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椭圆、双曲线专题---离心率


椭圆、双曲线离心率问题
1.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 此椭圆离心率的取值范围是 A. [

x2 y2 ? 2 ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上 PF1 ? PF2 ? c 2 , 2 a b
( C. [ )

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2
( )

2.椭圆 3x 2 ? ky2 ? 1 的一个焦点坐标为 (0, ) ,则其离心率等于 1

A. 2

B.

1 2

C.

2 3 3

D.

3 2

3.已知椭圆 C1 与双曲线 C 2 有共同的焦点 F1 (?2,0) , F2 ( 2,0) ,椭圆的一个短轴端点为

B ,直线 F1 B 与双曲线的一条渐近线平行,椭圆 C1 与双曲线 C 2 的离心率分别为 e1 , e2 ,
则 e1 ? e2 取值范围为( A. [2,??) 4. 已知双曲线 ) C. (4,??) D. (2,??)

B. [4,??)

2 y2 y2 x2 16 半径为 ? 1 的左焦点为圆心、 ? ? 1 的两条渐近线与以椭圆 x ? 2 25 9 9 5 a 的圆相切,则双曲线的离心率为( )

A. 5 4

B. 5

3

C.

4 3

D.

6 5
?

5. ?ABC 是等腰三角形, ?B = 120 ,则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 ( )

1? 2 2 A.

1? 3 2 B.

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3

6. 已知 F1,F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, P 在椭圆上, ?F1 PF2 ? 点 且 2 a b 2

记线段 PF1 与 y 轴的交点为 Q, 为坐标原点, O 若△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1: 2, 则该椭圆的离心率等于 ( )

1

A. 2 ? 3

B. 2 3 ? 3 C. 4 ? 2 3 D. 3 ? 1

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 7.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆 a 的右焦点 F ,
2

且两条曲线的交点连线也过焦点 F ,则椭圆的离心率为

(



A. 2 ? 1

B. 2( 2 ? 1)

5 ?1 C. 2

2 D. 2

x2 y 2 8.设 O 为坐标原点, F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点,若在椭圆上存 a b
在点 P 满足 ?F1 PF2 ?

?
3

,且 | OP |?

3 a ,则该椭圆的离心率为( 2
C、



A、

1 2

B、

1 4

3 ?1 2

D、

2 2

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 ? b 9. 椭圆 a 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过焦点 F1 的倾斜角为 30 直线交椭

圆于 A,B 两点,弦长 ( )

AB ? 8

,若三角形 ABF2 的内切圆的面积为 ? ,则椭圆的离心率为

2 A. 2
10.与椭圆

3 B. 6

1 C. 2

3 D. 3
( )

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 4 x2 ? y2 ? 1 2

A.

x2 ? y2 ? 1 4

B.

C.

x2 y2 ? ?1 3 3

D. x 2 ?

y2 ?1 2

x2
2 11.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 a

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0)

的焦点与顶点,若双曲 )

线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为(

2

1 A. 3

1 B. 2

3 3 C.

2 2 D.

12.已知椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1 ,以抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点为椭圆的一个焦点,且短轴 2 a b

一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形,则椭圆 C 的离心率为 A.

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D.

3 4

y2 y2 x2 x2 2 2 2 2 13.已知椭圆 2a + 2b =1(a>b>0)与双曲线 a - b =1 有相同的焦点,则椭圆

的离心率为
2 A. 2
1

B. 2

6 C. 6

6 D. 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 14.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 a 的一个焦点和一个顶点,则该椭
圆的离心率为

2 5 A. 5

1 B. 2

5 C. 5

2 D. 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 15.已知 F 为双曲线 C : a 的右焦点, P 为双曲线 C 右支上一点,

a2 ??? ???? ???? ? ? x?? x 轴上方, M 为直线 c 上一点, O 为坐标原点,已知 OP ? OF ? OM , 且位于 ???? ? ??? ? OM ? OF
且 ,则双曲线 C 的离心率为

(A) 2

1? 5 2 (B)

(C) 2

(D) 4

16.椭圆的长轴为 A1A2,B 为短轴的一个端点,若∠A1BA2=120°,则椭圆的离心率为

6 A. 3

1 B. 2

3 C. 3

3 D. 2

3

x2 y 2 17.设双曲线以椭圆 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲 25 9
线的离心率为( A.2 B. )

5 3 C. 2 2

D.

6 2

18.设 A1、A2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 a2 b2

的点 P ,使得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 A、 (0, )

1 2

B、 (0,

2 ) 2

C、 ( , 1)

1 2

D、 (

2 , 1) 2

19.已知焦点在 x 轴上、中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 4 ,若该椭圆的 离心率 A.
3 ,则椭圆的方程是( 2

) C.
x2 y2 ? ?1 4 3

x2 ? y2 ? 1 4

B. x2 ?

y2 ?1 4

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y 2 20.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 300 的 a b
直线与椭圆的一个交点 P,且 PF2 ? x 轴,则此椭圆的离心率 e 为

A.

3 3

B.

3 2

C.

2 2

D.

