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2010年习题精选矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明



矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
2010 年习题精选
一、填空题(共 15 小题,每小题 5 分,满分 75 分) 1、矩形的两条对角线的夹角为 60°,一条对角线与短边的和为 15 cm,则短边的边长为 5 cm. 考点:矩形的性质;等边三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:本题首先求证由两条对角线的夹角为 60°的角为等边三角形,易求出短边边

长. 解答:解:已知矩形的两条对角线的夹角为 60°,根据矩形的性质可求得由两条对角线的夹 角为 60°的三角形为等边三角形. 又因为一条对角线与短边的和为 15cm,所以短边的边长为 5cm. 故答案为 5. 点评:本题考查的是矩形的性质(对角线相等) ,难度一般. 2、如图,设矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别为 S1、S2,则二者的大小关系是:S1 = S2.

考点:矩形的性质。 分析:由于矩形 ABCD 的面积等于 2 个△ ABC 的面积,而△ ABC 的面积又等于矩形 AEFC 的 一半,所以可得两个矩形的面积关系. 解答:解:矩形 ABCD 的面积 S=2S△ ABC,而 S△ ABC= S 矩形 AEFC,即 S1=S2,故此题答案为=. 点评: 本题主要考查了矩形的性质及面积的计算, 能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的 计算问题. 3、 若矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 的两部分, 则矩形的周长为 22 或 20 cm. 考点:矩形的性质。 分析:本题需分两种情况解答. 即矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm,或者矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm. 当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时,矩形的周长为 2×(3+4)+2×4=22cm; 当矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm 时,矩形的周长为 2×(3+4)+2×3=20cm. 解答:解:分两种情况: 当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时,矩形的周长为 2×(3+4)+2×4=22cm; 当矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm 时,矩形的周长为 2×(3+4)+2×3=20cm. 点评:本题考查的是基本的矩形性质,考生需要注意的是分两种情况作答即可. 4、 要从一张长为 40cm, 宽为 20cm 的矩形纸片中, 剪出长为 18cm, 宽为 12cm 的矩形纸片, 最多能剪出 3 张. 考点:矩形的性质。 专题:操作型。

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分析:想要剪出最多,需要合理的选择剪纸的位置,画出图形然后求解. 解答:解:

如图所示矩形,长为 40cm,宽为 20cm,则知面积为 800cm 2 剪出的矩形长为 18cm,宽为 12cm,则知面积为 216cm 所以理论上最多只能剪出 3 个 如图可以剪出 3 个, 所以答案为 3. 点评:做这类题画图时必要的部分,可以培养思维开阔的能力. 5、矩形的一条较短边的长为 5cm,两条对角线的夹角为 60°,则它的对角线的长等于 10 cm. 考点:矩形的性质。 专题:计算题。 分析: 易得两条对角线的一半与矩形的短边构成等边三角形, 那么对角线的一半等于较短边 的长,乘以 2 即为对角线的长.

2

解答:解:

∵四边形 ABCD 是矩形,

∴OA=OB, ∵∠AOB=60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴OA=AB=5cm, ∴AC=2OA=10cm, 故答案为 10. 点评:主要考查矩形的性质;用到的知识点为:矩形的对角线互相平分且相等. 6、 (1999?河南)已知:如图,在矩形 ABCD 中,CE⊥BD,E 为垂足,∠DCE:∠ECB=3:1, 则∠ACE= 45 度.

考点:矩形的性质;三角形内角和定理。
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专题:计算题。 分析:根据矩形的性质首先求出∠DCE,∠ECB 的度数.然后利用三角形内角和定理求解即 可. 解答:解:已知∠DCE:∠ECB=3:1? DCE=67.5,∠ECB=22.5 ∠ ∴∠EBC=∠ACB=90°﹣∠ECB=67.5° ∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=67.5°﹣22.5°=45° 点评:本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识,难度一般. 7、已知菱形的锐角是 60°,边长是 20cm,则较长的对角线是 20 考点:菱形的性质。 专题:计算题。 cm.

