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第一节:数形结合考题讲解



中国领先的中小学教育品牌 2013 各区一模考试重点题型之数形结合题: (非常重要,必须掌握! ! ! ) 1.已知复数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则

y 的最大值是 x

.

2. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是平面直角坐标系上的两点,定义点 A 到点 B 的曼哈顿距离 则 L( A, B) 的最小值为 L( A, B) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 若点 A(-1,1),B 在 y 2 ? x 上, 3.已知 f ( x) ? ? .

? x ? 1, x ? [?1, 0),
2 ? x ? 1, x ? [0,1],

则下列函数的图像错误的是????????(



(A) f ( x ? 1) 的图像 (B) f (? x) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x) | 的图像 4.设 a 为非零实数,偶函数 f ( x) ? x ? a x ? m ?1( x ? R) 在区间 (2,3) 上存在唯一零点,
2

则实数 a 的取值范围是 14、 (理)给出定义:若 m ?

.

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整 2 2

数,记作 { x} ,即 {x} ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x) = | x – {x}|的四个命题: ①函数 y = f (x)的定义域是 R,值域是 [0, ] ;②函数 y = f (x)的图像关于直线 x =

1 2

k (k 2

∈Z)对称;③函数 y = f (x)是周期函数,最小正周期是 1;④函数 y = f (x)在 [? , ] 上是增 函数. 则其中真命题是____________(写出所有真命题的序号). (提示:m=0 时,{x}=0;m=1 时,{x}=1;m=2 时,{x}=2)

1 1 2 2

y?
5、 (理) 函数

x sin x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的 (



[来源:学#科#网]

? x2 ? 4 x x ? 0 2 6.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是( 2 ?4 x ? x x ? 0
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中国领先的中小学教育品牌 A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

7、 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 , 若同时满足条件: ①对于任意 x ? R ,f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立; ②存在 x ? (??, ?4) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立.则 m 的取值范围是 . 8.若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a 在区间 ? ,2? 内有零点,则实数 a 的取值范围是___. x 2 9.在平面直角坐标系 xOy 中,对于任意两点 P 1 ( x1 ,y1 ) 与 P 2 ( x2 ,y2 ) 的“非常距离” 给出如下定义:若 | x1 ? x2 |≥| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | x1 ? x2 | , 若 | x1 ? x2 |?| y1 ? y2 | ,则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 | y1 ? y2 | . 3 已知 C 是直线 y ? x ? 3 上的一个动点,点 D 的坐标是(0,1) ,则点 C 与点 D 的“非常距 4 离”的最小值是_________.

1

?1 ? ? ?

x2 y2 ? ? 1?a ? 0? 的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B , 当 ?FAB 4a 2 3a 2 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________. 11.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图像如左图所示, 则函数 y ? loga ( x ? b) 的图像可能是
10.椭圆 (
[来源:Z*xx*k.Com]



A .

B .

C.

D .

12 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 是 最 小 正 周 期 为 2? 的 偶 函 数 , 当 x ? [0, ? ] 时 ,

0 ? f ( x) ? 1 , 且在 [0,

?

] 上单调递减, 在 [ , ? ] 上单调递增, 则函数 y ? f ( x) ? sin x 2 2


?

在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为

13 、设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 2 上,点 Q 在曲线 y ? .

x ? 2 上,则 PQ 的最小值等于

14、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax2 ? b x ? c ( a ? 0) 有四个单调区间,则实数 a , b, c 满足
( )

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A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0

B. b 2 ? 4ac ? 0

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

?log2 x ( x ? 0) 15.已知函数 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a ( x ? 0) ?3

有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 16. 已知 F 是双曲线 C :



x2 y 2 O 是双曲线 C 的中心, 直线 y ? ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, a 2 b2

mx 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C
上, 则 m 的值为 .

* 17.将直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 ,l 2 :nx ? y ? n ? 0 ,l 3 : x ? ny ? n ? 0( n ? N ,n ? 2 )

围成的三角形面积记为 S n ,则 lim S n ? ___________.
n??

18.设 m 、 n ? R ,定义在区间 [m , n] 上的函数 f ( x) ? log2 (4? | x |) 的值域是 [0 , 2] ,若 关于 t 的方程 ? ? ? m ? 1 ? 0 ( t ? R )有实数解,则 m ? n 的取值范围是___________. 19.若函数 y=f(x) (x∈R)满足:f(x+2)=f(x),且 x∈[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数 y=g( x)是定义 在 R 上的奇函数,且 x∈(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像 的交点个数为_______. 20.若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(–1, 0)在动直线 l:ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N(0, 3),则线段 MN 长度的最小值是 .

?1? ?2?

|t |

21.给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中: (1) 该方程没有小于 0 的实数解;(2)
x

1 2

该方程有无数个实数解;(3) 该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;(4) 若 x0 是该方程 的实数解,则 x0>–1.则正确命题的个数是 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4 ( )

22.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .若以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 得的线段长度为 .