2 3

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 21 . 已 知 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 为 椭 圆 a 的两个焦点,P 为椭圆上一点且
PF1 ? PF2 ? c 2 ,则此椭圆离心率的取值范围是
3 ,1) A. 3 [
1 1 [ , ] B. 3 2
( )

3 2 , ] C. 3 2 [

D.

(0,

2 ] 2

4

C:
22.过椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 的左焦点作直线 l ? x 轴,交椭圆 C 于 A,B 两点,若△OAB


(O 为坐标原点)是直角三角形,则椭圆 C 的离心率 e 为(

3 ?1 A. 2
23.过椭圆

3 ?1 B. 2

5 ?1 C. 2

5 ?1 D. 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 、Q 两点, F2 为 a 2 b2


右焦点,若 ?PQF2 为等边三角形,则椭圆的离心率为(

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

24.已知以椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 为圆心, a 为半径的圆与直线 a2 b2

l:x?


a2 ( 其中 c ? a 2 ? b 2 ) 交 于不 同的 两点 ,则 该椭 圆的 离心率的 取值 范围 是 c


(
A.

5 ?1 ,1) 2

(
B.

3 ?1 ,1) 2

(0,
C.

3 ?1 ) 2

(0,
D.

5 ?1 ) 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 F ,F2 b 25.设 1 分别是椭圆 a ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线上纵坐
| F F |?| F2 P | 标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 1 2 , 则椭圆的离心 率是(
3 ?1 A. 2
26.已知 A、B 是椭圆 )

1 B. 2

5 ?1 C. 2

2 D. 2

x2 y 2 ? ? 1(a? b? 0) 长轴的两个端点,M,N 是椭圆上关于 x 轴对称 a 2 b2

k +k 的两点,直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k 2 ? 0若? 1 ? ? 2 ?的最小值为 1,则椭圆
的离心率( )

5

A.

1 2

B.

2 3 2 C. D. 2 2 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 27.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 a 的一个焦点和一个顶点,则该椭
圆的离心率为. ( )

2 5 A. 5

1 B. 2

5 C. 5

2 D. 3

x2 y 2 28. 直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点, 则该椭 a b
圆的离心率为. A.

2 5 5

B.

1 2

C.

5 5

D.

2 3

1 29.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 3 ,则椭圆
方程

x2 y2 x2 y2 A. 144 + 128 =1 B. 36 + 20 =1
30.已知 ? ? (0, 值范围是() A. (0,

x2 y2 C. 32 + 36 =1

x2 y2 D. 36 + 32 =1

?
2

) ,方程 x 2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 ? 的取

?
4

)

B. (0,

?
4

]

C. [

? ?

, ] 4 2

D. (

? ?

, ) 4 2

31.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的右焦点为 F(2,0),设 A,B 为双曲线上关于原 a 2 b2

点对称的两点,AF 的中点为 M,BF 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上, 直线 AB 的斜率为

3 7 ,则双曲线的离心率为( 7
C.2 D.4



A. 3

B. 5

6

a2 x2 y2 32.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F,直线 x ? 与其渐近线交于 A,B c a b
两点,且△ ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( A. ( 3,? ? ) B. (1, 3 ) C. ( 2,? ? ) ) D. (1, 2 )

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 33.已知 A、B、P 是双曲线 a 上的不同三点,且 A、B 连线经过坐标原点,

若直线 PA、PB 的斜率乘积

k PA ? k PB ?

2 3 ,则该双曲线的离心率 e =( )
15 D. 3

5 A. 2

6 B. 2

C. 2

2 34.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与

该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心 率为( A. 2 35.双曲线 ) B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A,B 两点, a 2 b2

若双曲线右顶点在以 AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围为 A. (2,+∞) B. (1,2) C. (

3 ,+∞) 2

D. (1,

3 ) 2

36. 已知双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3 x,它的一个焦点在抛物 a 2 b2
)

线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( A.

x 2 y2 ? ?1 36 108 x 2 y2 ? ?1 108 36

B.

x 2 y2 ? ?1 9 27 x 2 y2 ? ?1 27 9

C.

D.

7

x2 y 2 y 2 x2 37. 已知双曲线 M: 2 ? 2 ? 1 和双曲线: 2 ? 2 ? 1 ,其中 b>a>0,且双曲线 M a b a b
与 N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的离心率为( A、 )

? ?? ?

B、

? ?? ?

C、

? ?? ?

D、

?? ? ?