分析:如图: 由四边形 ABCD 是菱形,可得 AB=AD=20cm,AC⊥BD,∠DAB=60°,OA=OC,OB=OD,易得 BD=20cm, AC=20 cm.

解答:解: ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=AD=20cm,AC⊥BD,∠DAB=60°,OA=OC,OB=OD, ∴BD=AD=20cm, ∴OD=10cm,∠AOD=90°, ∴OA=10 cm,

∴AC=20

cm.

即较长的对角线是 20

cm.故答案为 20



点评:此题考查了菱形的性质:菱形的对角线互相平分且互相垂直.解题的关键是注意勾股 定理的应用. 8、菱形两条对角线的长分别为 6 和 8,它的高为 .

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考点:菱形的性质。 专题:计算题。 分析:根据对角线的长度即可计算菱形的面积,根据菱形对角线互相垂直平分的性质,可以 求得△ AOB 为直角三角形,根据 AO,BO 可以求得 AB 的值,根据菱形的面积和边长即可解 题. 解答:解:由题意知 AC=6,BD=8,则菱形的面积 S= ×6×8=24,

∵菱形对角线互相垂直平分, ∴△AOB 为直角三角形,AO=3,BO=4,

∴AB=

=5,

∴菱形的高 h=

=



故答案为:



点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,菱形面积的计算,本题中求根据 AO, BO 的值求 AB 是解题的关键. 9、菱形的一个内角为 120°,平分这个内角的对角线长为 8cm,则菱形周长为 32 cm. 考点:菱形的性质。 专题:计算题。 分析: 根据已知可得该对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形, 从而可求得菱形的边 长,根据周长求出周长即可. 解答:解:菱形的一个内角为 120°,则邻角为 60° 则这条对角线和一组邻边组成等边三角形, 可得边长为 8cm, 则菱形周长为 32cm. 故答案为 32. 点评:此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用. 10、菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32°,则菱形较小的内角是 58° . 考点:菱形的性质。 专题:计算题。 分析: 根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32°即可求得菱形的内角的一半, 根据菱形对角线垂直平分且为角平分线的性质,可以计算菱形较小的内角. 解答:解:根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32°, 菱形对角线垂直平分且为角平分线 设菱形内角度数为为 2x、2y,
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则 x﹣y=32°,x+y=90°, ∴x=61°,y=29°, 所以菱形的相邻内角为 122°和 58°, 故答案为 58°. 点评: 本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质, 考查了菱形相邻内角的 和为 180°的性质,本题中求菱形相邻内角的值是解题的关键. 11、如图,E 是正方形 ABCD 内一点,如果△ ABE 为等边三角形,那么∠DCE= 15 度.

考点:正方形的性质;等边三角形的性质。 专题:计算题。 分析:根据已知分别求得∠EBC,∠BEC 的度数,从而即可求得∠DCE 的度数. 解答:解:∵△ABE 为等边三角形 ∴∠ABE=60° ∴∠EBC=30° ∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC=75° ∴∠DCE=15° 故答案为 15. 点评:此题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质,及正方形的性质. 12、 如图, 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点, CE=AC, 交 CD 于点 F, E 且 AE 则∠E= 22.5 度.

考点:正方形的性质;等腰三角形的性质。 专题:计算题。 分析:由于正方形的对角线平分一组对角,那么∠ACB=45°,即∠ACE=135°,在等腰△ CAE 中,已知了顶角的度数,即可由三角形内角和定理求得∠E 的度数. 解答:解:正方形对角线平分直角,故∠ACD=45°, 已知 DC⊥CE,则∠ACE=135°, 又∵CE=AC, ∴∠E=22.5°. 故答案为 22.5. 点评:此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用,以及正方形中边角性质的应用. 13、如图,若 P 是边长 1 的正方形 ABCD 内一点且 S△ ABP=0.4,则 S△ DCP= 0.1 .

