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甘肃省兰州一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷



甘肃省兰州一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.已知两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |,则下面结论正确的是() A. ∥ B. ⊥ C.| |=| | D. + = ﹣

2.已知 A.2

,且 B.

,则 ta

n2α=() C.﹣2 D.

3.在△ ABC 中, A. B.

,则 sin∠BAC=() C. D.

4.为了得到函数 A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位

的图象,可以将函数 y=4sinxcosx 的图象() B. 向左平移 D.向左平移 个单位 个单位

5.函数 y=cos2x+2cosx 的值域是() A.[﹣1,3] B. C. D.

6.设 A.

是单位向量,且 B.

,则 C. ,则△ ABC 是()

的最小值是() D.

7.在△ ABC 中,若 A.等边三角形 B.等腰三角形

C.不等边三角形

D.直角三角形

8. 设函数 f (x) =Asin (ωx+φ) (A, ω, φ 是常数, A>0, ω>0) , 若f (x) 在区间 上具有单调性,且 A. B. C. π ,则 f(x)的最小正周期为() D.2π

9.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为 AB,DA 上的点.当△ APQ 的周长为 2 时,则∠PCQ 的大小为()

A.

B.

C.

D.

10. 对任意两个非零的平面向量



, 定义



=

, 若平面向量 、 满足| |≥| |

>0, 与 的夹角 A. B. 1

,且 ○ 和 ○ 都在集合 C. D.

中,则 ○ =()

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知向量 ,则 λ=. ,若 λ 为实数,

12.函数

的定义域是.

13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设



,则

=.

14.函数

的最大值为.

15.下面五个命题中,其中正确的命题序号为. ①若非零向量 ②函数 满足 |,则存在实数 λ>0,使得 的图象关于点 对称; ;

③在△ ABC 中,A>B?sinA>sinB; ④在 内方程 tanx=sinx 有 3 个解;

⑤若函数 y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)为奇函数,则 φ=kπ+

(k∈Z) .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.已知 tanα=2. (1)求 tan(α+ (2)求 )的值;

的值.

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( (1)若 ⊥ ,求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,求 x 的值.

,﹣

) , =(sinx,cosx) ,x∈(0,

) .

18.在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 19.已知函数 图所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 (Ⅲ)求函数 g(x)=f(x﹣ )﹣f(x+ 上的值域; )的单调递增区间.

?

=2,cosB= ,

的部分图象如

20.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探 究顺序,研究函数 f(x)= 的草图. + 的性质,并在此基础上,作出其在[﹣π,π]

甘肃省兰州一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.已知两个非零向量 , 满足| + |=| ﹣ |,则下面结论正确的是() A. ∥ B. ⊥ C.| |=| | D. + = ﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于| |和| |表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度,再

由| + |=| ﹣ |可得此平行四边形的对角线相等,故此平行四边形为矩形,从而得出结论. 解答: 解:由两个两个向量的加减法的法则,以及其几何意义可得, | |和| |表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度.

再由| + |=| ﹣ |可得此平行四边形的对角线相等,故此平行四边形为矩形,故有 ⊥ . 故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,属于中档题.

2.已知 A.2

,且 B.

,则 tan2α=() C.﹣2 D.

考点: 二倍角的正切;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由已知及同角三角函数基本关系的运用可求 cosα,tanα 的值,利用二倍角的正切 函数公式即可得解. 解答: 解:∵ ∴cosα= ,且 =﹣ ,tan , =﹣ ,

∴tan2α=

=

=



故选:D. 点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用, 二倍角的正切函数公式的应用, 属 于基础题. 3.在△ ABC 中, A. B.

,则 sin∠BAC=() C. D.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 AB,BC 及 cos∠ABC 的值,利用余弦定理求出 AC 的长,再由正弦定理即可求 出 sin∠BAC 的值. 解答: 解:∵∠ABC=
2

,AB=
2 2

,BC=3,

∴由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣6=5, ∴AC= , 则由正弦定理 = 得:sin∠BAC= = .

故选 C 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键. 4.为了得到函数 A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 的图象,可以将函数 y=4sinxcosx 的图象() B. 向左平移 D.向左平移 个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用两角差的正弦公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:函数 =2sin(2x﹣ ) ,函数 y=4sinxcosx=2sin2x,

故把函数 y=4sinxcosx=2sin2x 的图象向右平移 =2sin(2x﹣ 故选:C.

个单位,可得函数

) 的图象,

点评: 本题主要考查两角差的正弦公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基 础题. 5.函数 y=cos2x+2cosx 的值域是() A.[﹣1,3] B. C. D.