38.已知双曲线 ( )

x2 y2 6 ,则双曲线的渐近线方程为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

A. y ? ? 2 x

B. y ? ? 2 x

C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2


2 2 39.二次曲线 x ? y ? 1 ,当 m?[?2, ?1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是(

4

m

A. [ 2 , 3 ]
2 2

B. [ 3 , 5 ]
2 2

C. [ 5 , 6 ]
2 2

D. [ 3 , 6 ]
2 2

2 2 40.已知双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,过作垂直于 x 轴的直线, 2 2

a

b

与双曲线的一个交点为 P,且 ?PF1F2 ? 300 ,则双曲线的离心率为( A.2



B. 2 C.3 D. 3 41.以双曲线两焦点为直径的端点的圆交双曲线于四个不同点,顺次连接这四个点和两 个焦点,恰好围成一个正六边形,那么这个双曲线的离心率等于 A. 3 ? 1 42.双曲线 B. 3 ? 1

C. 3

3 ?1 D. 2

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,则双曲线离心率为 2 a b

(A) 2 (B) 3 (C) 2

8

(D) 3

x 2 y2 43.设 F1, F2 分别为双曲线 2 - 2 = (a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上 1 a b
任一点。若

|PF1 2 | 的最小值 为 8a,则该双曲线的离心率的取值范围是 |PF2 |
B. (1,3) C. (1,3] D.[ 3 ,3)

A. (1, 3 ]

x 2 y2 - 2 =1 2 b 44.已知双曲线 a 的两焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,∠F1PF2 的平分线分
线段 F1F2 的比为 5 :1,则双曲线离心率的取值范围是

3 A. (1, 2 ]

3 B. (1, 2 )

5 C. (2, 2 ]

3 D. 2 ,2] (

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 45.已知双曲线 a 的左右焦点分别 为 F1、F2,P 是准线上一点,
且 PF1 ? PF2 =0, A.

PF1

?

PF2

=4ab,则双曲线的离心率是 D. 3

2

B.

3

C. 2

46.已知双曲线 为 A.

x2 y 2 x2 y 2 2 ,则椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率 ? 2 ? 1(a ? b, b ? 0) 的离心率为 a2 b a b 2

1 2

B.

2 3 3 C. D. 2 3 2

x2 y 2 x y 47.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,且它的两焦点到直线 ? ? 1 的 a b a b
距离之和为 2,则该比曲线方程是 A.

x2 ? y2 ? 1 2

B. x ?
2

y2 ?1 2

C. 2 x ? y ? 1
2 2

D. x ? 2 y ? 1
2 2

9

x2 y 2 48.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程是 a b
y?? 3 x ,若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线的离心率为 3
(B)

(A)

3 2

2 3
2

(C)

7 4

(D)

5 5


49. 若抛物线 y =ax 上恒有关于直线 x+y-1=0 对称的两点 A, 则 a 的取值范围是 B, ( A. ? ? ,0 ?

? 4 ? 3

? ?

B. ? 0, ?

? ? ? ?

3? 4? 4? 3?
?4 ?3 ? ?

C. ? 0, ? D. ? ??,? ? ? ,+? ? 0

10

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

50 . 已 知 双 曲 线 为 .

x2 y2 ? ? 1 的 渐 近 线 方 程 是 y ? ?2 x , 那 么 此 双 曲 线 的 离 心 率 a2 b2

51.已知双曲线 的取值范围是

x2 y2 ? 2 =1(a>0,b>0)的半焦距为 c,若 b2-4ac<0,则它的离心率 2 a b
.
2

52.已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,准线与 y 轴的交点为 M , N 为抛物线上的一点, 且满足 NF ? ? MN ,则 ? 的取值范围是
2

____



53.过点 M (2,?2 p) 作抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,若 线段 AB 中点的纵坐标为 6,则抛物线的方程为 .

54.当 a 为任何值时,直线 (a ? 1) x ? y ? 2a ? 1 ? 0 恒过定点 P,则过 P 点的抛物线的标 准方程为 55.若抛物线 y ? ax ? a ? 0 ? 的焦点与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点相同,则该抛物线 7 2

的方程为______________. 56.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的 直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物
BC 线准线的交点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 AF = FB , BA · =48,则抛
2

????

??? ?

??? ??? ? ?

物线的方程为______________。

11

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

12

参考答案 1.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 椭 圆 的 定 义 得 : |PF | ? | PF2 |? 2a , 平 方 得 : 1 ① | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2|PF1||PF2 |? 4a 2. 又 ∵ PF1 ? PF2 ? c , ∴ | P F ? | P2F | c ?s 1 F 2 ? 2 ,c ② o PF 1 |
2

由余弦定理得:

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | cos?F1PF2 ?| F1F2 |2 ? 4c 2 , ③
由 ① ② ③ 得 : cos?F PF2 ? 1

c2 2 ? 1, 2c ? a, e ? , 2 2 2 2a ? 3c
3 , 3

| PF1 | ? | PF2 |? (

PF1 ? PF2 2

) 2=a 2 ,∴ 2a 2 ? 3c2 ? a 2 , a 2 ? 3c2 , e ?
3 2 , ] , 故 选 C. 3 2

则此椭圆离心率的取值范围是 [

考点:椭圆的标准方程,余弦定理的应用. 2. D 【解析】
2 2 试题分析: 3x 2 ? ky2 ? 1 即 x ? y ? 1 ,其表示一个焦点坐标为 (0, ) 的椭 1 1 1 3 k 圆,







a2 ?