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考点:正方形的性质。 专题:计算题。 分析:过 P 作 EF,使 EF∥BC,则 EF⊥CD,EF⊥AB,∴S△ ABP= AB?EP,S△ CDP= CD?PF,根

据 S△ ABP+S△ CDP= 即可求得 S△ CDP.即可解题. 解答:解:过 P 作 EF,使 EF∥BC,则 EF⊥CD,EF⊥AB,

∴S△ ABP= AB?EP,S△ CDP= CD?PF,

S△ ABP+S△ CDP= AB(EP+PF)= . 故得 S△ CDP=0.1. 故答案为 0.1. 点评:本题考查了正方形各边长相等的性质,考查了三角形面积的计算,本题中求得 S△ ABP+S△ CDP= AB(EP+PF)= 是解题的关键. 14、 (2007?咸宁)如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F,E 为垂足,连接 DF,则∠CDF 的度数= 60 度.

考点:线段垂直平分线的性质;菱形的性质。
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专题:计算题。 分析:根据菱形的性质求出∠ADC=100°,再根据垂直平分线的性质得出 AF=DF,从而计算出 ∠CDF 的值. 解答:解:连接 BD,BF ∵∠BAD=80° ∴∠ADC=100° 又∵EF 垂直平分 AB,AC 垂直平分 BD ∴AF=BF,BF=DF ∴AF=DF ∴∠FAD=∠FDA=40° ∴∠CDF=100°﹣40°=60°. 故答案为,60

点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质. 15、如图所示,矩形 ABCD 的对角线相交于 O,AE 平分∠BAD,交 BC 于 E,∠CAE=15°,那 么∠AOB= 60° .

