9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

不等式复习课课件



不等式复习课

一、不等关系与不等式:
1、实数

a, b

大小比较的基本方法

2、不等式的性质:(见下表)

? a ? b ? o ? a ? b; ? ? a ? b ? 0 ? a ? b; ? a ? b ? 0 ? a ? b. ?

/>不等式的性质 对称性





a ? b ? b ? a; a ? b ? b ? a 传递性 a ? b, b ? c ? a ? c 加法性质 a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 乘法性质 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd 指数运算性质 a ? b ? 0 ? a n ? b n ; a ? b ? 0 ? n a ? n b
倒数性质

1 1 a ? b, ab ? 0 ? ? a b

二、一元二次不等式 △=b2-4ac △>0

ax2 ? bx ? c ? 0 ? ? 0?及其解法
△=0
1

△<0

ax ? bx ? c ? 0
2

?x x ? x 或x ? x ?
2

? b? ?x ? R x ? ? ? 2a ? ?

R ? R ?

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ax ? bx ? c ? 0
2

?x x

1

? x ? x2 ?
2 1

? R
? b ? x x ? ? ? ? 2a ? ?

?x x ? x 或x ? x ?

?x x
y
O

1

? x ? x2 ?

y ? f ? x? ? ax 2 ? bx ? c

y

y

图像:

x1

x2

x

O

x x=-b/2a

O

x

3.二元一次不等式的平面区域的判定: 坐标平面内的任一条直线Ax+By+C=0把坐标平面分成三 部分,即直线两侧的点集及直线上的点集,它们构成不同的平 面区域. 在相应直线的一侧任取一点(x0,y0),代入Ax+By+C,通过 Ax0+By0+C的正负,结合原不等号方向判定.一般取原点(0,0).
4.简单线性规划问题的解法: (1)目标函数、约束条件、线性规划、可行解、最优解 (2)解题步骤:设出未知数,列出约束条件,确定目标函数,作出可行 域,作平行线使直线与可行域有交点,求出最优解并作答. (3)简单线性规划问题的解法称为图解法,即通过研究一族平行直 线与可行域有交点时,直线在y轴上的截距的最大(小)值求解.

5.基本不等式: (1)重要不等式:对任意实数a,b,a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b时,等号成立. 基本不等式:a,b是正数,则 ab ? a ? b ,当且仅当 2 a=b时,等号成立. (2)设x,y都是正数,则有 若x+y=p(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2/4; 若xy=s(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2 p (3)利用基本不等式求最大(小)值问题要注意”一正二 定三相等”,为了达到使用基本不等式的目的,常常需 要对代数式进行通分分解等变形,构造和为定值或积 为定值的模型.

一、选择题:
1. 已知 a ? b ,不等式:(1) a 成立的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2
2

? b ;(2)
2

A

1 1 ? a b

1 1 ? ;(3) a ? b a


2、不等式

x ?3 ? x ? ? x ? x ? 2? ?1 的解集是(B

D.

3

? 1? ? 1 ? ? 1? A. ? x x ? ? ? , B.?, C. ? x x ? ? 或x ? 1? , D. ? x x ? ?1, 或x ? ? 2? 2 2? ? ? ? ?
3 、设变量 为 (C)

x、 y

? x ? y ? ?1, ? 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值 ? y ? 2, ?
(C). 13 D. 14

A.10

B. 12

2 2 则? ? ? 的取值范围是 ( ) A. ? ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ? 0

4、角?,? 满足 ?

?

?? ? ? ?

?

,

B

2 2 2 2 5、a, b ? R, 下面四个命题: a (1) a ? b ? 0 ? a 2 ? b 2 ( 2) ? c ? a ? bc b b (3) ac2 ? bc2 ? a ? b ( 4) a ? b ? 0 ? ?1 a 其中真命题是 ( ) A. (1)和( 2) B.(1)和(3) C. ( 2)和( 4) D.(3)和( 4)

C. ?

?

?? ?? ?

?

D. ?

?

?? ?? ?

?

