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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第4章 第6节 正弦定理和余弦定理



第四章

第六节

一、选择题 1.(文)已知△ABC 中,a= 2、b= 3、B=60° ,那么角 A 等于( A.135° C.45° [答案] C a b [解析] 由正弦定理得, = , sinA sinB asinB 2sin60° 2 sinA= = = , b 2 3 又∵a<b,∴A<B,故 A=45° ,选 C

. π (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 A= ,a= 3,b=1,则 c 3 等于( A.1 C. 3-1 [答案] B a b 3 1 [解析] 解法 1:由正弦定理 = 得, = , sinA sinB π sinB sin 3 1 ∴sinB= ,故 B=30° 或 150° . 2 由 a>b 得 A>B,∴B=30° . 故 C=90° ,由勾股定理得 c=2,选 B. π 解法 2:由余弦定理知,3=c2+1-2ccos , 3 即 c2-c-2=0,∴c=2 或-1(舍去). 2.(2014· 上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 a=1,B=2A,则 b 的取值范围为( A.( 2, 3) C.( 2,2) [答案] A a b b π π π π [解析] 由 = = ,则 b=2cosA. <A+B=3A<π,从而 <A< ,又 B=2A< , sinA sinB sin2A 2 6 3 2 ) B.(1, 3) D.(0,2) ) B.2 D. 3 B.90° D.30° )

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π π π 2 3 所以 A< ,所以有 <A< , <cosA< ,所以 2<b< 3. 4 6 4 2 2 3. (文)在△ABC 中, a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边, 且 sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB, 则角 C 等于( π A. 6 5π C. 6 [答案] B [解析] 由正弦定理得 a2-c2=(a-b)· b=ab-b2, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cosC= = , 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 3 (理)(2013· 浙江调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin2B+sin2C- sin2A+sinBsinC=0,则 tanA 的值是( A. 3 3 ) B.- 3 3 ) π B. 3 2π D. 3

C. 3 [答案] D

D.- 3

b2+c2-a2 [解析] 依题意及正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得 cosA= = 2bc -bc 1 2π 2π =- ,又 0<A<π,所以 A= ,tanA=tan =- 3,选 D. 2bc 2 3 3 c 4.(文)(2013· 合肥二检)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 <cosA,则 b △ABC 为( ) B.直角三角形 D.等边三角形

A.钝角三角形 C.锐角三角形 [答案] A [解析] 依题意得

sinC <cosA,sinC<sinBcosA,所以 sin(A+B)<sinBcosA,即 sinBcosA+ sinB

cosBsinA-sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0.又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 为钝角,△ABC 是钝 角三角形,选 A. (理)(2014· 东北三省三校二模)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = sinA ,则 B=( sinC+sinB ) c-b c-a

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π A. 6 π C. 3 [答案] C [解析] ∵

π B. 4 3π D. 4

c-b sinA a = = ,∴c2-b2=ac-a2,∴a2+c2-b2=ac,∴2accosB= c-a sinC+sinB c+b

1 π ac,∴cosB= ,∵B∈(0,π),∴B= . 2 3 5.(文)(2013· 呼和浩特第一次统考)在△ABC 中,如果 sinA= 3sinC,B=30° ,角 B 所对 的边长 b=2,则△ABC 的面积为( A.4 C. 3 [答案] C [解析] 据正弦定理将角化边得 a= 3c,再由余弦定理得 c2+( 3c)2-2 3c2cos30° =4, 1 解得 c=2,故 S△ABC= ×2×2 3×sin30° = 3. 2 (理)△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 [答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2 ) B.3+ 3 D.2+ 3 ) B.1 D.2

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 6. (2014· 辽宁沈阳二中期中)△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, asinBcosC 1 +csinB· cosA= b,且 a>b,则∠B=( 2 π A. 6 2π C. 3 [答案] A 1 [解析] 因为 asinBcosC+csinBcosA= b, 2 ) π B. 3 5π D. 6

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1 所以 sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB, 2 1 5π π 即 sin(A+C)= ,a>b,所以 A+C= ,B= ,故选 A. 2 6 6 二、填空题 7.(2014· 弋阳一中月考)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶 sinA+sinC x2 y2 点 B 在椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB [答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC 8.(2014· 江西四校联考)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c π =3,C= ,a=2b,则 b 的值为________. 3 [答案] 3

π [解析] 依题意及余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 9=(2b)2+b2-2×2b×bcos ,解 3 得 b2=3,∴b= 3. π 9.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 b= 5,B= ,tanC=2, 4 则 c=________. [答案] 2 2 sin2C+cos2C=1 ? ? 4 2 5 b c ??sin2C=5?sinC= 5 .由正弦定理,得sinB=sinC,∴c= sinC tanC=2? =2 cosC ? ?

