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2011年四川省泸州市中考数学试题与答案(word版)



2011 年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 2 分,共 24 分) 1、 (2011?泸州)25 的算术平方根是( ) A、5 B、﹣5 C、±5 D、

考点:算术平方根。 专题:计算题。 分析:根据算术平方根的定义进行解答即可. 2 解答:解:∵(5) =25, ∴25 的算术平方根是 5. 故选 A. 2

点评:本题考查的是算术平方根的概念,即如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. 2、 (2011?泸州)如图,该图形绕点 O 按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( )

A、72° B、108° C、144° D、216° 考点:旋转对称图形。 专题:常规题型。 分析:该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是 72°,并且圆具有旋转不变性,因而旋转 72 度的整数倍,就可以与自身重合. 解答:解:该图形被平分成五部分,旋转 72 度的整数倍,就可以与自身重合, 因而 A、C、D 都正确,不能与其自身重合的是 B. 故选 B. 点评:本题考查旋转对称图形的概念:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种 图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角. 3、 (2011?泸州)已知函数 ,则自变量 x 的取值范围是( )

A、x≠2

B、x>2

C、

D、

且 x≠2

考点:函数自变量的取值范围。 分析:要使函数有意义,则根式里被开方数不小于 0,分母不为 0,列出不等式解出答案. 解答:解:要使函数有意义, 则 ,解得 x≥ 且 x≠2,

故选 D. 点评:主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义.函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 4、 (2011?泸州)如图,∠1 与∠2 互补,∠3=135°,则∠4 的度数是( )

1

A、45° B、55° C、65° D、75° 考点:平行线的判定与性质;对顶角、邻补角。 专题:计算题。 分析:因为∠1 与∠2 互补,所以 a∥a,又因为∠3=∠5,所以∠4 与∠5 互补,则∠4 的度数可求. 解答:解:∵∠1 与∠2 互补, ∴a∥a, ∵∠3=∠5, ∴∠5=135°, ∵a∥a, ∴∠4 与∠5 互补, ∴∠4=180°﹣135°=45°. 故选 A.

点评:本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的 关键. 5、 (2011?泸州)小明的父亲饭后出去散步,从家中出发走 20 分钟到一个离家 900 米的报亭看报 10 分钟 后,用 15 分钟返回家,下列图中表示小明的父亲离家的距离 y(米)与离家的时间 x(分)之间的函数关 系的是( )

A、

B、

C、 D、 考点:函数的图象。 分析:从小明散步的时间段看,分为 0﹣20 分钟散步,20﹣30 分钟看报,30﹣45 分钟返回家,按时间段 把函数图象分为三段. 解答:解:依题意,0﹣20 分钟散步,离家路程增加到 900 米, 20﹣30 分钟看报,离家路程不变, 30﹣45 分钟返回家,离家路程减少为 0 米. 故选 D. 点评: 本题考查利用函数的图象解决实际问题. 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义, 理解问题的过程, 就能够通过图象得到函数问题的相应解决. 6、 (2011?泸州)如图所示的两台天平保持平衡,已知每块巧克力的重量相等,且每个果冻的重量也相等, 则每块巧克力和每个果冻的重量分别为( )

A、10g,40g B、15g,35g C、20g,30g D、30g,20g 考点:二元一次方程组的应用。 分析:根据图可得:3 块巧克力的重=2 个果冻的重;1 块巧克力的重+1 个果冻的重=50 克,由此可设出未
2

知数,列出方程组. 解答:解:设每块巧克力的重 x 克,每个果冻的重 y 克,由题意得: ,解得: .

故选 C. 点评:此题主要考查了二元一次方程组的应用,关键是弄懂题意,找出题目中的相等关系,列出方程组. 7、 (2011?泸州)已知⊙O 的半径 OA=10cm,弦 AB=16cm,P 为弦 AB 上的一个动点,则 OP 的最短距离为 ( ) A、5cm B、6cm C、8cm D、10cm 考点:垂径定理;垂线段最短;勾股定理。 专题:计算题。 分析:根据直线外一点到直线上任一点的线段长中垂线段最短得到当 OP 为垂线段时,即 OP⊥AB,OP 的 最短,再根据垂径定理得到 AP=BP= AB= ×16=8,然后根据勾股定理计算出 OP 即可.

