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不等式典型练习题



题号 得分







总分

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.下列各式中,最小值等于2

的是( A. ) B. x ? 4 ?
2

x y ? y x
1 tan ?
)
lg x

1 x ?4
2

C. tan ? ?

D. 2 ? 2
x

?x

2.下列说法中,正确的是 (

A.当 x>0 且 x≠1 时, lg x ? 1 ≥2 B.当 x>0 时, x ? C.当 x≥2 时,x+
1 x
1 x ≥2

的最小值为 2
1 x

D.当 0<x≤2 时,x-

无最大值 )
lg x

3.下列说法中,正确的是(

A.当 x>0 且 x≠1 时, lg x ? 1 ≥2 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2
x 1

B.当 x>0 时, x ?
1

1 x

≥2

D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值
x

4.已知 x ,

y ? R ? ,且 x ? y ? 1 ? 1 ? 5 ,则 x ? y 的最大值是(
x y
D.4.5

)

A.3 B.3.5 C.4 5.下列不等式正确的是
2 (A) x ? 1 ? ?2 x

(B)

x?

2 ? 4 ( x ? 0) x
1 ? 2 ( x ? k? ) sin x
) D.2 2

(C) x ?

1 ?2 x

(D) sin x ? (

a b 6.已知 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

A.2 3

B.6

C.2

试卷第 1 页,总 3 页

7.若 f ( x ) ? x ? A.

5 2

1 ( x ? 2) 在 x ? n 处取得最小值,则 n ? ( x?2 7 B. 3 C. 2

) D. 4

8. 已知正数 x、 y 满足 A.18

8 1 则 x ? 2 y 的最小值是 ? ?1, x y
B.16 C.8 D.10 ) D. 15 ( )





9.设 x 、 y 为正数,则 ? x ? y ?? ?x ? y? ? 的最小值为( ? ? A. 6 B. 9 C. 12

?1

4?

1 10.若 a ? 1, 则 a ? 的最小值是 a ?1
A.2 B. a C.3 D.

2 a a ?1
) (D)2- 3 ) D.5

11.设 x>0,y>0,x+y+xy=2,则 x+y 的最小值是( (A)

3 2

(B)1 +

3

(C)2 3 -2

12.已知正实数 a , b ,且 a ? b ? 1 ,则 A. 6 ? 4 2 B. 4 ? 2 2

2 4 ? 的最小值为 ( a b
C. 6 ? 2 3

13.已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则 y ? A.

1 4 ? 的最小值是 a b
D. 5

7 2

B. 4

C.

9 2

14.若正数 a , b 满足 A.

28 5

3 1 ? ? 5 ,则 3a ? 4b 的最小值是( ) a b 24 B. C. 6 D. 5 5

试卷第 2 页,总 3 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 15.若正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? y ? 6 ,则 xy 的最小值是 ___ ___. 16.已知 x>0,则 的最大值为________________________.

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

17.解不等式:|x+1|>3. 18.解不等式:x+|2x-1|<3.

4 ? x ?1 x ?1 2 9 1 , x ? (0, ) 的最小值 (2)求函数 y ? ? x 1 ? 2x 2
19. (1)解不等式 20.已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1,或 x>b}. (1)求 a,b; 2 (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0(c∈R). 21.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? n ? n .
2
2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

1 ? 2an ? 1, (n ? N *) 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an an?1

22. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,a 2 是 a1 和

a3 的等比中项.
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn .

? ?

) 23.在数列 {an } 中, a1 =1 ,且满足 an -an-1 =n (n ? 1 .
(Ⅰ)求 a2,a3 及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an

试卷第 3 页,总 3 页

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:对于 A,

x y x y y y y 可正可负, 所以当 ? 0 时, ? ? 2 ,当 ? 0 时, ? ? ?2 , x x x y x y x

所以

x y 1 对于 B, 设 t ? x2 ? 4 , 则t ? 4 ? 2, 所以由 y ? t ? 在 [2, ??) ? 没有最小值; t y x
5 ;对于 C,与 选项 A 类似 , 2

单 调 递 增 可 知 , t?2 时 取 得 最 小 值

| tan ? ?
tan ? ?

1 1 1 1 ? 2 或 tan ? ? ? ?2 ,所以 |?| tan ? | ? ? 2 ,所以 tan ? ? tan ? tan ? tan ? | tan ? |

1 x ?x x ?x x ?x 没有最小值;对于 D,2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ,当且仅当 2 ? 2 即 x ? 0 tan ?

