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高中数学竞赛大纲


高中数学联赛 全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高级 中学数学教学大纲》 。 全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展,适当增加一些教学大纲之外的内容,所 增加内容是: 1.平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理; 三角形旁心、费马点、欧拉线; 几何不等式; 几何极值问题; 几何中的变换:对称、平移、旋转; 圆的幂和根轴: 面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。 2.代数 周期函数,带绝对值的函数; 三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数; 递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式; 第二数学归纳法; 平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数及其应用; 复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根; 多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式 的插值公式*; n 次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理; 函数迭代,求 n 次迭代*,简单的函数方程*。 3.初等数论 同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余系,不定方程和方程组,高斯函数[x],费 马小定理,格点及其性质,无穷递降法*,欧拉定理*,孙子定理*。 4.组合问题 圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式; 组合计数,组合几何; 抽屉原理; 容斥原理; 极端原理; 图论问题; 集合的划分; 覆盖; 平面凸集、凸包及应用*。 (有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。) 注:上述大纲在 2006 年第十四次普及工作会上讨论通过


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