?x ? 2 ? t, ?y ? 3 ?t ? 2

( t 为参数) ,则此直线 l 被曲线 C 截

23.过定点 F (4,0) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点, 过 Q 点作 QT ? FQ 交 x 轴于 T 点, 延长 TQ 至

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P 点,使 QP ? TQ ,则 P 点的轨迹方程是

.

24.已知直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在函数

y ? x?

1 的图像上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 x

.

25. (理) 在复平面内, 设点 A、 P 所对应的复数分别为 ? i 、cos( 2t ? 为虚数单位) , 则当 t 由

?
3

) ? i sin( 2t ?

?
3

)( i
.

??? ? ? ? 连续变到 时, 向量 AP 所扫过的图形区域的面积是 12 4

26.设复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i ( i 为虚数单位) ,若对任意实数 ? , z ? 2 ,则实 数 a 的取值范围为 .

27 .已知定 义在 (0, ) 上的 函数 y ? 2(sin x ? 1) 与 y ?

?

2

8 的图像 的交点为 P , 过 P 作 3
. .

PP 1 ,直线 PP 1 与 y ? tan x 的图像交于点 P2 ,则线段 P 1P 2 的长为 1 ? x 轴于 P
28.已知不等式 2x ? a ? x ?1对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是

?x ? , ?1 ? x ? 1 ?cos 2 29.已知函数 f ( x ) ? ? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 的实 2 ? x 2 ? 1, | x |? 1 ?
根的个数是___ 30. 已 知 函 数 _.

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x)? a f( x )? x x
.

b ? 0

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是 31.若 C(? 3,0) 、 D( 3,0) , M 是椭圆 的最小值为 .

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 ? 4 MC MD

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 32. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 , 2 ? , x ? 1 ? 2 ?
若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 33.已知 f ( x) ? ? .

?(2 ? a) x ? 1 , x ? 1 ?a
x

, x ?1

满足对任意 x1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 x1 ? x2

a 的取值范围是___
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____.

中国领先的中小学教育品牌 34.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,且 y ? f ( x ) 的图像关于点 (6, 0) 对称.若实数

x, y 满足不等式 f ( x2 ? 6x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 36) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是
1 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 2





35.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是
A. (1, 2) B. (2, ??)
0

C. (1, 3 4)

D. ( 3 4, 2)

36. (理)在 ?ABC 中, ?A ? 60

, M 是 AB 的中点,若 AB ? 2, BC ? 2 3 , D 在线

段 AC 上运动,则 DB ? DM 的最小值为____________. 37. (理)函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

??? ? ???? ?

?

?

?a, a ? b ,若动直线 y ? m与 ?b, a ? b

函数 y ? f ( x ) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否 存在最 大值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在” _______________. 38. 函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min?a ,b? ? ?

?

?

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是______________.
39. (理)对于直角坐标平面 xOy 内的点 A( x, y ) (不是原点), A 的“对偶点” B 是指:满足

OA OB ? 1 且在射线 OA 上的那个点 . 若 P, Q, R, S 是在同一直线上的四个不同的点
( 都 不 是 原 点 ), 则 它 们 的 “ 对 偶 点 ” P , Q , R , S ( ) (B) 一定共圆 (D) 既不共线,也不共圆
' ' ' '

(A) 一定共线 (C) 要么共线,要么共圆

x 40.若函数 f ( x) ? loga (3 ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线

x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程 是
2 2


2

41.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 3x ? 2 m 与圆 x ? y ? n 相切,其中

m 、 n ? N* ,0 ? m ? n ? 1 .若函数 f ?x? ? m x?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1?,k ? Z ,
则 k ? ________.
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中国领先的中小学教育品牌 42. (理) 设函数 f ( x) ? ?

? x ? 2 x ,  x ? 0, ?? 2 sin 2 x, x ? 0.

则方程 f ( x) ? x 2 ? 1 的实数解的个数为



答案:

7 ? 10 5 ? 1. 3;2. ;3.D;4.? ? ,? ?;14.1,2,3;5.C 4 ? 3 2? 8 6.C;7.?? 4,?2?;8.(0, log );9. ;10.3a 2 7
5 2 2

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11.C 12.20 7 2 4 14.C 15.?? ?,?1? 13. 16.3 ? 2 3 1 17. 2 18.?1,2 ? 19.4 20.4 ? 2 21.C 22.4 23. y 2 ? 16x 24.?? 3,?? ? 25.

?

6 ? 5 5? 26.?? , ? ? 5 5? 2 4 28.?? ?,2 ? ? ?5,?? ? 29.5 30.?? 4,?2 ? 31.1 27.

?3 ? 32.? ,2 ? ?4 ? ?3 ? 33.? ,2 ? ?2 ? 34.?16,36?
35.D 23 36. 16

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37.1 38. 0,2 3 ? 2 39.C 41.0 42.3

?

?

40. y 2 ? 2 x 2 ? 2 x

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