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高一数学必修四第一章 1.1.3 第2课时



第2课时

第 2 课时

补集及综合应用

【读一读学习要求,目标更明确】
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1.了解全集、补集的意义; 2.正确理解补集的概念,正确理解符号“?UA”的涵义; 3.会求已知全集的补集, 并能正确应用它们解决一些具体问题. 【看一看学法指导,学习更灵活】 通过观察和

类比,借助 Venn 图理解集合的补集及集合的综合 运算,进一步树立数形结合的思想;进一步体会类比的作用; 感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.

填一填·知识要点、记下疑难点

第2课时

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1.全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元

全集 U 素,那么就称这个集合为__________,通常记作_____.

填一填·知识要点、记下疑难点

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2.补集
不属于集合A 对于一个集合A,由全集U中______________ 自然语言 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集 ?UA U的补集,记作__________ {x|x∈U,且x?A} 符号语言 ?UA=____________________

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图形语言

填一填·知识要点、记下疑难点

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3.补集与全集的性质
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? U A (1)?UU=____;(2)?U?=____;(3)? U(? UA)=_____; U ? (4)A∪(?UA)=_____;(5)A∩(?UA)=_____.

研一研·问题探究、课堂更高效

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问题探究一 全集、补集概念 问题 1 方程(x-2)(x2-3)=0 的解集在有理数范围内与在实 数范围内有什么不同?通过这个问题你得到什么启示?

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方程在有理数范围内的解集为{2},在实数范围内的解集

为{2, 3,- 3}.数学学科中很多问题都是在某一范围内进 行研究.如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求 解是不同的.类似这些给定的集合就是全集.

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问题 2 U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B= {全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系?
答 U=A∪B, 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下

来的集合.

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第2课时

问题 3 全集和补集是怎样定义的?怎样用 Venn 图表示集 合 A 在全集 U 中的补集?

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(1)全集的定义:一般地, 如果一个集合含有我们所研

究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通 常记作 U.
(2)补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的 补集,简称为集合 A 的补集,记作?UA,即?UA={x|x∈ U,且 x A}.

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(3)用 Venn 图表示:(阴影部分即为 A 在全集 U 中的补
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集)

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例1

(1)设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},

B={3,4,5,6},求? UA,? UB. (2)设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形}, B={x|x 是钝角三角形},求 A∩B,? U(A∪B).

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(1)根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以?UA=

{4,5,6,7,8},?UB={1,2,7,8}.
(2)根据三角形的分类可知 A∩B=?,A∪B={x|x 是锐角三 角形或钝角三角形}, ?U(A∪B)={x|x 是直角三角形}.

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小结

研究补集必须是在全集的条件下研究,而全集因研究

问题不同而异,全集常用 U 来表示.

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跟踪训练 1 已知 A={0,2,4,6},? SA={-1,-3,1,3},?SB
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={-1,0,2},用列举法写出集合 B.
解 ∵A={0,2,4,6},?SA={-1,-3,1,3},

∴S={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.
而?SB={-1,0,2},∴B=?S(?SB)={-3,1,3,4,6}.

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第2课时

问题探究二 全集、补集的性质
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问题

集合 A 与?UA 之间有什么关系?



A∩(?UA)=?, A∪(?UA)=U, U(?UA)=A, UU=?, ? ?

?U?=U.

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例2

第2课时

已知集合 S={x|1<x≤7}, A={x|2≤x<5}, B={x|3≤x<7}.

求:(1)(?SA)∩(?SB);(2)?S(A∪B);(3)(?SA)∪(?SB); (4)?S(A∩B).
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如图所示,可得

A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7},

?SA={x|1<x<2,或 5≤x≤7},
?SB={x|1<x<3}∪{7}.

由此可得:(1)(?SA)∩(?SB)={x|1<x<2}∪{7}.

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(2)?S(A∪B)={x|1<x<2}∪{7};
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(3)(?SA)∪(?SB)={x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}={x|1<x<3,或 5≤x≤7};
(4)?S(A∩B)={x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}={x|1<x<3,或 5≤x≤7}.

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小结

根据补集定义,借助 Venn 图,可直观地求出补集,

此类问题,当集合元素个数较少时,可借助 Venn 图;当集 合中元素无限个时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.

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跟踪训练 2 设全集 U≠?,已知集合 M、P、S 之间满足关 系:M=? UP,P=? US,则集合 M 与 S 之间的正确关系是 ( B )
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A.M=? US C.S M

B.M=S D.M S

解析

如图,由?UP=? U(?US)=S,立即可得 M=S,故

正确选项为 B

.

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问题探究三 集合交、并、补的综合运算
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问题 1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的?

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第2课时

问题 2 求不等式解集的补集时需注意什么问题?
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(1)实点变虚点、虚点变实点.如 A={x|-1≤x<5},则

?RA={x|x<-1,或 x≥5};
(2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时, 要防止漏解. 如
? ?1 ? A=?x? ? ? ?x ? ? ?1 ? ? <0? ,? RA≠?x? ? ? ? ? ?x ? ? ≥0?={x|x>0}. ? ?

应先求出 A={x|x<0},再求? RA={x|x≥0}.

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例 3 已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<3},若 A∪(?RB)= R,求实数 a 的取值范围.
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解 ∵B={x|1<x<3},∴?RB={x|x≤1 或 x≥3}, 因而要使 A∪(?RB)=R,结合数轴分析(如图),

可得 a≥3.

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小结

与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数

轴分析法分析求解.

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跟踪训练 3 已知全集 U=R,集合 A={x|x<-1},B=
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{x|2a<x<a+3},且 B??RA,求 a 的取值范围.

解 由题意得?RA={x|x≥-1}. (1)若 B=?,则 a+3≤2a,即 a≥3,满足 B??RA.
1 (2)若 B≠?,则由 B?? RA,得 2a≥-1 且 2a<a+3,即- 2 1 ≤a<3.综上可得 a≥- . 2

练一练·当堂检测、目标达成落实处

第2课时

本 1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则? UA 等于( D ) 课 栏 A.{1,3} B.{3,7,9} 目 开 C.{3,5,9} D.{3,9} 关

解析

在集合 U 中,去掉 1,5,7,剩下的元素构成?UA.

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第2课时

2. 已知全集 U=R, 集合 M={x|x2-4≤0}, UM 等于( C ) 则?
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A.{x|-2<x<2} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|x<-2 或 x>2} D.{x|x≤-2 或 x≥2}
解析 ∵M={x|-2≤x≤2},∴?UM={x|x<-2 或 x>2}.

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3.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN)={2,4},则 N
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等于( B ) A.{1,2,3} C.{1,4,5}
解析

B.{1,3,5} D.{2,3,4}

由 M∩(?UN)={2,4}可得集合 N 中不含有元素 2,4,

集合 M 中含有元素 2,4,故 N={1,3,5}.

第2课时

1.全集与补集的互相依存关系
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(1)全集并非是包罗万象,含有任何元素的集合,它是对 于研究问题而言的一个相对概念,它仅含有所研究问题 中涉及的所有元素,如研究整数,Z 就是全集,研究方 程的实数解, 就是全集. R 因此, 全集因研究问题而异.

第2课时

(2)补集是集合之间的一种运算.求集合 A 的补集的前提是 A
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是全集 U 的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同 的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念. (3)? UA 的数学意义包括两个方面:首先必须具备 A?U;其次 是定义?UA={x|x∈U,且 x?A},补集是集合间的运算关系.

第2课时

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2.补集思想 做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全 集 U, 求子集 A, 若直接求 A 困难, 可先求?UA, 再由?U(?
UA)=A

求 A.



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