不等式典型练习题

题号 得分

一

二

三

总分

注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷（选择题）
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．下列各式中，最小值等于２的是（ A． ） B． x ? 4 ?
2

x y ? y x
1 tan ?
)
lg x

1 x ?4
2

C． tan ? ?

D． 2 ? 2
x

?x

2．下列说法中，正确的是 (

A．当 x＞0 且 x≠1 时， lg x ? 1 ≥2 B．当 x＞0 时， x ? C．当 x≥2 时，x+
1 x
1 x ≥2

的最小值为 2
1 x

D．当 0＜x≤2 时，x-

无最大值 )
lg x

3．下列说法中，正确的是(

A．当 x＞0 且 x≠1 时， lg x ? 1 ≥2 C．当 x≥2 时，x+ 的最小值为 2
x 1

B．当 x＞0 时， x ?
1

1 x

≥2

D．当 0＜x≤2 时，x- 无最大值
x

4．已知 x ，

y ? R ? ，且 x ? y ? 1 ? 1 ? 5 ，则 x ? y 的最大值是(
x y
D．4.5

)

A．3 B．3.5 C．4 5．下列不等式正确的是
2 （A） x ? 1 ? ?2 x

（B）

x?

2 ? 4 ( x ? 0) x
1 ? 2 ( x ? k? ) sin x
） D．2 2

（C） x ?

1 ?2 x

（D） sin x ? （

a b 6．已知 a ? b ? 2 ，则 3 ? 3 的最小值是

A．2 3

B．6

C．2

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7．若 f ( x ) ? x ? A.

5 2

1 ( x ? 2) 在 x ? n 处取得最小值，则 n ? （ x?2 7 B. 3 C. 2

） D. 4

8． 已知正数 x、 y 满足 Ａ．18

8 1 则 x ? 2 y 的最小值是 ? ?1， x y
Ｂ．16 C．8 D．10 ） D. 15 （ ）

（

）

9．设 x 、 y 为正数，则 ? x ? y ?? ?x ? y? ? 的最小值为（ ? ? A. 6 B. 9 C. 12

?1

4?

1 10．若 a ? 1, 则 a ? 的最小值是 a ?1
A．2 B． a C．3 D．

2 a a ?1
） （D）2－ 3 ) D.5

11．设 x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则 x＋y 的最小值是（ （A）

3 2

（B）1 +

3

（C）2 3 －2

12．已知正实数 a , b ,且 a ? b ? 1 ，则 A. 6 ? 4 2 B. 4 ? 2 2

2 4 ? 的最小值为 ( a b
C. 6 ? 2 3

13．已知 a ? 0 ， b ? 0 ， a ? b ? 2 ，则 y ? A．

1 4 ? 的最小值是 a b
D． 5

7 2

B． 4

C．

9 2

14．若正数 a , b 满足 A．

28 5

3 1 ? ? 5 ，则 3a ? 4b 的最小值是（ ） a b 24 B． C． 6 D． 5 5

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第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（题型注释） 15．若正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? y ? 6 ，则 xy 的最小值是 ___ ___． 16．已知 x＞0，则 的最大值为________________________．

评卷人

得分 三、解答题（题型注释）

17．解不等式：|x＋1|>3. 18．解不等式：x＋|2x－1|＜3.

4 ? x ?1 x ?1 2 9 1 , x ? (0, ) 的最小值 （2）求函数 y ? ? x 1 ? 2x 2
19． （1）解不等式 20．已知不等式 ax －3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1，或 x＞b}． (1)求 a，b； 2 (2)解不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0(c∈R)． 21．已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，且 2 S n ? n ? n .
2
2

（1）求数列 {an } 的通项公式； （2）若 bn ?

1 ? 2an ? 1, (n ? N *) 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an an?1

22． 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列，a 2 是 a1 和

a3 的等比中项.
（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 nan 的前 n 项和 Tn .

? ?

） 23．在数列 {an } 中， a1 =1 ，且满足 an -an-1 =n （n ? 1 .
（Ⅰ）求 a2，a3 及数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ?

1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an

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参考答案 1．D 【解析】 试题分析：对于 A，

x y x y y y y 可正可负， 所以当 ? 0 时， ? ? 2 ，当 ? 0 时， ? ? ?2 ， x x x y x y x

所以

x y 1 对于 B， 设 t ? x2 ? 4 ， 则t ? 4 ? 2， 所以由 y ? t ? 在 [2, ??) ? 没有最小值； t y x
5 ；对于 C，与 选项 A 类似 ， 2

单 调 递 增 可 知 ， t?2 时 取 得 最 小 值

| tan ? ?
tan ? ?