解答:解:当 OP 为垂线段时,即 OP⊥AB,OP 的最短,如图, ∴AP=BP= AB= ×16=8, 而 OA=10, 在 RR△OAP 中, OP= = =6(cm) .

故选 B. 点评:本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧;也考查了垂线段最短以及勾 股定理. 8、 (2011?泸州)设实数 a,a 在数轴上对应的位置如图所示,化简 的结果是( )

A、﹣2a+a B、2a+a C、﹣a D、a 考点:二次根式的性质与化简;实数与数轴。 分析:根据数轴上 a,a 的值得出 a,a 的符号,a<0,a>0,以及 a+a>0,即可化简求值. 解答:解:根据数轴上 a,a 的值得出 a,a 的符号,a<0,a>0,a+a>0, ∴ =﹣a+a+a=a,

故选:D. 点评:此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴,根据数轴得出 a,a 的符号是解决问题的关键. 9、 (2011?泸州)如果圆锥的底面周长为 20π,侧面展开后所得扇形的圆心角为 120°,则该圆锥的全面积 为( ) A、100π B、200π C、300π D、400π 考点:圆锥的计算。 分析:圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长,利用弧长公式可求得圆锥的母线长,进而利用圆 锥的侧面积= 底面周长×母线长可求得该圆锥的侧面积. 解答:解:设圆锥的母线长为 R,则 =20π,

3

解得 R=30, 圆锥的侧面积= ×20π×30=300π, 底面半径为:20π÷2π=10, 2 所以底面积为:π10 =100π. 总面积为:300π+100π=400π 故选 D. 点评: 本题考查圆锥侧面积公式的运用; 用到的知识点为: 圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长. 10、 (2011?泸州)如图是一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的

小正方体最多块数是( ) A、8 B、10 C、12 D、14 考点:由三视图判断几何体。 分析:主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,再根据主视图与俯视 图得出答案, 解答:解:根据几何体的主视图和俯视图,可以得出从主视图看最少有 6 个,从俯视图看,最左边正方形 前后可以有三列,分别有三个, 故最多有 3×3+3=12 个, 故选:C. 点评:此题主要考查了三视图的概念.根据从俯视图看,最左边正方形前后可以有三列,分别有三个从而 得出答案是解决问题的关键. 11、 (2011?泸州)如图,在 RR△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将 BC 向 BA 方向翻折过去,使点 C 落在 BA 上的点 C′,折痕为 BE,则 EC 的长度是( )

A、

B、

C、

D、

考点:翻折变换(折叠问题) 。 专题:数形结合。 分析:作 ED⊥BC 于 D,可得含 30°的 RR△CED 及含 45°的直角三角形 BED,设所求的 EC 为 x,则 CD=0.5x, BD=BE= x,根据 BC=5 列式求值即可. x,

解答:解:作 ED⊥BC 于 D,设所求的 EC 为 x,则 CD= x,BD=BE= ∵∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10, ∴BC=AC×cBBC=5, ∵CD+BD=5, ∴CE=5 故选 B. ﹣5,

4

点评:考查翻折变换问题;构造出含 30°及含 45°的直角三角形是解决本题的突破点. 2 12、 (2011?泸州)已知二次函数 y=ax +ax+c(a,a,c 为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①aac 2 >0,②a ﹣4ac<0,③a﹣a+c>0,④4a﹣2a+c<0,其中正确结论的个数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4 考点:二次函数图象与系数的关系。 专题:计算题。 分析:首先根据开口方向确定 a 的取值范围,根据对称轴的位置确定 a 的取值范围,根据抛物线与 y 轴的 2 交点确定 c 的取值范围,根据抛物线与 x 轴是否有交点确定 a ﹣4ac 的取值范围,根据图象和 x=2 的函数 值即可确定 4a+2a+c 的取值范围,根据 x=1 的函数值可以确定 a<a+c 是否成立. 解答:解:∵抛物线开口朝下,∴a<0, ∵对称轴 x=1=﹣ ,∴a>0,

∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方,∴c>0, ∴aac<0,故①错误; 根据图象知道抛物线与 x 轴有两个交点, 2 ∴a ﹣4ac>0,故②错误; 根据图象知道当 x=﹣1 时,y=a﹣a+c=0, 故③错误; 根据图象知道当 x=﹣2 时,y=4a﹣2a+c<0,故④正确. 故选 A. 点评:此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 a 的关系,以及二次 函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)把答案填写在题中横线上. 13、 (2011?泸州)某样本数据是 2,2,x,3,3,6,如果这个样本的众数是 2,则 x 的值是 2 . 考点:众数。 专题:应用题。 分析:根据众数的定义,确定出数据中出现次数最多的数即为 x. 解答:解:∵2,2,x,3,3,6 中,众数是 2, 于是可知 x=2. 故答案为 2. 点评:此题考查了众数的定义:一组数据中,出现次数最多的数叫该组数据的众数,众数可以有多个. 14、 (2011?泸州)已知反比例函数 的图象在第一、三象限,则 m 的取值范围是 m> .

考点:反比例函数的性质。 分析:根据反比例函数的图象位于一、三象限,2m+1>0,解不等式即可得结果. 解答:解:由于反比例函数 则 2m+1>0, 的图象位于第一、三象限,

5

解得:m>



故答案为:m>﹣ . 点评:本题考查了反比例函数的性质,k>0 时,函数图象位于一三象限;k<0 时,函数位于二四象限. 15、 (2011?泸州)矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,AB=4cm,∠AOB=60°,则矩形的面积为 16 cm .
2

考点:矩形的性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理。 专题:计算题。 分析:根据矩形的性质得出 AC=BD,OA=OC,OD=OB,∠ABC=90°,推出 OA=OB,得到等边三角形 ABO, 求出 AC,由勾股定理求出 BC,计算即可. 解答:解:∵矩形 ABCD, ∴AC=BD,OA=OC,OD=OB,∠ABC=90°, ∴OA=OB, ∵∠AOB=60°, ∴△ABO 是等边三角形, ∴AC=2OA=2AB=8, 由勾股定理得:BC= 矩形的面积是 BC?AB=4 故答案为:16 . ×4=16 =4 . ,

点评:本题主要考查对矩形的性质,等边三角形的性质和判定,勾股定理等知识点的理解和掌握,能求出 AC、BC 的长是解此题的关键. 2 2 16、 (2011?泸州)已知关于 x 的方程 x +(2k+1)x+k ﹣2=0 的两实根的平方和等于 11,则 k 的值为 1 . 考点:根与系数的关系;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式。 2 2 2 分析:由题意设方程 x +(2k+1)x+k ﹣2=0 两根为 x1,x2,得 x1+x2=﹣(2k+1) 1?x2=k ﹣2,然后再根据 ,x 两实根的平方和等于 11,从而解出 k 值. 2 2 解答:解:设方程方程 x +(2k+1)x+k ﹣2=0 设其两根为 x1,x2 2 得 x1+x2=﹣(2k+1) 1?x2=k ﹣2, ,x 2 2 △=(2k+1) ﹣4×(k ﹣2)=4k+9>0, ∴k>﹣ , ∵x1 +x2 =11, 2 ∴(x1+x2) ﹣2x1x2=11, 2 2 ∴(2k+1) ﹣2(k ﹣2)=11, 解得 k=1 或﹣3; ∵k>﹣ , 故答案为 k=1. 点评:此题应用一元二次方程根与系数的关系解题,利用两根的和与两根的积表示两根的平方和,把求未 知系数的问题转化为解方程的问题. 17、 (2011?泸州)如图,半径为 2 的圆内接等腰梯形 ABCD,它的下底 AB 是圆的直径,上底 CD 的端点在
2 2

圆周上,则该梯形周长的最大值是 10 考点:二次函数的最值;等腰梯形的性质;解直角三角形。 2 分析:根据圆心为 O,则 OA=OB=OC=OD=2,设腰长为 x,设上底长是 2a,利用勾股定理得出,则 x ﹣(2
6

﹣a) =R ﹣a =CP ,再利用二次函数最值求出即可. 解答:解:圆心为 O,则 OA=OB=OC=OD=2,设腰长为 x

2

2

2

2

设上底长是 2a,过 C 作直径的垂线,垂足是 P,则 x ﹣(2﹣a) =R ﹣a =CP 代入整理得 a=2﹣ y=4+2x+2a, =4+2x+4﹣ =﹣ , ,所以,

2

2

2

2

2

+2x+8,

∴该梯形周长的最大值是:

=

=10.

