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3.1.1数系的扩充和复数的概念(市公开课比赛一等奖)



3.1.1 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 数系的扩充与复数的概念 5 4 3 2 1
2014年3月6日 何正文

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

计数的需要

自然数(正整数与零) 整数 有理数

解方程3 x=1
解方程

x2=2

R

Q

Z

N

实数

可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不 能实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留

合情推理,类比扩充

一元二次方程 范围内的解是 ?

x ? ?1
2

在实数集

思考?
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集 中,该问题能得到圆满解决呢?
引入新数,完善数系

引入一个新数:

i

规定

i ? ?1
2

问题解决:
为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个
新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定: (1) i 2??1 ; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.

20:48

问题探究:
由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i,并规定: ( 1 ) i 2? -1 ; (2)实数可以与 i进行加法和乘法运算: 实数 a与数 i相加记为: a+i ; 实数 b与数 i相乘记为: bi ; 实数 a与实数 b和 i相乘的结果相加记为: a+bi (3)实数与i 进行加法和乘法时,原有的加法、 乘法运算律 仍然成立 。

20:48

动 动 嘴

说出下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算?

1 2 ? 3i, ? 5, ? i, 2 3
a ? bi
20:48

知新

复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字
母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示. 复数的代数形式

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实 部 虚 部
20:48

请说出复数

动 动 手

的实部和虚部

写出下列这些数实部与虚部?

2 ? 3i的实部是2,虚部是3;

1 2 ? 3i, ? 5, ? i, 2 3

1 1 ? i的实部是0,虚部是 ? ; 3 3

? 5的实部是 ? 5, 虚部是0;

2的实部是2,虚部是0;
20:48

变式再练:请说出复数

变式再练

的实部和虚部。

1 ? 3i 说出复数 ?4i ? 8, 6, 0, , i( 2 ? 1) 实部与虚部 2 解: (1) ? 4i ? 8的实部是8,虚部是 ? 4;
(2) 6的实部是6,虚部是0;

(3)的实部是 0 0,虚部是0;
1? (4) 3i 2 1 3 的实部是 ,虚部是 ; 2 2

(5)i( 2 ? 1)的实部是0,虚部是 2 ? 1.
20:48

复数分类

复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)能否表示实数? 实数 (b ? 0)
复数z=a+bi
(a ∈ R、b ∈ R)

虚数 (b ? 0) (纯虚数(a=0且b≠0))

20:48





复数集与实数集、虚数集、纯虚数集

之间有什么关系?

20:48

复数的分类

?实数(b ? 0) ? 1、复数z=a+bi ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?

2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C

纯虚数集

实数集R
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辨一辨:
完成下列表格(分类一栏填实数、虚数或

纯虚数)

2-3i
实部 虚部

0
0

2
-3

1 4 ? ? i 2 3 1 ? 2

6i
0
6
纯虚 数

i

2

-1

0

4 3

0
实数

分类

虚数 实数

虚数

20:48

例 1:
实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? ( m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

解:(1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即m

? 1 时,复数z 是虚数.

?10? m ? 0 (3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 时,复 m ?m 1? ?10
数 z 是纯虚数.
20:48

练习:当m为何实数时,复数 是 (1)实数 (2)虚数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
2

(3)纯虚数

( 1)z为实数,则m ? 1 ? 0即m ? 1 (2)z为虚数,则m ? 1 ? 0即m ? 1
(3)z为纯虚数,则 ? m ? 1 ? 0 ? m ? ?1 ?? ? m ? ?1 ? ?m ? 1 ?m ? 1 ? 0
2
20:48

想一想

如果两个复数相等,那么它们应满

足什么条件呢?

20:48

复数相等

知新

▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那

么我们就说这两个复数相等.即

a ? bi ? c ? di ?
(a, b, c, d ? R)
思考

?a ? c ? ?b ? d

?a ? 0 若a ? bi ? 0(a、b ? R) ?? ?b ? 0
强调:两复数不能比较大小,只有等与不等。强
20:48

说一说

1.若2-3i=a-3i,求实数a的值; 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值; 3.若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。

20:48

例 2:
已知 ( x ? y) ? 其中 x,

? x ? 2 y ? i ? (2x ? 5) ? (3x ? y)i
求 x与y .



y ? R,

解:根据复数相等的定义,得方程组
? x ? y ? 2x ? 5 ? ? x ? 2 y ? 3x ? y



?x ? 3 ? ? y ? ?2

20:48

课堂小结

虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)

复数的分类
当b=0时z为实数; 当b?0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).

复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,d?R)
a=c b=d

20:48

不是 结束 是开始 谢谢

练习:当m为何实数时,复数

是 (1)实数

(2)虚数

(3)纯虚数

m ? 1或m ? ?1

m ? 1且m ? ?1

m ? ?2
20:48



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