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第一章集合与函数概念复习教案



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授课时间: 年级: 课时:2 课题: 集合与函数概念复习 教 学 集合与函数概念复习 目 标 重 点 难 点






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备课时间: 学生姓名: 教师姓名:董老师

第一章 集合与函数概念 一、集合的基本概念与运算 (一)元素与集合 1.集合的定义 一般地,我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为 集)。通常用大写字母 A,B,C,D,?表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,?表
教 学 内 容

示元素。 2.集合中元素的特征 (1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合, 那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如,“中国的直辖市”构成一个 集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,杭州、南京、广州??不在这个集 合中。“身材较高的人”不能构成集合;因为组成它的元素是不确定的。 (2)互异性:一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的),也就是说, 集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素,不论多少,只能算作该集合 的一个元素。



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(3)无序性:在一个集合中,不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同,就认为 是同一个集合。 3、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。

4、元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素,就是说 a 属于集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A。 5、常见的数集及记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作 N; 所有正整数组成的集合称为正整数集(在自然数集中排除 0 的集合),记作 N* 或 N+; 全体整数组成的集合称为整数集,记作 Z; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 Q; 全体实数组成的集合称为实数集,记作 R。
拓展与提示:(1)无序性常常作为计算时验证的重要依据。 (2)注意 N 与 N*的区别。N*为正整数集,而 N 为非负整数集,即 0∈N 但 0 ? N*。 (3)集合的分类

?有限集:含有有限个元 素的集合叫做有限集 按元素个数 ? 素的集合叫做无限集 ?无限集:含有无限个元
按元素的特征可分为:数集,点集,形集等等。 特别地, 至少有一个元素的集合叫做非空集合; 不含有任何元素的集合叫做空集 (? ) , 只含有一个元素的集合叫做单元素集。



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【例题】已知 P ? ?x, y,1?, Q ? ?x 2 , xy, x?, 且P ? Q  , 求x, y的值 解析
?y ? x2 , ① 由? ? xy ? 1,

? y ? xy, 或? 2 ? x ? 1,



解①得 x=y=1 这与集合中元素的互异性相矛盾。 解②得 x= -1 或 1(舍去) 这时 y=0 ∴x= -1,y=0 6、集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的所有元素一一列举出来,并用花括号“ ? ? ”括起来表示 集合的方法叫做列举法。 适用条件:有限集或有规律的无限集 形式: ?a1 , a 2 , a3 ,?,a n ? (2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,具体方法 是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围;再画一 条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 适用条件:一般适合于无限集,有时也可以是有限集。 形式: ?x ? D p( x)?,其中 x 为元素,p(x)表示特征。
拓展与提示: 如果集合中的元素的范围已经很明确, 那么 x∈D 可以省略, 只写其元素 x, 如 x ? R x ? 10 可以表示为 x x ? 10 。

?

?

?

?

(3)韦恩图法:把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。 【例题】 用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集: (1)由所有非负奇数组成的集合; (2)由所有小于 10 既是奇数又是质数的自然数组成的集合;


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(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合; (4)方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合。 解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为:
A ? ?x x ? 2n ? 1, n ? N?,A

是无限集。

(2)满足条件的数有 3,5,7,所以所求集合为: B ? ?3,5,7? ,集合 B 是有限集。 (3)所求集合可表示为: C ? ?( x, y) x ?0且y ? 0?,集合 C 是无限集。 (4)因为方程 x2+x+1=0 的判别式的Δ <0,故无实数,所以方程 x2+x+1=0 的实根 组成的集合是空集 ? 。 (二)集合的基本关系 1、子集:一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个无素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作
A ? B(或B ? A) ,读作“A

含于 B”(或“B 包含 A”)。

数学表述法可简述为:若 x ? A ? x ? B ,则集合 A 是集合 B 的子集。(如图) 2、集合相等:如果集合 A 是集合 B 的子集 ( A ? B) ,且集合 B 是集合 A 的子集 ( B ? A) ,此 时,集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B。 数学表述法可描述为:对于集合 A、B,若 A ? B ,且 B ? A ,则集合 A、B 相等。 3、真子集:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A?B 或说:若集合 A ? B ,且 A≠B,则集合 A 是集合 B 的真子集。 4、空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? ,并规定:空集是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集。
拓展与提示:(1) ? ? A, A ? A 。


