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2015高考数学二轮复习热点题型专题二十三 正弦定理和余弦定理



专题二十三 正弦定理和余弦定理 【高频考点解读】 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 【热点题型】 题型一 利用正、余弦定理解三角形

π 例 1、(1)(2013 年高考天津卷)在△ABC 中,∠ABC= ,AB = 2,BC=3,则 sin∠BAC 4 =( ) A. C. 10 10 3 10 10 B. D. 10 5 5 5

(2)(2013 年高考福建卷)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC = 2 2 ,AB =3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3

【提分秘籍】 利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化,解题过 程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数. 【举一反三】 π? 在△ABC 中,已知内角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 2asin ? ?B+4? =c. (1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 为锐角三角形,求 sin B sin C 的取值范围.

【热点题型】 题型二 三角形形状的判断

例 2、(2013 年高考陕西卷)设△ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B =asin A ,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 )

B.直角三角形 D.不确定

【提分秘籍】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法 (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应 关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变 形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A +B +C=π 这个结论. 注意:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式, 以免漏解.

【举一反三】 在△ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a,b,c,且 b2 +c2 =a2 +bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B · sin C=sin A ,试判断△ABC 的形状.
2

【热点题型】 题型三 三角形的面积问题

例 3、 (2013 年高考湖北卷)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c. 已知 cos 2A -3cos(B +C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

【提分秘籍】 1 1 1 三角形的面积求法最常用的是利用公式 S= absin C= acsinB = bcsin A 去求.计算时注 2 2 2 意整体运算及正、余弦定理的应用. 【举一反三】 C A 3 在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos 2 +ccos 2 = b. 2 2 2

(1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若∠B =60° ,b=4,求△ABC 的面积.

【热点题型】 题型四 解三角形

例 4、(2013 年高考四川卷)(本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a, A -B 3 b,c,且 2cos 2 cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C)=- . 2 5 (1)求 cos A 的值; → → (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.

3 4 (2)由 cos A =- ,0<A <π,得 sin A = , 5 5 a b 由正弦定理,有 = , sin A sin B



bsin A 2 所以,sin B = = a 2



【提分秘籍】 正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦 定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题,常与三角变换、三角函数 的性质交汇命题、多以解答题形式出现. 【高考风向标】 1. (2014· 湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数 关系: π π f (t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温?

故在 10 时至 18 时实验室需要降温. π π? 2. (2014· 江西卷)已知函数 f (x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ∈? ?-2,2?. π (1)当 a= 2,θ= 时,求 f (x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; 4 π (2)若 f? ?=0,f(π)=1,求 a,θ 的值. ?2?

π? 3. (2014· 四川卷)已知函数 f (x)=sin? ?3x+ 4? . (1)求 f(x)的单调递增区间; α? 4 ? π? (2)若 α 是第二象限角,f? ? 3? =5cos?α+ 4? cos 2α,求 cos α-sin α 的值.

π? 4 ? π? 2 2 (2)由已知,得 sin? ?α+ 4?=5cos?α+ 4? (cos α-sin α), π π 4 π π 所以 sin αcos +cos αsin = ?cos α cos -sin αsin ?(cos2 α-sin2 α), 4 4 5? 4 4?

4. (2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.

6,∠B= 2∠ A.

5. (2013· 全国卷)设△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,(a+b+c)(a-b+ c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C= 3-1 ,求 C. 4
2 2 2

【解析】(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac ,所以 a +c -b =-ac. 由余弦定理得 cos B= 因此 B=120° . a2 +c 2 -b2 1 =- , 2ac 2

6. (2013· 浙江卷)已知 α∈R,sin α+2cos α= A. 4 3 3 B. 4 C.- 3 4 4 D.- 3

10 ,则 tan 2α=( 2

)

7. (2013· 重庆卷)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 C. 3 B. 2+ 3 2 2-1

)

D.2

【随堂巩固】 1.在△ABC 中,A ,B ,C 为内角,且 sin Acos A =sin Bcos B ,则△ABC 是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 )

2. 在斜三角形 ABC 中, sin A =- 2cos B · cos C, 且 tan B · tan C=1- 2, 则角 A 的值为( A. C. π 4 π 2 B. π 3 3π 4

)

D.

3.在锐角△ABC 中,角 A ,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asin B = 3b,则角 A 等于( A. C. π 12 π 4 B. π 6 π 3

)

D.

4.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 acos C,bcos B,ccos A 成等差数列,则 B 的值为( A. C. π 6 2π 3 ) B. D. π 3 5π 6

5.在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b,c,ac=3,且 a=3bsin A ,则△ABC 的面 积等于( )

A.

1 2

B.

3 2 3 4

C.1

D.

6.在△ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边长分别为 a,b,c,sin A ,sin B ,sin C 成等比数列, 且 c=2a,则 cos B 的值为( A. C. 1 4 2 4 B. 3 4 2 3 )

D.

7.△ABC 中,a,b,c 分别是角 A ,B ,C 的对边,若 a2 -c2 =2b,且 sin B =6cos A · sin C, 则 b 的值为________.

8.在锐角△ABC 中,a,b,c 是角 A ,B ,C 的对边,且 3a=2csin A . (1)求角 C 的度数; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2

9.已知函数 f (x)=2sin xcos x+2 3cos 2 x- 3,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; → → (2)在锐角△ABC 中,若 f(A )=1,AB· AC= 2,求△ABC 的面积.

10.在△ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A - 3sin A )cos B =0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

11.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A ,B ,C 的对边,2bcos C=2a-c, (1)求 B ; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的取值范围.

12.在△ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别是 a, b,c,已知向量 m=(cos A ,cos B ),n =(a, 2c-b),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值.



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