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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)理科数学试题



2013 年佛山二模试题

数 学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? A. ? ?1,3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2? D

. ??2, ?1,0?

?

?

?

?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. 3i C. ? 3i D. ? 3

3.已知数列 {an } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a4 ? 3 ,则数列 {an } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画 出了样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? B.60 D.80
频率/组距

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则 2?

0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

1] A. f ( x ) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] B. f ( x ) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 0 C. f ( x ) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x ) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减.
6.下列命题中假命题是 ...

A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行.

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 ? x ? y ? ?2 ?4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个

第 1 页 共 11 页

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点 P( x, y) 的轨迹 方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法: ① f ( x ) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x ) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④ B y

?

6

0

9 f ( x) dx ? ? . 2

OP

A

x

其中正确的说法个数为: A.0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e
x0

? 0”的否定是

. . . .

10. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
n

2 , ? a ? b? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为
3 2

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于 12.已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为 13.将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大,
s t

3 5 9 ? ? 10 ? 6 12 ?

左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列 的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 = .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

B O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O

相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? , 则 sin ? ? ______.
A E C D

第 2 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S?AOB . 5

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设 工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否

B 堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 、 D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是
到拥堵上学和上班的都会迟到. (1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班? (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

1 1 ,道路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,只要遇 10 5
A D



B




E

C

18. (本题满分 14 分)

、 如 图 甲 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 A B C D , 并 且 满 足 上

AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1EFD1 的位置,使点 A1 在平面 EBCF
上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A E // 平面 CD1F ; 1 (2)求平面 BEFC 与平面 A EFD1 所成二面角的余弦值. 1

A1
A D F E E
D1

F
B

B
图甲

C

G
图乙

C

第 3 页 共 11 页

19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1,0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线 l 过点 M (4,0) .若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在 曲线 C2 上,且直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20. (本题满分 14 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,

1 环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱, 个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度 f ( x ) 与

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? 时间 x (小时)的关系可近似地表示为: f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?
度不低于

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓

3? x?6

1 时,才能对污染产生有效的抑制作用. 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个单位的固体碱, 3

设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投 ...... 放的浓度的累加) ..

21. (本题满分 14 分) 设函数 f 0 ( x) ? x ? e
2 1 ? x 2

,记 f 0 ( x) 的导函数 f0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) ,

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f3 ( x) ,?, f n?1 ( x) 的导函数 fn??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 Sn ? f 2 (0) ? f3 (0) ? ? ? f n?1(0) ,是否存在 n ? N 使 Sn 最大?证明你的结论.
*

第 4 页 共 11 页

2013 年佛山二模
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 C D B C A B 答案 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. ? x?R, e ? 0
x

7 B

8 C

13. 80

? 2 2 11. 8 12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5 4 1 ?? 2 ? 14. ? sin ? ? ? ? ? 15. 3 4? 2 ?
10.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) (1)解法 1、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) 即 OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? )

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0

????2 分 ????3 分 ????4 分 ????1 分 ????2 分 ????3 分 ????4 分

1 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 则 tan ? ? 3 解法 2、由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) kOA ? ?3 , kOB ? tan ? ∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1 1 ?3 tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? 3
(2)解法 1、由(1) OA ?

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? ? ?? 10 10 10 10 4 3 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ∵ OB ? 1 5 5 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ? ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? 2 2 2 10 解法 2、由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 , 3 4 3 2 则 sin ? ? 1 ? cos ? ? 即 B( , ) 5 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? 10 10
又 OA ? ∴ S?AOB ?

?

????6 分 ????8 分 ????10 分 ????12 分 ????6 分 ????8 分

????10 分

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10
????12 分 ????6 分

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? 2 2 10 2 3 4 3 2 解法 3、 sin ? ? 1 ? cos ? ? 即 B( , ) 5 5 5
第 5 页 共 11 页

即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) ,

??? ?

??? ?

4 3 5 5

????7 分

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , OB ? 1

??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 5 5 ? 10 cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB


????9 分

sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ?

3 10 10

????10 分 ????12 分

则 S?AOB ?

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? 2 2 10 2
1 1 和 , 10 5

17. (本题满分 12 分) 解:(1) 因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 , 2 10 2 5 20 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ; 17 (2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是 , 20 17 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 , 20 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? , 甲到乙遇到拥堵的概率也是 ? 3 10 3 10 3 5 15 2 13 ? , 甲到乙没有遇到拥堵的概率也是 1 ? 15 15 17 17 13 3757 ? ? ? ? 0.7 , 李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 20 20 15 6000
所以李生没有七成把握能够按时上班; (3)依题意 ? 可以取 0,1, 2 .

