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广东省广州市七区2012-2013学年高二下学期期末教学质量监测(数学理)



绝密★ 启用前 广州市七区 2012 学年第二学期期末教学质量监测试卷 高二数学(理科) 本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它

答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答 的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式与数据: 1.在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,若每次试验中事件 A 发生的概率为 p ,则

P( X ? k ) ? Ck pk (1 ? p)n?k , k ? 0,1,2,?, n. n
2. 0.99 ? 0.387,0.910 ? 0.349, 0.911 ? 0.314 .

第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限 【解析】选 D. z ? B.第二象限

2?i 在复平面内对应的点所在象限为( 2?i
C.第三象限 D.第四象限

)

(2 ? i)2 3 4 ? ? i ,所以 z 对应的点在第四象限. 5 5 5
)

2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( .. A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数
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【解析】选D.把全称量词改为存在量词,并把结果否定. 3.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) ,且 P(? ? 0) ? 0.2 ,则 P(? ? 4) ? ( A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 )

【解析】选 D.由正态分布的规律可知 P(? ? 4) ? P(? ? 0) ? 0.2 . 4.由曲线 y ? x2 , y ? 0, x ? 1 所围成图形的面积为( A. ) D.

1 2

B.

1 3

C.

1 2

1 6

【解析】选B.由定积分的定义可知,面积为 S ? 5.双曲线 ? x? ? y ? ? ? 的实轴长是( A.2
?

?

1

0

x2d x ?

1 3 1 x ? . 3 0 3

1

) C.4 D. ? ?

B. ? ?
?

【解析】选 C. ? x ? y ? ? 可变形为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 ? 4 , a ? 2 , 2a ? 4 . 4 8
) D. (-?, ?)

6.若 f ( x) ? x? ? ? x ? ? ln x ,则 f '( x) ? ? 的解集为( A. (?, ??)

( , )(, B. -? ? U ? +?) C. (?, ??)

【解析】 C.因为 f '( x) ? ? x ? ? ? 选 可得 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 .
2

? ? x? ? ? x ? ? ? , 原函数的定义域为 (0, ??) , 所以由 f '( x) ? ? x x

7. 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商 不同的投资方案有( A.16 种 ) B.36 种 C.42 种 D.60 种

2 【解析】选 D.有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C1 ? A4 ? 36 种方 3

案,二是在三个城市各投资 1 个项目,有 A3 ? 24 种方案,共计有 60 种方案. 4 8. f ( x) 是定义在正整数集上的函数, f ( x) 满足: 当 f (k ) ? k 2 成立时, 设 且 “ 总可推出 f (k ? 1) ? (k ? 1)2 成立” .那么,下列命题总成立的是( )

A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10) ? 100 成立 B.若 f (2) ? 4 成立,则 f (1) ? 1 成立

第 2 页(共 11 页)

C.若 f (3) ? 9 成立,则当 k ? 1 时,均有 f (k ) ? k 2 成立 D.若 f (4) ? 25 成立,则当 k ? 4 时,均有 f (k ) ? k 2 成立 【解析】选 D.对于 A 选项,原命题的否命题不一定成立;对 B 选项,由原命题与其逆否命题等价可知,
2 应有 f (1) ? 1 ;对 C 选项,只能得出:对于任意的 k ? 3 ,均有 f ? k ? ? k 成立,不能得出:对任意的 k ? 1 , 2 2 均有 f ? k ? ? k 成立;对 D 选项,因为 f (4) ? 25 ? 16 ,所以对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 成立.

第二部分非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知 a ? (1, ?1,1), b ? (?2,3, ?11) ,则 | b ? a |? 【解析】填 13. | b ? a |? 10.在 (2 x ?
2

?

?

? ?



? ?

(?2 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ? (?11 ? 1) 2 ? 169 ? 13 .


1 5 ) 的二项展开式中,第 4 项的系数为 x

3 【解析】填 ?40 .因为 T4 ? T3+1 =C5 (2x2 )5-3 ? ( ? x?1 )3 ? ?22 C3 x ? ?40x ,所以第 4 项的系数为 ?40 . 5

11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了 1 枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用在 10 箱子中各任意抽查的方法来检测,国王能发现至少一枚劣币的概率为 【 解析】填 0 . 6 5 1. 每箱 的选中劣 币的概率 为 .

