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2014年杭州市第一次高考科目教学质量检测数学(文科)试题卷


2014 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学(文科)试题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U ? ?a, b, c, d ? , A ? ?a, c, d ? , B ? ?b, d ? ,则 A. ?b? 2.设 z ? B.

?d ?

C. ?a, c?

D. ?b, d ? )

1 ? ai ,若复数 z 为纯虚数(其中 i 是虚数单位) ,则实数 a 等于( i 1 A.-1 B.0 C.1 D. 2
? 1 2

3.设 x ? log 5 2, y ? e , z ? A. x ? y ? z

1 (e 是自然对数的底数) ,则( 2
C. z ? x ? y

) D. x ? z ? y )

B. y ? x ? z

4.若 ? , ? 是非零实数,则“ ? ? ? ? 0 ”是“ ? ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

? ? 0 ”成立的(

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和.若 a4 ? 0, a5 ? a4 ,则使 S n ? 0 成立的最小正整数 n 为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

6.设函数 f ( x) ? a cos ax(a ? R ) .则下列图象可能为 y ? f ( x) 的图象是( ) 7. 设 A, B, C 为直线 l 上不同的三点, O 为直线 l 外一点. 若 pOA ? qOB ? rOC ? 0 , ( p, q, r ? R) ,则 p+g+r=( A.-1
k

??? ?

??? ?

????

)

B.0
?

C.1 )

D.3

8.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) cos x(k ? N ) ,则( A.当 k=2013 时, f ( x) 在 x=1 处取得极小值 B.当 k=2013 时, f ( x) 在 x=1 处取得极大值 C.当 k=2014 时, f ( x) 在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2014 时, f ( x) 在 x=1 处取得极大值

9.设 F1 , F2 为椭圆 F :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点,点 M 在椭圆 F 上.若△ MF1F 为直角三角形,且 a 2 b2
)

MF1 ? 2 MF2 ,则椭圆 F 的离心率为(
A.

3 5 或 3 3
6 7 或 3 3

B.

5 6 或 3 3
3 5 ?1 或 3 4

C.

D.

x 10. 设 x∈R, 若函数 f ( x) 为单调递增函数, 且对任意实数 x, 都有 f ? , ? f ( x) ? e ? ? ? e ? 1(e 是自然对数的底数)

则 f (ln 2) 的值等于(

)

A. 1 B .e+l C.3 D. e+3 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11.设函数 f ( x) ? x ? 1 .若 f (a ) ? 2a ? ,则 a=________. 12.将两枚各面分别刻有数字 1,2,2,3,3,3 的骰子掷一次,则 掷得的点数之和为 5 的概率为_________. 13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是_________.

?x ? 3 ? 14. 设不等式组 ? y ? 5 ?4 x ? 3 y ? 15 ?
15.设函数 f ( x) ?

所表示的平面区域为 D.若圆 C 落在区

域 D 中,则圆 C 的半径 r 的最大值为________.

1 2 3 x ? bx ? .若对任意实数 ? , ? ,不等式 f (cos ? ) ? 0, 4 4

f (2 ? sin ? ) ? 0 恒成立,则 b ? _________.
16.设正实数 x,y,z 满足 x ? y ? z ? 4, xy ? yz ? zx ? 5 ,则 y 的最大值为_________. 17.在△AOB 中,G 为△AOB 的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心) ,且 ?AOB ? 60? .若 OA ? OB ? 6 , 则 OG 的最小值是________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,D 为 BC 中点, cos ?BAD ?

??? ? ??? ?

?????

2 5 3 10 . ,cos ?CAD ? 5 10

(I)求 ?BAC 的值; (II)求

AC 的值. AD

19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? an (n ? N ? ) . (I)求证:数列 ?an ? 1? 是等比数列; ( II)设 bn ? (2 ? n)(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 20.(本小题满分 15 分) 设△ABC 是边长为 1 的正三角形,点 P . 1, P 2, P 3 四等分线段 BC(如图所示) (I)求 AB ? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 的值; ( II)设动点 P 在边 BC 上, (i)请写出一个 BP 的值使 PA ? PC ? 0 ,并说明理由; ( ii)当 PA ? PC 取得最小值时,求 cos ?PAB 的值.

??? ? ???? ???? ????

???? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

21.(本小题满分 15 分) 设 a ? R, f ( x) ? ? x 3 ? ax ? (1 ? a )ln x . (I)若以=0,求 f ( x) 的极值; ( II)若函数 y ? f ( x) 有零点,求 a 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分) 设点 P(-2,1)在抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 上,且到圆 C : x ? ( y ? b) ? 1 上点的
2 2 2

1 3

最小距离为 1. ( I)求 p 和 b 的值; ( II)过点 P 作两条斜率互为相反数的直线, 分别与抛物线交于两点 A,B,若直线 AB 与圆 C 交于不同两点 M,N.

(i)证明直线 AB 的斜率为定值; ( ii)求△PMN 面积取最大值时直线 AB 的方程.


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