[解析] sinC ×b=2 2. sinB

三、解答题 10.(2014· 陕西理)△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a、b、c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若 a、b、c 成等比数列,求 cosB 的最小值. [解析] (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b, 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac,

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a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 由余弦定理得 cosB= = ≥ = , 当且仅当 a=c 时, 等号成立. 2ac 2ac 2ac 2 1 ∴cosB 的最小值为 . 2

一、选择题 π 11.(文)(2013· 东北三省四市二联)若满足条件 AB= 3,C= 的三角形 ABC 有两个,则边 3 长 BC 的取值范围是( A.(1, 2) C.( 3,2) [答案] C [解析] 解法一:若满足条件的三角形有两个,则 2,故 BC=2sinA, 所以 3<BC<2,故选 C. π 解法二:由条件知,BCsin < 3<BC,∴ 3<BC<2. 3 (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有两 解,则角 A 的取值范围是( π? A.? ?0,4? π 3π? C.? ?4, 4 ? [答案] A [解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2, ∴sinA< 2 , 2 ) π π? B.? ?4,2? π π? D.? ?4,3? 3 BC AB =sinC<sinA<1,又因为 = = 2 sinA sinC ) B.( 2, 3) D.( 2,2)

π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A< . 4 b c 12.(2014· 长春市调研)△ABC 各角的对应边分别为 a,b,c,满足 + ≥1,则角 A a+c a+b 的取值范围是( π A.(0, ] 3 π C.[ ,π) 3 [答案] A ) π B.(0, ] 6 π D.[ ,π) 6

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b c [解析] 由 + ≥1 得: b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b), 化简得: b2+c2-a2≥bc , a+c a+b b2+c2-a2 1 1 π 同除以 2bc 得, ≥ ,即 cosA≥ ,因为 0<A<π,所以 0<A ≤ ,故选 A. 2bc 2 2 3 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b2+c2-a2= 3bc 且 b= 3a, 则△ABC 不可能 是( ... A.等腰三角形 C.直角三角形 [答案] D b2+c2-a2 3 π b sinB [解析] 由 cosA= = ,可得 A= ,又由 b= 3a 可得 = =2sinB= 3, 2bc 2 6 a sinA 可得 sinB= 3 π 2π π 2π π ,得 B= 或 B= ,若 B= ,则△ABC 为直角三角形;若 B= ,C= =A, 2 3 3 3 3 6 ) B.钝角三角形 D.锐角三角形

则△ABC 为钝角三角形且为等腰三角形,由此可知△ABC 不可能为锐角三角形,故应选 D. → → → → 14.(2014· 大城一中月考)在△ABC 中,AC· AB=|AC-AB|=3,则△ABC 面积的最大值为 ( ) A. 21 C. 21 2 3 21 B. 4 D.3 21

[答案] B → → → → [解析] 设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,∵AC· AB=|AC-AB|=3,∴bccosA=a b2+c2-a2 9 3cosA 2 21 =3.又 cosA= ≥1- =1- ,∴cosA≥ ,∴0<sinA≤ ,∴△ABC 的面积 2bc 2bc 2 5 5 1 3 3 21 3 21 3 21 S= bcsinA= tanA≤ × = ,故△ABC 面积的最大值为 . 2 2 2 2 4 4 二、填空题 15.(文)(2014· 河南名校联考)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2- c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为________. [答案] 4 3

4 [解析] ∵(a+b)2-c2=4,∴a2+b2-c2=4-2ab=2abcos60° ,∴ab= . 3 (理)(2014· 衡水中学 5 月模拟)在△ABC 中,P 是 BC 边中点,角 A,B,C 的对边分别是 a, → → → b,c,若 cAC+aPA+bPB=0,则△ABC 的形状为________. [答案] 等边三角形 → → → → → → → [解析] ∵cAC+aPA+bPB=0,∴(a-c)PA+bPB+cPC=0,∵P 为 BC 的中点,∴PB=
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→ → → → → -PC,∴(a-c)PA+(b-c)PB=0,∵PA与PB不共线,∴a-c=0,b-c=0, ∴a=b=c. a b 16.(文)在△ABC 中, C=60° ,a、 b、c 分别为 A、 B、 C 的对边, 则 + =________. b+c c+a [答案] 1 [解析] ∵C=60° ,∴a2+b2-c2=ab, ∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), ∴ a b + =1. b+c a+c