(2) ? ? B(其中 B 为非空集合) (3)对于集合 A,B,C,若 A ? B, B ? C , 则A ? C 。

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(三)集合间的基本运算 1、并集 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的 并集,记作 A ? B (读作“A 并 B”),即 A ? B ? ?x x ? A, 或x ? B? 可用 Venn 图表示为

拓展与提示:对于任意集合 A、B,有(1) A ? A ? A, A ? ? ? A; (2) A ? B ? B ? A ; (3) A ? ( A ? B), B ? ( A ? B) ;(4) A ? B ? A ? A ? B 。

2、交集 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 称为集合 A 与 B 的交集,记作 A ? B (读作“A 交 B”),即 A ? B ? ?x x ? A, 且x ? B?。
拓展与提示:对于任意集合 A、B,有(1) A ? A ? A, A ? ? ? ? ; (2) A ? B ? B ? A ; (3) ( A ? B) ? A, ( A ? B) ? B ;(4) A ? B ? A ? A ? B ;(5) ( A ? B) ? ( A ? B) 。

可用 Venn 图表示为

3、全集与补集


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(1)全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那 么就称这个集合为全集,通常记作 U。 (2)补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 称为集合 A 相对于全集 U 的补集, 简称为集合 A 的补集, 记作 ?uA ? ? x x ? U , 且x ? A? 。

用 Venn 图表示为

?uU = ? , 拓展与提示: (1)A∩ (?uA) = ? , A∪ (?uA) , =U; (2) 痧 u( uA) = A , ?u? =U;
(3) ?u ( A ? B) = (痧 uA) ? ( uB) , ?u( A ? B) = (痧 uA) ? ( uB) 。 (4)下图中的①~④分别表示为

①A∩ (?uB) ,

② (?uA) ∩B , ③A∩B , ④ (痧 uA) ? ( uB)

【例题】 设集合 A ? ?x 2 ,2x ? 1,?4?, B ? ?x ? 5,1 ? x,9?,若 A∩B= ?9? ,求 A∪B。 解析 由 A∩B= ?9? 得,9∈A。 ∴x2=9 或 2x-1=9 ①由 x2=9 得,x=±3。当 x=3 时, A ? ?9,5,?4?, B ? ?? 2,?2,9?,与元素的互异性矛盾。 当 x=-3 时, A ? ?9,?7,?4?, B ? ?? 8,4,9?,此时, A ? B ? ?? 8,?7,?4,4,9?. ②由 2x-1=9 得 x=5. 当 x=5 时, A ? ?25,9,?4?, B ? ?0,?4,9?,此时, A ? B ? ?? 4,9?,与题设矛盾。 综上所述, A ? B ? ?? 8,?7,?4,4,9?. 4、集合中元素的个数:


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在研究集合时,经常遇到有关集合元素的个数问题,我们把含有限个元素的集 合 A 叫 做 有 限 集 , 用 card 来 表 示 有 限 集 合 A 中 元 素 的 个 数 。 例 如 :
A ? ?a, b, c?, 则card ( A) ? 3 .

一般地,对任意两个有限集 A,B,有 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 当时仅当 A∩B= ? 时,card(A∪B)=card(A)+card(B). 解与集合中元素个数有关的问题时,常用 venn 图。 【例题】学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参赛,又举办了一次球类 运动会,这个班有 12 名同学参赛,两次运动会都参赛的有 3 人,两次运动会中, 这个班共有多少名同学参赛?

?, B ? ?球类运动会参赛的学生 ?,那么 解析 设 A ? ? 田径运动会参赛的学生

?,A ? B ? ?所有参赛的学生 ?, A?B?? 两次运动会都参赛学生
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) =8+12-3=17 答:两次运动会中,这个班共有 17 名同学参赛

二、函数及其表示 (一)函数的概念 1、定义 一般地,我们说: 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为


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集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y ?

f ( x), x ? A

其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 ?f ( x) x ? A?叫做函数的值域,显然,值域是集合 B 的子 集。 2、函数的三要素 (1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。 (2)由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以, 如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。
拓展与提示:(1)函数符号 y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在 18 世纪引入的。 (2)注意区别 f(a)和 f(x),f(x)是指函数解析式,f(a)是指自变量为 a 时的函数值。

3、区间 设 a,b 是两个实数,而且 a<b,我们规定: (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b); (3)满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示 为 ?a, b?, ?a, b? 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点。
定义 名称 闭区间 开区间 符号 [a,b] (a,b) 数轴表示

?x | a ? x ? b? ?x | a ? x ? b?



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?x | a ? x ? b?

半开半 闭区间

?a, b?

?x | a ? x ? b?