考点: 三角函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 2 分析: f(x)=cos2x+2cosx=2cosx+2cos x﹣1,利用配方法结合 y=cosx 的值域即可求得函 数 f(x)=2cosx+cos2x(x∈R)的值域. 解答: 解:∵f(x)=cos2x+2cosx=2cosx+2cos x﹣1=2(cosx+ ) ﹣ , 又﹣1≤cosx≤1, ∴当 cosx=1 时,f(x)max=2× ﹣ =3, 当 cosx=﹣ 时,f(x)min=﹣ ; 故函数 f(x)=2cosx+cos2x(x∈R)的值域是[﹣ ,3]. 故选:B 点评: 本题考查三角函数的最值与复合三角函数的单调性,难点在于求复合函数 f(x) =2(cosx+ ) ﹣ 的最值,着重考查分类讨论与转化思想,属于中档题.
2 2 2

6.设 A.

是单位向量,且 B.

,则 C.

的最小值是() D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件便可得到 ( )和向量 的夹角,而由 =1﹣ 解答: 解:∵ ∴ = ∴cos =1 时, ; 的最小值为 1﹣ . 可得到 ,这样便得到 ,θ 表示向量

cosθ,这样即可得出答案. ,∴ =﹣ ,又| |=1, +1

是单位向量,且

故选:A. 点评: 考查数量积的运算及其计算公式, 向量垂直的充要条件, 向量加法的平行四边形法 则,以及向量夹角的概念及范围. 7.在△ ABC 中,若 A.等边三角形 B.等腰三角形 ,则△ ABC 是() C.不等边三角形 D.直角三角形

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: 由由条件利用二倍角的余弦公式可得 ﹣B)=1,又﹣π<A﹣B<π,故 A﹣B=0. 解答: 解:△ ABC 中,若 ∴ , , , , 可得 cos (A

∴2sinAsinB=1﹣cosAcosB+sinAsinB,∴cos(A﹣B)=1. 又﹣π<A﹣B<π,∴A﹣B=0,即 A=B,故△ ABC 是 等腰三角形, 故选 B. 点评: 本题考查二倍角的余弦公式,两角差的余弦公式,根据三角函数的值求角,得到 cos(A﹣B)=1,是解题的关键. 8. 设函数 f (x) =Asin (ωx+φ) (A, ω, φ 是常数, A>0, ω>0) , 若f (x) 在区间 上具有单调性,且 A. B. C. π ,则 f(x)的最小正周期为() D.2π

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得则 ? 点为( ≥ ﹣ ,且函数的图象关于直线 x= 对称,且一个对称

,0) ,由此求得 ω 的值,可得函数的最小正周期. 上具有单调性,且

解答: 解:函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在区间 ,

则 ? 0) .





,且函数的图象关于直线 x=

=

对称,且一个对称点为(



可得 0<ω≤3 且



= ? =π,

,求得 ω=2,

∴f(x)的最小正周期为

故选:C. 点评: 本题主要考查正弦函数的图象, 正弦函数的周期性、 单调性以及它的图象的对称性, 属于基础题. 9.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为 AB,DA 上的点.当△ APQ 的周长为 2 时,则∠PCQ 的大小为()

A.

B.

C.

D.

考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: 把 Rt△ CBP 绕 C 顺时针旋转 90°,得到 Rt△ CDE.则 E 在 AD 的延长线上,并且 CE=CP,DE=PB,∠ECP=90°,再由△ APQ 的周长为 2, 得到 QP=2﹣AQ﹣AP,易得 QE=DE+DQ=2﹣AQ﹣AP,于是△ CQE≌△CQP,得到 ∠PCQ=∠QCE,得到∠PCQ=45°. 解答: 解:把 Rt△ CBP 绕 C 顺时针旋转 90°,得到 Rt△ CDE,如图, 则 E 在 AD 的延长线上,并且 CE=CP,DE=PB,∠ECP=90°, ∵△APQ 的周长为 2, ∴QP=2﹣AQ﹣AP, 而正方形 ABCD 的边长为 1, ∴DE=PB=1﹣AP, DQ=1﹣AQ, ∴QE=DE+DQ=2﹣AQ﹣AP, ∴QE=QP, 而 CQ 公共, ∴△CQE≌△CQP, ∴∠PCQ=∠QCE, ∴∠PCQ=45°. 故选 B.

