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“否定之否定”规律在解数学题中的应用


“否定之否定”规律在解数学题中的应用 刘 忠(江西省永丰中学) 本文发表于《中学数学研究》2005 年第 9 期 马克思主义哲学是科学的世界观和方法论.辩证唯物主义认为, “否定之否定”规律揭 示了事物发展的前进趋势和迂回曲折的途径, 它和对立统一规律、 量变质变规律一样都是社 会和思维发展的普遍规律. 所谓否定,是指事物向自己的他者(自己的对立面)转化,经过第二次否定,他者又 转化为自己的对立面,即在形式上又转化为这一事物本身.因此,在否定之否定阶段就会出 现与肯定阶段相似的某些特征. 培养学生的辩证唯物主义观点是中学数学的教学目的之一 .作为数学教师我们应该从 揭示数学本身蕴含的哲学思想中对学生进行辩证唯物主义观点的熏陶, 使学生在数学知识和 方法的学习过程中学会用变化、联系的观点去观察、分析问题. 一、 体现“否定之否定”规律的解题技巧 在中学数学中,正与负、加与减、乘与除、乘方与开方以及原函数与反函数等都是对 立的,即是互为否定的,体现“否定之否定”这一规律的数学结论有: , ( a ) 2 ? a(a ? 0) 和若 y ? f ( x ) 是定义域 ? ( ?a ) ? a , a ? b ? b ? a , a ? b ? b ? a ( b ≠ 0 ) 为 A 值域为 B 且存在反函数的函数,则 f f 例1 已知 x ? ? ?1 ( x ) ? x ( x ? B ) , f ?1 ? f ( x )? ? x( x ? A) 等. ? 5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5 5 分析 解此题首先会想到均值不等式, 但由 x ? 知 4 x ? 5 ? 0 .因此, 将已知函数解析 4 1 式变为 y ? 4 x ? 5 ? ? 3 后还不符合“正”的条件,若将 4 x ? 5 变形为 ? ?? (4 x ? 5)? 4x ? 5 问题便可解决. 解 ∵ y ? 4x ? 5 ? 1 1 1 ? 3 ? ??? (4 x ? 5)? ? ? 3 ? ?(5 ? 4 x ? ) ? 3 ? ?2 4x ? 5 ? ?? (4 x ? 5)? 5 ? 4x 1 ? 3 ? 1 ,当且仅当 5 ? 4 x ? 1 即 x ? 1 时等号成立. ∴当 x ? 1 时, ymax ? 1 . 5 ? 4x 例2 分析 刃而解. 解 作出方程 xy ? x ? y ? 0 所表示的曲线. 若将原方程变形为 ( xy ? x ? y ? 1) ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)( y ? 1) ? 1 ,问题便可迎 原方程即 ( xy ? x ? y ? 1) ? 1 ? 0 ,亦即 ( x ? 1)( y ? 1) ? 1 ,亦即 y ? 1 ? 1 . x?1 将反比例函数 y ? 1 的图象按向量(-1,-1)平移(或向左、向下分别平移一个单位)便得 x 出已知方程所表示的曲线,图略. 例3 解 判定函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) 的奇偶性. 已 知 函 数 的 定 义 域 显 然 为 R. 又 ∵ f (? x ) ? lg( x 2 ? 1 ? x ) ? lg ( x 2 ? 1 ? x )( x 2 ? 1 ? x ) x2 ? 1 ? x ? lg 1 x ?1 ? x 2 ? ? lg( x 2 ? 1 ? x ) ? ? f ( x ) . ∴ f ( x ) 为奇函数. 例4 已知 a ? 4, b ?

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