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充分必要条件)



1.4 充分必要条件

复习引入
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的对错吗?

1.任何一个集合是它本身的子集。
2.在有理数集中方程x2-3=0有解。

3.空集是任何一个非空集合的真子集。
4.直线y=x+1和直线y=-x+1的交点组成的集合是(0,0)。 5.{锐角三角形}

是{斜三角形}一个真子集。 6.{等腰三角形}是{等边三角形}的一个子集。

以上句式均为陈述句。
而且1、3、5为对,2、4、6为错。

命题的概念
? 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达 的,可以判断一件事情的真假的语句叫做命题. ? 其中判断为正确的语句叫做真命题,判断为错误的 语句叫做假命题.

判断命题的两个基本条件: ①必须是一个陈述句; ②可以判断真假.

实例感知
(1)对顶角相等。 (2)5是自然数。 (3)中国人民是伟大的。 (4)煤炭是白色的。 (5)15>16. (6)明天下雨吗? (7)(a+b)2=a2+2ab+b2. (8)2x+1. 在这些语句中,是命题的有

(1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)、 (7) __________________ ,
其中真命题有

________________,

(1)、 (2)、 (3)、 (7)

(4)、 (5) 。 假命题有_________
(6)、 (8) 不是命题的有__________。

命题的表示
为了方便起见,我们常用小写字母p、q、r、 s,?表示命题,例如: p:对顶角相等。 q:15>16。 在逻辑上,一个命题是真命题,简称真(ture); 是假命题,简称假(false).

例题
下列语句哪些是命题,哪些不是。并判断其真假。 假命题 (1)213是5的倍数。 真命题 (2)213是3的倍数。 真命题 (3)6不是素数。 (4)2+4≠4。 真命题 不是命题 (5)7是素数吗? 真命题 (6)北京是中国的首都。

学中做
确定下列语句是否为命题,若是请判断其真假。 假命题 (1)1+3不大于3. 真命题 (2)(a+b)(a-b)=a2-b2 (3)集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中能被3整除的数有 哪些? 不是命题 不是命题 (4)请不要迟到。 真命题 (5)两点确定一条直线。

复习引入
a

R

N

问题:数a要怎样才能进入小圈N中呢?

显然,若数a要进入到小圈N中,它必须先经过大圈R。 也就是说“a为自然数”首先要满足条件“a为实数”。 反之,若数a已经在小圈N中,那么它肯定也在大圈R中。 所以,由“a为自然数”肯定可以推出结论“a为实数”。

共同探究
在刚才的问题中,为了方便讨论,我们不妨做如下规定: p:a为自然数。 q:a为实数。 请考查以下命题在句式上的共同点并判断它们的真假性: (1)、如果a为自然数,那么a为实数。 (2)、如果a为实数,那么a为自然数。
首先,我们发现两者的句式都是“如果p,那么q”的形式。这种 形式的命题通常需要我们的推理才判断其真假性。 通过推理,我们发现命题(1)是真的,命题(2)是假的。也就 是说由p可以推出q,但是由q推不出p。

定义
当一个命题是形如“如果p,那么q”的形式时,如果命 题p是真命题,通过推理,命题q也是真命题,则“如 果p,那么q”就是真命题。 这时,我们就说,由p可以推出q,记作p=>q。 而且,我们称p为q的充分条件,q为p的必要条件。
刚才的例子中,p:a为自然数,q:a为实数,有p=>q, 所以p是q的充分条件,q为p的必要条件。 如果p是真命题时,q不是真命题,则由p推不出q, 记作p≠>q。

实例感知
例1 命题“如果∠A、∠B互为对顶角,那么∠A=∠B”是真 命题。即是说∠A、∠B互为对顶角=> ∠A=∠B。这里, 我们就说“∠A、∠B互为对顶角”是“∠A=∠B”的充 分条件,“∠A=∠B”是“∠A、∠B互为对顶角”的必 要条件。

说明
如果p=>q,且q≠>p,则称p是q的充分不必要条件; 如果p≠>q,且q=>p,则称p是q的必要不充分条件; 如果p≠>q,且q≠>p,则称p是q的既不充分也不必要 条件。

那么,如果p=>q ,且q=>p,那么又该怎么定义呢?

实例感知
例2 设有命题p: -2x>4; q: x<-2. 我们通过解不等式,发现由p可以推出q,即p=>q, 所以p是q的充分条件。 反过来,q也可以推出p,即q=>p,所以也是q的必 要条件。 一般地,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我 们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件。 当p?q时,我们也称p和q是等价的.

思考
判定下列各题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件? (1)p: x=3; q: (x-2)(x-3)=0 (2)p: x<1; q: x<0 (3)p: b2-4ac≧0 (a≠0,a,b,c) ∈R);
q:实系数方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有实数根。

解:(1)因为p=>q,但q≠>p,所以p是q的充分不必要条件,q是p 的必要不充分条件。
(2)因为q=>p,但p≠>q,所以p是q的必要不充分条件,q是p的充 分不必要条件。 (3)因为p=>q,且q=>p,所以p是q的充要条件,q是p的充要条件。

学中做
1.判断下列说法是否正确,并说明理由。 错误 (1)“a是素数”是“a是奇数”的充分条件。 (2)“a能被4整除”是“a能被8整除的”必要条件。 正确 正确 (3)“四边形内接于圆”是“四边形的对角互补”的充要条件。 2.下列各题中,p是q的什么条件? 充分不必要条件 (1)p:自然数a能被4整除;p:a是偶数 (2)p:两个三角形的面积相等;q:两个三角形全等 必要不充分条件 (3)p:x<5;q:x<2 必要不充分条件 (4)p:四边形的四边相等;q:它是正方形 必要不充分条件 (5)p:A是B的子集;q:A?B 充要条件

课堂小结
本节课的重点内容是关于充分条件、必要条件及充 要条件的判断,请熟悉下表。
p与q之间关系 p=>q但q≠>p 判定结论 p是q的充分而不必要条件

p≠>q但q=>p
p≠>q且q ≠>p

p是q的必要而不充分条件
p是q的既不充分也不必要条件

p=>q且q=>p

p是q的充要条件

课后作业



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