D

6.(2009·全国Ⅰ)不等式 | A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1} C.{x|-1<x<0}

x ?1 |? 1的解集为 x ?1

( D)

D.{x|x<0}
解析 由题意可知,? 1 ? x ? 1 ? 1,
x ?1

2x 2 即 ? 0且 ? 0, 所以 x ? 0. x ?1 x ?1

7.(2008·全国Ⅱ)设变量x,y满足约束条件: ? y ? x, ? ? x ? 2 y ? 2,则z=x-3y的最小值为 ? x ? ?2, ? A.-2 B.-4 C.-6 D.-8

(D )

解析

作出可行域如图所示.
可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时, z有最小值, 此时z的最小值为-2-3×2=-8.

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 8.(2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?

z ? ax ? by(

a>0, b
B.

2 3 >0)的最大值为12,则 a ? b 的最小值为( )

A

25 A. 6 二、填空题:
1.已知 ?、? 是方程 则实数

8 3

C.

11 3

D. 4

x2 ? ? 2k ?1? x ? 4 ? 2k ? 0

k

的取值范围是

? ??, ?3?

的两个实根,且

? ? 2 ? ?,

.

2.已知

x, y

? x ? 4 y ? ?3, 满足 ? ?3 x ? 5 y ? 25, 则 ? x ? 1, ?

y z? x?3

1? ? ?? , ? ? ?1, ?? ? ? ? 2? 的取值范围是? .

3.已知

lg x ? lg y ? 1, 则

5 2 ? x y

的最小值是

2

.

?1 , x?0 ? ?x , 则不等式 4.(2009·北京)若函数f(x)= ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ?3 1
|f(x)|≥ 的解集为[-3,1] _______. 3 ?x ? 0 解析 (1) | f ( x) |? 1 ? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0. 3 | |? ? ? x 3
?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? (2) | f ( x) |? ? ? 1 x 1 ? ? 1 x 1 3 ?| ( ) |? ( ) ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 0 ? x ? 1. 1 ∴不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}. 3

三、解答题: 1、已知:函数 求:
f ( x) ? 满足 ax ? c,
2

?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
f ( 3) 的取值范围.

解:因为f(x)=ax2-c,
1 ? a ? [ f (2) ? f (1)] ? ? 3 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

所以 解之得

? f (1) ? a ? c ? ? f (2) ? 4a ? c

所以f(3)=9a-c=

因为 ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
8 8 40 5 5 20 所以 ? ≤ f (2) ≤ ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3 3 3 3 还有其它 两式相加得-1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) ? ? f (1) ? ? f (2) 利用对应系数相等
解法吗?

8 5 f (2) ? f (1) 3 3

求的?与? ,从而求其范围.

2、解不等式ax2-(2a+1)x+2>0. 解 ①当a=0时,由题意可知, 原不等式的解集为{x|x<2}.

②当a≠0时,原不等式可化为:

1 a ( x ? 2)( x ? ) ? 0, a
x1=2,x2=1 . 则 a

即方程ax2-(2a+1)x+2=0的两根分别为

1 1 ⅰ)当a> 2 时,原不等式的解集为{x|x>2或x< a }. 1 1 ⅱ)当0<a< 2 时,原不等式的解集为{x|x> a 或

x<2}.
1 ⅲ)当a= 时,原不等式的解集为{x|x≠2}. 2 1 ⅳ)当a<0时,原不等式的解集为{x| <x<2}. a

【探究拓展】在解含参数不等式时,应首先对参数进 行分类讨论,但对分类标准的把握既是重点也是难点, 特别是变量的系数含有参数,一定要讨论参数是否为

零,然后再进行求解,切记.

变式训练1 解
?

x2 (k ? 1) x ? k ? . 解关于x的不等式 2? x 2? x

( x ? 1)( x ? k ) ? 0. x?2

2 原式可化为 x ? (k ? 1) x ? k x?2

①当k<1时,原不等式的解集为(k,1)∪(2,+∞);
②当k=1时,原不等式的解集为(2,+∞);

③当1<k<2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);
④当k=2时,原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞); ⑤当k>2时,原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).

题型二

利用函数的性质求参数的取值范围

3、若不等式x2-ax+1≥0对于一切x∈(0,2]成立,

求a的取值范围.