时取得等号;综上可知,D 选项正确. 考点:基本不等式的应用. 2.B 【解析】 试题分析:当 0 ? x ? 1 时, lg x ? 0 ,所以 lg x ?
1 lg x

? 0 ,故 A 不正确;

当 x>0 时, x ?

1 x

≥2

x?

1 1 当且仅当 x ? 即 x ? 1 时取 " ? " 。 故 B 正确; ?2, x x

x? 当 x≥2 时,

1 1 1 ? 2 x? ? 2, 当且仅当 x ? 即 x ? ?1 时取 " ? " , 但因 x ? ?1?? 2, ??? , x x x
1 在 ? 0, 2? 上 单 调 递 增 , 所 以 函 数 x 1 3 ? h(2) ? 2 ? ? 。故 D 不正确。 2 2

所以 C 不正确; 因 为 f ( x) ? x 在 ? 0, 2? 上 单 调 递 增 , g ( x ) ? ?

1 h( x ) ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递增,所以 h( x) max x
考点:1 基本不等式;2 函数单调性求最值。 3.B 【解析】 试题分析:当 0 ? x ? 1 时, lg x ? 0 ,所以 lg x ?

1 lg x

? 0 ,故 A 不正确;

当 x>0 时, x ?

1 x

≥2

x?

1 1 当且仅当 x ? 即 x ? 1 时取 " ? " 。 故 B 正确; ?2, x x

答案第 1 页,总 8 页

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当 x≥2 时, x?

1 1 1 当且仅当 x ? 即 x ? ?1 时取 " ? " , 但因 x ? ?1?? 2, ??? , ? 2 x? ? 2, x x x 1 1 在 ? 0, 2? 上单调递增, 所以函数 h( x ) ? x ? x x 1 3 ? h(2) ? 2 ? ? 。故 D 不正确。 2 2

所以 C 不正确;

g ( x) ? ? 因为 f ( x) ? x 在 ? 0, 2? 上单调递增,
在 ? 0, 2? 上单调递增,所以 h( x) max

考点:1 基本不等式;2 函数单调性求最值。 4.C 【解析】 ; 试 题 分 析 : 由 已 知 x? y?

1 1 ?x ? y ? x? y ? ?5 得 到 : x? y? ? 5,? xy ? x y xy 4

2

?

4 1 4 x? y 4 ?x? y ? ?5 ? , ? 2 x? y xy ?x ? y ? xy x? y
4 ? 5 ,得到 t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ,解得 1 ? t ? 4 ,所以 x ? y 的最大值是 4. t

设 x ? y ? t ,即 t ?

考点:利用基本不等式求最值 5.A 【解析】 试题分析:∵ x2 ? 1 ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 0 ,∴A 正确;∵ ∴B 错误; 考点:基本不等式. 6.B 【解析】 试题分析:因为 a ? b ? 2 ,故 3 ? 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 3
a b a b a ?b

x?

2 ?2 x

x

2 ?2 2, x

? 2 32 ? 6 .

考点:基本不等式的运用,考查学生的基本运算能力. 7.B 【解析】 试题分析:由 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? ( x ? 2) ? ? 2 ? 4 ,当且仅当 x ? 2 ? ?0 即 x?2 x?2 x?2

x ? 3 时,取得等号,故选 B.
考点:均值不等式 8.A 【解析】 试题分析: 根据题意 , 由于正数 x、 y 满足

8 1 8 1 ? ? 1 ,且可知 x ? 2 y =( x ? 2 y ) ( ? ) x y x y

答案第 2 页,总 8 页

=17+

16y x 16y x 当 x=4y 时取得等号, 故可知 x ? 2 y 的最小值是 18, ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , x y x y

考点:均值不等式 点评:主要是考查了均值不等式的求解最值的运用,属于基础题。 9.B 【解析】 试题分析: ?x ? y ?? ?x ? y? ? ? 5 ? x ? y ? 5 ? 2 4 ? 9 ,当且仅当 x ? y 即 y ? 2 x 时等 ? ? 号成立,所以最小值为 9 考点:均值不等式 点评:利用均值不等式 a ? b ? 2 ab 求最值时要注意其成立的条件: a , b 都是正数,当和 为定值时,乘积取最值,当乘积为定值时,和取最值,最后验证等号成立的条件 a ? b 是否 满足 10.C 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 a ? 1, 则 a ?