考点:矩形的性质。 专题:计算题。 分析: 根据∠CAE=15°和 AE 平分∠BAD, 即可求得∠BAO=60°, 再根据 OA=OB 即可判定△ ABO 为等边三角形,即可求∠AOB,即可解题. 解答:解:∵∠CAE=15°和 AE 平分∠BAD ∴∠BAO=45°+15°=60°, 又∵AO=BO, ∴△ABO 为等边三角形, ∴∠AOB=60°, 故答案为 60°. 点评: 本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质, 考查了等边三角形的判定和等边三角 形各内角为 60°的性质,本题中求证△ ABO 为等边三角形是解题的关键. 二、选择题(共 11 小题,每小题 4 分,满分 44 分) 16、下列说法正确的是( ) A、一组对边平行且相等的四边形是矩形 B、一组对边平行且有一个角是直角的四 边形是矩形 C、对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D、一个角是直角且对角线互相平分的四 边形是矩形
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考点:矩形的判定。 分析:矩形的判定定理有: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形,据此判断. 解答:解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故 A 错误; B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形,故 B 错误; C、对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”) ,故 C 错 误; D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故 D 正确. 故选 D. 点评:本题考查的是矩形判定定理,考生同时也要注意平行四边形的判定以及性质,难度一 般. 17、四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,下列条件不能判定它是矩形的是( ) A、AB=CD,AB∥CD,∠BAD=90° B、AO=CO,BO=DO,AC=BD C、∠BAD=∠ABC=90°,∠BCD+∠ADC=180° D、 ∠BAD=∠BCD, ∠ABC=∠ADC=90° 考点:矩形的判定。 分析:矩形的判定定理有: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.据此判断. 解答:解:A、一个角为直角的平行四边形为矩形,故 A 正确. B、矩形的对角线平分且相等,故 B 正确. C、∠BCD+∠ADC=180°,但∠BCD 不一定与∠ADC 相等,根据矩形的判定定理,故 C 不正确. D、因为∠BAD=∠BCD,故 AB∥CD,又因为,∠ABC=∠ADC=90°,根据矩形的判定(有一个 角是直角的平行四边形是矩形) ,故 D 正确. 故选 C. 点评: 本题考查的是矩形的判定定理, 但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的 判定.难度一般. 18、菱形具有而矩形没有的是( ) A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、一组对边平行,另一组对边想等 D、对角线互相垂直 考点:菱形的性质;矩形的性质。 专题:计算题。 分析:菱形的对角线互相垂直平分、且各边长相等,矩形的对角线互相平分且相等、对边相 等,分析 A、B、C、D 选项的正确性,即可解题. 解答:解: (A)矩形对角线相等,菱形对角线垂直但不相等,故 A 选项错误; (B)平行四边形对角线互相平分,故菱形和矩形的对角线均互相平分,故本选项错误; (C)平行四边形两组对边均平行且相等,故本选项错误; (D)菱形对角线互相垂直,矩形对角线不垂直,故本选项正确. 故选 D. 点评:本题考查了菱形、矩形对边平行且相等的性质,考查了菱形对角线垂直、矩形对角线 相等的性质,本题熟练掌握菱形、矩形的性质是解题的关键. 19、下列命题中,真命题是( )
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A、两条对角线相等的四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D、一组对边平行,另一组对边 相等的四边形是等腰梯形 考点:命题与定理。 分析:根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的判定即可求出答案. 解答:解:A,错误,等腰梯形的对角线相等,但不是矩形; B,错误,筝形的对角线互相垂直,但不是菱形; C,正确; D,错误,一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可以是平行四边形. 故选 C. 点评:本题考查了特殊四边形的判定方法. 20、 (2008?甘南州)矩形,菱形,正方形都具有的性质是( ) A、对角线相等 B、对角线互相平分 C、对角线平分一组对角 D、对角线互相垂直 考点:正方形的性质;菱形的性质;矩形的性质。 分析:根据矩形,菱形,正方形的有关的性质与结论,易得答案. 解答:解:菱形对角线不相等,矩形对角线不垂直,也不平分一组对角,故答案应为对角线 互相平分,故选 B. 点评:此题需掌握特殊平行四边形性质,并灵活比较应用. 21、如图,周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个大小完全一样的小矩形,则矩形 ABCD 的面 积为( )

A、98 B、196 C、280 D、248 考点:二元一次方程组的应用。 分析: 设小长方形的长、 宽分别为 x、 根据周长为 68 的矩形 ABCD, y, 可以列出方程 3x+y=34; 根据图示可以列出方程 2x=5y,联立两个方程组成方程组,解方程组就可以求出矩形 ABCD 的面积. 解答:解:设小长方形的长、宽分别为 x、y, 依题意得 ,

解之得



∴则矩形 ABCD 的面积为 7×10×4=280. 故选 C. 点评:此题是一个信息题目,首先会根据图示找到所需要的数量关系,然后利用这些关系列 出方程组解决问题.
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22、能判定一个四边形是菱形的条件是( ) A、对角线互相平分且相等 B、对角线互相垂直且相等 C、对角线互相垂直且对角相等 D、对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角 考点:菱形的判定。 分析:根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断. 解答:解:∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ∴A、B、D 都不正确. ∵对角相等的四边形是平行四边形,而对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 故 C 正确. 故选 C. 点评:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 23、 (2005?宁波)若四边形的两条对角线相等,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形 是( ) A、梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 考点:菱形的判定;三角形中位线定理。 分析:因为四边形的两条对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得所得的四边形的四边 相等,则所得的四边形是菱形. 解答:解:如图,AC=BD,E、F、G、H 分别是线段 AB、BC、CD、AD 的中点, ∴EH、FG 分别是△ ABD、△ BCD 的中位线,EF、HG 分别是△ ACD、△ ABC 的中位线, ∴EH=FG= BD,EF=HG= AC, ∵AC=BD ∴EH=FG=FG=EF, 则四边形 EFGH 是菱形.故选 C.