1 , k

1 ? b2 ? , ? 3

1 c2 ? ? a2 ? ? k 3

b2 1

1

, 4

b2 1 3 e ? 1? 2 ? 1? ? ,故 选 D . a 4 2
考点:椭圆的标准方程、几何性质. 3.D 【解析】

1

试题分析:不妨设椭圆的半长轴、半短轴长分别为 a, b ,其一个短轴端点 为 B(0, b) ,双曲线实轴、虚轴长分别为 a1 , b1 ,因为,直线 F1 B 与双曲线 的一条渐近线平行,所以,

b b1 ? ,由椭圆、双曲线离心率的定义得, 2 a1
b1 2 b2 ) ? 1? , a1 4

e1 ?

c 4 ? b2

?

1 1? b2 4

, e2 ? 1 ? (

所以, e1 ? e2 ?

1 1? b2 4

? 1?

b2 4

?2

1 1? b2 4

? 1?

b2 ? 2 ,但“=”成 4

b2 ? 1 ? , b ? 0 ,故 e1 ? e2 取值范围为 (2,??) .选 D . 立时, 4 b2 1? 4 1
考点:椭圆、双曲线的几何性质,均值定理的应用. 4.A 【解析】 试题分析:双曲线的渐近线方程为 ax±3y=0,椭圆的左焦点为 F(-4,0) , 因 为渐近 线 ax+3y=0 与圆 相切, 所以

?4 a ? 0 a ?9
2

?

16 , 解得 a=4 ,而 5

c =a +b =25,即 c=5,所以 e=

2

2

2

c 5 = ,故选 A. a 4

考点:1.双曲线和椭圆的性质;2.圆的切线及点到直线的距离. 5.B 由题意知设焦距为 2c,则|AB|=2c,|BC|=2c,则|AC|=2|AB|cos30° = 2 3c , 所 以 由 双 曲 线 的 定 义 知

2a ?| AC | ? | BC |? 2( 3 ? 1)c ,? e ?
【解析】
2

c 1 3 ?1 ,故选 B. ? ? a 2 3 ?1

考点:双曲线的简单性质. 分析:根据题设条件可知 2c=|BC|,所以|AC|=2?2c?sin60 =2 双曲线的定义能够求出 2a,从而导出双曲线的离心率. 解:由题意 2c=|BC|,所以|AC|=2?2c?sin60 =2 3 c,由双曲线的定义, 有 2a=|AC|-|BC|=2 3 c-2c?a=( 3 -1)c, ∴? e ? 故选 B. 6.D
0 0

3 c,由

c 1 3 ?1 ? ? a 2 3 ?1

? x2 ? y 2 ? c2 ? 2 2 2 【解析】由题意知点 P 在圆 x ? y ? c 上,由 ? x 2 y 2 消 y 得 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

xP 2 ?

2c 2 a 2 ? a 4 , c2

又 因 为 △ F1OQ 与 四 边 形 OF2PQ 的 面 积 之 比 为 1: 2 , 可 得

??? ? | F1O || OQ | 1 | OQ | 2 ???? c2 ? ,? ? ,? F1Q ? 2QP,? x p 2 ? | F1 F2 || y p | 3 | yP | 3 4

,

2c 2 a 2 ? a 4 c 2 ? ,? e4 ? 8e2 ? 4 ? 0,? e2 ? 4 ? 2 3, e2 ? 4 ? 2 3(舍) , c2 4
e ? 3 ? 1 ,选 D。
7.A 【解析】由条件知:

c 2 4c 2 p 所以点 (c, 2c) 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1, 即 ? c, a b 2

c2 4c 2 4e2 ? 2 2 ? 1 ;所以 e2 ? ? 1 ,化简得 e4 ? 6e2 ? 1 ? 0(0 ? e ? 1), 2 2 a a ?c 1? e

3

解得 e2 ? 3 ? 2 2,? e ?

2 ? 1.

故选 A 8.A 【解析】分析:要求椭圆的离心率,即要求 a,c 的关系,首先由定义和余 弦定理得到一个关系,再由中线长公式得到一个关系,联立可得. 解:设|PF1|=x,|PF2|=y,则 x+y=2a;① 由余弦定理 cos∠F1PF2=
2

PF12 +PF22 ? F1 F2 2PF1 ? PF2

2

1 x +y 2 -4c 2 ? = ; 2xy 2
∴x +y -xy=4c ;② ∵中线长公式 OP = 故 OP =
2 2 2 2

? ? ??? 1 ??? ??? ? ( PF1 + PF2 ) 2

1 2 2 (PF1 +PF2 +2 PF ? PF2) 1 4

3a 2 1 2 2 2 2 2 ? = (x +y +2xycos∠F1PF2)?x +y =3a -xy;③ 4 4
∴①②③联立代换掉 x,y 得:a =4c ; ∴
2 2

c 1 = . a 2

故选:A. 点评:本题主要考查椭圆的定义,余弦定理及中线长公式,体现了在解题 中要灵活运用转化知识. 9.C 【 解 析 】 F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0), (c ?

a 2 ?); 直 线 AB 方 程 为

y?

