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高中数学分章节训练试题:25计数原理



高三数学章节训练题 25《计数原理》
时量:60 分钟 满分 :80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 )

/>
2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台, 则不同的取法共有( A. 140 种 B. 84 种 ) C. 70 种 D. 35 种 )

3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有(
3 A. A3 3 B. 4A3 5 2 3 C. A5 ? A3 A3 2 3 1 1 3 D. A2 A3 ? A2 A3 A3

4. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中 选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同的选法总 数是( A. 20 ) B. 16 C. 10 D. 6

5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、物理、化学 三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( A.男生 2 人,女生 6 人 C.男生 5 人,女生 3 人 B.男生 3 人,女生 5 人 D.男生 6 人,女生 2 人. ) )

?x 1 ? 6.在 ? ? 3 ? 的展开式中的常数项是( x? ?2
A. 7
5

8

B. ?7

C. 28
3

D. ?28 )

7. (1 ? 2 x) (2 ? x) 的展开式中 x 的项的系数是( A. 120 B. ?120
n

C. 100

D. ?100 )

2? ? 8. ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x ? ?
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1. n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果? 2.已知集合 S ? ??1,0,1 , P ? ?1, 2,3, 4? ,从集合 S , P 中各取一个元素作 ? 为点的坐标,可作出不同的点共有_____个. 3.将数字 1, 2,3, 4 填入标号为 1, 2,3, 4 的四个方格里,每格填一个 数字,则 每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有
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种?

4.一电路图如图所示,从 A 到 B 共有 三、解答题(本大题共 1 题,满分 20 分) 1.规定 C x ?
m

条不同的线路可通电.

x( x ? 1)? ( x ? m ? 1) m 0 ,其中 x∈R,m 是正整数,且 Cx ? 1 ,这是组合数 Cn m!

(n、m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.
3 (1) 求 C?15 的值;
3 Cx

(2) 设 x>0,当 x 为何值时, ( C 1 ) 2 取得最小值? x (3) 组合数的两个性质;
m n ① Cn ? Cn ? m . m m m ② Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 .

m 是否都能推广到 C x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式

并给出证 明;若不能,则说明理由.

m 变式: 规定 Ax ? x (x ?1) ? x ?m ?1), 其中 x ? R ,m 为正整数, Ax ? 1, 这是排列数 且 0 ( m An (n, m 是正整数,且 m ? n) 的一种推广. 3 ⑴求 A?15 的值; m ⑵排列数的两个性质: An ? nAn??1 , ① m 1 m m m ② An ? mAn ?1 ? An?1 .(其中 m,n 是正整数)

m 是否都能推广到 Ax ( x ? R, m 是正整数) 的情形?若能推广, 写出推广的形式并给予证明;

若不能,则说明理由;
3 ⑶确定函数 Ax 的单调区间.

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高三数学章节训练题 25《计数原理》参考答案 一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 ? 4 ? 4 ? 64 2.C
1 2 2 1 分两类:(1)甲型 1 台,乙型 2 台: C4C5 ;(2)甲型 2 台,乙型 1 台: C4 C5 1 2 2 1 C4C 5 ? C 4C 5? 70

3.C 4.B 5.B

5 2 3 5 2 3 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A3 A3 , A5 ? A3 A3 为所求 2 1 2 1 不考虑限制条件有 A5 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A5 ? A4 ? 16 为所求 2 1 3 设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 Cx C8? x A3 ? 90,

? ? ? 即 x( x? 1) ( 8 x ) 3 0
6.A
r 8

2 3 x ? ? ? 5,

3

1 4 8? r ? r 8? r x 8? r 1 r r 1 8? r r r 1 8? r r 3 Tr ?1 ? C ( ) (? 3 ) ? (?1) ( ) C8 x ? (?1) ( ) C8 x 3 2 2 2 x

令8? 7. B

4 1 r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1)6 ( ) 8? 6C8 6? 7 3 2

3 2 (1 ? 2x)5 (2 ? x) ? 2(1 ? 2x)5 ? x(1 ? 2x)5 ? ... ? 2C5 (?2x)3 ? xC5 (?2x)2 ? ... 2 ? (4C5 ?16C53) x 3? ... ? ?120x 3? ...

8.A

只有第六项二项式系数最大,则 n ? 10 ,
r Tr ?1 ? C10 ( x )10?r ( 5 5? r 5 2 r 2 r T C ) ? 2r C10 x 2 ,令 5 ? r ? 0 ,r ? 2 ,3 ? 4 1 0 ? 1 8 0 2 2 x

二、填空题 1. 2
n

每个人都有通过或不通过 2 种可能,共计有 2 ? 2 ? . . . 2 ( ? n个
1 1 2 重 C3 C4 A2 ?1 ? 2 3,其中 (1, 1) 复了一次.