1 1 1 1 ? 2 或 tan ? ? ? ?2 ，所以 |?| tan ? | ? ? 2 ，所以 tan ? ? tan ? tan ? tan ? | tan ? |

1 x ?x x ?x x ?x 没有最小值；对于 D，2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ，当且仅当 2 ? 2 即 x ? 0 tan ?

时取得等号；综上可知，D 选项正确. 考点：基本不等式的应用. 2．B 【解析】 试题分析：当 0 ? x ? 1 时， lg x ? 0 ，所以 lg x ?
1 lg x

? 0 ，故 A 不正确；

当 x＞0 时， x ?

1 x

≥2

x?

1 1 当且仅当 x ? 即 x ? 1 时取 " ? " 。 故 B 正确； ?2， x x

x? 当 x≥2 时，

1 1 1 ? 2 x? ? 2， 当且仅当 x ? 即 x ? ?1 时取 " ? " ， 但因 x ? ?1?? 2, ??? ， x x x
1 在 ? 0, 2? 上 单 调 递 增 ， 所 以 函 数 x 1 3 ? h(2) ? 2 ? ? 。故 D 不正确。 2 2

所以 C 不正确； 因 为 f ( x) ? x 在 ? 0, 2? 上 单 调 递 增 ， g ( x ) ? ?

1 h( x ) ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增，所以 h( x) max x
考点：1 基本不等式；2 函数单调性求最值。 3．B 【解析】 试题分析：当 0 ? x ? 1 时， lg x ? 0 ，所以 lg x ?

1 lg x

? 0 ，故 A 不正确；

当 x＞0 时， x ?

1 x

≥2

x?

1 1 当且仅当 x ? 即 x ? 1 时取 " ? " 。 故 B 正确； ?2， x x

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当 x≥2 时， x?

1 1 1 当且仅当 x ? 即 x ? ?1 时取 " ? " ， 但因 x ? ?1?? 2, ??? ， ? 2 x? ? 2， x x x 1 1 在 ? 0, 2? 上单调递增， 所以函数 h( x ) ? x ? x x 1 3 ? h(2) ? 2 ? ? 。故 D 不正确。 2 2

所以 C 不正确；

g ( x) ? ? 因为 f ( x) ? x 在 ? 0, 2? 上单调递增，
在 ? 0, 2? 上单调递增，所以 h( x) max

考点：1 基本不等式；2 函数单调性求最值。 4．C 【解析】 ； 试 题 分 析 ： 由 已 知 x? y?

1 1 ?x ? y ? x? y ? ?5 得 到 ： x? y? ? 5,? xy ? x y xy 4

2

?

4 1 4 x? y 4 ?x? y ? ?5 ? , ? 2 x? y xy ?x ? y ? xy x? y
4 ? 5 ,得到 t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ,解得 1 ? t ? 4 ,所以 x ? y 的最大值是 4. t

设 x ? y ? t ,即 t ?

考点：利用基本不等式求最值 5．A 【解析】 试题分析：∵ x2 ? 1 ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 0 ，∴A 正确；∵ ∴B 错误； 考点：基本不等式． 6．B 【解析】 试题分析：因为 a ? b ? 2 ,故 3 ? 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 3
a b a b a ?b

x?

2 ?2 x

x

2 ?2 2， x

? 2 32 ? 6 .

考点：基本不等式的运用，考查学生的基本运算能力． 7．B 【解析】 试题分析：由 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? ( x ? 2) ? ? 2 ? 4 ，当且仅当 x ? 2 ? ?0 即 x?2 x?2 x?2

x ? 3 时，取得等号，故选 B.
考点：均值不等式 8．A 【解析】 试题分析： 根据题意 ， 由于正数 x、 y 满足

8 1 8 1 ? ? 1 ，且可知 x ? 2 y =（ x ? 2 y ） （ ? ） x y x y

答案第 2 页，总 8 页

=17+

16y x 16y x 当 x=4y 时取得等号， 故可知 x ? 2 y 的最小值是 18， ? ? 10 ? 2 ? ? 18 ， x y x y

考点：均值不等式 点评：主要是考查了均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。 9．B 【解析】 试题分析： ?x ? y ?? ?x ? y? ? ? 5 ? x ? y ? 5 ? 2 4 ? 9 ，当且仅当 x ? y 即 y ? 2 x 时等 ? ? 号成立，所以最小值为 9 考点：均值不等式 点评：利用均值不等式 a ? b ? 2 ab 求最值时要注意其成立的条件： a , b 都是正数，当和 为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件 a ? b 是否 满足 10．C 【解析】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 a ? 1, 则 a ?