3 ( x ? 即, )c 3

? x

3 ? y

点 0 2; 到 直 线 AB 的 距 离 为 c F ?

d?

|c?0?c| 12 ? (? 3) 2

? c; ?ABF2 的内切圆半径为 1,;?ABF2 的周长为 4a;

4

所以 ?ABF2 的面积为

1 1 c 1 ? 4a ?1 ? ? 8 ? c,? a ? 2c, 则 e ? ? . 故选 C 2 2 a 2

10.B 【解析】本题考查椭圆的标准方程,几何性质;双曲线的标准方程和几何 性质. 椭圆

x2 则根据条件是双曲线方程为 ? y 2 ? 1 的焦点为 (? 3, 0), ( 3, 0); 4

P(2,1)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ;则根据双曲线的焦点为 (? 3, 0), ( 3, 0); 且过 a 2 b2
点得:

? a 2 ? b2 ? 3 ? ?4 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b





? a 2 ? b2 ? 3 ? 2 2 2 2 ? 4b ? a ? a b







b2





4 ( a2 ? 3

? a 2)

? a2

( ? , a3
2

)
解 得

a 2 ? 8a ? 12 ? 0



a 2 ? 2, 或a 2 ? 6; a 2 ? 2 ? b2 ? 1, a 2 ? 6 ? b2 ? ?3 舍去;
则双曲线方程为

x2 ? y 2 ? 1. 故选 B 2

11.D 【解析】本题考查椭圆、双曲线的标准方程,几何性质,平面几何知识及 基本运算. 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 顶 点 为 (?a , 0 )? , ( 0 点) 为 b 焦 ; a 2 b2

(?c, 0)(c ? a 2 ? b 2 ); 因 为 双 曲 线 的 顶 点 与 焦 点 分 别 是 椭

5

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 圆 的 焦 点 与 顶 点 , 所 以 双 曲 线 的 方 程 为 a 2 b2 x2 y 2 b ? 2 ? 1; 于是渐近线方程为 y ? ? x; 若双曲线的两条渐近线与椭圆 2 c b c
的交点构成的四边形恰为正方形,根据椭圆、双曲线的对称性知,双曲线 的 渐 近 线 垂 直 , 所 以 渐 近 线 y?

b x 的 倾 斜 角 为 450 , 则 c

c 2 b . 故选 D ? 1,即b ? c,? a ? b 2 ? c 2 ? 2c; 则椭圆的离心率为 ? a 2 c
12.B 【解析】略 13.D 【解析】本题考查椭圆和双曲线的性质
2 2 y2 y2 设 椭 圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 与 双 曲 线 x 2 ? 2 ? 1 的 公 共 焦 点 为

2a

2b

a

b

F ? ?c,0 ? , F2 ? c,0 ? . 1
2 2 y2 y2 对于椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 有 c2 ? 2a2 ? 2b2 ;对于双曲线 x2 ? 2 ? 1

2a

2b

a

b

有 c2 ? a2 ? b2 于是有 2a2 ? 2b2 ? a2 ? b2 ,所以有 a2 ? 3b2
2 2 y2 在 椭 圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 中 有 a2 ? b2? c2, 则 a2 ? a ? c2 , 即 3 2a 2b

2a2 ? c2 ,所以 c2 ? 2 3 a2 3

所以 e ? c ? 2 ? 6 a 3 3 即椭圆的离记率为 e ? 6 3 故正确答案为 D 14.A 【解析】
6

考点:椭圆的简单性质. 分析:直线 x-2y+2=0 与坐标轴的交点为(-2,0),(0,1),依题意得 c=2,b=1?a=

5 ?e=

2 5 . 5

解答:直线 x-2y+2=0 与坐标轴的交点为(-2,0),(0,1),

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 直线 x-2y+2=0 经过椭圆 a 的一个焦点和一个顶点;
故 c=2,b=1?a= 5 ?e= 故选 A. 15.A 【解析】 考点:双曲线的简单性质. 分析:先确定 M 的坐标,再确定 P 的坐标,代入双曲线方程,即可求得结 论. 解:由题意,M 位于 x 轴上方 ∵| OF |=| OM |,M 为直线 x=-

2 5 . 5

??? ?

???? ?

a2 上一点 c

∴M(-

a2 b , c c

c2 ? a2 )

??? ???? ???? ? ? OP ? OF ? OM ∵
∴四边形 OMPF 为菱形

a2 b ∴P(c, c c

b2 b c ? a ),即 P( , c c
2 2

c2 ? a2 )

b4 b 2 ( c ? a 2 )2 2 代入双曲线方程可得 c 2 - c =1 a b2
化简可得 c =4a ∴c=2a,
2 2

7

∴e=

a =2 c

故选 A. 16.A 【解析】略 17.B 【解析】略 18.D 【解析】略 19.A 【解析】略 20.A 【解析】略 21.C 【解析】略 22.C 2 【解析】首先求出 A、B 两点坐标,进而求出/AB/、/AO/、/BO/的长,再根 0 2 2 2 2 2 2 2 据△OAB 是直角三角形得出/AB/ =/AO/ +/BO/ 即 b =ac,然后由 b =a -c , 0 求出离心率. 8 解:由题意知 A(-c,