1 , 10 箱 子中 一枚劣币 也不能 检测出 的概率 为 10

0 0 C10 (0.1)0 (0.9)10 ,所以国王能发现至少一枚劣币的概率为 1 ? C10 (0.1)0 (0.9)10 ? 0.651.

12 .已知某 生产厂家 的年 利润 y (单 位:万元 )与 年产量 x ( 单位:万 件) 的函数关系式为

1 y ? ? x3 ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3

万件.

2 2 【解析】填9.令导数 y ' ? ? x ? 81 ? 0 ,解得 0 ? x ? 9 ;令导数 y ' ? ? x ? 81 ? 0 ,解得 x ? 9 ,所

以函数 y ? ?

1 3 x ? 81x ? 234 在区间 (0,9) 上是增函数,在区间 (9, ??) 上是减函数,所以在 x ? 9 处取极 3 x ( x ? 0) ,已知 x?2

大值,也是最大值. 13.设函数 f ( x) ?

x x x , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? , f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , x?2 3x ? 4 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? , ?? 15 x ? 16 f1 ( x) ? f ( x) ?
根据以上事实,由归纳推理可得:
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当 n ? N ? ,且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ? 【解析】填

.

x ,观察知四个等式等号右边的分母为 x ? 2,3x ? 4,7 x ? 8,15x ? 16 ,即 (2 ? 1) x ? 2n
n

(2 ?1) x ? 2,(4 ?1) x ? 4,(8 ?1) x ? 8,(16 ?1) x ? 16 ,所以归纳出分母为 fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) 的分母为

(2n ?1) x ? 2n ,故当 n? N ? 且 n ? 2 时, fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ?

x . (2 ? 1) x ? 2n
n

14.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛 物线焦点的距离为 【解析】填 .

3 p p 2 .点 F 坐标为 F ( , 0) ,点 B 坐标为 B( ,1) ,由抛物线的定义可知 2 4 4

p p p 2 ( )2 ? 1 ? ? ,解得 p ? 2 ,点 B 坐标为 ( ,1) ,所以点 B 到抛物线准线的距离为 4 4 4 2
p p 3 3 ? ? p? 2. 4 2 4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)求函数 f ( x ) ? 【解析】因为 f ( x ) ?

1 3 x ? 9 x ? 1( x ? R ) 的极值. 3

1 3 x ? 9 x ? 1( x ? R ) ,所以 3

f '( x) ? x2 ? 9 ? ( x ? 3)( x ? 3) ·····································································································2 分
令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? ?3 ,或 x ? 3 . 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?3 ,或 x ? 3 ;由 f '( x) ? 0 ,得 ?3 ? x ? 3 . ·································· 4 分 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(??, ?3)

?3
0 19

(?3,3)

3 0
?17

(3, ??)

?
单调递增 ?

?
单调递减 ?

?
单调递增 ?

f ( x)

······························································································································································ 8 分 因此当 x ? ?3 时, f ( x ) 有极大值,极大值为 f (?3) ? 19 ; ················································· 10 分

第 4 页(共 11 页)

当 x ? 3 时, f ( x ) 有极小值,极小值为 f (3) ? ?17 . ······························································· 12 分 16. (本小题满分 12 分) 已知动点 M 在直线 l : y ? 2 的下方, M 到直线 l 的距离与定点 N (0, ?1) 的 点 距离之和为 4,求动点 M 的轨迹方程. 【解析】设动点 M 的坐标为 M ( x, y ) . ..................................................................................... 1 分 因为点 M 在直线 l : y ? 2 的下方,所以 y ? 2 ,依题意有

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? | y ? 2 |? 4 ............................................................................................................4 分
2 2 因为 y ? 2 ,所以 x ? ( y ? 1) ? y ? 2 .................................................................................... 6 分

1 2 ( x ? 3) ··············································································································8 分 2 1 2 因为 y ? 2 ,所以 ( x ? 3) ? 2 ,解得 ? 7 ? x ? 7 ··························································· 10 分 2 1 2 所以所求的轨迹方程为 y ? ( x ? 3)(? 7 ? x ? 7) . ··························································· 12 分 2 ? 17. (本小题满分14分)设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ? . 8 (1)求 ? 的值;
平方化简得 y ? (2)证明:对任意实数 c ,直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不相切. 【解析】 (1)由对称轴是 x ? 得 sin( 即

?
8



?
4

? ? ) ? ?1 , ·······················································································································2 分

?
4

? ? ? k? ?