故答案为:10. 2 点评:此题主要考查了二次函数的最值以及等腰梯形的性质和解直角三角形,根据题意得出 x ﹣(2﹣a) 2 2 2 2 =R ﹣a =CP 从而利用二次函数最值求法求出是解决问题的关键. 18、 (2011?泸州)如图,是用三角形摆成的图案,摆第一层图需要 1 个三角形,摆第二层图需要 3 个三角 形,摆第三层图需要 7 个三角形,摆第四层图需要 13 个三角形,摆第五层图需要 21 个三角形,…,摆

第 n 层图需要 n ﹣n+1 个三角形. 考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。 分析:观察可得,第 1 层三角形的个数为 1,第 2 层三角形的个数为 3,比第 1 层多 2 个;第 3 层三角形 的个数为 7,比第 2 层多 4 个;…可得,每一层比上一层多的个数依次为 2,4,6,…据此作答. 2 解答:解:观察可得,第 1 层三角形的个数为 1,第 2 层三角形的个数为 2 ﹣2+1=3, 3 第 3 层三角形的个数为 3 ﹣3+1=7, 2 第四层图需要 4 ﹣4+1=13 个三角形 2 摆第五层图需要 5 ﹣5+1=21. 2 那么摆第 n 层图需要 n ﹣n+1 个三角形. 2 故答案为:21;n ﹣n+1. 点评:此题考查了平面图形的有规律变化,要求学生的通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律,并 应用规律解决问题. 三、 (本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分) 19、 (2011?泸州)计算: .

2

考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。 分析:本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根化简、特殊角的三角函数值 4 个考点.在计算时,需要针对 每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答:解: =1﹣2+ +2, =3. 点评:此题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟 ,

7

练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算. 20、 (2011?泸州)先化简,再求值: 考点:分式的化简求值。 专题:计算题。 分析:先通分,然后进行四则运算,最后将 x= 解答:解:原式= × = 代入即可得出答案. × = ,其中 .

将 x=

代入原式=

=2



点评:本题主要考查了分式的化简求值,解答此题的关键是把分式化到最简,然后代值计算. 21、 (2011?泸州)如图,已知 D 是△ABC 的边 AB 上一点,CE∥AB,DE 交 AC 于点 O,且 OA=OC,猜想线 段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系,并加以证明.

考点:平行四边形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:根据 CE∥AB,DE 交 AC 于点 O,且 OA=OC,求证△ADO△△ECO,然后求证四边形 ADCE 是平行四 边形,即可得出结论. 解答:线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是:平行且相等. 证明:∵CE∥AB, ∴∠DAO=∠ECO, ∵OA=OC, ∴△ADO△△ECO, ∴AD=CE, ∴四边形 ADCE 是平行四边形, ∴CD AE. 点评:此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是求证 △ADO△△ECO,然后可得证四边形 ADCE 是平行四边形,即可得出结论. 四、 (本大题共 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分)

22、 (2011?泸州)求不等式组

的整数解.

考点:一元一次不等式组的整数解。 专题:探究型。 分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,在其公共解集内找出符合条件的 x 的整数值即可.

解答:解:

,由①得,x≤2,由②得,x>﹣3,

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故此不等式组的解集为:﹣1<x≤2,x 的整数解为:﹣2,﹣1,0,1,2. 故答案为:﹣2,﹣1,0,1,2. 点评:本题考查的是一元一次不等式组的整数解,求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同 小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 23、 (2011?泸州)甲口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为 2 和 7,乙口袋中装有两个相同的小 球,它们的标号分别为 4 和 5,丙口袋中装有三个相同的小球,它们的标号分别为 3,8,9.从这 3 个口 袋中各随机地取出 1 个小球. (1)求取出的 3 个小球的标号全是奇数的概率是多少? (2)以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度,求这些线段能构成三角形的概率. 考点:列表法与树状图法;三角形三边关系。 分析: (1)因为此题需要三步完成,所以采用树状图法最简单,所以先画树状图,然后根据树状图求得所 有等可能的结果与取出的 3 个小球的标号全是奇数的情况,然后利用概率公式即可求得答案; (2)根据(1)中的树状图求得这些线段能构成三角形的情况,再根据概率公式求解即可. 解答:解: (1)画树状图得: ∴一共有 12 种等可能的结果, 取出的 3 个小球的标号全是奇数的有 2 种情况, ∴取出的 3 个小球的标号全是奇数的概率是: = .