b2 b2 ) B(-c,) a a

∴/AB/=2

b2 2 b2 2 AO=BO= c ? ( ) a a

0 8 1 9

∵△OAB 是直角三角形 2 2 2 ∴/AB/ =/AO/ +/BO/
4 4b 4 2 2b 即 2 =2c + 2 a a

整理得 b =ac 2 2 2 ∵b =a -c 2 ∴e +e-1=0 又∵e>0

2

8

∴e=

5 ?1 2

故选 C. 23.B 【解析】本题考查椭圆的标准方程,几何性质,等边三角形的性质. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 (c, 0)(c ? a 2 ? b 2 ) 代入椭圆得 a 2 b2

c2 y2 a2 ? c2 2(a 2 ? c 2 ) , 则 | PQ |? ? ? 1 , 解 得 | y |? ; 又因为 a 2 b2 a a
| F1 F2 |? 2c 是正三角形 PQF2 的高,所以 2c ? 3c 2 ? 2ac ? 3a 2 ? 0 ,即 3e2 ? 2e ? 3 ? 0,
( 3e ? 1)(e ? 3) ? 0, 0 ? e ? 1, 所以 3e ? 1 ? 0, 即e ?

3 2(a 2 ? c 2 ) ,整理得 ? 2 a

3 . 故选 B 3

24.A 【解析】本题考查椭圆的离心率,直线与圆的位置关系,不等式. 椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为

a2 ? c; 若以椭圆右焦点 F 为圆心, 为半 a c

径的圆与直线 l : x ?

a2 2 2 (其中 c ? a ?b )交于不同的两点,则 c

a2 ? c ? a ,整理的 c2 ? ac ? a 2 ? 0 ,即 e2 ? e ? 1 ? 0 ( e 为椭圆离心率) c
0 ? e ? 1, 解得

5 ?1 ? e ? 1. 故选 A 2

25.D 【解析】求离心率就寻找 a,c 的关系,借助与|F1F2|=|F2P|,Rt△PMF2 建 立等量关系求出离心率.
9

解答:解:由

已知 P(

a2 ,3c ), c
a2 c 2 ? c) 2 ? ( 3c) 2 化简得 a2-2c2=0?e= ? , c a 2

所以 2c= ( 故选 D. 26.C 【解析】

10

解:设M(x 0,y 0),N(x 0, y 0),A( ? a, ? 0),B(a, 0) k1 ? y0 y0 ,k 2 ? x0 ? a a ? x0

2 y0 y0 y0 y0 y0 k1 ? k 2 ?| ?| ?2 | ? |?2 2 ?1 2 x0 ? a a ? x0 x0 ? a a ? x0 a ? x0

当且仅当 2

y0 y0 ? ,即x 0 ? 0,y 0 ? b时等号成立 x0 ? a a ? x0

2 y0 ? 2b/a ? 1? a ? 2b 2 a2 ? x0

又因为a 2 ? b 2 ? c 2 ? c ? 3a/2 ? e ? c/a ? 3/2 故选C.
27.A 【解析】直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与坐标轴的交点为(-2,0)(0,1) , ,依题 意得

c ? 2, b ? 1 ? a ? 5 ? e ?

2 5 5 ,选 A

28.A 【解析】本题考查椭圆的标准方程、数形结合思想。 由于直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与坐标轴的交点为 (?2,0) 、 (0,1) ,由题意,椭圆 的 焦 点 在 x 轴 上 , 故 c ? 2, b ? 1 ? a ? 5 , 从 而 该 椭 圆 的 离 心 率

e?

c 2 5 ,选 A。 ? 5 a

29.D 【解析】略 30.D 【解析】略 31.C 【解析】
11

试 题 分 析 : 由 已 知 直 线 AB 的 方 程 为 y ?
? 3 7? ? ? x 3 7 3 ?7 A? x , x ? B ? ?x ? , x ? 则 ,M ?1 ? , ? ? ,? ? ? 2 14 7 ? ? 7 ? ? ? ? x 3 7 N ?1 ? , ? ? 2 14 ? ? x? , ? ?

3 7 x , 令 7

? x ? , ? 原 点 O 在 以 线 段 MN 为 直 径 的 圆 上 , ? ?

???? ???? ? x2 9? 7 2 7 ? OM ? ON ? 1 ? ? x ? 0 ,? x ? ? , 4 14 ?14 2
? 7 3? 7 9 把 A 点坐标代入双曲线方程得 2 ? 2 ? 1 , 又 a 2 ? b2 ? 4 , ? A? ? 2 , 2?, ? 4a 4b ? ?

解得 a 2 ? 1 , ? e ?

c ?2. a

考点:双曲线的几何性质(离心率的求法) . 32.D. 【解析】

a2 试题分析:由题意设直线 x ? 与 x 轴的交点为 D,因三角形 ABF 为钝角 c
三 角 形 , 且 ?BFD 与 ?AFD 相 等 , 则 ?AFD ?

?
4

, 又 因

DF ? c ?

a 2 b2 b ? ,双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,可得 A、B 两点 c c a
分 别 为





(

a 2 ab , ) c c



(

a 2 ab ,? ) c c







ab a tan ?AFD ? ? c2 ? ? 1 ,即 b ? a , b DF b c AD
则e ?

c a 2 ? b2 2a 2 ? ? ? 2 ,即 e ? (1, 2) . a a a

考点:双曲线的性质.
12

33.D 【解析】 试题分析: A, B 连线经过原点,在双曲线上,所以 A 和 B 关于原点对称, 设

A ? x1 , y1 ? , B(? x1 , ? y1 )



P x 0 , y0

?

