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8-4 椭圆



x 2 y2 1.(2011· 东莞模拟)设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1、F2 是椭 25 16 圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 [答案] D B.5 C.8 ) D.10

[解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10. 2.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴

上的椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C
2 2

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

x 2 y2 [解析] ∵方程 mx +ny =1, + =1 表示焦点在 y 轴上的椭 即 1 1 m n

?m>0 ?1 圆,∴需有:?n>0 ? 1 <1 ?m n
1



∴m>n>0,故互为充要条件. x2 y2 4 3.(文)(2011· 岳阳月考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值 9 4+k 5 为( )

A.-21 C.- [答案]

B.21 19 D. 或 21 25

19 或 21 25 C

5-k 4 c 4 [解析] 若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,由a= 即 = , 5 3 5 得 k=- 19 ;若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, 25

k-5 4 c 4 由a= ,即 = ,解得 k=21. 5 4+k 5 (理)(2011· 广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1、B2,焦点为 F1、F2,若四边形 B1F1B2F2 是正方形,则这个椭圆的 离心率 e 等于( A. 2 2 A ) B. 1 2 C. 3 2 D.以上都不是

[答案]

2 c [解析] 画出草图(图略),根据题意可得 e=a=cos45° = ,故选 2 A. x 2 y2 4.(2011· 河北石家庄一模)已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1, 16 25 F2,P 是椭圆上一点,若连接 F1,F2,P 三点恰好能构成直角三角形, 则点 P 到 y 轴的距离是( 16 A. 5 [答案] [解析] A F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4, B.3 ) C. 16 3 D. 25 3

∴∠F1F2P=90° 或∠F2F1P=90° .

16 设 P(x,3),代入椭圆方程得 x=± . 5 即点 P 到 y 轴的距离是 16 . 5

5.(2010· 南昌市模拟)已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的 一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于( 5 A. 13 [答案] A B. 12 13 3 C. 5 ) 4 D. 5

[解析] 设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为 a、b、c, 则由条件知,b=6,a+c=9 或 a-c=9, 又 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=36,
? ?a+c=9 故? ? ?a-c=4

?a=13 ? 2 ,∴? ?c=5 ? 2

c 5 ,∴e=a= . 13

x 2 y2 6.(文)(2011· 安徽省皖北联考)椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的 49 24 两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为( A.20 [答案] C B.22 C.24 D.28 )

[解析] 椭圆的焦点坐标是(± 5,0), P 在以线段 F1F2 为直径的圆 点 242 24 上,该圆的方程是 x +y =25,代入椭圆方程得 y = ,即|y|= , 25 5
2 2 2

1 24 所以 S△PF1F2= ×10× =24,故选 C. 2 5 [点评] +|PF2|=14 +|PF2|2=100 关于焦点三角形的问题常用定义求解.由定义知,|PF1| (1)由△PF1F2 为直角三角形及 c= 49-24=5 得|PF1|2 (2),(1)式两边平方与(2)式相减得:|PF1|· 2|=48,∴ |PF

1 S△PF1F2= |PF1|· 2|=24. |PF 2 x 2 y2 (理)(2011· 河北唐山市二模)P 为椭圆 + =1 上一点,F1、F2 为 4 3 → PF → 该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60° ,则PF1· 2等于( A.3 [答案] D B. 3 C.2 3 D.2 )

[解析] 由题意可得|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos60° =(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|, 所以 4=42-3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4, 1 → PF → → → cos60° PF1· 2=|PF1||PF2|· =4× =2,故选 D. 2 7.(2011· 安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设 F1、F2 分别 x 2 y2 是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点, 25 16 |OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点距离为________. [答案] 4 [解析] |OM|=3,|PF2|=6,

又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4. x 2 y2 8. (文)已知实数 k 使函数 y=coskx 的周期不小于 2, 则方程 + k 3 =1 表示椭圆的概率为________. [答案] 1 2 2π ≥2,∴-π≤k≤π, |k|

[解析] 由条件

x 2 y2 当 0<k≤π 且 k≠3 时,方程 + k =1 表示椭圆, 3

1 ∴概率 P= . 2 x 2 y2 (理)(2010· 深圳市调研)已知椭圆 M: 2+ 2=1(a>0,b>0)的面积为 a b
?|x|≤2 ? πab,M 包含于平面区域 Ω:? 内,向 Ω 内随机投一点 Q,点 ?|y|≤ 3 ?