点评:本题利用了中位线的性质和菱形的判定:四边相等的四边形是菱形. 24、 (2005?双柏县)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( A、等边三角形 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、圆 考点:中心对称图形;轴对称图形。 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形; B、不是轴对称图形,是中心对称图形; C、是轴对称图形,不是中心对称图形; D、是轴对称图形,也是中心对称图形. 故选 B.
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点评:掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两 部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合. 25、 (2004?南京)用两个边长为 a 的等边三角形纸片拼成的四边形是( ) A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 考点:菱形的判定;等边三角形的性质。 分析:由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,即是菱形. 解答:解:由题意可得:得到的四边形的四条边相等,即是菱形. 故选 D. 点评:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形. 26、 (2004?河北)小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一 批形状如图所示的风筝,点 E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边的中点.其中阴影部分用 甲布料,其余部分用乙布料(裁剪两种布料时,均不计余料) .若生产这批风筝需要甲布料 30 匹,那么需要乙布料( )

A、15 匹 B、20 匹 C、30 匹 D、60 匹 考点:三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质。 专题:应用题。 分析: 先连接 AC、 利用三角形中位线定理, BD, 可得 S△ ABD=4S△ AEH, 同理, 可得 S△ ACD=4S△ DGH, S△ BCD=4S△ CFG,S△ ABC=4S△ BEF,四个式子相加,可得空白的四个三角形的面积和等于四边形 ABCD 面积的一半,于是可得阴影部分面积等于空白部分四个三角形的面积,那么所需甲乙 布料相等,乙也需 30 匹. 解答:解:连接 AC,BD, ∵E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, ∴△AEH∽△ABD,相似比为 ,面积比为 , 即 S△ ABD=4S△ AEH, 同理 S△ ABC=4S△ BEF,S△ BCD=4S△ GCF,S△ ADC=4S△ HGD, 故 S△ ABD+S△ ABC+S△ BCD+S△ ADC=4(S△ AEH+S△ BEF+S△ GCF+S△ HGD)=2S 四边形 ABCD, 故 S△ AEH+S△ BEF+S△ GCF+S△ HGD= S 四边形 ABCD, 又∵S 阴影+S△ AEH+S△ BEF+S△ GCF+S△ HGD=S 四边形 ABCD, ∴S 阴影=S△ AEH+S△ BEF+S△ GCF+S△ HGD= S 四边形 ABCD,
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故需要乙布料 30 匹. 故选 C.

点评:此题很简单,只要连接 AC,BD,熟知三角形的中位线定理,及相似三角形的性质就 可解答. 三、解答题(共 9 小题,满分 0 分) 27、如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,AP∥BD,DP∥AC,AP、DP 相交于点 P,则四边形 AODP 是什么样的特殊四边形,并说明你的理由.

考点:矩形的性质;菱形的判定。 专题:证明题。 分析: AP∥BD, 由 DP∥AC 先判断四边形 AODP 是平行四边形, 再由 AO=DO 判断四边形 AODP 为菱形. 解答:解:四边形 AODP 是菱形,理由如下: ∵AP∥BD,DP∥AC, ∴四边形 AODP 是平行四边形 又矩形的对角线互相平分,得 AO=DO, 由菱形的判定得,四边形 AODP 为菱形. 点评:本题涉及矩形、平行四边形及菱形的相关性质和判定,难度中等. 28、己知:如图,BD、CE 是△ ABC 的高,F 是 BC 的中点,G 是 ED 的中点,求证:FG⊥DE.