1 (1)若题中区间改为x∈(0, 2 ],求a的取值范围;

(2)若题中区间改为x∈[-2,2],求a的取值范围; (3)若题中区间改为a∈[-2,2],求x的取值范围. 解 原不等式可化为 x2 ?1 2x 而 ? ? 2, x x

x2 ?1 a? , x

所以a的取值范围是(-∞,2].

x2 ?1 x2 ?1 1 (1)因为 a ? , 令f ( x) ? ? x? , x x x 1 则函数f(x)在区间(0, ]上是减函数,
2 1 5 所以f(x)min= f ( ) ? , 2 2 5 所以a的取值范围是(-∞, ]. 2 (2)因为x∈[-2,2],而当x=0时,

原式为02-a·0+1≥0恒成立,此时a∈R; x2 ?1 当x≠0时,因为 a ? , x 2 x ?1 1 令f ( x) ? ? x? , x x 则当x∈(0,2]时,知a∈(-∞,2],

所以当x∈[-2,0)时,
2 2 x ? 1 x ?1 1 因为 a ? , 令f ( x) ? ? x? , x x x 由函数的单调性可知,

所以f(x)max=f(-1)=-2,所以a∈[-2,+∞),

综上可知,a的取值范围是[-2,2].
(3)因为a∈[-2,2],则可把原式看作关于a的函数, 即g(a)=-xa+x2+1≥0,由题意可知,

? g ( ?2) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , 解之得x∈R, ? 2 ? g ( 2) ? x ? 2 x ? 1 ? 0 所以x的取值范围是(-∞,+∞).

变式:
若8x4-8(a-2)x2-a+5>0对任意实数x均成立,求实数a 的取值范围.
8 x 4 ? 16 x 2 ? 5 15 25 2 a? ?x ? ? 2 8x ? 1 8 8(8 x 2 ? 1) 1 25 7 2 ? (8 x ? 1) ? ? 2 8 8(8 x ? 1) 4 ?a ? 3

【探究拓展】本题考查了不等式恒成立问题,在给定 自变量的取值范围时,解有关不等式问题时,往往采 用分离变量或适当变形,或变换主元,或构造函数,再 利用函数的单调性或基本不等式进行求解,在解答 时,一定要注意观察所给不等式的形式和结构,选取

合适的方法去解答.

变式训练2

已知不等式x2+px+1>2x+p.

(1)若当2≤x≤4时,不等式恒成立,求p的范围;

(2)若当-2≤p≤2时,不等式恒成立,求x的范围.
解 (1)原不等式可化为p(x-1)>-x2+2x-1, 又因为2≤x≤4,所以p>1-x, 所以p的取值范围是(-1,+∞). (2)原式可看作关于p的函数
? f(p)=(x-1)p+x2-2x+1 > 0, (? 2) ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ?f ? 2 ? f ( 2 ) ? x ?1 ? 0 ? 又因-2≤p≤2,所以 ,

解之得x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

(1)若不等式ax ? bx ? c ? 0解集是 ? x x ? ? 或x ? ? ? ,
2

变式:

其中? ? ? ? 0, 不等式cx ? bx ? a ?
2

? 1 1? ? ?x?? ? ?x 0解集是 _________ ? ?? ?

(2)若关于x的不等式mx2-mx-1<0的解集是(-∞,+ ∞), 则m的取值范围是_________. (-4,0]

题型三

线性规划问题

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? 设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的 ? ?2 x ? y ? 14 ? 0,

平面区域为M,使函数y=ax (a>0,a≠1)的图象过区 域M的a的取值范围是________. 解析 因为二元一次不等式组
? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? ? x ? y ? 8 ? 0, ? ?2 x ? y ? 14 ? 0,

所表示的平面区域为M,如图 阴影部分且左、右两端点坐标分别为P(1,9),Q(3, 8),由函数y=ax的图象经过区域M,如图所示.

1 ? a ? ?9 , 即2 ? a ? 9. 则由图象可知 ? 3 ? ?a ? 8 所以a的取值范围是[2,9].

答案

[2,9]

【探究拓展】在求解线性规划问题时,一定要准确画 出约束条件下的可行域,再根据目标函数的要求求出 相关的数据,进而解答该题.

