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湖南省长沙市周南中学2014-2015高一下学期第三次月考数学试卷



——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效——————————————————

学号: _____________________

长沙市周南中学 2014—2015—2 高一年级第三次月考试题





命题人:彭建军 罗清芳 杨 峰 审题人:刘清平 韩安静 刘伯贤 本试卷包括 3 个大题,共 4 页,总分 150 分,考试时量 120 分钟。
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 若点 ( k ,0) 与 (b,0) 的中点为 (?1,0) ,则直线 y ? kx ? b 必定经过点 A. (1, ?2) 2. 在等比数列中, a1 ? A. 3 B. (1, 2) C. (?1, 2) D. (?1, ?2)

姓名:___________________________

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 2 2 32
D. 6

B. 4 C. 5 3. 在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cosC 等于

A.

2 3

B. -

2 3

C. -

1 3

D. -

1 4

4. 下列说法不正确的 是 .... A. 空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 5. 当 0<a<b<1 时,下列不等式正确的是 1 A.(1-a) >(1-a)b B.(1+a)a>(1+b)b b b C.(1-a)b>(1-a) D.(1-a)a>(1-b)b 2 D1 C1 6. 在右图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, A1 B1 则异面直线 AC 和 MN 所成的角为 N A.30° B.60° D C C.90° D.45° x≥0, ? ? 7. 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ? ?2x-y-2≤0, A.0 C.4
A B M

准考证号:___________________________

班级:___________________________

则 z=3x-2y 的最大值为 B.2 D.6
y

8. 如右图,定圆半径为 a ,圆心为 (b, c ) ,则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线


O x

x ? y ? 1 ? 0 的交点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

x2-4x+5 5 9. 已知 x≥ ,则 f(x)= 有 2 2x-4 A.最小值 1 5 B.最大值 4

5 C.最小值 D.最大值 1 4 1 10. 函数 f(x)= ln( x2-3x+2+ -x2-3x+4)的定义域为 x A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.[-4,0)∪(0,1) C.[-4,0)∪(0,1] D.(-4,0)∪(0,1) 题序 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4) , B(0, ?2) ,圆 C 的方程 为______________. 12. 已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100, 那么 a3· a18 的最大值是_________. 13. 一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为 45 ,腰和上底 均为 1. 如图,则平面图形的实际面积为______________.
?

14. 某公司租地建仓库, 每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的 运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么要使两项费用之和最小, 仓库应建在离车站_____________处. 15. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使得平面 ADC ? 平面 ABC , 在折起 后形成的三棱锥 D ? ABC 中,给出下列三个命题: ①面 DBC 是等边三角形; ② AC ? BD ; ③三棱锥 D ? ABC 的体积是

2 . 6

其中正确命题的序号是______________. (写出所有正确命题的序号) 三、解答题(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b, c 分别是 A, B, C 的对边, 且 2sin A= 3cos A (1) 若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2) 若 a= 3,求△ABC 面积的最大值.

17. (本小题满分 12 分)已知正四棱锥 P-ABCD 如图. (1)若其正视图是一个边长分别为

3 、3 、 2 的等腰三角形,求其表面积 S、体积 V;

(2)设 AB 中点为 M,PC 中点为 N,证明:MN//平面 PAD.

1?n+1 1 * 18. (本小题满分 12 分)数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1-Sn=? ?3? (n∈N ). 3 (1) 求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn; (2) 若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数 t 的值.

2 19. (本小题满分 13 分)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 2

交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.

