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河北省武邑中学2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版(含答案)



河北武邑中学 2013—2014 学年高三年级上学期期中考试 数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿纸上作答无效。

/>
第Ⅰ卷

选择题(共 60 分)

一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题 目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1.已知全集为 R ,集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | log 2 x ? 0} ,则下列关系正确的是(
2



A. A ? B ? R

B. A ? (CU B) ? R )

C. (CU A) ? B ? R

D. A ? B ? A

2.下列有关命题的说法正确的是 (
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .
2

B. x ? ?1 ”是 “ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “
2

C.命题“ ? x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “对 ? x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 3.若 a, b, c ?R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是( A. a ? c ? b ? c 4.已知 3 A.
log 2 ( log 4 x )

) D.
c2 ?0 a?b

B. (a ? b)c 2 ? 0

C. ac ? bc

? 1 ,那么 x
1 2

?

1 2

=(

) D. ?2

1 2

B. ?

C. ?

1 2

5.已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 a1,

a +a10 1 a3,2a2 成等差数列,则 9 =( a9+a8 2
D.



A. 6.已知 sin 2? ? A. ?

B.

C.2 )

1 3

1 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4 2 1 2 B. ? C. D. 3 3 3
2 2

7.能够把圆 O : x ? y ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下 列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是( A. f ( x) ? 4 x ? x
3

) C. f ( x) ? tan

B. f ( x) ? 1n

5? x 5? x

x 2

D. f ( x) ? e ? e
x

?x

8. 如图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0,

? ? ? ? ? ? ? ? 的部分图象,其中 2 ? ? ) A 、 B 两点之间的距离为 5,那么 f ? ?1? ? (
A. 3 B. ? 3 C. 2 D. ?2

9.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称两条平行线和 圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两 个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切”.已知直线 l1 : 2 x ? y ? a ? 0 ,

l 2 : 2 x ? y ? a 2 ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 ? 0 相切,则 a 的取值范围是(
A. a ? 7或a ? ?3 C. a ? B. ?3 ? a ? ? 6 或 6 ? a ? 7 D. a ? 7或a ? ?3



6或a ? ? 6
2

10.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间 ?1, 5? 上有解,则实数 a 的取值范围为( A. ( ?



23 ,??) 5

B. [?

23 , 1] 5

C.(1,+∞)

D. (??,?1)

11.已知函数 f ( x ) ? ?

?2 x ? 1( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序排列成一个

数列,则该数列的通项公式为( A. a
n

) B. an ? n ? 1(n ? N * ) D. an ? 2n ? 2(n ? N * )

?

n(n ? 1) (n ? N * ) 2

C. an ? n(n ? 1)(n ? N * )

12.定义域为[ a , b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任意一点,其中

x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等式 MN ? k 恒成立,则称
函数 f (x) 在 ?a, b ? 上“ k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 的取值范围为 ( A. [0, ??) B. [ )

1 在[1,2]上“ k 阶线性近似”,则实数 k x
D. [ ? 2, ??)

1 , ??) 12

C. [ ? 2, ??)

3 2

3 2

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置。 13.当方程 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 0 所表示的圆取得最大面积时,直线 y ? (k ? 1) x ? 2 的倾斜角
2 2 2

??
14.计算

.
2 ?2

?

( 4 ? x 2 ? x 2 )dx 的值为________________.

15.已知 log 1 ( x ? y ? 4) ? log 1 (3x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是
2 2



16.在四边形 ABCD 中, AD ? 12, CD ? 5, AB ? 10, DA ? DC ? AC , AB 在 AC 方向上的投影为 8, 则 ?BAD 的正弦值为________ 三.解答题:大本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

? x ?1 ? 2 ? 17. (本小题满分 10 分) 已知 p: 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0(其中 a>0) ,q: 实数 x 满足 ? x ? 3 。 ?0 ? ?x ? 2
2 2

(1)若 a=1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C . (1)求 ?A ; (2)若 b ? 2, c ? 1, D 为 BC 边上靠近点 B 的三等分点,求 AD 的长.

19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? ? (1)确定常数 k,求 an. (2)求数列 ?

1 2 n ? kn (其中 k ? N * ),且 Sn 的最大值为 8. 2

? 9 ? 2an ? ? 的前 n 项和 Tn. n ? 2 ?

20. (本小题满分 12 分)已知一企业生产某产品的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万 元,设该企业年内共生产此种产品 x 千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为 f ( x) 万元,且

1 2 ? ?10.8 ? 30 x (0<x ? 10) ? 。 f ( x) ? ? ?108 ? 1000 ( x ? 10) ? x 3x 2 ?
(Ⅰ)写出年利润 P (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本)

21. (本小题满分 12 分) 已知点 E (?2,0), F (2,0) , 曲线 C 上的动点 M 满足 ME ? MF ? ?3 ,定点 A(2,1) , 由曲线 C 外一点 P(a, b) 向曲线 C 引切线 PQ ,切点为 Q ,且满足 | PQ |?| PA | . (1)求曲线 C 的方程; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的圆 P 与曲线 C 有公共点,试求半径取最小值时圆 P 的标准方程.

22. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(Ⅰ)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值. (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

a ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点,若对任意的 ex

a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;
(III)求证: 1 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ?
n n
n

e ?2n ?n e ?1

?n ? N ? 。
?

河北武邑中学 2013—2014 学年高三年级上学期期中考试 数学试题(理科)答案
一.选择题:BDBAB 二.填空题:13.

DDCBA

BD
16 ; 3
15. ?10, ?? ? ; 16.

