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全国高中数学联赛模拟试题2



全国高中数学联赛模拟试题(二)
(命题人:江厚利 审题人:李潜)

第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
? ? y ?3 1、已知集合 A ? ??x, y ? ? a ? 1? , B ? ?x, y ? ?a 2 ? 1?x ? ?a ? 1? y ? 15 .若 x?2 ? ?
A ? B ? ?

,则 a 的所有取值是

?

?

(A)-1,1 (C)±1,2

(B)-1,

1 2
C

5 2 D 2、如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别 B 在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, A N ①AA1⊥MN; M ②A1C1∥MN; D1 ③MN∥平面 A1B1C1D1; ④MN 与 A1C1 异面. A1 B1 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 图1 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(D)±1,-4,

C1

3、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则

lim

an 的值为 n ?? S n

3 5 7 9 (B) (C) (D) 4 4 4 4 4、首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个

(A)

5、对一切实数 x,所有的二次函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? c (a<b)的值均为非负
b?a 的最大值是 a?b?c 1 1 (A) (B) 3 2

实数.则

(C)3

(D)2

x2 y2 6、双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 a b

一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切
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(C)相离

(D)以上情况均有可能

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、已知复数 z1 ? 2 ? i , 2 z 2 ?

z1 ? i .若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、 ?2i ? 1? ? z1
C ,则 u ? z 2 的取值范围 2

∠ C 依次成等差数列,且 u ? cos A ? 2icos 2

是 . 2、点 P(a,b)在第一象限内, 过点 P 作一直线 l,分别交 x、 y 轴的正半轴于 A、 B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 值范围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 5、 在

?

x ?2

?

2 n ?1

的展开式中, x 的幂指数是整数的各项系数之和是



6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,?,n}.则满足 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 .

三、 (20 分)
设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上.

四、 (20 分)
对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md.

五、 (20 分)
求最大的正数?,使得对任意实数 a、b,均有

?a 2b 2 ?a ? b?2 ≤ ?a 2 ? ab ? b 2 ? .
3

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第二试
一、 (50 分)
如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上 一点,AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC.
A

二、 (50 分)
2 ? a ? b ? c? 求出能表示为 n ? (a、b、c∈Z )的所有正

abc

+

D

N M O

C

整数 n.

B

三、 (50 分)

图2

在一个 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 (n≥2)的方格表的每个方格内填入 1 或-1,如 果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积,则称这 种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.

?

? ?

?

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
? 2 5? ?; , 1、 ? ? 2 2 ? ?

1 D

2 B

3 D

4 D

5 A

6 B

2、 ?

ab ; a

? ? 3? 3、 ? , ?2 2

? ?; ?

4、

1 ; 18

5、

3 2 n ?1 ? 1 ; 2

6、7n.

三、证略. 四、证略. 五、 ? max ?
27 . 4

第二试
一、证略; 二、1,2,3,4,5,6,8,9. 三、1 种(每空填 1) .

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