9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

六谈圆内接闭折线垂心的性质



三角形的面积之和.

六谈圆内接闭折线垂心的性质
江西赣南师范学院 熊曾润

证 明 在已知闭折线所在的平面内 ,以圆 心 O 为原点,以直线 OH 为 x 轴建立直角坐标 系 xOy ( 图 略 ), 设 顶 点 Ai 的 坐 标 为 ( xi , yi )(i = 1,2,? ? ?, n ) , 垂 心 H 的 坐 标 为

( xH , yH ) (因为点 H 在 x 轴上,所以 yH = 0 ),则 按本文定义 1 有 1 x y , 2 H i n n 1 ∴ ∑ ?OHAi = x H ∑ yi . 2 i =1 i =1 ?OHAi = 而由文 [1] 可知 ∑ yi = yH = 0 ,代入上式
i =1 n

关于圆内接闭折线垂心的性质 ,我们已 作过多次探讨 ( 见拙文 [1] ~ [2] ),这里再作点 补充.为此,先建立如下概念: 定 义 1 在△ OMN 所在的平面内,以顶点 O 为原点建立直角坐标系 xOy ,设顶点 M 和 N 的坐标分别为 ( xM , y M ) 和 ( x N , y N ) ,那么式子 1 ( x y ? xN y M ) 2 M N 的值称为△ OMN 的有向面积,记作 ?OMN , 即 1 ?OMN = ( xM yN ? xN yM ) . 2 定 义 2 △ OMN 的有向面积的绝对值称 为△ OMN 的面积,记作 ? ' OMN ,即 ? ' OMN = | ?OMN | . 容易验证 (这里从略): 按上述定义确定的 三角形面积 ,与平面几何里所说的面积是完 全一致的. △ OMN 的 方 向 规 定 为 O → M → N → O ,当这个方向为逆时针方向时 ,△ OMN 称为正向三角形 ;当这个方向为顺时针方向 时 ,△ OMN 称为负向三角形 ,不难证明 ( 这里 从略): 正向三角形的有向面积必为正数 ,负向 三角形的有向面积必有负数. 据此 , 我们可以推得圆内接闭折线垂心 的如下几个有趣性质: 定 理 1 设闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 内接于 ⊙O,其垂心为 H,若△ OHA1 、△ OHA2 、…、 △ OHAn 中有且只有 k 个正向三角形,那么这 k 个三角形的面积之和, 必等于其余 (n ? k ) 个

就得

∑ ?OHA = 0 .
i i =1

n



但依题设,△ OHA1 、 △ OHA2 、 …△ OHAn 中有且只有 k 个正向三角形 ,记这 k 个三角形 为△ OHA1 ' 、△ OHA2 ' 、…、△ OHAk ' ,记其 余 (n ? k ) 个 三 角 形 为 △ OHA 'k +1 、 △ OHA 'k + 2 、…△ OHA 'n ,则等式①可以改写成

∑ ?OHA '
i =1

n

i

=

i = k +1

∑ (??OHA' ) .
i

n

因为正向三角形的有向面积必为正数, 负向三角形的有向面积必为负数 ,可知上式 中的各个加数都是非负数 ,所以上式两边取 绝对值就得

∑ ? ' OHA 'i =
i =1

n

i =k +1

∑ ? ' OHA '

n

i

.

命题得证. 显然,在这个定理中令 n = 3 可得 推论 1 如果△ ABC 的外心为 O,垂心为 H,那么在△ OHA 、△ OHB 、…△ OHC 中 , 必有一个三角形的面积等于其余两个三角形 的面积之和. 定 理 2 设闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 内接于 ⊙ O, 其 垂 心 为 H, 点 Bi 在 直 线 Ai Ai+1 上 , 且 Ai Bi : Bi Ai+1 = λ ( i = 1,2, ???, n, 且 An+1 为 A1 ), 若
15