π Q 落在椭圆 M 内的概率为 ,则椭圆 M 的方程为________. 4 x 2 y2 [答案] + =1 4 3 [解析]

平面区域 Ω:
?|x|≤2 ? ? 是一个矩形区域,如图所示, ? ?|y|≤ 3

依题意及几何概型,可得

πab π = ,即 ab=2 3. 8 3 4

因为 0<a≤2,0<b≤ 3,所以 a=2,b= 3. x 2 y2 所以,椭圆 M 的方程为 + =1. 4 3

x 2 y2 1.(文)已知 F 是椭圆 + =1 的一个焦点, 为过其中心的一条 AB 25 9 弦,则△ABF 的面积最大值为( A.6 [答案] [解析] D 1 1 S= |OF|· 1-y2|≤ |OF|· |y 2b=12. 2 2 B.15 ) C.20 D.12

x2 2 (理)(2010· 浙江台州)已知点 M( 3,0),椭圆 +y =1 与直线 y= 4 k(x+ 3)交于点 A、B,则△ABM 的周长为( A.4 [答案] B B.8 C.12 ) D.16

[解析] 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭圆 x2 2 +y =1 的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2=8. 4 x 2 y2 2. (2010· 宁波余姚)如果 AB 是椭圆 2+ 2=1 的任意一条与 x 轴不 a b 垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·OM 的值为( k A.e-1 [答案] C ) B.1-e C.e2-1 D.1-e2

[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), ?x1-x2??x1+x2? x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 由点差法, 2+ 2=1, 2+ 2=1,作差得 = a b a b a2 ?y2-y1??y2+y1? y2-y1 y1+y2 -b2 c2-a2 2 ,∴kAB·OM= k · = 2 = 2 =e -1.故选 b2 a a x2-x1 x1+x2 C. x 2 y2 3.(2011· 浙江文,9)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2: a b

y2 x - =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆 4
2

相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A.a2= 13 2 B.a2=13 D.b2=2

)

1 C.b2= 2 [答案] [解析] C

由已知双曲线渐近线为 y=± 2x.圆方程为 x2+y2=a2,则|AB|=2a. 不妨取 y=2x 与椭圆交于 P、Q 两点,且 P 在 x 轴上方,则由已知|PQ| 1 2a = |AB|= , 3 3 5a 2 5a a ∴|OP|= .则点 P 坐标为( , ), 3 15 15 5a2 20a2 225 225 又∵点 P 在椭圆上,∴ 2 + 2 =1. a b



?a2=11 ? 2 又∵a2-b2=5,∴b2=a2-5.②,解①②得? ?b2=1 ? 2
故选 C.

.

x 2 y2 4.(文)设 F 是椭圆 + =1 的左焦点,且椭圆上有 2011 个不同 25 16 的点 Pi(xi, i)(i=1,2,3, 2011), y ?, 且线段|FP1|, 2|, 3|, |FP2011| |FP |FP ?, 的长度成等差数列, 若|FP1|=2, 2011|=8, |FP 则点 P2010 的横坐标为( )

2008 A. 2011 [答案] C

B.

1005 201

C.