点评: 本题考查了旋转的性质: 旋转前后的两个图形全等, 对应点与旋转中心的连线段的 夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.也考查了三角形全等的判定与性质

10. 对任意两个非零的平面向量



, 定义



=

, 若平面向量 、 满足| |≥| |

>0, 与 的夹角 A. B. 1

,且 ○ 和 ○ 都在集合 C. D.

中,则 ○ =()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由题意可得 ? =
2

= , 同理可得 ? =
2

= , 故有 n≥m 且

m、n∈z.再由 cos θ=

, 与 的夹角 θ∈(0, ? =

) ,可得 cos θ∈( ,1) ,即 = 的值.

∈( ,1) ,

由此求得 n=3,m=1,从而得到

解答: 解:由题意可得

? =

=

=

= .

同理可得

? =

=

=

= .

由于| |≥| |>0,∴n≥m 且 m、n∈z. ∴cos θ=
2

.再由 与 的夹角 θ∈(0,

) ,可得 cos θ∈( ,1) ,即

2

∈( ,1) .

故有 n=3,m=1,∴ ? = = , 故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,得到 n≥m 且 m、n∈z,且 是解题的关键,属于中档题. ∈( ,1) ,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知向量 ,则 λ= . ,若 λ 为实数,

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量坐标的运算公式以及向量平行的等价条件建立方程关系即可. 解答: 解:∵向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) . ∴ +λ =(1+λ,2) , ∵( +λ )∥ , ∴4(1+λ)﹣2×3=0, 即 λ= , 故答案为: 点评: 本题主要考查向量坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式, 注意和向量垂直的坐 标公式的区别.

12.函数

的定义域是



考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意得 tanx≤1, 根据正切函数的定义域和单调性, 可得 kπ﹣ 即为函数的定义域. 解答: 解:由题意得 1﹣tanx≥0,∴tanx≤1, 又 tanx 的定义域为(kπ﹣ ∴kπ﹣ <x≤kπ+ ,kπ+ ) ,k∈z <x≤kπ+ , k∈z,

,k∈z, .

故答案为:

点评: 本题考查正切函数的定义域和值域、单调性,求得 1﹣tanx≥0 是解题的突破口. 13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 , ,则 =﹣ .

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;数形结合;转化思想. 分析: 根据 , ,确定点 D,E 在正三角形 ABC 中的位置,根据向量加 用 的值. ,∴D 为 BC 的中点, , , , 表示出来,利用向量的数量积的运算法则

法满足三角形法则,把 和定义式即可求得 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ ∴ = = 故答案为:﹣ .

) =﹣ ,

点评: 此题是个中档题, 考查向量的加法和数量积的运算法则和定义, 体现了数形结合的 思想.

14.函数

的最大值为



考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理, 进而根据正弦函数的值域求 得函数的最大值. 解答: 解: 故答案为: 点评: 本题主要考查了三角函数的最值, 利用诱导公式和积化和差公式的化简求值. 考查 了考生对三角函数基础公式的熟练记忆. 15.下面五个命题中,其中正确的命题序号为②③⑤. ①若非零向量 满足 |,则存在实数 λ>0,使得 ; =cosxcos ( ﹣x) = sin ( +2x) + ≤

②函数

的图象关于点

对称;

③在△ ABC 中,A>B?sinA>sinB; ④在 内方程 tanx=sinx 有 3 个解; (k∈Z) .

⑤若函数 y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)为奇函数,则 φ=kπ+

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由条件利用两个向量共线的性质、三角函数的图象和性质、正弦定理,逐一判断各 个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:∵若非零向量 λ<0,使得 对于函数 于点 满足 |,则 , 的方向相反,存在实数

,故①不正确. ,令 x=﹣ 对称,故②正确. ,求得函数的值为零,故函数的图象关

在△ ABC 中,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB,故③正确. 根据在 内,函数 y=sinx 和函数 y=tanx 的图象有 1 个交点,可得方程

tanx=sinx 有 1 个解,故④不正确. 若函数 y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)为奇函数,则 φ=kπ+ (k∈Z) ,故⑤正确.

故答案为:②③⑤. 点评: 本题主要考查命题真假的判断,两个向量共线的性质、三角函数的图象和性质、正 弦定理的应用,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分) 16.已知 tanα=2. (1)求 tan(α+ (2)求 )的值;

的值.

考点: 两角和与差的正切函数;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)直接利用两角和的正切函数求值即可. (2)利用二倍角公式化简求解即可. 解答: 解:tanα=2.