半开半 闭区间

?a, b?

实数集常用区间表示为 ? ??, ? ?? ,“∞”读作“无穷大”。 “ ?? ”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”

集合

符号
? ? a, ?? ?

数轴表示

?x | x ? a?

?x | x ? a?

? a, ?? ?
(??, b)

?x | x ? b?
?x | x ? b?

? ??,b?

拓展与提示:(1)在数轴上,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表 示不包括在区间内的端点。 (2)求函数定义域,主要通过下列途径实现。 ①若 f(x)是整式,则定义域为 R; ②若 f(x)为分式,则定义域为使分母不为零的全体实数; ③若 f(x)为偶次根式,则定义域为使被开方数为非负数的全体实数; ④若 f(x)的定义域为[a,b],则 f[g(x)]的定义域是 a≤g(x)≤b 的解集; ⑤若 f[g(x)]的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域是 g(x)在 x ? ?a, b? 下的值

【例题】 求下列函数的定义域
y ? x ?1 ? 1 2? x x ?1 ? 1 有意义,则必须 2? x

域。

解析 要使 y ?

?x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ,即 ?? ? ?2 ? x ? 0 ? x ? 2

x≥-1 且 x≠2,


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故所求函数的定义域为 ?x | x ? ?1且x ? 2? 【例题】 (1)已知函数 f(x)的定义域是[-1,3],求 f(x+1)和 f(x2)的定义域 (2)已知函数 f(2x+3)的定义域为 ?? 1,2? ,求 f(x-1)的定义域

解析 (1)∵f(x)的定义域为[-1,3], ∴f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3 确定,即-2≤x≤2, ∴f(x+1)的定义域为[-2,2]. f(x2)的定义域由-1≤x2≤3 确定,即 ? ∴f(x2)的定义域为[ ? 3,3 ] (2)∵函数 f(2x+3)的定义域为 ?? 1,2? , ∴2x+3 中的 x 满足-1<x≤2, ∴1<2x+3≤7. 令 t=2x+3,则 f(t)的定义域为 ?1,7 ?. 又 1<x-1≤7,∴2<x≤8 ∴f(x-1)的定义域为 ?2,8? 4、反函数 式子 y=f(x)表示 y 是自变量 x 的函数,设它的定义域为 A,值域为 C,我们从 式子 y=f(x)中解出 x 得到 x=g(y), 如果对于 y 在 C 中的任何一个值通过式子 x=g(y),x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x=g(y)表示 y 是自变量 x 的函数,这 样的函数 x=g(y)叫做 y=f(x)的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,一般写成 y ? f ?1 ( x) .
拓展与提示: (1)函数 y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域; (2)函数 y=f(x)的图象和它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称。
3?x? 3

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(二)函数的表示法 1、函数的三种表示法 解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
拓展与提示:(1)函数用列表法表示时,其定义域是表中自变量所取值的全体, 其值域是表中对应函数值的全体。 (2)函数用图象法表示时,其定义域是图象投射到 x 轴上的区域范围,其值域是 图象投射到 y 轴上的区域范围。

2、分段函数 若函数在定义域的不同子集上对应关系不同,可用几个式子来表示函数,这种
? f 1 ( x) x ? D1 ? ? f ( x) x ? D2 f ( x) ? ? 2 ? ?? ? ? f n ( x) x ? Dn

形式的函数叫分段函数,它是一类重要函数,形式是:

分段函数是一个函数,而不是几个函数,对于分段函数必须分段处理,其定义 域为 D1∪D2∪?∪Dn.
拓展与提示:分段函数中,分段函数的定义域的交集为空集。

【例题】 中国移动通信已于 2006 年 3 月 21 日开始在所属 18 个省、 市移动公司陆续 推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个套餐的最大特点是针对不同用户采用 了不同的收费方法,具体方案如下: 方案代 号 1 基本月租 (元) 30 免费时间(分 钟) 48 超过免费时间话费(元/ 分钟) 0.60

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2 3 4 5

98 168 268 388

170 330 600 1000

0.60 0.50 0.45 0.40

请问:“套餐”中第 3 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个 月内每次通话用时之和)的函数关系式。 解析 “套餐”中第 3 种收费函数为
?168,0 ? t ? 330, y1 ? ? ? ? ?168 ? 0.5(t ? 330), t ? 330.