1004 201

536 D. 67

[解析] ∵椭圆

x 2 y2 + =1, ∴F(-3,0), 由|FP1|=2=a-c, 2011| |FP 25 16

=8=a+c,可知点 P1 为椭圆的左顶点,P2011 为椭圆的右顶点,即 x1 1 =-5,x2011=5=-5+2010d,∴d= ,则数列{xi}是以-5 为首项, 201 1 1 1004 为公差的等差数列,∴x2010=-5+2009× = . 201 201 201 (理)(2011· 江西七校联考)如图, 有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭 圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为 a1 和 a2, 半焦距分别为 c1 和 c2.则下列结 论不正确的是( )

A.a1+c1>a2+c2 C.a1c2<a2c1

B.a1-c1=a2-c2

D.a1c2>a2c1

[答案]

D

[解析] 依题意得,a1>a2,c1>c2,a1+c1>a2+c2;两个椭圆的左焦 1 1 点到左顶点的距离相等,即有 a1-c1=a2-c2;由 a1>a2,得 < ,又 a1 a2 a1-c1=a2-c2,因此 确的结论是 D,选 D. x 2 y2 5.过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点作圆 x2+y2=b2 的两条 a b 切线,切点分别为 A,B,若∠AOB=90° 为坐标原点),则椭圆 C (O 的离心率为________. [答案] 2 2 a1-c1 a2-c2 c2 c1 < ,即有 < ,a1c2<a2c1.因此,不正 a1 a2 a2 a1

2 b [解析] 因为∠AOB=90° ,所以∠AOF=45° ,所以a= ,所以 2
2 2 c2 a -b b2 1 2 e = 2= 2 =1- 2= ,即 e= . a a a 2 2 2

y2 6.(文)(2010· 新课标全国文)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x + 2= b
2

1(0<b<1)的左、 右焦点, F1 的直线 l 与 E 相交于 A、 两点, 过 B 且|AF2|、 |AB|、|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. [解析] (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,

4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组

?y=x+c, ? 2 y2 ?x +b2=1.
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x1x2= . 1+b2 1+b2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 8 则 =(x1+x2)2-4x1x2 9 4?1-b2? 4?1-2b2? 8b4 = - = . ?1+b2?2 1+b2 ?1+b2?2 解得 b= 2 . 2

(理)(2010· 山东省实验中学)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O, 一个 长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l → → 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且AP=2PB. (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. [解析] 1(a>b>0), 由题意知 a=2,b=2, y2 x 2 又 a =b +c ,则 b= 2,所以椭圆方程为 + =1. 4 2
2 2 2

y2 x 2 (1)由题意知椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2+ 2= a b

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立

?y2+2x2=4 ? 即? ,消去 y 得, ? ?y=kx+m

(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2-k2)(m2-4)>0

?x +x =-2+k 由韦达定理知? m -4 x·= x ? 2+k
1 2 2 1 2 2

2mk
2



→ → 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
?x1+x2=-x2 ? ∴-x1=2x2,∴? , 2 ? ?x1x2=-2x2 ? 2mk ?2 m2-4 ∴ 2? 2 =-2? 2+k ?2+k ?

整理得(9m2-4)k2=8-2m2 8-2m2 又 9m -4=0 时不成立,所以 k = 2 >0 9m -4
2 2

4 得 <m2<4,此时 Δ>0 9
? 2? ?2 ? 所以 m 的取值范围为?-2,-3?∪?3,2?. ? ? ? ?

7. (文)(2010· 北京东城区)已知椭圆 C 的中心在原点, 一个焦点 F(- 2,0),且长轴长与短轴长的比是 2: 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上, P 是椭圆上任意一点. → 点 当|MP |最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围. [解析] x 2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0) a b

?a =b +c ? b=2? 由题意?a? ?c=2 ?
2 2

2

3

,解得 a2=16,b2=12.

x 2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 x 2 y2 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 + =1,故- 16 12 4≤x≤4. → 因为MP=(x-m,y), → 所以|MP|2=(x-m)2+y2
? x ? =(x-m) +12×?1-16?. ? ?
2 2

1 1 = x2-2mx+m2+12= (x-4m)2+12-3m2. 4 4 → 因为当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, → 即当 x=4 时,|MP|2 取得最小值.而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4. 故实数 m 的取值范围是 m∈[1,4]. x 2 y2 (理)(2011· 北京文,19)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b 6 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点, 3 以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. [解析] 6 c (1)由已知得,c=2 2,a= , 3

解得 a=2 3, 又 b2=a2-c2=4, x 2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m

?y=x+m. 由? x2 y2 ?12+ 4 =1

得 ①

4x2+6mx+3m2-12=0.