20. (本小题满分 13 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x2+(a-1)x-a>0},B={x|(x+a)(x +b)>0(a≠b)},M={x|x2-2x-3≤0}. (1) 若?UB=M,求 a,b 的值; (2) 若-1<b<a<1,求 A∩B; (3) 若-3<a<-1,且 a2-1∈?UA,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分)已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且 OM ? ON(O 为坐 标原点)求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

长沙市周南中学 2014—2015—2 高一年级第三次月考

数学参考答案
题序 答案 1 A 2 C 3 D 4 D 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B

11. (x-2)2+(y+3)2=5 12. 25 13. 2 ? 2 14. 5 km 15. ①② 16. 解析: (1)将 2sin A= 3cos A两边平方,得 2sin2A=3cos A, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0.解得 cos A= >0, 2 π ∵0<A< ,∴A=60° . 2 a2-c2=b2-mbc 可以变形得 m 1 即 cos A= = ,∴m=1. 2 2 b2+c2-a2 1 (2)∵cos A= = , 2bc 2 ∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2. bc a2 3 3 3 故 S△ABC= sin A≤ × = . 2 2 2 4 3 ∴△ABC 面积的最大值为 3. 4 b2+c2-a2 m = . 2bc 2

17.

【解】⑴. 设 CD 中点为 E,则正四棱锥的正视图为三角形 PME.

依题意, PM ? 3、PE ? 3、ME ? 2 , 故几何体的表面积 S= 4 ? ? ?

1 ? ? 2? 3 ? ? 2? 2 ? 4 3 ? 4 , ?2 ? 4 2 . 3

体积 V=

1 ? 4? 3

? 3?

2

? 12 ?

⑵. 设 PD 中点为 F,连接 NF,AF.

1 则 NF 为三角形 PCD 的中位线,故 NF // CD , ? 2

MA // 1 CD ,故 NF // MA ,四边形 MNFA 为平行四边形, ? ?
2

MN // AF , MN ? 平面 PAD, AF ? 平面 PAD,故 MN//平面 PAD.
1?n+1 18. 解析: (1)由 Sn+1-Sn=? ?3? 得 1?n+1 * an+1=? ?3? (n∈N ); 1?n 1 * 又 a1= ,故 an=? ?3? (n∈N ). 3 1 ? ?1?n? × 1- 3 ? ?3? ? 1? ?1?n? 从而,Sn= = ?1-?3? ?(n∈N*). 1 2 1- 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= . 3 9 27 从而由 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得: 1 ?4 13? ?1+4?t, +3 + =2× ?3 9? 3 ?9 27? 解得 t=2.

19.
2 (1) 已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜率 2

为 2, 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-20. (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

1 ( x ? 2) , 即 x+2y-6=0 2

(3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3, 2

弦 AB 的长为 34 .

20. 解析: 由题意,得 A={x|(x+a)(x-1)>0},?UB={x|(x+a)(x+b)≤0},M={x|(x+1)(x -3)≤0}. (1)若?UB=M,则(x+a)(x+b)=(x+1)(x-3), 所以 a=1,b=-3,或 a=-3,b=1. (2)若-1<b<a<1,则-1<-a<-b<1, 所以 A={x|x<-a 或 x>1},B={x|x<-a 或 x>-b}. 故 A∩B={x|x<-a 或 x>1}. (3)若-3<a<-1,则 1<-a<3,所以 A={x|x<1 或 x>-a},?UA={x|1≤x≤-a}.又由 a2
?a2-2≥0 ? -1- 5 -1∈?UA,得 1≤a -1≤-a,即? 2 ,解得 ≤a≤- 2. 2 ?a +a-1≤0 ?
2

21.解: (1) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 D=-2,E=-4,F= m

D 2 ? E 2 ? 4 F =20- 4 m ? 0
m ? 5 …………2 分
(2) ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0

x ? 4 ? 2 y 代入得

5 y 2 ? 16y ? 8 ? m ? 0
y1 ? y 2 ? 16 8?m , y1 y 2 ? 5 5

∵OM ? ON 得出: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ∴ 5 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ∴m ?

8 5

(3)设圆心为 ( a, b)

a?

x1 ? x 2 4 y ? y1 8 ? ,b ? 1 ? 2 5 2 5

半径 r ?

4 5 …………9 分 5
4 5
2

圆的方程 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2

8 5

16 5



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