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高三数列培优题



高三数学(文科)数列 B 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

C.

a1 ? a101 ? 0

D.

a51 ? 51


?a ? 1.在首项为 81,公差为-7 的等差数列

n 中,最接近零的是第
A.11 项 2.在等比数列 A.q>1 3.等比数列 和为( A. 20 4. 已知 B.12 项 C.13 项

12.已知在等差数列{ ( )

an }中, a1 ? 120, d ? ?4, 若 S n ? an (n ? 2) ,则 n 的最小值为(

D.14 项 )

?an ?中,首项 a1 ? 0 ,则 ?an ?是递增数列的充要条件是公比 q 满足(
B.q<1 C.0<q<1 D.q<0

A.60 B.62 C.70 D.72 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 13.观察下列各式 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20…,这些等式反映了自然数间的某种规律, 设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表示为 .

{ a n } 的首项与公比分别是复数 i ? 2 ( i 是虚数单位 ) 的实部与虚部,则数列 { a n } 的前 10 项的
) B. 14.已知等比数列

a11 ? a ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2 ,则 a7 _____. 为递增数列,且 3
,则数列 的通项 =_____.

210 ? 1

C. ? 20

D.

? 2i


15.在数列

中,若

?an ?是等差数列, a4 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率(
1 B. 4
C.-4 D.-14

16. 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下: k 棵树种植在点 第

Pk ( xk,yk )

A.4

5.在等差数列 A. ?2007

?an ?

S 2007 S2005 ? ?2 a ? ?2008 ,其前 n 项的和为 Sn .若 2007 2005 S ? 中, 1 ,则 2008 (
B. ?2008 C. 2007 D. 2008



? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k k ?1 ? ? ? ? x ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时, ? ? 5 ? ? 5 ? ? 处,其中 1
T (a ) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .按此方案第 2012 棵树种植点的坐标
应为______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)

6.首项为 ?30 的等差数列,从第 7 项开始为正,则公差 d 的取值范围是 ( ) A. 5 ? d ? 6 B. d ? 6 C. 5 ? d ? 6 D. d ? 5 )

7.一个等差数列共 n 项, 其和为 90, 这个数列的前 10 项的和为 25, 10 项的和为 75, 后 则项数 n 为 ( A.14 B.16 C.18 D.20 8.等差数列

已知数列

?an ? 满足

a1 ?

1 7 4 1 a2 ? an ? 2 ? an ?1 ? an * 9, 3 3 (n ?N ) . 3,

{an } 的前 n 项和为 S n , S9 ? ?18, S13 ? ?52 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 , 则 b15 的值为

(1) 求数列 (2) 求数列

?an ? 的通项公式;
?nan? 的前 n 项和 Sn .

( ) A.64 B.-64 C.128 D.-128 9.已知等比数列的公比为 2,且前四项之和等于 1,那么前八项之和等于( A.15 B.21 C.19 D.17

)

10.记等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 | a3 |?| a11 | ,且公差 d ? 0 ,则当 S n 取最大值时, n ? ( A.4 或 5 11.已知等差数列 A. B.5 或 6 C.6 或 7 D.7 或 8 )



{an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0 ,则有(
B.

a1 ? a101 ? 0

a1 ? a101 ? 0

18. (本小题满分 12 分)

已知数列

?an ?满足

a1 ?

an?1 1 a ? (n ? 2, n ? N ) n ?? 1?n an?1 ? 2 4, .

21. (本小题满分 12 分) 某种汽车购买时费用为 16.9 万元,每年应交付保险费及汽油费共 1 万元;汽车的维修费第一年为 1 千 元,以后每年都比上一年增加 2 千元. (Ⅰ)设使用 n 年该车的总费用(包括购车费用)为

?1 n? ? ? ?? 1? ? a ? 是否为等比数列,并说明理由; (1)试判断数列 ? n

Sn ,试写出 Sn 的表达式;

(Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).

bn ?
(2)设

a n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
2

1

19. (本小题满分 12 分) 数列

{an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t ,点 ( Sn , an?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上, n ? N? . {an } 是等比数列?
{
22. (本小题满分 14 分)

(1)当实数 t 为何值时,数列

1 } b ? log3 an?1 , Tn 是数列 bn ? bn?1 的前 n 项和, (2)在(Ⅰ)的结论下,设 n


y?
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=3,点(Sn,Sn+1)在直线

n ?1 x ? n ? 1(n ? N * ) n 上.

T2011 的值.
(Ⅰ)求证:数列 (Ⅱ)若数列
n

?

Sn n

?

是等差数列; ,求数列

?b ? 满足 bn=2.an

?b ? 的前 n 项和 ?T ?
n n



20 Tn 2 n ?3 (Ⅲ)设 Cn= 2 ,求证:C1+ C2+…+Cn> 27 .
20. (本小题满分 12 分)

x,
已知

f ( x) , 3 ( x ? 0) {a }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此 数 列 的 前 n 项 的 和 Sn 2 成等差数列.又数列 n

( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 (1)求数列

S n ? f (S n?1 ) .

{an } 的第 n+1 项;
1 a n ?1 , 1 a n 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn.

bn 是
(2)若



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