?1

4?

y

4x

y

4x

1 可 以 变 形 为 a ?1

a-1+

1 1 ? 1 ? 2 (a-1) ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ，故可知当 a=2 时等号成立故选 C. a ?1 a ?1

考点：基本不等式 点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解 题时要注意把握和或积为定值这一条件 11．C 【解析】 试题分析：因为 x＞0，y＞0，所以 xy ? 2 ? ( x ? y ) ? ( 值是 2 3 －2. 考点：本小题主要考查基本不等式的变形应用和二次不等式的求解. 点评：应用基本不等式及其变形公式时，要注意一正二定三相等三个条件缺一不可. 12．A 【解析】 试题分析：因为，正实数 a , b ,且 a ? b ? 1 ， 所以，

x? y 2 ) ，解不等式可得 x＋y 的最小 2

2 4 2 4 2b 4a ? ? 6 ? 4 2 ，故选 A。 ? = (a ? b)( ? ) ? 2 ? 4 ? a b a b a b

考点：均值定理的应用。 点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等” ，缺一不可。 13．C 【解析】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 a ? 0 ， b ? 0 ， a?b ? 2 ， 则
答案第 3 页，总 8 页

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y?

1 4 1 1 4 1 b 4a 1 b 4a 9 当且仅当 a=2b 时 ? ? ( ? )(a ? b) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 2 ? ) ? ， a b 2 a b 2 a b 2 a b 2

取得最小值，故可知答案为 C. 考点：均值不等式 点评：主要是考查了均值不等式的求解最值，属于基础题。 14．D 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 ， 正 数 a, b 满 足

3 1 ? ? 5 ， 所 以 ， 3a ? 4b = a b

1 3 1 1 12b 3a 1 12b 3a 1 ( ? )(3a ? 4b) ? (13 ? ? ) ? (13 ? 2 ? ) ? ? 25 ? 5 ，3a ? 4b 的最 5 a b 5 a b 5 a b 5
小值是 5，故选 D。 考点：本题主要考查均值定理的应用。 点评：简单题，应用均值定理，应注意“一正，二定，三相等” ，缺一不可，并注意创造应 用定理的条件。 15．18 【解析】 试题分析：因为 x, y 是正实数，所民由基本不等式得， xy ? 2x ? y ? 6 ? 2 2 xy ? 6 ，设 ， 即 (t ? 2 )t(? 3 2 t? 6 ? 0 t ? xy ? 0 ， 则 t 2 ? 2 2 ?) ， 0所 以 t ? 3 2 ， 所 以

xy ? t 2 ? 18 ，所以 xy 的最小值是 18.
考点：基本不等式、一元二次不等式. 16． 2 【解析】 试题分析：根据题意，由于 x＞0，则

4x 4 4 = ? = 2 ，当且仅当 x= 2 时取 x ? 2 x+ 2 2 2 x? x x
2

得等号，故可知函数的最大值为 2 。 考点：均值不等式 点评：主要是考查了基本不等式求解最值的运用，属于中档题。 17．(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 【解析】由|x＋1|＞3 得 x＋1＜－3 或 x＋1＞3，解得 x＜－4 或 x＞2.所以解集为(－∞， －4)∪(2，＋∞)． 18．{x|－2＜x＜

4 } 3

答案第 4 页，总 8 页

【解析】原不等式可化为 ?

1 ? 0， ?2 x－ ?2 x－1＜0， 或? 1)＜3 ? x－(2 x－1)＜3. ? x＋(2 x－

解得

1 4 1 ≤x＜ 或－2＜x＜ . 2 3 2 4 }． 3

所以不等式的解集是{x|－2＜x＜ 19． （1） x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1 （2）25 【解析】 试题分析： （1）解：

?

?

?( x ? 1)(x ? 1)(x ? 3) ? 0 4 4 ? ( x ? 1) 2 ( x ? 3)(x ? 1) ? x ?1 ? ?0? ?0?? ? x ? 3或 ? 1 ? x ? 1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ?
此不等式的解集为 x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1 （2） y ?

?

?

4 9 4 9 9 ? 2 x 4 ? (1 ? 2 x) ? ?( ? )( 2 x ? 1 ? 2 x) ? 13 ? ? ? 25 ， 2x 1 ? 2x 2x 1 ? 2x 1 ? 2x 2x 1 当且仅当 x ? 等号成立。 5
考点：分式不等式，函数最值 点评：主要是考查了函数的最值以及不等式的求解，属于中档题。 20． （1） ?