变式训练3

表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线
7 x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为_____. 4

? x ? 0, ? (2008·安徽)若A为不等式组 ? y ? 0, ? y ? x ? 2, ?

解析

如图所示,区域A表示的

平面区域为△OBC内部及其边
界组成的图形,当a从-2连续变 化到1时扫过的区域为四边形 ODEC所围成的区域. S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE
1 7 ? 2? ? . 4 4

9、 要将两种大小不同规格的钢板截成 A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y 15

调整优值法

作出一组平行直线z=x+y,

10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y A(18/5,39/5) 8 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

2x+y=15

12x+y=12 18x+2y=18
作直线x+y=12

27

x

x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解. 答(略)

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y 15 9
B(3,9)
C(4,8)

打网格线法

目标函数t = x+y

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12

78
2x+y=15

18

作出一组平行直线t = x+y, 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解, 在可行域内打出网格线,将直线x+y=11.4继续向上平移, 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解.答:(略)

x+2y=18 x+3y=27

27

x

10、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容
积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为 150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池 能使总造价最低?最低总造价是多少?

分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: z ? 150 ? 4800 ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)
3 ? 240000 ? 720(x ? y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy
z ? 240000 ? 720 ? 2 1600
z ? 297600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

1 例5 (1)已知x>1,求 x+ 的最小值以及取得最 x ?1 小值时x的值。 2 2 (2)求 y ? sin ? ? 的最小值. 2 sin ?
解(1):∵x>1 ∴x-1>0

1 1 ∴x+ =(x-1)+ +1 x ?1 ( x ? 1)

1 ≥2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) +1=3

通过加减项的方法配凑 成基本不等式的形式.

(2)

但 sin ? ?

2 y ? sin ? ? ?2 2 2 sin ? 2 4 sin ? ? 2 ? (0,1] 2 2
2

sin ?
2

时,

故等号不成立
2 y ? sin ? ? 2 sin ? 在(0,1]上是减函数
2

? sin ? ? 1 时,函数有最大值3
2

变式:
(1)下列函数中,最小值为4的是( C

4 (A) y ? x ? x 4 ?0 ? x ? ? ? (B) y ? sinx ? sinx (C)y ? 4e x ? e -x
(D)y ? log 3 x ? log x 3

)

?0 ? x ? 1?

1 5 (2)已知 x ? ,则函数 y ? 4 x ? 2 ? 4x ? 5 4
2 x ? 6 x ? 14 10 (3)函数 y ? ( x ? ?1) 的最小值是__ x ?1 _.

的最大值是__.

1

2.(2009·天津)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b= 1 1 ( C) 2 3 , 则 x ? y 的最大值为 1 A.2 B. 3 C.1 D. 2 2 解析 因为ax=by=3,所以x=loga3,y=logb3,
1 1 a?b 2 ? ? log3 ab ? log3 ( ) ? 1. x y 2

2 x ? y ? 4, ? ? 4.(2009·海南(宁夏)理)设x,y满足 x ? y ? ?1, ? ? ? x ? 2 y ? 2, B 则z=x+y A.有最小值2,最大值3

B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 解析 如图作出不等式组表示的

可行域,由于z=x+y的斜率大于
2x+y=4的斜率,因此当z=x+y过点 (2,0)时,z有最小值,但z没有最 大值.

?? x ? 1, x ? 0, 5.已知函数 f ( x) ? ? 则不等式x+(x+1)· x ? 0, ? x ? 1, f(x+1)≤1的解集是 ( )

A.{x|-1≤x≤ 2 ? 1 } B.{x|x≤1}

C.{x|x≤ 2 ? 1 }
D.{x| ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1 } 解析 (1)当x+1<0,即x<-1时, ① f(x+1)=-(x+1)+1=-x. ∴原不等式可化为x+(x+1)(-x)≤1. 解①得,-x2≤1,x∈R, 此时不等式的解集为{x|x<-1}.

(2)当x+1≥0,即x≥-1时,f(x+1)=x, ∴原不等式可化为x+(x+1)x≤1. 解②得 ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1, ∴-1≤x≤ 综上可知原不等式的解集为
2 ? 1.