?

,



K PA ?

y0 ? y1 y ? y1 2 y ? y y ? y1 2 , K PB ? 0 , K PA ? K PB ? , 0 1 ? 0 ? 。又 x0 ? x1 x0 ? x1 3 x0 ? x1 x0 ? x1 3

2 2 x0 y0 x12 y12 因为 A, P 在双曲线上,分别代入双曲线方程 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 1 ,两 a b a b

式做差可得到

y0 ? y1 y0 ? y1 b 2 b2 2 ? ? 2 ,故得到 2 ? , 又c2 ? b 2 ? a 2 ,整 x0 ? x1 x0 ? x1 a a 3
15 . 3

理可得到离心率 e ?

考点:1、双曲线的性质;2、及设而不求法解决圆锥曲线问题. 34.B 【解析】 试题分析:? 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 (1, 0) ,? | F1 F2 |? 2 ,又? △
2

AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,? | AF2 |?| F1 F2 |? 2 ,不妨设 A 点
横坐标为 x0 ,由抛物线定义可知, | AF2 |? x0 ? 1 ? 2 ,从而有 x0 ? 1 ,

| 所以 AF2 ? F1 F2 , 由此可知△ AF1 F2 为等腰直角三角形, AF1 |? 2 2 . 由
双曲线定义可知: 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 2 2 ? 2 ,又 2c ?| F1 F2 |? 2 ,所 以e ?

c 2c 2 ? ? ? 2 ? 1 ,故选 B. a 2a 2 2 ? 2

考点:抛物线定义、双曲线定义及性质. 35.A 【解析】
13

试题分析:如图,令 B(?c, t ) ,由于双曲线右顶点在以 AB 为直径的圆内, 而右顶点到左焦点的距离为 a ? c ,则 t ? a ? c 。由于点 B 在双曲线上, 故

c2 t 2 b2c 2 b2c 2 ? 2 ? 1 ,化为 t 2 ? 2 ? b2 ,所以 2 ? b 2 ? (a ? c)2 ,又因为 a2 b a a ( c 2 ? a 2 )c 2 c ? (c 2 ? a 2 ) ? (a ? c) 2 ,解得 e ? ? 2 。 2 a a

b2 ? c 2 ? a 2 ,所以
故选 A。

B

F1

A

考点:双曲线的性质 点评:解决双曲线的问题,有时要用到双曲线的特点:双曲线上的点到两 焦点的距离之差的绝对值是为2a. 36.B 【解析】 试题分析:由渐近线是 y= 3 x 得

b ? 3 ,抛物线 y2=24x 的准线为 a

x ? ?6 ,? a 2 ? b2 ? 36
? a 2 ? 9, b2 ? 27 ,方程为
x 2 y2 ? ?1 9 27

考点:双曲线标准方程及性质 点评:双曲线抛物线几何性质的综合考查 37.A
14

【解析】 ∵双曲线 M 方程为: 解:

x2 y 2 y 2 x2 双曲线 N 方程为: 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1, a2 b a b

其中 b>a>0, 2 2 2 ∴两个双曲线的焦距相等,设为个焦距为 2c,其中 c 满足:c = a +b ∵双 曲线 M 与 N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点, ∴交点坐标为: (c,c) ,代入双曲线 M(或双曲线 N)的方程,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c /a -c /b =1,结合 b =c -a 得:c / a -c /c -a =1, 2 2 2 2 2 2 2 2 去分母,得 c (c -a )-a c =a (c -a ) , 整理, c -3a c +a =0, 得 所以 e -3e +1=0, 解之得 e =
2 4 2 4 4 4 2 2

? ?? = ( ?

? ?? ) ?

(另一值小于 1 舍去)

∴双曲线 M 的离心率 e= 38.C 【解析】解:因为双曲线

? ?? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 a2 b2

6 b b 1 ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? a 2 ? 2b 2 2 a a 2 ?y ?? 2 x 2

就是所求的双曲线方程。 39.C. 【解析】由题设条件得,此曲线为双曲线, a ? 2, b ? ?m ? c ? 4 ? m ∴e ? c ? 4?m
a 2

由 m?[?2, ?1] 得 e ? [ 5 , 6 ] . 故选 C.
2 2

40.D 【解析】由已知易得 P(c, c ? a )
2 2

a

c2 ? a2 2 2 , 3 ? tan 300 ? a ? c ? a ? e ? c ? 3 3 2c 2ac a

41.A
15

【解析】略 42.C 【解析】本题考查双曲线的渐近线及离心率 双曲线

x2 y 2 即a b ? ? 1 的渐近线为 y ? ? b x , y x? a a 2 b2

圆 ? 0 ; x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

的圆心为 ? 0, 2 ? ,半径为 r ? 1 .