?a ? 1 ?b ? 2

（2）当 c＞2 时，解集为{x|2＜x＜c}；当 c＜2 时，解集为{x|c＜x＜2}；当 c＝2 时，解集 为? 【解析】 2 试题分析：解：(1)因为不等式 ax －3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1，或 x＞b}， 2 所以 x1＝1 与 x2＝b 是方程 ax －3x＋2＝0 的两个实数根，且 b＞1.

3 ? 1? b ? ? ?a ? 1 ? a 由根与系数的关系，得 ? 解得 ? ?b ? 2 ?1 ? b ? 2 ? a ?
2 2

6分

(2)不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0，即 x －(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0. ①当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}； ②当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}； ③当 c＝2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为 ? . 2 ∴当 c＞2 时，不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为{x|2＜x＜c}； 2 当 c＜2 时，不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
答案第 5 页，总 8 页

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当 c＝2 时，不等式 ax －(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为 ? . 考点：二次不等式的解集 点评：主要是考查了二次不等式的求解，属于基础题。
2

12 分

21．(1) an ? n ;(2) n 【解析】

2

+ 1-

1 . n+ 1
2

试题分析： （1）由 2 S n ? n ? n 得 n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) 两式相减得 an ? n ；
2

（2）根据 b n = 结果.

1 1 1 + 2an - 1 = ( ) + (2n - 1) ，再利用分组求和即可求出 an an+ 1 n n+ 1
2 2

试题解析：解： （1）由 2 S n ? n ? n . n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ∴ 2an ? 2S n ? 2S n?1 ? 2n ? an ? n （ n ? 2 ） 又 n ? 1 时， a1 ? 1 适合上式。? an ? n 6分 4分

2分

(2) ?b n ?

1 1 1 1 ? 2an ? 1 ? ? 2n ? 1 ? ( ? ) ? (2n ? 1) an an?1 n(n ? 1) n n ?1

8分

1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 ? 1? ? n2 ? n2 ?1? 12 分 n ?1 n ?1
考点：1.通项公式和前 n 项和的关系；2.数列求和. 22． （1） a n ? 2 n ?1 ;（2） Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 . 【解析】

10 分

试题分析： （1）先根据等比数列公式求出 S n 与 n 的关系式，然后利用 S n 与 an 的递推关系求 出 a1 ，从而再求出 an .（2）根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前 n 项和. 试题解析： （1）解：∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列， ∴ S n ? 1 ? ( S1 ? 1) ? 2 n ?1 ? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 . ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 ? 1 . 从而 a 2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1 ， a3 ? S 3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 . ∵ a 2 是 a1 和 a 3 的等比中项 3分 1分

答案第 6 页，总 8 页

∴ (a1 ? 1) ? a1 ? (2a1 ? 2) ，解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 .
2

4分 5分

当 a1 ? ?1 时， S1 ? 1 ? 0 ， {S n ? 1} 不是等比数列， ∴ a1 ? 1 . ∴ Sn ? 2n ? 1. 当 n ? 2 时， a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 . ∵ a1 ? 1 符合 a n ? 2 n ?1 ， ∴ a n ? 2 n ?1 . （2）解：∵ na n ? n ? 2 n ?1 ， ∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 . ① 9分 10 分 11 分 8分 6分 7分

2Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n .②
① ? ②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n

?

1 ? 2n ? n ? 2n 1? 2

12 分

? (1 ? n) ? 2 n ? 1 .
∴ Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 .

13 分 14 分

考点：1、 S n 与 an 的递推关系的应用，2、错位相减法求数列前 n 项和. 23． （1） an =

n( n ? 1) 2n ； （2） S n ? 。 2 n ?1

【解析】 试题分析： （1）

a2 ? a1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 3 a3 ? a2 ? 3? a3 ? a2 ? 3 ? 6 an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?
数列 ?an ? 的通项公式 an = （2）

? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? (n ? 1) ?

? 2 ?1 ?

n(n ? 1) 2

n( n ? 1) 2

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bn ?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) an n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 +bn ? 2(1 ? ? ? ? 2 2 3 ? 1 1 1 2n ? ) ? 2(1 ? )? n n ?1 n ?1 n ?1

? Sn ? b1 +b2 +

考点：等差数列的求和公式， “累差法” ， “裂项相消法” 。 点评：中档题，本题首先利用“累差法” ，确定得到数列的特征，得到数列的通项公式。数 列的求和立足于“公式法” ，应当注意到“分组求和法” “裂项相消法” “错位相减法” ，均是 高考考查的重要求和方法。

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