3、复合函数 若 y 是 u 的函数,u 又是 x 的函数,即 y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么 y 关于 x 的函数 y=f[g(x)],x∈(a,b)叫做 f 和 g 的复合函数,u 叫做中间变量,u 的 取值范围是 g(x)的值域。 4、映射 设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任何一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。
拓展与提示:(1)映射包括集合 A、B 以及从 A 到 B 的对应法则 f,三者缺 一不可,且 A、B 必须非空。 (2)A 中的元素在 B 中都能找到唯一的元素和它对应,而 B 中的元素却不 一定在 A 中找到对应元素,即使有,也不一定只有一个。

5、函数解析式的求法 ①待定系数法。若已知函数类型,可设出所求函数的解析式,然后利用已知条

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件列方程或方程组,再求系数。 ②换元法。若已知函数 y ? f ?? ( x)?的解析式,可令 t ? ? ( x) ,并由此求出 x=g(t),然 后代入解析式求得 y=f(t)的解析式,要注意 t 的取值范围为所求函数的定义域。 ③赋值法:可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。
1? ④列方程(组)法求解。若所给式子中含有 f(x), f ? ? ? 或 f(x),f(-x)等形式,可考虑 ? x?

构造另一个方程,通过解方程组获解。 ⑤配凑法。 【例题】 解答下列各题: (1)已知 f(x)=x2-4x+3,求 f(x+1); (2)已知 f(x+1)=x2-2x,求 f(x); (3)已知二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,图象过原点,求 g(x)。 解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x (2)方法一:(配凑法) f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3, ∴f(x)=x2-4x+3 方法二:(换元法)令 x+1=t,则 x=t-1, f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, ∴f(x)=x2-4x+3. (2)由题意设 g(x)=ax2+bx+c,a≠0. ∵g(1)=1,g(-1)=4,且图象过原点,
?a ? b ? c ? 1, ∴? ?a ? b ? c ? 5, ?c ? 0. ?

解得

?a ? 3, ? ?b ? ?2, ?c ? 0. ?
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∴g(x)=3x2-2x. 三、函数的基本性质 (一)函数的单调性 1、单调性 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数,如下图(1)所示。 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数,如下图(2)所示。

如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。
拓展与提示:(1)定义中的 x1,x2 具有任意性,不能用特殊值代替。 (2)若 f(x)在区间 D1,D2 上都是增(减)函数,但 f(x)在 D1∪D2 上不一定是增(减)函数。 (3) 由 于 定 义 域 都 是 充 要 性 命 题 , 因 此 由 f(x) 是 增 ( 减 ) 函 数 , 且

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x 2 ( x1 ? x2 ) ,这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间
的不等关系可以“正逆互推”。

2、函数单调性的判断方法 (1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为
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第一步:取值。设 x1、x2 是该区间内的任意两个值,且 x1<x2。 第二步:作差、变形。准确作出差值,并通过因式分解、配方、分子(分母)有 理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形。 第三步:判断 f(x1)-f(x2)[或 f(x2)-f(x1)]的符号。 第四步:根据定义作出结论。 简记为“取值—作差—变形—定号—结论”。 (2)直接法。运用已知的结论,直接得到函数的单调性,常见结论有: ①函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的单调性相反;②当函数 f(x)恒为正或恒为负时,函数
y? 1 与 f ( x)

y=f(x)的单调性相反;③在公共区间内,增函数+增函数,其和为增函数,

增函数-减函数,其差为增函数等。 (3)图象法:按照作图的方法,准确作出函数的图象,观察判断函数的单调性。 (4)若当 x∈(a,b)时,f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上递增;若当 x∈(a,b)时,f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)上递减。
拓展与提示:定义有如下等价形式 设 x1,x2∈[a,b],那么 ①

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是增函数, ? 0 ? f ( x)在?a, b? x1 ? x 2 x1 ? x 2

上是减函数; ②

( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? f ( x)

在 [ a,b ] 上 是 增 函 数 ,

( x1 ? x2 )? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? f ( x) 上是减函数。

【例题】讨论函数 f ( x) ? ax ? 1 (a ? 1 ) 在(-2,+∞)上的单调性。
x?2 2

解析 设-2<x1<x2,则
f ( x) ? ax ? 2a ? 1 ? 2a 1 ? 2a ?a? . x?2 x?2

∴f(x2)-f(x1)
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= (a ? 1 ? 2a ) ? (a ? 1 ? 2a ).
x2 ? 2 x?2

= (1 ? 2a)(

1 1 ? ). x 2 ? 2 x1 ? 2 x1 ? x 2 . ( x 2 ?2)( x1 ? 2) x1 ? x 2 ? 0. ( x 2 ? 2)( x1 ? 2)

= (1 ? 2a) ?

