时 , ab 的 值 为 ( A. 或 1 B. 或 1 C. 或 ) D. 或

8.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=1,与 x 轴的一个交点坐标为(﹣1, 0) ,其部分图象如图所示,下列结论: ①4ac<b2; ②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1,x2=3; ③3a+c>0

④当 y>0 时,x 的取值范围是﹣1≤x<3 其中结论正确的个数是( )

⑤当 x<0 时,y 随 x 增大而增大

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

9.以 x 为自变量的二次函数 y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1 的图象不经过第三象限,则实数 b 的取值范围是( A.b≥ ) B.b≥1 或 b≤﹣1 C.b≥2 D.1≤b≤2

10.如图,在△ ABC 中,∠B=90° ,tan∠C= ,AB=6cm.动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动.若 P,Q 两 点分别从 A,B 两点同时出发,在运动过程中,△ PBQ 的最大面积是( )

A.18cm2

B.12cm2

C.9cm2

D.3cm2

二、 填空题 11.如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)记为 C1,它与 x 轴交于两点 O,A1;将 C1 绕 A1 旋转 180° 得到 C2,交 x 轴于 A2;将 C2 绕 A2 旋转 180° 得到 C3,交 x 轴于 A3;…如此 进行下去,直至得到 C6,若点 P(11,m)在第 6 段抛物线 C6 上,则 m= .

12 . 若 二 次 函 数 y=2x 2 ﹣ 4x ﹣ 1 的 图 象 与 x 轴 交 于 A ( x 1 , 0 ) 、 B( x2, 0) 两 点,则 + 的值为 __ ____ .

13.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 11 所示,且 P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b| -|3b+2c|,则 P,Q 的大小关系是______. 14.若函数 y=(a﹣1)x2﹣4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点,则 a 的值为 _______. 三、 解答题 15. 已知抛物线 y=a(x+3) (x﹣1) (a≠0) ,与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点,与 y 轴 相交于点 C,经过点 A 的直线 y=﹣ x+b 与抛物线的另一个交点为 D. (1)若点 D 的横坐标为 2,求抛物线的函数解析式; (2)若在第三象限内的抛物线上有点 P,使得以 A、B、P 为顶点的三角形与△ ABC 相似, 求点 P 的坐标; (3)在(1)的条件下,设点 E 是线段 AD 上的一点(不含端点) ,连接 BE.一动点 Q 从点 B 出发,沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E,再沿线段 ED 以每秒 个单位的

速度运动到点 D 后停止, 问当点 E 的坐标是多少时, 点 Q 在整个运动过程中所用时间最少?

16. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销 x 件.已知产销两种产 品的有关信息如下表: 产品 甲 乙 每件售价 (万元) 每件成本 (万元) 每年其他费用 (万元) 每年最大产销量 (件) 6 20 a 10 20 40+0.05x2 200 80

其中 a 为常数,且 3≤a≤5. (1) 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1 万元、y2 万元,直接写出 y1、y2 与 x 的函 数关系式; (2)分别求出产销两种产品的最大年利润; (3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.

17. 如图,抛物线 y=ax2+bx 过 A(4,0) ,B(1,3)两点,点 C、B 关于抛物线的对称轴对 称,过点 B 作直线 BH⊥x 轴,交 x 轴于点 H.

(1)求抛物线的表达式; (2)直接写出点 C 的坐标,并求出△ ABC 的面积; (3)点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ ABP 的面积为 6 时,求出点 P 的坐标; (4)若点 M 在直线 BH 上运动,点 N 在 x 轴上运动,当以点 C、M、N 为顶点的三角形为 等腰直角三角形时,请直接写出此时△ CMN 的面积. 18.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴 夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点 M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2, y=﹣x+4.

问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形 OABC,点 B 在第一象限,A、C 分别在 x 轴和 y 轴上,抛物线 经过 B、C 两点,顶点 D 在正方形内部.

(1)直接写出点 D(m,n)所有的特征线; (2)若点 D 有一条特征线是 y=x+1,求此抛物线的解析式; (3)点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点,连接 OP,将△ OAP 沿着 OP 折叠,点 A 落在点 A′的位置,当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平 移多少距离,其顶点落在 OP 上?



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