4 (理)(2014· 吉林九校联合体联考)在△ABC 中,C=60° ,AB= 3,AB 边上的高为 ,则 AC 3 +BC=________. [答案] 11

1 4 1 [解析] 由条件 × 3× = AC· BC· sin60° , 2 3 2 8 ∴AC· BC= , 3 由余弦定理知 AC2+BC2-3=2AC· BC· cos60° , ∴AC2+BC2=3+AC· BC, ∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC· BC=3+3AC· BC=11,∴AC+BC= 11. 三、解答题 17.(文)(2014· 安徽理)设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c 且 b=3,c =1,A=2B. (1)求 a 的值; π (2)求 sin(A+ )的值. 4 [解析] (1)因为 A=2B, 所以 sinA=sin2B=2sinBcosB, a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· , 2ac 因为 b=3,c=1, 所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cosA= = =- , 2bc 6 3 由于 0<A<π,所以 sinA= 1-cos2A= 1 2 2 1- = , 9 3

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π π π 故 sin(A+ )=sinAcos +cosAsin 4 4 4 = 2 2 2 1 2 4- 2 × +(- )× = . 3 2 3 2 6

(理)(2014· 浙江理)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3, cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 5 [解析] (1)由已知 cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB 得. 1 1 3 3 (1+cos2A)- (1+cos2B)= sin2A- sin2B, 2 2 2 2 1 3 1 3 ∴ cos2A- sin2A= cos2B- sin2B, 2 2 2 2 π π 即 sin(- +2A)=sin(- +2B), 6 6 π π π π ∴- +2A=- +2B 或- +2A- +2B=π, 6 6 6 6 2π 即 A=B 或 A+B= , 3 2π π ∵a≠b,∴A+B= ,∴∠C= . 3 3 (2)由(1)知 sinC= 3 1 ,cosC= , 2 2

3 3+4 ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 10 由正弦定理得: a c = , sinA sinC

4 8 又∵c= 3,sinA= .∴a= . 5 5 18+8 3 1 ∴S△ABC= acsinB= . 2 25 18.(文)(2014· 广东五校协作体第二次联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,S 是△ABC 的面积. 若 a=(2cosB,1),b=(-1,1),且 a∥b. (1)求 tanB+sinB; (2)若 a=8,S=8 3,求 tanA 的值. 1 [解析] (1)∵a∥b,∴2cosB=-1,cosB=- . 2

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2π ∵B∈(0,π),∴B= , 3 ∴tanB+sinB=- 3+ 3 3 =- . 2 2

1 (2)S= acsinB=2 3c=8 3,∴c=4. 2 方法一:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=112, ∴b=4 7. 2 7 再由余弦定理得 cosA= . 7 ∵A 为锐角,∴tanA= 3 . 2

方法二:由正弦定理得 sinA=2sinC. 2π π π ∵B= ,∴A+C= ,∴C= -A. 3 3 3 π ∴sinA=2sin( -A),即 sinA= 3cosA-sinA. 3 ∴ 3cosA=2sinA,∴tanA= 3 . 2

(理)(2014· 福建莆田一中月考)已知 a=(2cosx+2 3sinx,1),b=(y,cosx),且 a∥b. (1)将 y 表示成 x 的函数 f(x),并求 f(x)的最小正周期; A (2)记 f(x)的最大值为 M,a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f( ) 2 =M,且 a=2,求 bc 的最大值. [解析] (1)由 a∥b 得 2cos2x+2 3sinxcosx-y=0, 即 y=2cos2x+2 3sinxcosx=cos2x+ 3sin2x+1 π =2sin(2x+ )+1, 6 π 所以 f(x)=2sin(2x+ )+1. 6 2π 2π 又 T= = =π, ω 2 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)由(1)易得 M=3, A π π 于是由 f( )=M=3,即 2sin(A+ )+1=3,得 sin(A+ )=1, 2 6 6 π 因为 A 为三角形的内角,故 A= . 3 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 得 4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,解得 bc≤4,当且仅当

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b=c=2 时,bc 取最大值 4.

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