(2)∵这些线段能构成三角形的有 2、4、3,7、4、8,7、4、9,7、5、3,7、5、8,7、5、9 共 6 种情 况, ∴这些线段能构成三角形的概率为 = .

点评:此题考查了树状图法求概率.注意树状图法适合于两步及两步以上完成的事件.用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 五、 (本大题共 2 个小题,每小题 7 分,共 14 分) 24、 (2011?泸州)如图,已知函数 的图象与一次函数 y=kx+a 的图象交于点 A(1,

m) ,B(n,2)两点. (1)求一次函数的解析式; (2)将一次函数 y=kx+a 的图象沿 x 轴负方向平移 a(a>0)个单位长度得到新图象,求这个新图象与函 数 的图象只有一个交点 M 时 a 的值及交点 M 的坐标.

考点:反比例函数与一次函数的交点问题。
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专题:函数思想。 分析: (1)将点 A(1,m) ,B(n,2)代入反比例函数的解析式,求得 m、n 的值,然后将其代入一次函 数解析式,即用待定系数法求一次函数解析式; (2)根据题意,写出一次函数变化后的新的图象的解析式,然后根据根的判别式求得 a 值.最后将 a 值 代入其中,求得 M 的坐标即可. 解答:解: (1)∵点 A(1,m) ,B(n,2)在反比例函数的图象上, ∴ ,解得, ;

∴一次函数 y=kx+a 的图象交于点 A(1,6) ,B(3,2)两点. ∴ ,解得, ,

∴一次函数的解析式是 y=﹣2x+8; (2)一次函数 y=kx+a 的图象沿 x 轴负方向平移 a (a>0)个单位长度得到新图象的解析式是:y=﹣2(x+a) +8. 根据题意,得 ∴x +(a﹣4)x+3=0; ∴这个新图象与函数 ∴△=(a﹣4) ﹣12=0, 解得,a=4±2 ①当 a=4﹣2 解方程组,得 ,∴M( ,2 ) ; ; 时,
2 2



的图象只有一个交点,

②当 a=4+2 解方程组,得

时,

∴M(﹣

,﹣2

) . ,M( ,2 )或 M(﹣ ,﹣2 ) .

综上所述,a=4±2

点评:本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题.用待定系数法确定函数的解析式,是常用的一种 解题方法.同学们要熟练掌握这种方法. 25、 (2011?泸州)如图,一艘船以每小时 60 海里的速度自 A 向正北方向航行,船在 A 处时,灯塔 S 在船 的北偏东 30°,航行 1 小时后到 B 处,此时灯塔 S 在船的北偏东 75°, (运算结果保留根号) (1)求船在 B 处时与灯塔 S 的距离; (2)若船从 B 处继续向正北方向航行,问经过多长时间船与灯塔 S 的距离最近.
10

考点:解直角三角形的应用-方向角问题。 专题:计算题。 分析: (1)延长 AB,作 SC⊥AC,垂足为 C,构造两个直角三角形,用 SC 的值表示出 AC、BC 的值,即可 求出 CS 的值,再求出 BS 的值,再根据∠CBS=75°求出 BS; (2)根据(1)中计算,求出 BC 的长,再根据船的航速,利用时间=路程÷速度即可求出船从 B 处继续向 正北方向航行与灯塔 S 的距离最近的时间. 解答:解: (1)延长 AB,作 SC⊥AC,垂足为 C. 设 SC=x. 在 RR△ASC 中,AC=xcBR30°= x; )x.

在 RR△BSC 中,BC=xcBR75°=(2﹣ ∵AB=60 海里, 又∵AB=AC﹣BC= ∴(2 BS= x﹣(2﹣

)x=(2

﹣2)x, +1)海里.

﹣2)x=60, 解得:x=15( = =30 海里.

故(1)BS=30

海里; = 小时.