(1)tan(α+

)=

=

=﹣3;

(2) = =

= =1. 点评: 本题考查两角和的正切函数的应用,三角函数的化简求值,二倍角公式的应用,考 查计算能力. ) , =(sinx,cosx) ,x∈(0,

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( (1)若 ⊥ ,求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,求 x 的值.

,﹣

) .

考点: 平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)若 ⊥ ,则 ? =0,结合三角函数的关系式即可求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求 x 的值.

解答: 解: (1)若 ⊥ , 则 ? =( 即 sinx= ,﹣ cosx )?(sinx,cosx)= sinx﹣ cosx=0,

sinx=cosx,即 tanx=1; (2)∵| |= ﹣ )?(sinx,cosx)= , = , sinx﹣ cosx, ,| |= =1, ? =( ,

∴若 与 的夹角为 则 ? =| |?| |cos 即 sinx﹣

cosx= ,

则 sin(x﹣ ∵x∈(0, ∴x﹣ 则 x﹣ 即 x=

)= , ) . , ) .

∈(﹣ = + =



点评: 本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用, 考查学生的计算能力, 比较基 础. 18.在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ) 利用平面向量的数量积运算法则化简 ? =2, 将 cosB 的值代入求出 ac=6,
2 2

?

=2,cosB= ,

再利用余弦定理列出关系式,将 b,cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13,联立即可求出 ac 的值; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB,利用正 弦定理求出 sinC 的值,进而求出 cosC 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后, 将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? =2,cosB= ,

∴c?acosB=2,即 ac=6①, ∵b=3, 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴a +c =13②, 联立①②得:a=3,c=2; (Ⅱ)在△ ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,

得:sinC= sinB= ×

∵a=b>c,∴C 为锐角, ∴cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本 关系,熟练掌握定理是解本题的关键.

19.已知函数 图所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 (Ⅲ)求函数 g(x)=f(x﹣ )﹣f(x+ 上的值域; )的单调递增区间.

的部分图象如

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据图象确定函数的周期,求解 A,ω 和 φ 的值即可求函数 f(x)的解析 式; (Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求函数 f(x)在区间 (Ⅲ)先化简 g(x) ,然后利用三角函数的单调性即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题设图象知,周期 T=2( 则 ω= 因为点( 即 sin( 又∵0<φ< ∴ 即 < =2. ,0)在函数图象上,所以 Asin(2× +φ)=0, , +φ< , . ) , +φ)=0, ﹣ )=π, 上的值域;

+φ=π,解得 φ=

即 f(x)=Asin(2x+

又点(0,1)在函数图象上,

∴Asin

=1,解得 A=2, ) . . . )﹣f(x+ )=2sin[2(x﹣ )+ ]﹣2sin[2(x+ )+ ]=2sin2x

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ (Ⅱ)∵ ∴f(x)的值域为 (Ⅲ)g(x)=f(x﹣ ﹣2sin(2x+ ) cos2x) ) , ,k∈Z,

=2sin2x﹣2×( sin2x+ =sin2x﹣ 由 2kπ﹣ 得 kπ﹣

cos2x=2sin(2x﹣ ≤2x﹣ ≤x≤kπ+ ≤2kπ+

,k∈Z, ,kπ+ ],k∈Z.

∴g(x)的单调递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查三角函数解析式的求解, 以及三角函数的化简, 三角函数的单调性和 值域的求解,综合考查三角函数的性质. 20.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探 究顺序,研究函数 f(x)= 的草图. 考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;二倍角的正弦. 专题: 数形结合. 分析: 本题研究的顺序为: 先研究定义域、 奇偶性、周期性,再研究函数的单调性、值域, 最后画出图形. 解答: 解:①∵ ∴f(x)的定义域为 R; ②∵ ∴f(x)为偶函数; ③∵f(x+π)= ∴f(x)是周期为 π 的周期函数; ④当 时,f(x)= , + = + =f(x) , , + 的性质,并在此基础上,作出其在[﹣π,π]

∴当 f(x)=

时,f(x)单调递减;当

时, ,

f(x)单调递增;又∵f(x)是周期为 π 的偶函数, ∴f(x)在 ⑤∵当 当 时, 时, . 上单调递增,在 ; 上单调递减(k∈Z) ;

∴f(x)的值域为 ; ⑥由以上性质可得:f(x)在[﹣π,π]上的图象如图所示:

点评: 本题考查二倍角公式的应用,正弦函数、余弦函数的图象和性质,以及 y=Asin (ωx+φ)的图象及性质.



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