考点:等腰三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:先利用直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,求得△ EFD 为等腰三角形,在 利用等腰三角形边上的三线合一,即可求证 FG⊥DE. 解答:证明:∵BD、CE 是△ ABC 的高,F 是 BC 的中点,

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∴在 Rt△ CEB 中,EF=

,在 Rt△ BDC 中,FD=



∴FE=FD,即△ EFD 为等腰三角形, 又∵G 是 ED 的中点,∴FG 是等腰三角形 EFD 的中线, ∴FG⊥DE(等腰三角形边上的三线合一) . 点评:此题主要考查学生斜边上的中线等于斜边的一半,求得△ EFD 为等腰三角形,再根据 等腰三角形边上的三线合一的性质来证明此题的,△ EFD 为等腰三角形,这是证明此题的关 键. 29、如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由 6 个颜色不同的正方形组成,设中间 最小的一个正方形边长为 1,求这个矩形色块图的面积.

考点:正方形的性质。 专题:计算题。 分析:因为矩形内都是正方形,正方形的各边长相等,又有中间小正方形的边长为 1,可利 用边长之间的关系建立等式. 解答:解:如图所示

DF﹣AE=1,AE=BE+1,2CF﹣DF=1 DF=AE+1,AE=CF+1+1,DF=CF+3, 2CF﹣CF﹣3=1,解得 CF=4, ∴BE=5,AE=6,∴AB=11,BC=13 S=AB?BC=11×13=143. 点评:熟练掌握正方形的性质,会运用其性质求解一些实际问题. 30、如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线与边 AB、CD 分别交于 F、E, 证明四边形 DEBF 是菱形.

考点:菱形的判定;平行四边形的性质。 专题:证明题。 分析:根据四边形 ABCD 是平行四边形,EF 垂直平分 DB,可得 FO=EO,又因为 DO=BO,可 求证四边形 DEBF 是平行四边形, 因为 EF⊥DB, 故可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱 形来证明.
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解答:证明:∵EF 垂直平分 DB ∴O 是□ ABCD 的对称中心 ∴△DOF 和△ BOE 关于点 O 对称 ∴FO=EO 又∵DO=BO ∴四边形 DEBF 是平行四边形 又∵EF⊥DB, ∴四边形 DEBF 是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 点评: 本题考查平行四边形的性质和菱形的判定. 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形 的理论依据,常用三种方法: ①定义; ②四边相等; ③对角线互相垂直平分. 31、木工师傅在做门时,为了检查是否合乎要求,只需用尺量一下对角线是否相等,就可以 做出判断,你知道为什么吗? 考点:矩形的判定与性质。 专题:存在型。 分析:根据矩形的对角线相等进行解答即可. 解答:解:∵门是矩形, ∴其对角线相等. 故答案为:根据矩形的对角线相等进行判断. 点评:本题考查的是矩形的性质,即矩形的对角线相等. 32、如图所示,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O. (1)BO 与对角线 AC 有怎样的数理关系. (2)如果涂掉 AD、OD、CD 三条线段,如图(2)这时,BO 是 Rt△ ABC 的斜边 AC 的什么 线段?由(1)图能发现什么结论?试用语言描述.

考点:矩形的性质;直角三角形斜边上的中线。 专题:计算题;探究型。 分析: 根据矩形对角线相等且互相平分的性质, (1) 可得 AC=BD 且 BO=DO, 即可得 BO= AC; (2)根据矩形对角线平分的性质可得 AO=CO,即 O 为 AC 的中点,即 BO=AO=CO. 解答:解: (1)∵矩形对角线相等且平分, ∴AC=BD,BO=DO, 故 BO= AC. (2)BO 是 RT△ ABC 的斜边 AC 边上的中线.

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由图(1)得 BO= AC, 语言描述:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 点评: 本题考查了矩形对角线相等且平分的性质, 考查了直角三角形中斜边中线等于斜边的 一半的性质,本题中求得 BO= AC 是解题的关键. 33、 如图, 以△ ABC 的三边为边在 BC 的同侧分别作三个等边三角形, 即△ ABD、 BCE、 ACF, △ △ 请回答下列问题,并说明理由. (1)四边形 ADEF 是什么四边形; (2)当△ ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是矩形; (3)当△ ABC 满足什么条件时,以 A,D,E,F 为顶点的四边形不存在.