{x|x<-1}∪{x|-1≤x≤ 2 ? 1 }={x|x≤ 2 ? 1 }.
答案 C

2ab 6.若a是1+2b与1-2b的等比中项,则 的最大值 | a | ?2 | b |



解析

2 5 A. 15

a是1+2b与1-2b的等比中项,
a2+4b2=1,因求

2 B. 4

5 C. 5

2 D. 2

( B)

2ab 的最大值, ? | a | ?2 | b | 1 所以a、b同号,不妨令a>0,0<b< , a ? 2b 2 2 ( ) 2ab a ? 2b 2 所以 ? ? | a | ?2 | b | a ? 2b a ? 2b

则a2=1-4b2,

?

a ? 2b 1 2 ? ? 2(a 2 ? 4b 2 ) ? . 4 4 4 2 2 1 ,b ? ? . 2 4 2

此时a ?

二、填空题

4 ? x2 3 ≤k(x+1)的解集为区间[a,b],且 7.若不等式 2 b-a=1,则k=____. y ? 4 ? x2

解析

由数形结合,半圆
2

在直线y=k(x+1) 之 3

下必须x3 2=2,x 1=1,则直线y=k(x+1)过点(1, .
则k=

),

9.已知:x∈(0, 1 ),则
2

解析

x∈(0, 1 ),1-2x>0,又2x+(1-2x)=1,
2

2 9 的最小值为____. ? 25 x 1? 2x

原式可化为: ( 4 ?

9 )[ 2 x ? (1 ? 2 x)] 2x 1? 2x

2(1 ? 2 x) 18x ? 13 ? ? x 1 ? 2x 2(1 ? 2 x) 18x ? 13 ? 2 ? ? 25 . x 1 ? 2x

不等式及其性质

? ? ? ? ?

一元二次不等式及其解法

简单的线性规划

基本不等式

课后完成本章测试题



更多相关文章:
一元一次不等式及其应用专题复习
一元一次不等式及其应用专题复习_其它技巧_PPT制作技巧_PPT专区。原创复习资料,值得一看!由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 (教案 (备战中考) ...
高考数学一轮复习 不等式选讲 第讲 证明不等式的基本方法练习 理 选修--课件
高考数学一轮复习 不等式选讲 第讲 证明不等式的基本方法练习 理 选修--课件_数学_高中教育_教育专区。不等式选讲 第 2 讲 证明不等式的基本方法练习 理 ...
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第讲 不等关系与一元二次不等式习题-课件
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第讲 不等关系与一元二次不等式习题-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 ...
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 理-课件
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 理-课件_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式、推理与证明 ...
高考数学一轮复习 不等式选讲 第讲 绝对值不等式练习 理 选修--课件
高考数学一轮复习 不等式选讲 第讲 绝对值不等式练习 理 选修--课件_数学_高中教育_教育专区。不等式选讲 第 1 讲 绝对值不等式练习 理 选修 4.5 [A 组...
高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第讲直接证明与间接证明习题(新)-课件
高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第讲直接证明与间接证明习题(新)-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、 推理与证明 ...
一元二次不等式的解法复习课教学设计
一元二次不等式的解法复习课教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。一元二...内容讲解: 三个二次关系表格(课件呈现) 归纳求解二次不等式一般步骤 3.知识...
第二章 方程与不等式(组)复习教案
教学手段及运用: 多媒体课件,运用多媒体课件让学生更容易观察理解 教学方法运用: 复习知识,教师讲解,学生练习 教学过程: 一、知识点复习 考点一 不等式的概念及其...
2013年高考数学总复习( 7-1) 不等式的性质及解法课件 新人教B版
2013年高考数学总复习( 7-1) 不等式的性质及解法课件 新人教B版_调查/报告_表格/模板_应用文书。2013 年高考数学总复习 7-1 不等式的性质及解法但因为测试 ...
高考数学不等式复习
高考数学复习课件_基本不... 12页 1下载券 09届高考数学不等式复习 19页 1下载券高​考​数​学​不​等​式​复​习 ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图