2? )

n

2

2. 23 3. 9

1 分三类:第一格填 2 ,则第二格有 A3 ,第三、四格自动对号入座,不能自由排列; 1 第一格填 3 ,则第三格有 A3 ,第一、四格自动对号入座,不能自由排列; 1 第一格填 4 ,则第撕格有 A3 ,第二、三格自动对号入座,不能自由排列; 1 共计有 3A3 ? 9

4.解: (C2 ? C2 )(C2 ? C2 ) ? 1 ? (C3 ? C3 ? C3 ) ? 17.
1 2 1 2 1 2 3

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三、解答题
3 22.解:(1) C?15 ? (?15)( ?16)( ?17 ) ? ?680 . (6 分)

3!

(2)

3 Cx x( x ? 1)(x ? 2) 1 2 ? ? ( x ? ? 3) 1 2 (Cx ) 6x2 6 x

. (7 分)

∵ x > 0 , x? 2 ?2 2 . x

3 Cx 当且仅当 x ? 2 时,等号成立. ∴ 当 x ? 2 时, 1 2 取得最小值. (1 2 (Cx )

分) (3)性质①不能推广,例如当 x ?

2 时, C1 2 有定义,但 C

2 ?1 无意义; 2

(14 分)

性质②能推广,它的推广 形式是 Cxm ? Cxm?1 ? Cxm?1 ,x?R , m 是正整数. (15 分)

0 事实上,当 m=1时,有 C1 ? Cx ? x ? 1 ? C1?1 . x x

当 m≥2时. C m ? C m ?1 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ? x( x ? 1)?( x ? m ? 2)
x x

m!

(m ? 1)!

?

x( x ? 1)?( x ? m ? 2) ? x ? m ? 1 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 2)(x ? 1) ? 1? ? ? m (m ? 1)! m! ? ?

m ? Cx ?1 .(20 分)

3 变式:解:(Ⅰ) A?15 ? ? ?15?? ?16?? ?17? ? ?4080 ;

……2

分 (Ⅱ)性质①、②均可推广,推广的形式分别是:
m m ① Ax ? xAx??1 , 1

② Ax ? mAx
m

m?1

m ? Ax?1 ? x ? R, m ? N? ? ……4 分
0 右边 ? xAx?1 ? x ,等式成立;

事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? x , x 当 m ? 2 时,左边 ? x ? x ?1?? x ? 2??? x ? m ? 1?

? x ?? x ? 1?? x ? 2 ?? ? ? x ? 1? ? ? m ? 1? ? 1? ? ? ?
m m m ? xAx??1 , 因此,① Ax ? xAx??1 成立; 1 1

……6 分

0 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? Ax ? x ? 1 ? A1?1 ? 右边,等式成立; x x

当 m ? 2 时, 左边 ? x ? x ? 1??x ? 2 ???x ? m ? 1 ? ?mx ?x ? 1??x ? 2 ???x ?m ? 2 ?
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? x ? x ? 1?? x ? 2 ?? ? x ? m ? 2 ? ?? x ? m ? 1? ? m ? ? ? ? ? x ? 1? x ? x ? 1?? x ? 2 ?? ?? x ? 1? ? m ? 1? ? ?
m ? Ax?1 ? 右边,

m m m 因此 ② Ax ? mAx ?1 ? Ax?1 ? x ? R, m ? N? ? 成立。

……8 分

(Ⅲ)先求导数,得 Ax
2

? ?

3 /

? 3x 2 ? 6 x ? 2 .

令 3x ? 6 x ? 2 >0,解得 x<

3? 3 3? 3 或 x> . 3 3

因此,当 x ? ? ? ?, ……11 分 当x??

? ? ?

3? 3 ? ? 时,函数为增函数, 3 ? ?

?3? 3 ? ,?? ? 时,函数也为增函数。 ? 3 ? ? ?

令 3x ? 6 x ? 2 <0,解得
2

3? 3 3? 3 <x< . 3 3
… … 13

因此,当 x ? ? 分

?3? 3 3? 3 ? ? ? 3 , 3 ? 时,函数为减函数. ? ? ? ? ? ? 3? 3 ? 3? 3 ? , ?? ? ?, ? ? 3 ? 3 ? ? ? ?
……14 分

3 所以,函数 Ax 的增区间为 ? ??,

3 函数 Ax 的减区间为 ?

? 3? 3 3? 3 ? ? 3 , 3 ? ? ? ?

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