又∵-2<x1<x2,∴

∴当 1-2a>0,即 a ? 1 时,上式<0,即 f(x2)<f(x1);

2 当 1-2a<0 时,即 a ? 1 时,上式>0,即 f(x2)>f(x1)。 2 ∴当 a ? 1 时, f ( x) ? ax ? 1 在(-2,+∞)上为减函数 2 x?2 当 a ? 1 时, f ( x) ? ax ? 1 在(-2,+∞)上为增函数 2 x?2

3、复合函数的单调性 对于复合函数 y=f[g(x)],若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,则 y=f(t)在区间 (g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数;若 t=g(x)与 y=f(t)单调性相同(同时为增或减), 则 y=f[g(x)]为增函数,若 t=g(x)与 g=f(x)单调性相反,则 y=f[g(x)]为减函数, 简单地说成“同增异减”。 y=f(t) t=g(x) Y=f[g(x)] (二)函数的最大(小)值 1、定义 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;
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增 增 增

减 减 增

增 减 减

减 增 减

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(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 同样地:如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么我们称 M 是函数的最小值。
拓展与提示:(1)函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。 (2)一个连续不断的函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最小值。 (3)求函数最值的常见方法为①构造二次函数;②单调性法;③导数法。

2、二次函数在闭区间上的最值 二次函数 f(x)=ax2+bx+c,当 a>0 时,在闭区间[m,n]上的最值可分如下讨论:
b ? m 时,则最大值为 f(n),最小值为 f(m); 2a ②若 ? b ? n 时,则最大值为 f(m),最小值为 f(n); 2a ③若 m ? b ? n 时,则最大值为 f(m)或 f(n),最小值为 f (? b ) . 2a 2a 例 已知 1 ? a ? 1 ,若 f(x)=ax2-2x+1,在[1,3]上最大值为 3

①若 ?

M(a),最小值为

N(a),令 g(a)=M(a)-N(a),求 g(a)的函数表达式。 解析
1? 1 ? f ( x) ? a? x ? ? ? 1 ? a? a ?
2

.

∵ 1 ? a ? 1 ,∴ 1 ? 1 ? 3 .
3 a

又∵ x ∈[1,3]. ∴当 x ? 1 时 ,
a

f(x)min=N(a)= 1 ? 1
a 2

a

当 1 ? 1 ? 2 ,即 1 ? a ? 1 时, f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5.
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当 2 ? 1 ? 3,即 1 ? a ? 1 时,
a 3 2

f(x)max=M(a)=f(1)=a-1
1 1 ? 9a ? ? 6, ? a ? 1, ? a 2 ∴ g (a) ? M (a) ? N (a) ? ? ? ?a ? 1 ? 2, 1 ? a ? 1 . ? a 3 2 ?

(三)函数的奇偶性 1、定义 偶函数:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做偶函数。 奇函数:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)就叫做奇函数。
拓展与提示:①并不是所有的函数都具备奇偶性,这些既不是奇函数又不偶函数的函数 称为非奇非偶函数;既是奇函数又是偶函数的函数只有一个,就是 f(x)=0。 ②判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称,否则称为非奇非偶函数。

2、函数奇偶性的性质 (1)若函数 f(x)是偶函数,那么: ①对任意定义域的 x,都有 f(-x)=f(x); ②函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ③函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。 (2)若函数 f(x)是奇函数,那么: ①对任意定义域内的 x,都有 f(-x)=-f(x); ②函数 f(x)的图象关于坐标原点对称; ③函数 f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。 3、函数奇偶性的判定方法
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(1)定义法 f(x)是奇函数 ?
f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0

f(x)是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 (2)利用图象的对称性 f(x)是奇函数 ? f(x)是偶函数 ?
f ( x) 的图象关于原点对称。 f ( x) 的图象关于

y 轴对称。

例 设函数 f(x)对任意 x、 y∈R, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 x>0 时, f(x)<0, f(1)=-2。 (1)求证:f(x)为奇函数 (2)试问在-3≤x≤3 时,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明 理由。 解析 (1)∵f(x)对于任意 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立 ∴令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。 (2)设 x1<x2 时,且 x1、x2∈R,则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1), 由已知 x>0 时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0 ∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在 R 上为减函数 ∴f(x2)在[-3,3]上,当 x=-3 时,f(x)取最大值,即 f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6; 当 x=3 时,f(x)取最小值,即 f(x)min=f(3)=-6.

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