????2 分 ????3 分 ????4 分

????6 分

????8 分

13 17 221 ? ? , 15 20 300 2 3 6 ? P(? ? 2) = ? , 15 20 300

P(? ? 0) =

P(? ? 1) =

2 17 13 3 73 ? ? ? ? , 15 20 15 20 300
????11 分

分布列是: ? 0

1

2

221 73 6 300 300 300 221 73 6 85 17 E? ? ? 0+ ?1+ ? 2= ? . 300 300 300 300 60
p

????12 分

18. (本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1E // D1F ,????????????1 分 注意到 A1E ? 平面 CD1F , D1F ? 平面 CD1F , 所以 A E // 平面 CD1F ; 1
第 6 页 共 11 页

????????????4 分

(Ⅱ)解法 1、如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1H ,

由于 AG ? 平面 EBCF ,则 AG ? EF , 1 1 所以 EF ? 平面 AGH ,则 EF ? A1H , 1 所以 ?A HG 平面 BEFC 与平面 A EFD1 所成二面角的平面角, 1 1 图甲中有 EF ? AH , 又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线,

????????????5 分 ????????????6 分 ????????????8 分 ????????????9 分

A1
A
H
D

D1

F
E

M
G
图甲

H

E B

F

B

C

G
图乙

C

设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF , 所以, BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? 于是, HG ? AG ? AH ? ????????????11 分

AB?AE 6 ? , AG 10

????????????12 分

4 , ????????????13 分 10 2 HG 2 在 Rt ?AGH 中, cos ?A1GH ? ?????14 分 ? ,即所求二面角的余弦值为 . 1 3 A1H 3 解法 2、如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1H ,
由于 AG ? 平面 EBCF ,则 AG ? EF , 1 1 所以 EF ? 平面 AGH ,则 EF ? A1H , 1 图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF , 所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? 于是, HG ? AG ? AH ? 在 Rt ?AGH 中, 1 ??????????6 分 ????????????5 分

AB?AE 6 ? , AG 10

????????????7 分

4 , 10
2 2

? 6 ? ? 4 ? A1G ? A1H ? HG ? ? ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ?
2 2

????????????8 分

作 GT / / BE 交 EF 于点 T ,则 TG ? GC ,以点 G 为原点,分别以 GC、 GT GA所在直线为 、 1

x、 y、 z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G(0,0,0) 、 E (1, ?1,0) 、 F (2, 2,0) 、 A (0,0, 2) , 1
则 EF ? (1,3,0), 1 ? (?1,1, 2) . EA 一个法向量,

??? ?

????

z

???? 显然, GA ? (0,0, 2) 是平面 BEFC 的 1
????????????12 分
第 7 页 共 11 页 T E

A1
D1

?????????11 分

y

F

B

G

C

x

设 n ? ( x, y, z) 是平面 A EFD1 的一个法向量, 1

?

? ??? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? x ? ?3 y , ? ? 则 ? ? ???? ,即 ? ? z ? ?2 2 y ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? 不妨取 y ? ?1 ,则 n ? (3, ?1, 2 2) , ???????????13 分 设 平 面 BEFC 与 平 面 A EFD1 所 成 二 面 角 为 ? , 可 以 看 出 , ? 为 锐 角 , 所 以 , 1 ???? ? GA1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 cos ? ? ???? ? ? ? , 3 | GA1 |? n | | 2 ? 32 ? (?1)2 ? (2 2)2
所以,平面 BEFC 与平面 A EFD1 所成二面角的余弦值为 1 19. (本题满分 14 分)

2 . 3

??????????14 分

解: (1)由题可知,圆心 C 到定点 F ?1,0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等, ??????2 分 由抛物线定义可知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1,0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线,??????4 分 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x . ?????????????5 分

m n (2)方法一、设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、 P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称, 2 2 m ? 8k 2 ?n ? k ( ? 4) m? ? ?2 ?km ? n ? 8k ? ? 2 1 ? k 2 ,?????????????8 分 所以 ? ,即 ? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ? n ? k ? ?1 ?n ? ? 8k y B ? m ? ? 1? k2 ? 将其代入抛物线方程,得: 8k 2 8k 2 ,所以 k 2 ? 1 . ??????9 分 (? ) ? 4? 1? k2 1? k2

O F

M

x

? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: ? 2 ? 2 ?1 b ?a

A

P

(b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 .

