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正余弦定理综合应用 (1)



正余弦定理的应用

题型一、证明三角恒等式问题

P18

例9

例1、在△ABC中,求证:

a ? b sin A ? sin B (1) 2 ? ; 2 c sin C 2 2 2 (2)a ? b ? c ? 2(bc cos A ? ca cos B ? ab cos C )
2 2 2 2

变式、在△ABC中,若a : b : c ? 1: 3 : 5


2sin A ? sin B 的值为多少? sin C

题型一、正、余弦定理综合应用问题

A?C 7 例2.已知 4sin ? cos 2 B ? 2 2 (1)求角B的度数;
2

(2)若 b ?

3, a ? c ? 3 ,且a>c, 求a和c的值.

变1:已知 (a ? c)(a ? c) ? bc ? b ,求A.
2

变2:已知 sin A ? sin B ? sin B sin C ? sin C,求A.
2 2 2

( a ? bc ) x ? 2 b ? c x ? 1 ? 0 是关于x 的二次方程,其中 a, b, c 是△ABC的
变3:已知
2 2 2 2

三边,若方程有两相等的实数根,求A的度数?

题型二、确定三角形的形状

例题:在△ABC中,若 a cos A ? b cos B 判断△ABC的形状

变式:在△ABC中,若
判断△ABC的形状

B?

?
3

且b ? ac
2

练习:在△ABC中,如果 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 , 并且B为锐角,试判断此三角形的形状特征。

解:由 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 , 得:sin B ?

a 2 sin A 2 ,将A=135o-C代入上式,得 ? ? ? c 2 sin C 2

2 2

? B=45o

2 sin C ? 2 sin(135? ? C)

? sin C ? sin C ? cos C

∴C=90o ,综上所述,△ABC是等腰直角三角形。

题型四、面积问题

3 变式1.△ABC的面积为 , 且b ? 2, c ? 3求A 2 1 变式2、在△ABC中, a ? 2, b ? 3,cos C ? , 3 求△ABC的面积及外接圆半径

a?b?c ?? sin A ? sin B ? sin C
a ? b ? c 变式3、已知△ABC的面积 S ? 4
2 2 2

求C角的大小?

变式4、已知△ABC的三边长

a ? 3, b ? 5, c ? 6

求△ABC的面积

P16

例7、例8 A组 13

结论:P20

B组 1

2

题型五、范围问题

例8,a ,a+1,a+2 构成钝角三角形,求a 的取值范围。 变式:锐角三角形的三边长为2,x,3, 求x的取值范围。 练习: 三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时,x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时,x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时,x的取值范围

题型六、长度问题

课堂练习
1.三角形的三边分别为4,6,8,则此三角形 为( C )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
2.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,求a的 取值范围. 1<a<3

总结 1.正弦定理可解决的两类问题;
2.正弦定理可解决的两类问题; 3.求面积,外接圆半径; 4.利用正余弦定理证明或判断三角形的形状.

作业:

1:在?ABC中,已知A ? B ? C , 且A ? 2C , b ? 4, a ? c ? 8, 求a,c的长.

2.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+ca)=3bc,且sin2A=sinBsinC, 判断三角形的形状。
1.《世纪金榜》P3-5 ; 2.素能检测《五》



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