?1

4?

y

4x

y

4x

1 可 以 变 形 为 a ?1

a-1+

1 1 ? 1 ? 2 (a-1) ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ,故可知当 a=2 时等号成立故选 C. a ?1 a ?1

考点:基本不等式 点评:本题考查基本不等式的性质与运用,正确运用公式要求“一正、二定、三相等”,解 题时要注意把握和或积为定值这一条件 11.C 【解析】 试题分析:因为 x>0,y>0,所以 xy ? 2 ? ( x ? y ) ? ( 值是 2 3 -2. 考点:本小题主要考查基本不等式的变形应用和二次不等式的求解. 点评:应用基本不等式及其变形公式时,要注意一正二定三相等三个条件缺一不可. 12.A 【解析】 试题分析:因为,正实数 a , b ,且 a ? b ? 1 , 所以,

x? y 2 ) ,解不等式可得 x+y 的最小 2

2 4 2 4 2b 4a ? ? 6 ? 4 2 ,故选 A。 ? = (a ? b)( ? ) ? 2 ? 4 ? a b a b a b

考点:均值定理的应用。 点评:简单题,应用均值定理,要注意“一正,二定,三相等” ,缺一不可。 13.C 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 a ? 0 , b ? 0 , a?b ? 2 , 则
答案第 3 页,总 8 页

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y?

1 4 1 1 4 1 b 4a 1 b 4a 9 当且仅当 a=2b 时 ? ? ( ? )(a ? b) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 2 ? ) ? , a b 2 a b 2 a b 2 a b 2

取得最小值,故可知答案为 C. 考点:均值不等式 点评:主要是考查了均值不等式的求解最值,属于基础题。 14.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , 正 数 a, b 满 足

3 1 ? ? 5 , 所 以 , 3a ? 4b = a b

1 3 1 1 12b 3a 1 12b 3a 1 ( ? )(3a ? 4b) ? (13 ? ? ) ? (13 ? 2 ? ) ? ? 25 ? 5 ,3a ? 4b 的最 5 a b 5 a b 5 a b 5
小值是 5,故选 D。 考点:本题主要考查均值定理的应用。 点评:简单题,应用均值定理,应注意“一正,二定,三相等” ,缺一不可,并注意创造应 用定理的条件。 15.18 【解析】 试题分析:因为 x, y 是正实数,所民由基本不等式得, xy ? 2x ? y ? 6 ? 2 2 xy ? 6 ,设 , 即 (t ? 2 )t(? 3 2 t? 6 ? 0 t ? xy ? 0 , 则 t 2 ? 2 2 ?) , 0所 以 t ? 3 2 , 所 以

xy ? t 2 ? 18 ,所以 xy 的最小值是 18.
考点:基本不等式、一元二次不等式. 16. 2 【解析】 试题分析:根据题意,由于 x>0,则

4x 4 4 = ? = 2 ,当且仅当 x= 2 时取 x ? 2 x+ 2 2 2 x? x x
2

得等号,故可知函数的最大值为 2 。 考点:均值不等式 点评:主要是考查了基本不等式求解最值的运用,属于中档题。 17.(-∞,-4)∪(2,+∞). 【解析】由|x+1|>3 得 x+1<-3 或 x+1>3,解得 x<-4 或 x>2.所以解集为(-∞, -4)∪(2,+∞). 18.{x|-2<x<

4 } 3

答案第 4 页,总 8 页

【解析】原不等式可化为 ?

1 ? 0, ?2 x- ?2 x-1<0, 或? 1)<3 ? x-(2 x-1)<3. ? x+(2 x-

解得

1 4 1 ≤x< 或-2<x< . 2 3 2 4 }. 3

所以不等式的解集是{x|-2<x< 19. (1) x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1 (2)25 【解析】 试题分析: (1)解:

?

?

?( x ? 1)(x ? 1)(x ? 3) ? 0 4 4 ? ( x ? 1) 2 ( x ? 3)(x ? 1) ? x ?1 ? ?0? ?0?? ? x ? 3或 ? 1 ? x ? 1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ?
此不等式的解集为 x | x ? 3或 ? 1 ? x ? 1 (2) y ?

?

?

4 9 4 9 9 ? 2 x 4 ? (1 ? 2 x) ? ?( ? )( 2 x ? 1 ? 2 x) ? 13 ? ? ? 25 , 2x 1 ? 2x 2x 1 ? 2x 1 ? 2x 2x 1 当且仅当 x ? 等号成立。 5
考点:分式不等式,函数最值 点评:主要是考查了函数的最值以及不等式的求解,属于中档题。 20. (1) ?