?
2

··························································································································· 3分

所以 ? ? k? ?

?
4

? k ? Z ? ················································································································4分

3 4 3 (2)因为 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) . 4 3 ' 所以 f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 , ····························································································· 8 分 4
而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? . ································································································ 6 分 即曲线的切线的斜率不大于 2 , 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 k ?

5 ? 2 , ················································································10 分 2

所以直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f (x) 的切线. ···························································· 12 分

第 5 页(共 11 页)

18.(本小题满分 14 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ?ABC ? 60o ,四边形 ACFE 为矩形,平 面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 .

F

M
C

E

D

B A
(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2) 若点 M 在线段 EF 上移动, 试问是否存在点 M , 使得平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45o , 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)证明:在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ?ABC ? 60o , 所以 AB ? 2 , AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos 60? ? 3 , ·············································· 2 分 所以 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 , 所以 AC ? BC , ····························································································································· 3 分 又平面 ACFE ? 平面 ABCD , AC 是交线, BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 ACFE .···················································································································· 5 分 (2)由(1)知 AC , BC , CF 两两互相垂直,以 C 为坐标原点, AC , BC , CF 分别为 x, y, z 轴建立空 间直角坐标系,如图,

第 6 页(共 11 页)

F

M
C

E

D

B A

则 A, B 的坐标分别为 A( 3,0,0), B(0,1,0) ,设 M 的坐标为 M (a,0,1) ,则

??? ? ???? ? AB ? (? 3,1,0), BM ? (a, ?1,1) , ····························································································7 分
设 m ? ( x, y, z) 是平面 AMB 的法向量,则

??

?? ??? ? ?m ? AB ? ? 3x ? y ? 0 ? ·············································································································· 9 分 ? ? ?? ???? ?m ? BM ? ax ? y ? z ? 0 ? ?? 取 x ? 1 ,得 m ? (1, 3, 3 ? a) ,······························································································· 10 分
显然 n ? (1,0,0) 是平面 FCB 的法向量,于是············································································ 11 分

?

?? ? cos ? m, n ??

1 4 ? ( 3 ? a) 2

?

2 ·························································································· 12 分 2

化简得 2 ? ( 3 ? a)2 ? 0 此方程无实数解, ···························································································································· 13 分 所以线段 EF 上不存在点 M 使得平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角为 45? . ···················· 14 分 19. (本小题满分14分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物. 我 国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在

35 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/
立方米以上空气质量为超标.
PM2.5 日均值(微克/立方

米) 2
第 7 页(共 11 页)

8

某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中 随机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎, 个位为叶) . (1)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据, 求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监 测数据超标的天数,求 ? 的分布列和数学期望;

3 4 6 7 8 9

7 4 3 9 6 2

1 5 8

4 5

3

3 5

(3)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多 少天的空气质量达到一级或二级. 【解析】 (1)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天,记“ 15 天 的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量达到一级”为事件 A ,则

P( A) ?

2 C1 ? C11 44 4 . ·················································································································· 4 分 ? 3 C15 91

(2) ? 的可能值为 0,1,2,3.

P (? ? 0) ?

0 3 C1 C2 45 C5 C10 24 , P(? ? 1) ? 5 3 10 ? , ? 3 C15 91 C15 91

P (? ? 2) ?

1 C52C10 20 C 3C 0 2 , P (? ? 3) ? 5 3 10 ? . ········································································ 8 分 ? 3 C15 91 C15 91

所以 ? 的分布列为

?