考点:平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;矩形的判定。 专题:证明题;开放型。 分析: (1)四边形 ADEF 平行四边形.根据△ ABD,△ EBC 都是等边三 DAE 角形容易得到全 等条件证明△ DBE≌△ABC,然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边 形 ADEF 平行四边形. (2)若边形 ADEF 是矩形,则∠DAE=90°,然后根据已知可以得到∠BAC=150°. (3)当∠BAC=60°时,∠DAE=180°,此时 D、A、E 三点在同一条直线上,以 A,D,E,F 为 顶点的四边形就不存在. 解答:解: (1)四边形 ADEF 是平行四边形. 理由: ∵△ABD,△ EBC 都是等边三角形. ∴AD=BD=AB,BC=BE=EC ∠DBA=∠EBC=60° ∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA. ∴∠DBE=∠ABC. 在△ DBE 和△ ABC 中 ∵BD=BA ∠DBE=∠ABC BE=BC, ∴△DBE≌△ABC. ∴DE=AC. 又∵△ACF 是等边三角形, ∴AC=AF. ∴DE=AF. 同理可证:AD=EF,
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∴四边形 ADEF 平行四边形. (2)∵四边形 ADEF 是矩形, ∴∠FAD=90°. ∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°. ∴∠BAC=150°时,四边形 ADEF 是矩形. (3)当∠BAC=60°时,以 A,D,E,F 为顶点的四边形不存在. 点评: 此题主要用等边三角形的性质, 全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问 题,也探讨了矩形,平行四边形之间的关系. 34、如图所示,有两条笔直的公路 BD 和 EF(宽度不计) ,从一块矩形的土地 ABCD 中穿过, 已知 EF 是 BD 的垂直平分线,BD=40 米,EF=30 米,求四边形 BEDF 的面积.

考点:矩形的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质;旋转对称图形。 专题:计算题。 分析: 连接 DE、 因为四边形 ABCD 是矩形, BF, 所以 AB∥CD, 进而求证 DF=BE, 再求证 FD=FB, 即可判定四边形 BFDE 是菱形,根据菱形面积计算公式即可计算菱形 BFDE 的面积. 解答:解:如图,连接 DE、BF, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB∥CD, ∴∠ODF=∠OBE, 由 EF 垂直平分 BD, 得 OD=OB,∠DOF=∠BOE=90°, ∴△DOF 是△ BOE 成旋转对称, 故 DF=BE, ∴四边形 BEDF 是平行四边形, 又∵EF 是 BD 的垂直平分线, ∴FD=FB, 因此 BFDE 是菱形, ∴S 菱形 BFDE= EF?BD= ×30×40=600(米 ) .
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点评:本题考查了菱形的判定,矩形对边相等且平行的性质,垂直平分线的性质,本题中求 证 DF=BE 是解题的关键. 35、如图,所示, 张家兄弟要平分这块地, 请你用一条直线把它分成面积相等的两部分. (至 少有两种画法)
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考点:中心对称。 专题:应用题;作图题。 分析:将图形分成两个规则的图形,然后分别找出两个图形的中心对称点,连接两中心对称 点即可. 解答:解:分割法如图所示:

点评:本题考查中心对称的应用,难度不大,注意规则图形中心对称的找法.

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参与本试卷答题和审题的老师有: 张超;MMCH;py168;csiya;workholic;499807835;hnaylzhyk;zhehe;fuaisu;lf2-9;答 案;智波;mmll852;Liuzhx;yeyue;lanchong;ln_86;zcx;开心;kaixinyike;lzhzkkxx;刘 超;lihongfang;zhjh;137-hui;fengmang2010;fxx;ZJX;wangcen;CJX。 (排名不分先后) 菁优网 2011 年 7 月 10 日

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