?a ? 1 ?b ? 2

(2)当 c>2 时,解集为{x|2<x<c};当 c<2 时,解集为{x|c<x<2};当 c=2 时,解集 为? 【解析】 2 试题分析:解:(1)因为不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1,或 x>b}, 2 所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax -3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.

3 ? 1? b ? ? ?a ? 1 ? a 由根与系数的关系,得 ? 解得 ? ?b ? 2 ?1 ? b ? 2 ? a ?
2 2

6分

(2)不等式 ax -(ac+b)x+bc<0,即 x -(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为 ? . 2 ∴当 c>2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 2 当 c<2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2};
答案第 5 页,总 8 页

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当 c=2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为 ? . 考点:二次不等式的解集 点评:主要是考查了二次不等式的求解,属于基础题。
2

12 分

21.(1) an ? n ;(2) n 【解析】

2

+ 1-

1 . n+ 1
2

试题分析: (1)由 2 S n ? n ? n 得 n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) 两式相减得 an ? n ;
2

(2)根据 b n = 结果.

1 1 1 + 2an - 1 = ( ) + (2n - 1) ,再利用分组求和即可求出 an an+ 1 n n+ 1
2 2

试题解析:解: (1)由 2 S n ? n ? n . n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ∴ 2an ? 2S n ? 2S n?1 ? 2n ? an ? n ( n ? 2 ) 又 n ? 1 时, a1 ? 1 适合上式。? an ? n 6分 4分

2分

(2) ?b n ?

1 1 1 1 ? 2an ? 1 ? ? 2n ? 1 ? ( ? ) ? (2n ? 1) an an?1 n(n ? 1) n n ?1

8分

1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 ? 1? ? n2 ? n2 ?1? 12 分 n ?1 n ?1
考点:1.通项公式和前 n 项和的关系;2.数列求和. 22. (1) a n ? 2 n ?1 ;(2) Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 . 【解析】

10 分

试题分析: (1)先根据等比数列公式求出 S n 与 n 的关系式,然后利用 S n 与 an 的递推关系求 出 a1 ,从而再求出 an .(2)根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前 n 项和. 试题解析: (1)解:∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, ∴ S n ? 1 ? ( S1 ? 1) ? 2 n ?1 ? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 . ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 ? 1 . 从而 a 2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1 , a3 ? S 3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 . ∵ a 2 是 a1 和 a 3 的等比中项 3分 1分

答案第 6 页,总 8 页

∴ (a1 ? 1) ? a1 ? (2a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 .
2

4分 5分

当 a1 ? ?1 时, S1 ? 1 ? 0 , {S n ? 1} 不是等比数列, ∴ a1 ? 1 . ∴ Sn ? 2n ? 1. 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 . ∵ a1 ? 1 符合 a n ? 2 n ?1 , ∴ a n ? 2 n ?1 . (2)解:∵ na n ? n ? 2 n ?1 , ∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 . ① 9分 10 分 11 分 8分 6分 7分

2Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n .②
① ? ②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n

?

1 ? 2n ? n ? 2n 1? 2

12 分

? (1 ? n) ? 2 n ? 1 .
∴ Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 .

13 分 14 分

考点:1、 S n 与 an 的递推关系的应用,2、错位相减法求数列前 n 项和. 23. (1) an =

n( n ? 1) 2n ; (2) S n ? 。 2 n ?1

【解析】 试题分析: (1)

a2 ? a1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 3 a3 ? a2 ? 3? a3 ? a2 ? 3 ? 6 an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?
数列 ?an ? 的通项公式 an = (2)

? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? (n ? 1) ?

? 2 ?1 ?

n(n ? 1) 2

n( n ? 1) 2

答案第 7 页,总 8 页

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bn ?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) an n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 +bn ? 2(1 ? ? ? ? 2 2 3 ? 1 1 1 2n ? ) ? 2(1 ? )? n n ?1 n ?1 n ?1

? Sn ? b1 +b2 +

考点:等差数列的求和公式, “累差法” , “裂项相消法” 。 点评:中档题,本题首先利用“累差法” ,确定得到数列的特征,得到数列的通项公式。数 列的求和立足于“公式法” ,应当注意到“分组求和法” “裂项相消法” “错位相减法” ,均是 高考考查的重要求和方法。

答案第 8 页,总 8 页



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