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0, y0),则 x1+x2 3m x0= =- , 2 4 m y0=x0+m= . 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2, 此时方程①为 4x2+12x=0, 解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2,所以|AB|=3 2, 此时, P(-3,2)到直线 AB: 点 x-y+2=0 的距离 d= 3 2 , 2 |-3-2+2| = 2

1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· . d= 2 2

1. (2010· 北京西城区)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M, A 为 设 圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 [答案] B ) B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

[解析] 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P 的 轨迹是椭圆. x 2 y2 2.(2010· 金华十校)方程 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆左顶点为 A,左、 a b → → 右焦点分别为 F1、 2, 是它短轴上的一个顶点, 2DF1=DA+DF2, F D 若 → 则该椭圆的离心率为( 1 A. 2 [答案] B B. 1 3 ) C. 1 4 D. 1 5

→ → → [解析] 由 2DF1=DA+DF2知 F1 是 AF2 的中点, 1 ∴a-c=2c,∴a=3c,e= . 3 x 2 y2 3.F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点,P 是椭圆上任一点, a b 过一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线,则垂足 Q 的轨迹为( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [答案] A

[解析] ∵PQ 平分∠F1PA,且 PQ⊥AF1, ∴Q 为 AF1 的中点,且|PF1|=|PA|, 1 1 ∴|OQ|= |AF2|= (|PA|+|PF2|)=a, 2 2 ∴Q 点轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆. x 2 y2 4.(2010· 胶州三中)若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点 F 分成 3?1两段,则此椭 圆的离心率为( 1 A. 2 [答案] C ) B. 1 3 C. 2 2 D. 3 3

[解析] 椭圆中 c2=a2-b2,
?b ? ∴焦距 2c=2 a2-b2,抛物线的焦点 F?2,0?, ? ?

由题意知|F1F|=3|FF2|,∴|F1F2|=4|FF2|,

b? ? ∴c=2|FF2|,即 c=2?c-2?,∴c=b,
? ?

∴c2=a2-c2,∴e=

2 . 2

5 5. (2011· 银川二模)两个正数 a、 的等差中项是 , b 等比中项是 6, 2 x 2 y2 且 a>b,则椭圆 2+ 2=1 的离心率 e 等于( a b A. 3 2 C B. 13 3 C. 5 3 ) D. 13

[答案]

? ?a+b=5 [解析] 由题意可知? ,又因为 a>b, ?a· ? b=6 ?a=3 ? 所以解得? ,所以椭圆的半焦距为 c= 5, ? ?b=2

5 c 所以椭圆的离心率 e=a= ,故选 C. 3 6. (2011· 天水一中期末)以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆 的中心,交椭圆于点 M、N,椭圆的左焦点为 F1,且直线 MF1 与此圆 相切,则椭圆的离心率 e 等于( A. 3-1 [答案] A B.2- 3 ) C. 2 2 D. 3 2

[解析] 由题意知,MF1⊥MF2,|MF2|=|OF2|=c,

又|F1F2|=2c,∴|MF1|= 3c, 由椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a, c ∴ 3c+c=2a,∴e=a= 3-1. 7.(2010· 南充市)已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭 sinA+sinC x 2 y2 圆 + =1 上,则 =________. 25 9 sinB [答案] 5 4

[解析] 易知 A,C 为椭圆的焦点,故|BA|+|BC|=2×5=10,又 AC=8,由正弦定理知, sinA+sinC |BA|+|BC| 5 = = . sinB |AC| 4



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