3 ?; 4

14. 2? ?

56 。 65

17.解: (1)p 真:1<x<3; q 真:2<x≤3, p ? q 为真时 2<x<3. (2)p 真: a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a , q 真: 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,

?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 ?p ? ?q ,且 ?q ? ?p , ?
?0 ? a ? 2, ∴? 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 (1, 2] . ?3a ? 3,

18.解: (1) 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C ,? 2a ? 2b ? 2bc ? 2c ,
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 1 2? ? cos A ? ? ? , A为?ABC内角, A ? ? 2bc 2 3
(2)解: AD ?

????

? ? 2 ??? 1 ???? 2 ??? 1 ???? 4 1 4 1 6 AB ? AC,?| AD |? ( AB ? AC)2 ? ?1 ? ? 4 ? ? ? 3 3 3 3 9 9 9 2 3

19.解: (1)当 n ? k ? N * 时, Sn ? ? 故 k ? 16 ,因此 k ? 4 ,
2

1 2 1 1 n ? kn 取最大值,即 8 ? Sk ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 2 2 2

9 7 9 ? n ? n ? 2 ? .又 a1 ? S1 ? ,符合该式,所以 an ? ? n . 2 2 2 9 ? 2an n (2)设 bn ? , 则bn ? n?1 , n 2 2 2 3 n ?1 n Tn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 , 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ?2 ? n ?1 ? 4 ? n ?2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2
从而 an ? Sn ? Sn?1 ? 20. 解: (1)当 0 ? x ? 10 时, P ? xf ( x) ? (10 ? 2.7 x ) ? 8.1x ? 当 x ? 10 时, P ? xf ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

x3 ? 10 30

1000 ? 2.7 x 3x

? x3 8.1x ? ? 10(0 ? x ? 10) ? ? 30 P?? ?98 ? 1000 ? 2.7 x( x ? 10) ? 3x ?
(2)①当 0 ? x ? 10 时,由 P? ? 8.1 ?

x2 ? 0 ,得 x ? 9 10

且当 x ? (0,9) 时, P? ? 0 ;当 x ? (9,10) 时, P? ? 0 ;

?当 x ? 9 时, P 取最大值,且 Pmax ? 8.1? 9 ?
②当 x ? 10 时, P ? 98 ? ( 当且仅当

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 30

1000 1000 ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3x 3x

1000 100 时, Pmax ? 38 ? 2.7 x ,即 x ? 3x 9 综合①、②知 x ? 9 时, P 取最大值.
所以当年产量为 9 千件时,该企业生产此产品获利最大. 21.解: (1)设 M(x,y) ,则 EM ? ( x ? 2, y ), FM ? ( x ? 2, y ) , ∴ EM ? FM ? ( x ? 2, y ) ? ( x ? 2, y ) ? x 2 ? 4 ? y 2 ? ?3 , 即 M 点轨迹(曲线 C)方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,即曲线 C 是 ? O. (2)连 OP, ∵ Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有: PQ ? OP ? OQ .
2 2 2

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
2 2

即: (a ? b ) ? 1 ? (a ? 2) ? (b ? 1) ,
2 2 2 2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 ,即 b ? ?2a ? 3 . 分) (6 ∴ PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 故当 a ?

5a 2 ? 12a ? 8 = 5(a ? ) 2 ?

6 5

4 , 5

6 2 2 时, PQ min ? 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5. 5 5 5

(另法)由点 P 在直线 l:2x+y-3=0 上. ∴ PQ min ? PA min ,即求点 A 到直线的距离.∴ PQ min ?

2? 2 ?1? 3 2 ?1
2 2

?

2 5 5

(8 分) (3)设 ? P 的半径为 R ,∵ ? P 与 ? O 有公共点, ? O 的半径为 1,

? R ? 1 ? OP ? R ? 1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .

而 OP ? 故当 a ?

6 9 a 2 ? b 2 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 5(a ? ) 2 ? , 5 5

6 3 时, OP min ? 5. 5 5 3 3 此时 b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 5 ?1 . 5 5
得半径取最小值时 ? P 的标准方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? (

6 5 x x 22. 解: (1)∵ f ( x) ? e ? a( x ? 1) ,∴ f ?( x) ? e ? a , x ∵ a ? 0 , f ?( x) ? e ? a =0 的解为 x ? ln a , ∴ f ( x)min ? f (ln a) ? a ? a(ln a ? 1) ? ?a ln a ,
(2)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2

3 5

3 5 ? 1) 2 . 5

∵ f ( x) ? 0 对一切 x∈R 恒成立,∴ ?a ln a ? 0 ,∴ a ln a ? 0 ,∴ amax ? 1 .

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1 ∴不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? mx ,则 F ( x) 在 ? ?, ?) ( ? 上单调递增, ∴ F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0 恒成立 ∴对任意的 a ? ?1 x ? R , m ? g ?( x) 恒成立 ,

g ?( x) ? e x ? a ?
故m?3

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1) 2 ? 1 ? 3 , x e e

i i ? ? i i 2n ? i n 2n (3)由(1)知 e ≥x+1,取 x= ? , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 1) ?e 2, ? e ,即 ( 2n 2n 2n

x

2 n ?1 2 n ?3 1 ? ? ? 1 3 2n ? 1 n e 2 (1 ? e ? n ) e ) ? e 2 ? e 2 ??? e 2 ? ? 累加得: ( )n ? ( )n ? ? ? ( ?1 2n 2n 2n e ?1 1? e

?

1

∴ 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n e ?1



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