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ? 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .
34 ,即 2a ? 34 , 2

??????12 分 ??????13 分

x2 y 2 + ? 1. 此时椭圆的方程为 17 15 2 2 y 2 ?m ? , m ? ,因为 O、 P 两点关于直线 l 对称, 方法二、设 P ? ? 4 ?
则 OM ? MP =4 ,

??????14 分

B

?????????????5 分

2 M O F x ? m2 ? 2 m ? ?4 即 ? ?????????????6 分 ? 4 ? ? m ? 4 ,解之得 A ? 4 ? P 即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 1 A, B 如图.则 k AB ? ? ?????????????9 分 ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 kOP

第 8 页 共 11 页

? y? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 . ? 2 ?1 ? 2 b ?a

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ? 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为
34 ,即 2a ? 34 , 2

??????12 分 ??????13 分

x2 y 2 + ? 1. 17 15 2 2

??????14 分

20. (本题满分 14 分)

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 解: (1)由题意知 ? ??????1 分 x 6 1 或 ? x 1 2? ? ? 1? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3 ? ? 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ??????3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??????4 分 (2)由(1)知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱, 显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 , 当 4 ? x ? 6 时,第一次投放 1 单位固体碱还有残留,故 ? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) ??????6 分 ? g ? x ? = ?1 ? ? + ?2 ? ? = 3 ? 3 ? x ?1 ; 6 ( x ? 4) ? 3 ? ? 6 ? ? 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 8 x 6 ( x ? 4) 6 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? = ? ? ; ??????7 分 ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 x?4 5 x ? ? 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ? ; ??????8 分 6 3 6 6 ?11 x ? 3 ? 3 ? x ?1 4 ? x ? 6 ? 6 ?8 x 6? x?7 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ??????9 分 ? ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ? 当 4 ? x ? 6 时, 11 x 6 10 x ? 1 10 6 10 x ?1 6 g ( x) ? ? ? ?2 2 ; = = ?( ? ) ? ?2 ? 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 x ?1 6 ? 当且仅当 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ?[4,6] ??????11 分 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数; 1 故 g ( x)max = g (7) ? , ??????12 分 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 = ? 0, 又 ( ? 2 2) ? ? 3 2 6 6
第 9 页 共 11 页

所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中碱浓度的最大值为

10 ?2 2 . 3 10 ?2 2 . 3

??????13 分

答: (1)第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时; (2)第一次投放 1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为 21. (本题满分 14 分) ?????14 分

? 1 2 ? ? x x ? 2x ? e 2 , ? 2 ? 1 ?1 ? ? x f2 ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ? 1 ? 1 2 3 ? ?2x f3 ? x ? ? ? ? x ? x ? 3 ? e , 2 ? 8 ? 所以 f3 (0) ? ?3
解: (1)易得, f1 ? x ? ? ? ?
1

??????1 分 ??????2 分

??????3 分

2 ?x (2)不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? e 的导函数为

f n ( x) ? ? an x ? bn x ? cn ? ? e ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .
2

?

?

?x

对 f n ?1 ( x) 求导得: fn??1 ( x) ? [? ? an?1x2 ? (2an?1 ? ? ? bn?1 ) x ? (bn?1 ? ? ? cn?1 )] ? e? x ??????4 分 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: ①, a ? ? ? an?1 ? n ? bn ? 2an?1 ? ? ? bn?1 ②, ? ? cn ? bn?1 ? ? ? cn?1 ③ ? 由①得: an ? ? n , n ? N , 代入②得: bn ? 2 ? ? n?1 ? ? ? bn?1 ,即 故得: bn ? 2n ? ? n?1 , n ? N . 代入③得: cn ? 2n ? ? n?2 ? ? ? cn?1 ,即 故得: cn ? n(n ?1) ? ? n?2 , n ? N , 因此 fn (0) ? cn ? n(n ?1) ? ?

??????6 分

?

bn
n

?

2

?
?

?

? n ?1
?

bn ?1

,其中 n ? 1, 2,? ??????7 分

?

cn
n

2n

?

2

? n ?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? . ??????8 分

,n? N . 1 1 n?2 将 ? ? ? 代入得: f n (0) ? n( n ? 1)( ? ) ,其中 n ? N . 2 2 1 n ?1 (3)由(2)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, 1 S2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? ) 2 k ?1 ? 0 , 2 ? S2k ? S2k ?1 ? 0, S2k ? S2k ?1 ,故当 Sn 最大时, n 为奇数. 当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S2k ?1 ? S2k ?1 ? f 2k ?2 (0) ? f 2k ?1 (0) 1 2k 1 2 k ?1 又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 2 1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) 2 k ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 k ?1 2 2 1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) 2 k ?1 ? 0 , 2
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n ?2

??????9 分

??????10 分

? S2k ?1 ? S2k ?1 ,因此数列 ?S2k ?1? (k ? 1,2,?) 是递减数列.
又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, Sn 取最大值 S1 ? S3 ? 2 . ??????13 分 ??????14 分

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