0
24 91 45 91

2
20 91

3

P

2 91

······························································································································································ 10 分

24 45 20 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 . ··················································································· 12 分 91 91 91 91 10 2 (3)15 天的空气质量达到一级或二级的频率为 ? 15 3 2 1 365? ? 243 , 3 3 E? ?
所以估计一年中有 243 天空气质量达到一级或二级. ······························································· 14 分 (说明:答 243 天,244 天不扣分)
第 8 页(共 11 页)

x2 y 2 2 2 2 20. (本题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 E1 方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , E2 方程为 x ? y ? a , 圆 a b
过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B , C .

y
C

D A B
O

l1

x

l2

E1

E2

(1)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (2)若椭圆 E1 的离心率 e =

1 , F2 为椭圆的右焦点,当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时,求 k1 的值; 2

(3)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当 定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

k1 b 2 时,试问直线 BD 是否过 ? k2 a 2

【解析】 (1)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C 点的坐标为 C (0, a ) ,则 B 点的坐标为 B ? ? 由点 B 在椭圆上得

? a a? , ?, ? 2 2?

a a (? ) 2 ( ) 2 2 ? 2 ? 1 , ························································································································2 分 a2 b2
所以

b2 1 ? , ···································································································································3 分 a2 3 c2 b2 2 ? 1? 2 ? , a2 a 3

e2 ?

所以 e ?

6 . ····································································································································· 4 分 3

(2)设椭圆的左焦点为 F ,由椭圆的定义知 1

第 9 页(共 11 页)

| BF1 | ? | BF2 |? 2a ,
所以 | BF |?| BA | ,即 B 在线段 AF1 的中垂线上,所以 xB ? 1 又因为 e ?

a?c , ·································· 6 分 2

c 1 1 3 ? ,所以 c ? a, b ? a, a 2 2 2 3 7 21 a ,代入椭圆方程得 yB ? ? b ? ? a , ···················································7 分 4 4 8

所以 xB ? ?

所以 k1 ?

yB 21 .·············································································································· 8 分 ?? xB ? a 2

? y ? k1 ( x ? a ), ? (3 法一:由 ? x 2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a


x 2 ? a 2 k12 ( x ? a ) 2 ? ? 0, a2 b2
a (b 2 ? k12 a 2 ) , ························································································· 10 分 b 2 ? a 2 k12 a (b 2 ? k12 a 2 ) 2ab 2 k1 ,则 yB ? k1 ( xB ? a ) ? 2 . ················· 11 分 b 2 ? a 2 k12 b ? a 2 k12

所以 x ? ? a ,或 x ?

所以 xB ? ? a ,所以 xB ?

由?

? y ? k2 ( x ? a ) ?x ? y ? a
2 2 2

2 ,得 x2 ? a2 ? k2 ( x ? a)2 ? 0

得 x ? ?a ,或 x ?

2 a(1 ? k2 ) , 2 1 ? k2

易得 xD ?

2 a(1 ? k2 ) 2ak2 ·································································································· 12 分 , yD ? 2 2 1 ? k2 1 ? k2



k1 b2 ? 时, xB ? k2 a 2

a(b2 ?

b4 2 k2 )2 2 a ( a 2 ? b 2 k2 ) 2abk a2 ? 2 2 2 , yB ? 2 22 2 , 4 b 2 a ? b k2 a ? b k2 b 2 ? 2 k2 a

k BD

2abk2 2ak2 ? 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2 1 ? ? ? , ··················································································13 分 2 2 2 2 a(a ? b k2 ) a(1 ? k2 ) k2 ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2
2

因为 E2 为圆,所以 ? ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而 BD 经过定点 ( a, 0) .
第 10 页(共 11 页)

所以 BD ? AD ································································································································· 14 分 法二:直线 BD 过定点 (a, 0) ,证明如下: ················································································ 6 分 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则

xB 2 y B 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ·····························································8 分 a2 b

k AD k PB

2 yB yB yB a2 a2 a2 a 2 b2 ? 2 k1k PB ? 2 ? ? ? ? 2 ? (? ) ? ?1 ,······················10 分 b b xB ? a xB ? a b 2 x B ? a 2 b 2 a 2

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD ····································································································· 12分 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) .······························································ 14 分

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