△ OHB1 、△ OHB2 、…、△ OHBn 中有只有 k 个正向三角形,那么这 k 个三角形的面积之和 , 必等于其余 (n ? k ) 个三角形的面积之和. 证 明 在已知闭折线所在的平面内 ,以圆 心 O 为原点,以直线 OH 为 x 轴建立直角坐标 系 xOy (图略),设顶点 Ai 的坐标 ( xi , yi )(i = 1,2, ? ? ?, n) ,垂心 H 的坐标为 ( xH , yH )( yH = 0) ,点 Bi 的坐标为 ( xi ', yi ')(i = 1,2,? ? ?, n ) ,则按本文定义 1有 1 ?OHBi = xH y 'i , 2 n n 1 ∴ ∑ ?OHBi = xH ∑ y 'i 2 i =1 i =1

AD BE CF = = , DB EC FA 那么在△ OHD 、△ OHE 、△ OHF 中 , 必有一个三角形的面积等于其余两个三角形 的面积之和. 仿效定理 1 和定理 2 的证法,还可以证明 (证明过程请读者完成): 定 理 3 设闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 内接于 ⊙O,其垂心为 H,以 H 为位似中心作闭折线 A1 A2 A3 ? ? ? An A1 的 位 似 图 形 B1 B2 B3 ? ? ?Bn B1 ( Ai 的位似点为 Bi , i = 1,2, ? ? ?, n ),若△ O A 1 B1 、



△ OA2 B2 、 …△ OAn Bn 中有且只有 k 个正向三 角形,那么这 k 个三角形的面积之和,必等于其 余 (n ? k ) 个三角形的面积之和. 在这个定理中令 n = 3 ,可得 推论 3 如果△ ABC 的外心为 O,垂心为 H,以 H 为位似中心作△ ABC 的位似图形△ A ' B 'C ' ,那么在△ OAA ' 、△ OBB ' 、△ OCC ' 中 ,必有一个三角形的面积等于其余两个三 角形的面积之和.

因为点 Bi 在直线 Ai Ai+1 上 ,且 Ai Bi : Bi Ai+1 = λ , 所以由定比分点的坐标公式可知 ( 注意 yn+1 为 y1 )

∑ y' = ∑
i i =1 i =1 n i =1

n

n

yi + λ yi +1 1+ λ ③ 

= ∑ yi = yH = 0 将③代入②,得

∑ ?OHB
i =1

n

i

= O.

④ 参考文献
[1] 熊曾润.圆内接闭折线的垂心及其性质.福建中学 数学,2000.1. [2] 熊曾润.再谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建 中学数学,2000.3. [3] 熊曾润.三谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建 中学数学,2001.2. [4] 熊曾润.四谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建

但依题设,△ OHB1 、 △ OHB2 、 …△ OHBn 中有且只有 k 个正向三角形,记这 k 个三角形 为△ OHB '1 、△ OHB '2 、…△ OHB 'k 记其余 (n ? k ) 个 三 角 形 为 △ OHB 'k +1 、 △ OHB 'k + 2 、…△ OHB 'n ,则等式④可以改写成

∑ ?OHB '
i =1 K

k

i

=

i = k +1

∑ (??OHB ' ) .
i

n

此式两边取绝对值,就得

∑ ? ' OHB '
i =1

i

=

i =k +1

∑ ? ' OHB '

n

i

.

中学数学,2001.6. [5] 熊曾润.五谈圆内接闭折线的垂心及其性质.福建 中学数学,2002.6.

命题得证. 显然,在这个定理中令 n = 3 可得 推 论 2 如果△ ABC 的外心为 O,垂心为 H,点 D、E、F 分别在直线 AB、BC、CA 上, 且
16



更多相关文章:
闭折线号心研究的进展
六谈圆内接闭折线垂心的性质.福建中学数学,2003(1) 4 [13]熊曾润.再谈三角形的 1 号心的性质.福建中学数学,2003(2) [14]熊曾润.再谈圆外切闭折线的 K...
更多相关标签:
三角形垂心的性质    垂心的性质    垂心性质    重心垂心内心外心性质    三角形垂心性质    垂心有什么性质    圆内接四边形的性质    圆的内接三角形的性质    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图