高一数学必修四第一章 1.1.3 第2课时

第2课时

第 2 课时

补集及综合应用

【读一读学习要求，目标更明确】
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1．了解全集、补集的意义； 2.正确理解补集的概念，正确理解符号“?UA”的涵义； 3.会求已知全集的补集， 并能正确应用它们解决一些具体问题． 【看一看学法指导，学习更灵活】 通过观察和类比，借助 Venn 图理解集合的补集及集合的综合 运算，进一步树立数形结合的思想；进一步体会类比的作用； 感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元

全集 U 素，那么就称这个集合为__________，通常记作_____.

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2．补集
不属于集合A 对于一个集合A，由全集U中______________ 自然语言 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集 ?UA U的补集，记作__________ {x|x∈U，且x?A} 符号语言 ?UA＝____________________

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图形语言

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3.补集与全集的性质
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? U A (1)?UU＝____；(2)?U?＝____；(3)? U(? UA)＝_____； U ? (4)A∪(?UA)＝_____；(5)A∩(?UA)＝_____.

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问题探究一 全集、补集概念 问题 1 方程(x－2)(x2－3)＝0 的解集在有理数范围内与在实 数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？

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答

方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集

为{2， 3，－ 3}．数学学科中很多问题都是在某一范围内进 行研究．如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求 解是不同的．类似这些给定的集合就是全集．

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问题 2 U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝ {全班没有参加足球队的同学}，则 U、A、B 有何关系？
答 U＝A∪B， 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下

来的集合．

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问题 3 全集和补集是怎样定义的？怎样用 Venn 图表示集 合 A 在全集 U 中的补集？
答
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(1)全集的定义：一般地， 如果一个集合含有我们所研

究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通 常记作 U.
(2)补集的定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集 合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的 补集，简称为集合 A 的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈ U，且 x A}．

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(3)用 Venn 图表示：(阴影部分即为 A 在全集 U 中的补
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集)

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例1

(1)设 U＝{x|x 是小于 9 的正整数}，A＝{1,2,3}，

B＝{3,4,5,6}，求? UA，? UB. (2)设全集 U＝{x|x 是三角形}，A＝{x|x 是锐角三角形}， B＝{x|x 是钝角三角形}，求 A∩B，? U(A∪B)．

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解
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(1)根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以?UA＝

{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}．
(2)根据三角形的分类可知 A∩B＝?，A∪B＝{x|x 是锐角三 角形或钝角三角形}， ?U(A∪B)＝{x|x 是直角三角形}．

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小结

研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究

问题不同而异，全集常用 U 来表示．

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跟踪训练 1 已知 A＝{0,2,4,6}，? SA＝{－1，－3,1,3}，?SB
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＝{－1,0,2}，用列举法写出集合 B.
解 ∵A＝{0,2,4,6}，?SA＝{－1，－3,1,3}，

∴S＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?SB＝{－1,0,2}，∴B＝?S(?SB)＝{－3,1,3,4,6}．

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问题探究二 全集、补集的性质
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问题

集合 A 与?UA 之间有什么关系？

答

A∩(?UA)＝?， A∪(?UA)＝U， U(?UA)＝A， UU＝?， ? ?

?U?＝U.

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例2

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已知集合 S＝{x|1<x≤7}， A＝{x|2≤x<5}， B＝{x|3≤x<7}．

求：(1)(?SA)∩(?SB)；(2)?S(A∪B)；(3)(?SA)∪(?SB)； (4)?S(A∩B)．
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解

如图所示，可得

A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，

?SA＝{x|1<x<2，或 5≤x≤7}，
?SB＝{x|1<x<3}∪{7}．

由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．

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(2)?S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
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(3)(?SA)∪(?SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3，或 5≤x≤7}；
(4)?S(A∩B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3，或 5≤x≤7}．

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小结

根据补集定义，借助 Venn 图，可直观地求出补集，

此类问题，当集合元素个数较少时，可借助 Venn 图；当集 合中元素无限个时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

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跟踪训练 2 设全集 U≠?，已知集合 M、P、S 之间满足关 系：M＝? UP，P＝? US，则集合 M 与 S 之间的正确关系是 ( B )
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A．M＝? US C．S M

B．M＝S D．M S

解析

如图，由?UP＝? U(?US)＝S，立即可得 M＝S，故

正确选项为 B

.

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问题探究三 集合交、并、补的综合运算
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问题 1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的？

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答

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问题 2 求不等式解集的补集时需注意什么问题？
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答

(1)实点变虚点、虚点变实点．如 A＝{x|－1≤x<5}，则

?RA＝{x|x<－1，或 x≥5}；
(2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时， 要防止漏解． 如
? ?1 ? A＝?x? ? ? ?x ? ? ?1 ? ? <0? ，? RA≠?x? ? ? ? ? ?x ? ? ≥0?＝{x|x>0}． ? ?

应先求出 A＝{x|x<0}，再求? RA＝{x|x≥0}．

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例 3 已知集合 A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，若 A∪(?RB)＝ R，求实数 a 的取值范围．
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解 ∵B＝{x|1<x<3}，∴?RB＝{x|x≤1 或 x≥3}， 因而要使 A∪(?RB)＝R，结合数轴分析(如图)，

可得 a≥3.

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小结

与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数

轴分析法分析求解．

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跟踪训练 3 已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x<－1}，B＝
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{x|2a<x<a＋3}，且 B??RA，求 a 的取值范围．

解 由题意得?RA＝{x|x≥－1}． (1)若 B＝?，则 a＋3≤2a，即 a≥3，满足 B??RA.
1 (2)若 B≠?，则由 B?? RA，得 2a≥－1 且 2a<a＋3，即－ 2 1 ≤a<3.综上可得 a≥－ . 2

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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本 1．已知集合 U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则? UA 等于( D ) 课 栏 A．{1,3} B．{3,7,9} 目 开 C．{3,5,9} D．{3,9} 关

解析

在集合 U 中，去掉 1,5,7，剩下的元素构成?UA.

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2． 已知全集 U＝R， 集合 M＝{x|x2－4≤0}， UM 等于( C ) 则?
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A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|x<－2 或 x>2} D．{x|x≤－2 或 x≥2}
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2 或 x>2}．

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3．设全集 U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则 N
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等于( B ) A．{1,2,3} C．{1,4,5}
解析

B．{1,3,5} D．{2,3,4}

由 M∩(?UN)＝{2,4}可得集合 N 中不含有元素 2,4，

集合 M 中含有元素 2,4，故 N＝{1,3,5}．

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1．全集与补集的互相依存关系
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(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对 于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题 中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方 程的实数解， 就是全集． R 因此， 全集因研究问题而异．

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(2)补集是集合之间的一种运算．求集合 A 的补集的前提是 A
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是全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同 的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． (3)? UA 的数学意义包括两个方面：首先必须具备 A?U；其次 是定义?UA＝{x|x∈U，且 x?A}，补集是集合间的运算关系．

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2．补集思想 做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全 集 U， 求子集 A， 若直接求 A 困难， 可先求?UA， 再由?U(?
UA)＝A

求 A.