(2)船与灯塔 S 的最近距离为 CS,船的航行时间为

点评: 此题考查了解直角三角形﹣﹣﹣方向角问题, 构造出两个直角三角形, 利用三角函数是解题的关键. 六、 (本大题共 2 个小题,其中第 26 小题 7 分,第 27 小题 10 分,共 17 分) 26、 (2011?泸州)如图,点 P 为等边△ABC 外接圆劣弧 BC 上一点. (1)求∠BPC 的度数; (2)求证:PA=PB+PC; (3)设 PA,BC 交于点 M,若 AB=4,PC=2,求 CM 的长度.

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考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;圆周角定理。 专题:证明题。 分析: (1)由圆周角定理得∠BPC 与∠BAC 互补; (2)在 PA 上截取 PD=PC,可证明△ACD△△BCP,则 AD=PB,从而得出 PA=PB+PC; (3)容易得到△CDM△△ACM,所以 CM:AM=DM:MC=DC:AC=2:4=1:2,设 DM=x,则 CM=2x,BM=4 ﹣2x,PM=2﹣x,AM=4x,△BPM△△ACM,所以 BP:AC=PM:CM,即 3x:4=(2﹣x) :2x,解此方式方 程求出 x. 解答:解: (1)∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°, ∵点 P 为等边△ABC 外接圆劣弧 BC 上一点, ∴∠BPC+∠BAC=180°, ∴∠BPC=120°, (2)在 PA 上截取 PD=PC, ∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°, ∴△PCD 为等边三角形,∴∠ADC=120°, ∴△ACD△△BCP,∴AD=PB, ∴PA=PB+PC; (3)∵△CDM△△ACM,∴CM:AM=DM:MC=DC:AC=2:4=1:2, 设 DM=x,则 CM=2x,BM=4﹣2x,PM=2﹣x,AM=4x, ∵△BPM△△ACM, ∴BP:AC=PM:CM, 即 3x:4=(2﹣x) :2x, 解得,x= 则 x= (舍去负号) , ,∴CM= .

点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性 质,是一个综合题,难度较大. 27、 (2011?泸州)已知二次函数 y=ax +ax+c 的图象的顶点坐标为
2

,且



(1)若该函数的图象经过点(﹣1,﹣1) . ①求使 y<0 成立的 x 的取值范围. ②若圆心在该函数的图象上的圆与 x 轴、y 轴都相切,求圆心的坐标. (2)经过 P(0,p)的直线与该函数的图象相交于 M,N 两点,过 M,N 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M1, 2 N1, △MAM1, AM1N1, ANN1 的面积分别为 B1,2,3, 设 △ △ B B 是否存在 m, 使得对任意实数 p≠0 都有 B2 =mB1B3 成立,若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由. 考点:二次函数综合题。 分析: (1)根据二次函数 y=ax +ax+c 的图象的顶点坐标为
2

,且

,以及函数的图象

经过点(﹣1,﹣1) ,得出关于 a,a,c 的方程组,解方程组求出 a,a,c 的值. ①画出图象,即可得出使 y<0 成立的 x 的取值范围; ②根据圆与直线相切得出 OQ=FO,再解一元二次方程即可得出; 分别表示出△MAM1, AM1N1, ANN1 △ △ (2) 分别过 M, 作直线 l: N y=﹣1 的垂线, 垂足分别是 M1 和 N1. 2 的面积 B1,B2,B3 再条件 B2 =mB1B3 成立进而求出 m 的值.

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解答:解: (1)∵二次函数 y=ax +ax+c 的图象的顶点坐标为 又∵函数的图象经过点(﹣1,﹣1) , 代入二次函数解析式得:

2

,且



,解得:



y=﹣ x ﹣ , ①利用函数图象可知使 y<0 成立的 x 的取值范围是:全体实数; ②若圆心在该函数的图象上的圆与 x 轴、y 轴都相切, 假设与 x 轴切点为 Q,与 y 轴切点为 F,

2

∴OQ=FO, ∴﹣x=﹣ x ﹣ , 整理得:x ﹣2x+1=0, 解得:x1=x2=1, ∴QO=FO=1, ∴圆心的坐标为: (1,﹣1)或(﹣1,1) ; 2 (2)存在 m,使得对任意实数 p≠0 都有 B2 =mB1B3 成立. 点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及圆的切线性质和三角形面积求法,二次函数的综合应用是 初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握.
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