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,则圆心 ? 0, 2 ? 到渐 a b
近线的距离 d 等于半径 1 ; 由点到直线的距离公式有 d ?
| 2a | a ?b
2 2

? 1 ,即 b2 ? 3a2 ;

又 a2 ? b2 ? c2 ,则 4a2 ? c2 ,所以 c ? 4 ? e2 ,所以 e ? 2 a2 故正确答案为 C

2

43.C 【解析】略 44.A 【解析】略 45.B 【解析】 考点:双曲线的简单性质. 分析:设右准线与 x 轴的交点为 A,根据 PF1⊥PF2,利用射影定理可得 |PA| =|AF1|?|AF2|,利用 P 到 x 轴的距离为 双曲线的离心率. 解:∵P 是右准线上一点,P 到 x 轴的距离为
2

2ab 可建立方程,从而求出 c 2ab c

∴可设 P(

a 2 2ab , ) c c

设右准线与 x 轴的交点为 A, ∵PF1⊥PF2,
16

∴|PA| =|AF1|?|AF2| ∴(

2

a2 a2 2ab 2 ) =(c+ )(c) c c c
2 2 2 2 2 2

∴4a b =(c -a )(c +a ) 2 2 2 ∴4a =c +a 2 2 ∴3a =c ∴e=

c = 3 a

故选 B. 46.C 【解析】略 47.C 【解析】略 48.B 【解析】略 49.C 【解析】 试题分析:设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 因为点 A 和 B 在抛物线上,所以有 y12 =a x1 ①

y2 2 =a x2 ②
①-②得, y12 ? y2 2 =a( x1 ? x2 ). 整理得

y1 ? y2 a , = x1 ? x2 y1 ? y2
a =1. y1 ? y2

因为 A,B 关于直线 x+y-1=0 对称,所以 k AB =1,即

所以 y1 + y2 =a. 设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 y0=

y1 ? y2 a = . 2 2

17

又 M 在直线 x+y-1=0 上,所以 x0=1?y0=1? 则 M(1?

a . 2

a a , ) . 2 2

因为 M 在抛物线内部,所以 y0 2 ? ax 0 <0.



a2 a 4 ? a(1 ? ) <0,解得 0<a< .故选 C. 4 2 3

考点:直线与抛物线的位置关系 点评:中档题, “点差法”是解决与弦中点有关问题的常用方法,解答的关 键是由 AB 中点在抛物线内部得到关于 a 的不等式. 50. 5 【解析】

b ?c? 试题分析:由题知, ? 2 ,所以 e ? ? ? ? a ?a?
考点:双曲线离心率. 51. (1,2+ 5 ) 【解析】 52. [

2

a 2 ? b2 ? 1? 4 ? 5 . a2

2 ,1] 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 知 F ?0,1?, M ?0,?1? , 设 N ?x0 , y 0 ? , 则

x0 ? 4 y 0 ? y 0 ? 0?
2


2 2


2

N

?? F
? 1?

得M

N

??

NF MN

?

x0 ? ? y 0 ? 1?
2 2

x0 ? ? y 0 ? 1?

?

4 y0 ? y0 ? 2 y0 ? 1 4 y0 ? y0 ? 2 y0 ? 1
2

4 y0 y0 ? 6 y0 ? 1
2

;显然当 y 0 ? 0 时, ? ? 1 ;当 y 0 ? 0 时, ? ? 1 ?

4 ,因为 1 y0 ? ?6 y0

18

y0 ?

4 2 1 ? ? ?1 , 即 ? ? ?1 , 综 上 可 知 ? 2 所 以 1? 2?6 2 y0

???

? 2 ? ,1? . ? 2 ?

考点:抛物线的定义、基本不等式,以及分类思想,考查学生的分析、计 算能力. 53. x ? 2 y或x ? 4 y
2 2

【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 线段 AB 的中点为 N (m, 6).

? x 2 ? 2 py ( p ? 0),? y ?

x2 x ,? y? ? k ? , 2p p

kMA ?

x1 x ,? lMA : y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ), 即xx1 ? py ? py1 ? 0. p p

同理切线 BM 的方程为: xx2 ? py ? py2 ? 0. 又点 M (2,?2 p) 为两条直线的交点,故有 ?
2

? 2 x1 ? 2 p 2 ? py1 ? 0 ? , 2 ? 2 x2 ? 2 p ? py2 ? 0 ?

从而切点弦 AB 方程为 2 x ? py ? 2 p ? 0.又 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在抛物 线上,则有

x12 ? 2 py1 , x2 2 ? 2 py2 ,















y1 ? y2 x1 ? x2 2 2m = ,? ? ,? m ? 2,? N (2, 6). x1 ? x2 2p p 2p
将 N 点 代 入 切 点 弦

AB







2 x ? py ? 2 p 2 ? 0,? 4 ? 6 p ? 2 p 2 ? 0,? p ? 1或2, 故所求的
抛物线方程为 x ? 2 y或x ? 4 y .
2 2

19

54. y 2 ? ? 【解析】略

9 4 x或x 2 ? y 2 3

55. y ? 12 x
2

【解析】略 56. y ? 12 x
2

【解析】略

20



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